Statistik4Lerneinheiten22minStand30.05.2026

Häufigkeitsverteilungen und Histogramme.

Du hast 100 Klausurnoten — wie zeigst du die Verteilung auf einen Blick? Tabelle ist unübersichtlich, Säulendiagramm nur sinnvoll für Kategorien. Für quantitative Daten ist das Histogramm das Standard-Tool: Daten in Klassen einteilen (Bins), Häufigkeiten pro Klasse als Balken zeichnen. Aber Vorsicht — die Bin-Breite entscheidet, was du siehst: zu wenige Bins versteckt Strukturen, zu viele zerklüften das Bild bis zur Unkenntlichkeit. Klausur-Standard in Stat-1, eng verzahnt mit den Skalenniveau-Regeln aus 7.1.

Wir gehen die zwei Häufigkeitsformen (absolut und relativ), das Histogramm mit Bin-Breite-Wahl, die kumulierte Häufigkeit und die typischen Klausur-Stolpersteine (Histogramm ≠ Säulendiagramm, ungleiche Bin-Breiten = Flächen-Diagramm) systematisch durch.

Absolute Häufigkeit $h_i$ = Anzahl Beobachtungen in Klasse $i$ . Relative Häufigkeit $f_i = h_i / n$ = Anteil. Bei $n = 100$ Klausuren mit 30 Noten "gut" gilt $h_{\text{gut}} = 30$ , $f_{\text{gut}} = 0{,}30 = 30\,\%$ .

Wann was?

Absolut: wenn du innerhalb einer Stichprobe vergleichst ("30 Studierende haben gut geschrieben").
Relativ: wenn du zwischen Stichproben oder mit Erwartungen vergleichst (zwei Kohorten unterschiedlicher Größe).

Summe-Check: $\sum_i h_i = n$ und $\sum_i f_i = 1$ . Tritt das in deiner Klausur-Aufgabe nicht zu, hast du irgendwo verzählt.

Ein Histogramm ist eine Visualisierung der Häufigkeitsverteilung quantitativer Daten:

Sortiere die Daten und lege Klassen-Grenzen fest (z.B. Notenbereiche 0–1,5; 1,5–2,5; …).
Zähle, wie viele Beobachtungen in jede Klasse fallen.
Zeichne pro Klasse einen Balken — Höhe = absolute oder relative Häufigkeit, Breite = Klassenbreite. Balken berühren sich (im Gegensatz zum Säulendiagramm).

Wichtig: die x-Achse ist eine kontinuierliche Skala, die Balken haben echte Breiten. Bei einem Säulendiagramm sind die Kategorien dagegen separat ("Note 1", "Note 2", …), Balken stehen mit Zwischenräumen.

Bin-Breite — der Knackpunkt

Die Wahl der Klassenanzahl $k$ (oder äquivalent Bin-Breite) bestimmt, was das Histogramm zeigt:

Zu wenige Bins (z.B. 3 Klassen für 100 Werte): grobe Form, versteckt Strukturen wie Bimodalität.
Zu viele Bins (z.B. 50 für 100 Werte): jeder Bin enthält 0–3 Werte, Bild wirkt zerklüftet, Rauschen dominiert.
Gut gewählt: zeigt die Form klar (uni-/bi-modal, Schiefe, Ausreißer).

Drei klassische Regeln für die Bin-Anzahl bei $n$ Beobachtungen:

Regel	Formel	Wann gut
Sturges	$k = \lceil \log_2(n) + 1 \rceil$	normalverteilte, mittelgroße Daten ( $n \leq 200$ )
Scott	Bin-Breite $h = 3{,}49 \cdot s / n^{1/3}$	kontinuierliche, normalverteilte Daten
Freedman-Diaconis	$h = 2 \cdot \text{IQR} / n^{1/3}$	robust gegen Ausreißer, breite Anwendbarkeit

Klausur-Wahl: Sturges, weil einfach. Bei $n = 100$ : $k = \lceil \log_2(100) + 1 \rceil = \lceil 6{,}64 + 1 \rceil = 8$ . Acht Klassen sind ein guter Startpunkt.

