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Erklärung
Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige Verteilung der Statistik, symmetrische Glockenkurve um den Erwartungswert μ, Streuung σ. Klassiker im 2.–4. Semester für Psychologie, BWL/VWL, WI/WiIng, Sozialarbeit.
Was du in der Klausur können musst:
- Standardisierung: beliebige Normalverteilung
X ∼ N(μ, σ²)→Z ∼ N(0, 1)über die Z-Score-Formel - Tabellenwert
P(Z ≤ z)ablesen + symmetrische Werte ableiten - 68-95-99,7-Regel als Schnell-Schätzung
- Inverse Aufgabe: zu gegebenem
Pdenx-Wert finden
In Klausuren oft gefragt: Berechne P(X ≤ x) und Bei welchem x liegt das obere 5 %-Quantil? Pflicht-Aufgabe.
Die Glockenkurve
Dichte-Funktion:
f(x) = 1/(σ√(2π)) e^(-((x-μ)²)/(2σ²))
Z-Standardisierung:
z = (x - μ)/(σ)
Erwartungswert / Varianz / Standardabweichung:
E(X) = μ, Var(X) = σ², σ = √(Var(X))
(μ = Mitte der Glocke, σ = Abstand zu den Wendepunkten.)
Eigenschaften:
- Symmetrisch um μ
- Wendepunkte bei μ ± σ
- Maximum bei x = μ
- