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  • Einführung
  • Binomialverteilung X \sim B(n, p)
  • Poisson-Verteilung X \sim \text{Po}(\lambda)
  • Wann welche Verteilung?
  • Approximationen, der Trick für große n
  • Klausur-Faustregeln
  • Typischer Stolperstein
ThemenStatistikPoisson-Verteilung & Binomialverteilung Formel (Statistik)
Statistik·4Lerneinheiten·20min·Stand02.08.2026

Poisson-Verteilung & Binomialverteilung Formel (Statistik).

Binomial- und Poisson-Verteilung

Die zwei wichtigsten diskreten Verteilungen, Binomial zählt Erfolge bei n Versuchen, Poisson zählt seltene Ereignisse pro Intervall. Beide sind Klausur-Klassiker und gehen mit Approximations-Tricks ineinander über.

Was du in der Klausur können musst:

  • Binomial-PMF, Erwartungswert, Varianz anwenden
  • Poisson-PMF, Erwartungswert, Varianz anwenden
  • Approximationen wählen: Binomial → Poisson → Normal
  • Stetigkeitskorrektur bei Normal-Approximation

In Klausuren oft gefragt: Welche Verteilung passt hier? und Approximiere mit Normal, bitte mit Stetigkeitskorrektur. Pflicht-Aufgabe.

Setting: nnn unabhängige Versuche, jeder mit Erfolgs-Wahrscheinlichkeit ppp. Zufallsvariable XXX = Anzahl Erfolge.

PMF (probability mass function):

P(X=k)=(nk) pk (1−p)n−k,k=0,1,…,nP(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, nP(X=k)=(kn​)pk(1−p)n−k,k=0,1,…,n

Kennzahlen:

E(X)=np,Var(X)=np(1−p),σ=np(1−p)E(X) = n p, \qquad Var(X) = n p (1-p), \qquad \sigma = \sqrt{n p (1-p)}E(X)=np,Var(X)=np(1−p),σ=np(1−p)​

Beispiele aus Klausuren:

  • 10× Münze werfen, wie oft Kopf? → B(10, 0.5)
  • Qualitätskontrolle: 100 Schrauben, je 2 % defekt → B(100, 0.02), gesucht P(X ≤ 5)
  • Klausur mit 20 MC-Fragen, Raten → B(20, 0.25)

Setting: seltene Ereignisse pro fester Zeit-/Raum-Einheit mit Intensität λ\lambdaλ. Zufallsvariable XXX = Anzahl Ereignisse in der Einheit.

PMF:

P(X=k)=λkk! e−λ,k=0,1,2,…P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} \, e^{-\lambda}, \quad k = 0, 1, 2, \ldotsP(X=k)=k!λk​e−λ,k=0,1,2,…

Kennzahlen:

E(X)=λ,Var(X)=λ,σ=λE(X) = \lambda, \qquad Var(X) = \lambda, \qquad \sigma = \sqrt{\lambda}E(X)=λ,Var(X)=λ,σ=λ​

(Gleicher Wert für EEE und VarVarVar, Unterscheidungs-Merkmal der Poisson-Verteilung.)

Beispiele:

  • Anrufe pro Stunde im Call-Center: λ = 12
  • Druckfehler pro Buchseite: λ = 0.3
  • Defekte pro 1.000 m Kabel: λ = 0.5
Frage→ Verteilung
Wie viele Erfolge bei fester Anzahl Versuche (n bekannt)?Binomial
Wie viele Ereignisse pro Intervall (n nicht klar)?Poisson
Sehr viele Versuche, sehr kleine Wahrscheinlichkeit?Poisson-Approximation

Binomial → Poisson

Wenn n groß und p klein ist, lässt sich Binomial mit Poisson annähern:

X∼B(n,p)≈Po(λ)mit λ=n⋅pX \sim B(n, p) \approx \text{Po}(\lambda) \quad \text{mit } \lambda = n \cdot pX∼B(n,p)≈Po(λ)mit λ=n⋅p

Faustregel: n ≥ 50 und p ≤ 0,05 (oder n·p ≤ 10).

Beispiel: B(200, 0.01) → λ = 2 → Po(2). Berechnung wird einfacher (nur ein Parameter).

Binomial → Normal (de Moivre-Laplace)

Bei großem nnn und nicht zu extremem ppp, typischerweise wenn npnpnp und n(1−p)n(1-p)n(1−p) ausreichend groß sind:

X∼B(n,p)≈N(np, np(1−p))X \sim B(n, p) \approx N(np, \, np(1-p))X∼B(n,p)≈N(np,np(1−p))

Faustregel: np≥5np \geq 5np≥5 und n(1−p)≥5n(1-p) \geq 5n(1−p)≥5 (strengere Form: np(1−p)≥9np(1-p) \geq 9np(1−p)≥9). Bei sehr kleinem oder sehr großem ppp wird die Verteilung schief, dann lieber direkt Binomial oder Poisson rechnen statt zu approximieren.

