Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv verstehen · Praxis-Übung · Klausur-Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur, und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).
Teil 1·Erklärung
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Die zwei wichtigsten diskreten Verteilungen, Binomial zählt Erfolge bei n Versuchen, Poisson zählt seltene Ereignisse pro Intervall. Beide sind Klausur-Klassiker und gehen mit Approximations-Tricks ineinander über.
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren oft gefragt: Welche Verteilung passt hier? und Approximiere mit Normal, bitte mit Stetigkeitskorrektur. Pflicht-Aufgabe.
Klausur-Tipp: zeichne dir bei zwei Modi mit Approximation den Vergleich. Bei B(50, 0.04) und Po(2) sind die Säulen fast identisch, das ist die Approximations-Bedingung n ≥ 50, p ≤ 0,05 visuell.
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Die zwei wichtigsten diskreten Verteilungen, Binomial zählt Erfolge bei n Versuchen, Poisson zählt seltene Ereignisse pro Intervall. Beide sind Klausur-Klassiker und gehen mit Approximations-Tricks ineinander über.
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren oft gefragt: Welche Verteilung passt hier? und Approximiere mit Normal, bitte mit Stetigkeitskorrektur. Pflicht-Aufgabe.
X ∼ B(n, p)Setting: n unabhängige Versuche, jeder mit Erfolgs-Wahrscheinlichkeit p. Zufallsvariable X = Anzahl Erfolge.
PMF (probability mass function):
P(X = k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k), k = 0, 1, ..., n
Kennzahlen:
E(X) = n p, Var(X) = n p (1-p), σ = √(n p (1-p))
Beispiele aus Klausuren:
X ∼ Po(λ)Setting: seltene Ereignisse pro fester Zeit-/Raum-Einheit mit Intensität λ. Zufallsvariable X = Anzahl Ereignisse in der Einheit.
PMF:
P(X = k) = (λ^k)/k! e^(-λ), k = 0, 1, 2, ...
Kennzahlen:
E(X) = λ, Var(X) = λ, σ = √(λ)
(Gleicher Wert für E und Var, Unterscheidungs-Merkmal der Poisson-Verteilung.)
Beispiele:
| Frage | → Verteilung |
|---|---|
| Wie viele Erfolge bei fester Anzahl Versuche (n bekannt)? | Binomial |
| Wie viele Ereignisse pro Intervall (n nicht klar)? | Poisson |
| Sehr viele Versuche, sehr kleine Wahrscheinlichkeit? | Poisson-Approximation |
Wenn n groß und p klein ist, lässt sich Binomial mit Poisson annähern:
X ∼ B(n, p) ≈ Po(λ) mit λ = n · p
Faustregel: n ≥ 50 und p ≤ 0,05 (oder n·p ≤ 10).
Beispiel: B(200, 0.01) → λ = 2 → Po(2). Berechnung wird einfacher (nur ein Parameter).
Bei großem n und nicht zu extremem p, typischerweise wenn np und n(1-p) ausreichend groß sind:
X ∼ B(n, p) ≈ N(np, np(1-p))
Faustregel: np ≥ 5 und n(1-p) ≥ 5 (strengere Form: np(1-p) ≥ 9). Bei sehr kleinem oder sehr großem p wird die Verteilung schief, dann lieber direkt Binomial oder Poisson rechnen statt zu approximieren.
Mit Stetigkeitskorrektur (wichtig!):
P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 - np)/(√(np(1-p))))
Das ±0,5 gleicht aus, dass wir eine diskrete Verteilung durch eine stetige annähern.
Bei großem λ:
X ∼ Po(λ) ≈ N(λ, λ)
Faustregel: λ ≥ 9.
Auch hier Stetigkeitskorrektur ±0,5.
- "Anzahl unabhängiger Erfolge bei n Versuchen" → Binomial.
- "Ereignisse pro Zeit/Raum-Einheit" → Poisson.
- B(n, p) mit n·p·(1-p) ≥ 9 → Normal-Approximation mit ±0,5.
- B(n, p) mit n groß, p klein → Poisson-Approximation mit λ = n·p.
- Bei E(X) = Var(X) → Indikator für Poisson.
Stetigkeitskorrektur vergessen. Klausur-Klassiker: P(X ≤ 5) bei diskretem X wird zu Φ((5+0,5-μ)/σ), nicht Φ((5-μ)/σ). Ohne ±0,5 sind Ergebnisse 1-2 Prozentpunkte daneben.
Verteilung verwechseln. Wenn ein Aufgabentext "in dieser Stunde", "pro Seite" oder "pro km" sagt → Poisson. Wenn "von 100 Stück", "bei 20 Versuchen" → Binomial.