Die kumulierte Häufigkeit $H_i$ bzw. kumulierte relative Häufigkeit $F_i$ ist die Summe aller Häufigkeiten bis zur Klasse $i$ :

$H_i = \sum_{j=1}^{i} h_j \qquad F_i = \sum_{j=1}^{i} f_j$

Sie wächst monoton von 0 auf $n$ (bzw. 1). Aufgetragen als Treppenfunktion ergibt sich die empirische Verteilungsfunktion (empirical CDF) — ein zentrales Werkzeug für Klausur-Aufgaben wie "wie viel Prozent der Daten liegen unter dem Wert $x$ ?".

Beispiel — Noten von 10 Studierenden in Klassen:

Klasse	$h_i$	$f_i$	$H_i$	$F_i$
1,0–2,0	2	0,20	2	0,20
2,0–3,0	4	0,40	6	0,60
3,0–4,0	3	0,30	9	0,90
4,0–5,0	1	0,10	10	1,00

Auf der kumulierten Spalte lesen wir direkt: 60 % der Studierenden haben Note ≤ 3,0 ( $F_2 = 0{,}60$ ).

Bin-Breite ist Wahl. In Klausur Sturges-Regel angeben und damit rechnen. Andere Regeln dokumentieren, falls sie genannt werden.

Histogramm vs. Säulendiagramm: Histogramm = quantitative Daten in Klassen, Balken berühren sich. Säulendiagramm = kategoriale Daten, Balken mit Lücken. Skalenniveau bestimmt das richtige Diagramm.

Ungleiche Bin-Breiten = Flächen statt Höhen. Wenn deine Klassen unterschiedliche Breiten haben, repräsentiert die Fläche des Balkens die Häufigkeit, nicht die Höhe. Höhe wird dann Häufigkeitsdichte = $h_i / \text{Breite}_i$ .

Kumulierte Häufigkeit ist Treppenfunktion — monoton steigend, geht von 0 auf 1 (relativ) bzw. von 0 auf $n$ (absolut). Bei Aufgaben "wie viel % unter $x$ ?" direkt ablesen.

Klassen-Grenzen klar definieren: ist 2,0 in Klasse "1,0–2,0" oder "2,0–3,0"? Standard-Konvention: halboffenes Intervall $[a, b)$ — die untere Grenze gehört dazu, die obere nicht. Punkt 2,0 zählt zur höheren Klasse.

1. Säulendiagramm statt Histogramm für quantitative Daten. Bei Klausurnoten in Klassen ist es ein Histogramm, die Balken müssen sich berühren. Bei Lieblings-Studienfach ist es ein Säulendiagramm, Balken stehen separat.

2. Bei ungleichen Bin-Breiten Höhe = Häufigkeit annehmen. Falsch — Höhe ist Dichte, die Fläche zählt. Beispiel: zwei Bins, einer 1,0 breit mit $h = 4$ , einer 2,0 breit mit $h = 8$ . Beide haben dieselbe Dichte (4 pro Einheit) und sollten gleich hoch sein, obwohl der zweite Bin doppelt so viele Werte enthält.

3. Doppelt-Zählung an der Klassen-Grenze. Ohne Konvention $[a, b)$ zählst du den Grenzwert 2,0 in beiden Klassen, am Ende stimmt die Summe nicht. Konvention immer angeben.

4. Relative Häufigkeiten addieren bei Klassen-Bildung. Wenn die ursprünglichen Daten in Klassen aggregiert werden, addieren sich die relativen Häufigkeiten innerhalb einer neuen Großklasse — der gesamte Datensatz bleibt aber $\sum f_i = 1$ .

Schiebe den Bin-Slider von 3 bis 30 und beobachte, wie sich das Bild ändert. Wechsle zwischen 4 Datensätzen:

Normalverteilung — klassische Glocke, Bin-Wahl ist relativ unkritisch
Bimodal — zwei Häufungen, sichtbar nur bei ausreichend feinen Bins
Rechtsschief — lange rechte Flanke, IQR-Regel (Freedman-Diaconis) zeigt das besser
Mit Ausreißer — Ausreißer "drücken" die Bin-Breite bei naiver Min-Max-Aufteilung

Lern-Tipp: Stelle "Bimodal" ein, dann mit Slider auf 3 Bins gehen — du siehst nur eine grobe Form, die zwei Häufungen sind unsichtbar. Bei 15 Bins werden sie sofort sichtbar. Genau das ist der Bin-Breite-Effekt.