Mit Stetigkeitskorrektur (wichtig!): P(X≤k)≈Φ(k+0,5−npnp(1−p))P(X \leq k) \approx \Phi\left(\frac{k + 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)P(X≤k)≈Φ(np(1−p)​k+0,5−np​)

Das ±0,5 gleicht aus, dass wir eine diskrete Verteilung durch eine stetige annähern.

Poisson → Normal

Bei großem λ:

X∼Po(λ)≈N(λ,λ)X \sim \text{Po}(\lambda) \approx N(\lambda, \lambda)X∼Po(λ)≈N(λ,λ)

Faustregel: λ ≥ 9.

Auch hier Stetigkeitskorrektur ±0,5.

  1. "Anzahl unabhängiger Erfolge bei n Versuchen" → Binomial.
  2. "Ereignisse pro Zeit/Raum-Einheit" → Poisson.
  3. B(n, p) mit n·p·(1-p) ≥ 9 → Normal-Approximation mit ±0,5.
  4. B(n, p) mit n groß, p klein → Poisson-Approximation mit λ = n·p.
  5. Bei E(X) = Var(X) → Indikator für Poisson.

Stetigkeitskorrektur vergessen. Klausur-Klassiker: P(X ≤ 5) bei diskretem X wird zu Φ((5+0,5-μ)/σ), nicht Φ((5-μ)/σ). Ohne ±0,5 sind Ergebnisse 1-2 Prozentpunkte daneben.

Verteilung verwechseln. Wenn ein Aufgabentext "in dieser Stunde", "pro Seite" oder "pro km" sagt → Poisson. Wenn "von 100 Stück", "bei 20 Versuchen" → Binomial.

Faktorial bei Poisson ist die häufigste Fehlerquelle. Für k = 5: 5! = 120, nicht 25.

Wechsle zwischen Binomial und Poisson. Stell die Parameter ein, die Plattform zeichnet die PMF als Säulendiagramm, markiert k und zeigt P(X = k), P(X ≤ k), Erwartungswert und Varianz live mit.

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Klausur-Tipp: zeichne dir bei zwei Modi mit Approximation den Vergleich. Bei B(50, 0.04) und Po(2) sind die Säulen fast identisch, das ist die Approximations-Bedingung n ≥ 50, p ≤ 0,05 visuell.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Binomial- und Poisson-Verteilung

Die zwei wichtigsten diskreten Verteilungen, Binomial zählt Erfolge bei n Versuchen, Poisson zählt seltene Ereignisse pro Intervall. Beide sind Klausur-Klassiker und gehen mit Approximations-Tricks ineinander über.

Was du in der Klausur können musst:

  • Binomial-PMF, Erwartungswert, Varianz anwenden
  • Poisson-PMF, Erwartungswert, Varianz anwenden
  • Approximationen wählen: Binomial → Poisson → Normal
  • Stetigkeitskorrektur bei Normal-Approximation

In Klausuren oft gefragt: Welche Verteilung passt hier? und Approximiere mit Normal, bitte mit Stetigkeitskorrektur. Pflicht-Aufgabe.

Binomialverteilung X ∼ B(n, p)

Setting: n unabhängige Versuche, jeder mit Erfolgs-Wahrscheinlichkeit p. Zufallsvariable X = Anzahl Erfolge.

PMF (probability mass function):

P(X = k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k), k = 0, 1, ..., n

Kennzahlen:

E(X) = n p, Var(X) = n p (1-p), σ = √(n p (1-p))

Beispiele aus Klausuren:

  • 10× Münze werfen, wie oft Kopf? → B(10, 0.5)
  • Qualitätskontrolle: 100 Schrauben, je 2 % defekt → B(100, 0.02), gesucht P(X ≤ 5)
  • Klausur mit 20 MC-Fragen, Raten → B(20, 0.25)

Poisson-Verteilung X ∼ Po(λ)

Setting: seltene Ereignisse pro fester Zeit-/Raum-Einheit mit Intensität λ. Zufallsvariable X = Anzahl Ereignisse in der Einheit.

PMF:

P(X = k) = (λ^k)/k! e^(-λ), k = 0, 1, 2, ...

Kennzahlen:

E(X) = λ, Var(X) = λ, σ = √(λ)

(Gleicher Wert für E und Var, Unterscheidungs-Merkmal der Poisson-Verteilung.)

Beispiele:

  • Anrufe pro Stunde im Call-Center: λ = 12
  • Druckfehler pro Buchseite: λ = 0.3
  • Defekte pro 1.000 m Kabel: λ = 0.5

Wann welche Verteilung?