Faktorial bei Poisson ist die häufigste Fehlerquelle. Für k = 5: 5! = 120, nicht 25.
Wechsle zwischen Binomial und Poisson. Stell die Parameter ein, die Plattform zeichnet die PMF als Säulendiagramm, markiert k und zeigt P(X = k), P(X ≤ k), Erwartungswert und Varianz live mit.
Interaktive Visualisierung
Vergleicht Binomial- und Poisson-Verteilung mit n, p bzw. lambda als Parameter.
Klausur-Tipp: zeichne dir bei zwei Modi mit Approximation den Vergleich. Bei B(50, 0.04) und Po(2) sind die Säulen fast identisch, das ist die Approximations-Bedingung n ≥ 50, p ≤ 0,05 visuell.
Klausur-typische Aufgaben: PMF berechnen, Erwartungswert und Varianz, Approximations-Bedingung prüfen.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: 5
Erklärung: E(X) = n·p = 10 · 0,5 = 5. Klausur-Standard: Erwartungswert direkt aus den Parametern. Bei Binomial: E(X) = np, Var(X) = np(1-p).
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 4
Erklärung: Bei Poisson: E(X) = Var(X) = λ. Das ist das Erkennungs-Merkmal, Erwartungswert gleich Varianz, anders als Binomial.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Poisson-Verteilung
Erklärung: Anrufe pro Zeit-Einheit ist klassisches Poisson-Setting: seltene Ereignisse, Intensität λ. Binomial brauchte feste Anzahl Versuche n, hier nicht gegeben. Klausur-Klassiker zur Verteilungs-Identifikation.
Antwort: Falsch
Erklärung: FALSCH. Binomial: E(X) = np, Var(X) = np(1-p). Nur wenn p = 0 oder n = 0 wären beide gleich (triviale Fälle). E(X) = Var(X) ist hingegen die typische Eigenschaft der Poisson-Verteilung.
Typ: Wahr/Falsch
Lösungen pro Lücke:
Erklärung: De Moivre-Laplace: bei n·p·(1-p) ≥ 9 lässt sich Binomial gut durch Normal annähern. Stetigkeitskorrektur ±0,5 gleicht den Übergang diskret → stetig aus. Klausur-Klassiker.
Typ: Lückentext
Antwort: 4
Erklärung: λ = n·p = 100 · 0,04 = 4. Bei n ≥ 50, p ≤ 0,05 ist Poisson-Approximation gut. Vorteil: nur ein Parameter (λ) statt zwei (n, p), und keine n-Faktoriale mehr.
Typ: Zahlen-Eingabe
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: 0.375 (Toleranz ±0.001)
Erklärung: P(X = 2) = C(4,2) · 0,5² · 0,5² = 6 · 0,25 · 0,25 = 0,375. Bei symmetrischer Münze ist die mittlere Anzahl am wahrscheinlichsten.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 0.0498 (Toleranz ±0.001)
Erklärung: P(X = 0) = (λ⁰/0!) · e⁻λ = 1 · e⁻³ ≈ 0,0498. Bei k=0 vereinfacht sich die Formel zu e⁻λ. Klausur-Standard.
Typ: Zahlen-Eingabe
Richtige Antworten: E(X) = Var(X) = λ; Die PMF enthält k!; Geeignet für Anzahl seltener Ereignisse pro Intervall; Wird für große n und kleine p Approximation der Binomial
Erklärung: Korrekt: E=Var=λ, k! in PMF, seltene Ereignisse, Approximation Binomial→Poisson. Falsch: nur EIN Parameter (λ); σ = √λ (nicht λ selbst).
Typ: Multi-Select
Zuordnungen:
Erklärung: Münzwürfe + Schrauben: feste Versuchsanzahl → Binomial. Anrufe + Tippfehler: pro Intervall → Poisson. Bei Schrauben mit kleiner p auch Poisson-Approximation OK.
Typ: Zuordnung
Richtige Reihenfolge:
Erklärung: Standard-Schema: Bedingung prüfen → μ und σ berechnen → ±0,5 Korrektur → standardisieren → tabellieren. Stetigkeitskorrektur nicht vergessen!
Typ: Reihenfolge
Antwort: 2.19 (Toleranz ±0.05)
Erklärung: σ = √(n·p·(1-p)) = √(20 · 0,4 · 0,6) = √4,8 ≈ 2,19. Standard-Klausur-Berechnung. Tipp: erst Varianz, dann Wurzel ziehen.
Typ: Zahlen-Eingabe