Toggle "absolut/relativ" zeigt die gleiche Verteilung mit unterschiedlicher Y-Achsen-Beschriftung; "kumulierte Verteilung" überlagert die Treppenfunktion.

Lade Visualisierung...

Klausur-Tipp: Wenn die Aufgabe nach der Klassenanzahl fragt, gib die Sturges-Regel an: $k = \lceil \log_2(n) + 1 \rceil$ . Bei $n = 50$ ist $k = 7$ , bei $n = 100$ ist $k = 8$ , bei $n = 1000$ ist $k = 11$ . Faustwert für klausurnahe Stichprobengrößen: 7–10 Klassen.

Anmelden, um den Fortschritt zu speichern.

Nächster Schritt

Wenn du fertig bist: jetzt üben.

Aktives Abrufen festigt Wissen schneller als nochmal lesen.

Fachliche Qualität

Noch nicht klassifiziertNoch nicht geprüft.

Diese Lerneinheit wurde für typische Bachelor-Klausuren konzipiert. So prüfen wir · Fehler entdeckt? Melde ihn uns oder markiere die fragliche Stelle direkt im Text oben.

Klausur-ÜbersichtKomplette Übersicht: alle Tabs als linearer Text zum Lernen

Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv erkunden · Praxis-Übung · Klausur-Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur, und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).

Teil 1·Erklärung

Erklärung

Zur KategorieStatistik.Mehr Themen entdeckenZum Themen-Hub.

Regel

Formel

Wann gut

Sturges

k = \lceil \log_2(n) + 1 \rceil

normalverteilte, mittelgroße Daten (

n \leq 200

)

Scott

Bin-Breite

h = 3{,}49 \cdot s / n^{1/3}

kontinuierliche, normalverteilte Daten

Freedman-Diaconis

h = 2 \cdot \text{IQR} / n^{1/3}

robust gegen Ausreißer, breite Anwendbarkeit

Klasse

h_i

f_i

H_i

F_i

1,0–2,0

0,20

2,0–3,0

0,40

0,60

3,0–4,0

0,30

0,90

4,0–5,0

0,10

1,00

Regel

Formel

Wann gut

Sturges

k = lceil log₂(n) + 1 rceil

normalverteilte, mittelgroße Daten (n ≤ 200)

Scott

Bin-Breite h = 3,49 · s / n^(1/3)

kontinuierliche, normalverteilte Daten

Freedman-Diaconis

h = 2 · IQR / n^(1/3)

robust gegen Ausreißer, breite Anwendbarkeit

Klasse

h_i

f_i

H_i

F_i

1,0–2,0

0,20

2,0–3,0

0,40

0,60

3,0–4,0

0,30

0,90

4,0–5,0

0,10

1,00

Häufigkeitsverteilungen und Histogramme.

Absolute und relative Häufigkeit

Histogramm — der Grundkurs

Bin-Breite — der Knackpunkt

Kumulierte Häufigkeit

Klausur-Faustregeln

Typische Stolpersteine

Histogramm-Lab mit Bin-Slider

Wenn du fertig bist: jetzt üben.

Erklärung

Häufigkeitsverteilungen und Histogramme.

Absolute und relative Häufigkeit

Histogramm — der Grundkurs

Bin-Breite — der Knackpunkt

Kumulierte Häufigkeit

Klausur-Faustregeln

Typische Stolpersteine

Histogramm-Lab mit Bin-Slider

Wenn du fertig bist: jetzt üben.

Erklärung

Absolute und relative Häufigkeit

Histogramm — der Grundkurs

Bin-Breite — der Knackpunkt

Kumulierte Häufigkeit

Klausur-Faustregeln

Typische Stolpersteine

Interaktiv erkunden

Histogramm-Lab mit Bin-Slider

Praxis-Übung

Häufigkeitsverteilungen — Praxis-Übung

Klausur-Quiz