Frage→ Verteilung
Wie viele Erfolge bei fester Anzahl Versuche (n bekannt)?Binomial
Wie viele Ereignisse pro Intervall (n nicht klar)?Poisson
Sehr viele Versuche, sehr kleine Wahrscheinlichkeit?Poisson-Approximation

Approximationen, der Trick für große n

Binomial → Poisson

Wenn n groß und p klein ist, lässt sich Binomial mit Poisson annähern:

X ∼ B(n, p) ≈ Po(λ) mit λ = n · p

Faustregel: n ≥ 50 und p ≤ 0,05 (oder n·p ≤ 10).

Beispiel: B(200, 0.01) → λ = 2 → Po(2). Berechnung wird einfacher (nur ein Parameter).

Binomial → Normal (de Moivre-Laplace)

Bei großem n und nicht zu extremem p, typischerweise wenn np und n(1-p) ausreichend groß sind:

X ∼ B(n, p) ≈ N(np, np(1-p))

Faustregel: np ≥ 5 und n(1-p) ≥ 5 (strengere Form: np(1-p) ≥ 9). Bei sehr kleinem oder sehr großem p wird die Verteilung schief, dann lieber direkt Binomial oder Poisson rechnen statt zu approximieren.

Mit Stetigkeitskorrektur (wichtig!): P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 - np)/(√(np(1-p))))

Das ±0,5 gleicht aus, dass wir eine diskrete Verteilung durch eine stetige annähern.

Poisson → Normal

Bei großem λ:

X ∼ Po(λ) ≈ N(λ, λ)

Faustregel: λ ≥ 9.

Auch hier Stetigkeitskorrektur ±0,5.

Klausur-Faustregeln

  1. "Anzahl unabhängiger Erfolge bei n Versuchen" → Binomial.
  2. "Ereignisse pro Zeit/Raum-Einheit" → Poisson.
  3. B(n, p) mit n·p·(1-p) ≥ 9 → Normal-Approximation mit ±0,5.
  4. B(n, p) mit n groß, p klein → Poisson-Approximation mit λ = n·p.
  5. Bei E(X) = Var(X) → Indikator für Poisson.

Typischer Stolperstein

Stetigkeitskorrektur vergessen. Klausur-Klassiker: P(X ≤ 5) bei diskretem X wird zu Φ((5+0,5-μ)/σ), nicht Φ((5-μ)/σ). Ohne ±0,5 sind Ergebnisse 1-2 Prozentpunkte daneben.

Verteilung verwechseln. Wenn ein Aufgabentext "in dieser Stunde", "pro Seite" oder "pro km" sagt → Poisson. Wenn "von 100 Stück", "bei 20 Versuchen" → Binomial.

Faktorial bei Poisson ist die häufigste Fehlerquelle. Für k = 5: 5! = 120, nicht 25.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

Verteilungs-Lab

Wechsle zwischen Binomial und Poisson. Stell die Parameter ein, die Plattform zeichnet die PMF als Säulendiagramm, markiert k und zeigt P(X = k), P(X ≤ k), Erwartungswert und Varianz live mit.

Interaktive Visualisierung

Vergleicht Binomial- und Poisson-Verteilung mit n, p bzw. lambda als Parameter.

Klausur-Tipp: zeichne dir bei zwei Modi mit Approximation den Vergleich. Bei B(50, 0.04) und Po(2) sind die Säulen fast identisch, das ist die Approximations-Bedingung n ≥ 50, p ≤ 0,05 visuell.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Verteilungs-Praxis

Klausur-typische Aufgaben: PMF berechnen, Erwartungswert und Varianz, Approximations-Bedingung prüfen.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.X ~ B(10, 0.5). Wie hoch ist E(X)?

Antwort: 5

Erklärung: E(X) = n·p = 10 · 0,5 = 5. Klausur-Standard: Erwartungswert direkt aus den Parametern. Bei Binomial: E(X) = np, Var(X) = np(1-p).

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.X ~ Po(λ = 4). Wie hoch ist Var(X)?

Antwort: 4

Erklärung: Bei Poisson: E(X) = Var(X) = λ. Das ist das Erkennungs-Merkmal, Erwartungswert gleich Varianz, anders als Binomial.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung ist passend für 'Anzahl Anrufe pro Stunde im Call-Center'?

Antwort: Poisson-Verteilung

Erklärung: Anrufe pro Zeit-Einheit ist klassisches Poisson-Setting: seltene Ereignisse, Intensität λ. Binomial brauchte feste Anzahl Versuche n, hier nicht gegeben. Klausur-Klassiker zur Verteilungs-Identifikation.

F4.Bei der Binomialverteilung gilt E(X) = Var(X).

Antwort: Falsch

Erklärung: FALSCH. Binomial: E(X) = np, Var(X) = np(1-p). Nur wenn p = 0 oder n = 0 wären beide gleich (triviale Fälle). E(X) = Var(X) ist hingegen die typische Eigenschaft der Poisson-Verteilung.

Typ: Wahr/Falsch

F5.Approximation Binomial → Normal: Faustregel ist {{1}}. Mit Stetigkeitskorrektur: P(X ≤ k) ≈ Φ((k + {{2}} − np) / √(np(1−p))).

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: n·p·(1−p) ≥ 9 / np(1-p) ≥ 9 / n*p*(1-p) >= 9 / np(1-p)>=9
  • {{2}}: 0,5 / 0.5 / 1/2

Erklärung: De Moivre-Laplace: bei n·p·(1-p) ≥ 9 lässt sich Binomial gut durch Normal annähern. Stetigkeitskorrektur ±0,5 gleicht den Übergang diskret → stetig aus. Klausur-Klassiker.

Typ: Lückentext

F6.X ~ B(100, 0.04). Welcher λ-Wert ergibt sich für die Poisson-Approximation?

Antwort: 4

Erklärung: λ = n·p = 100 · 0,04 = 4. Bei n ≥ 50, p ≤ 0,05 ist Poisson-Approximation gut. Vorteil: nur ein Parameter (λ) statt zwei (n, p), und keine n-Faktoriale mehr.

Typ: Zahlen-Eingabe

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.X ~ B(4, 0.5). Berechne P(X = 2) auf 4 Nachkommastellen.

Antwort: 0.375 (Toleranz ±0.001)

Erklärung: P(X = 2) = C(4,2) · 0,5² · 0,5² = 6 · 0,25 · 0,25 = 0,375. Bei symmetrischer Münze ist die mittlere Anzahl am wahrscheinlichsten.

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.X ~ Po(λ = 3). Berechne P(X = 0) auf 4 Nachkommastellen. (Hinweis: e⁻³ ≈ 0,0498)

Antwort: 0.0498 (Toleranz ±0.001)

Erklärung: P(X = 0) = (λ⁰/0!) · e⁻λ = 1 · e⁻³ ≈ 0,0498. Bei k=0 vereinfacht sich die Formel zu e⁻λ. Klausur-Standard.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Welche Aussagen über die Poisson-Verteilung sind RICHTIG?

Richtige Antworten: E(X) = Var(X) = λ; Die PMF enthält k!; Geeignet für Anzahl seltener Ereignisse pro Intervall; Wird für große n und kleine p Approximation der Binomial

Erklärung: Korrekt: E=Var=λ, k! in PMF, seltene Ereignisse, Approximation Binomial→Poisson. Falsch: nur EIN Parameter (λ); σ = √λ (nicht λ selbst).

Typ: Multi-Select

F4.Ordne dem Beispiel die passende Verteilung zu:

Zuordnungen:

  • 100 Münzwürfe, Anzahl Kopf → Binomial B(100, 0.5)
  • Anrufe pro Stunde, im Schnitt 12 → Poisson Po(12)
  • 200 Schrauben, Defekt-Quote 2 % → Binomial B(200, 0.02), evt. Po(4)
  • Tippfehler pro Seite, im Schnitt 0,3 → Poisson Po(0.3)

Erklärung: Münzwürfe + Schrauben: feste Versuchsanzahl → Binomial. Anrufe + Tippfehler: pro Intervall → Poisson. Bei Schrauben mit kleiner p auch Poisson-Approximation OK.

Typ: Zuordnung

F5.Sortiere die Schritte zur Lösung: 'X ~ B(100, 0.4), berechne P(X ≤ 35)':

Richtige Reihenfolge:

  1. Approximations-Bedingung prüfen: n·p·(1-p) = 24 ≥ 9 ✓
  2. Parameter Normal-Approx: μ = np = 40, σ² = np(1-p) = 24
  3. Stetigkeitskorrektur: P(X ≤ 35) → P(X ≤ 35,5)
  4. Z-Score: z = (35,5 − 40) / √24 ≈ −0,919
  5. Tabellenwert Φ(−0,919) ≈ 0,179 → P(X ≤ 35) ≈ 17,9 %

Erklärung: Standard-Schema: Bedingung prüfen → μ und σ berechnen → ±0,5 Korrektur → standardisieren → tabellieren. Stetigkeitskorrektur nicht vergessen!

Typ: Reihenfolge

F6.X ~ B(20, 0.4). Wie groß ist die Standardabweichung σ? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 2.19 (Toleranz ±0.05)

Erklärung: σ = √(n·p·(1-p)) = √(20 · 0,4 · 0,6) = √4,8 ≈ 2,19. Standard-Klausur-Berechnung. Tipp: erst Varianz, dann Wurzel ziehen.

Typ: Zahlen-Eingabe

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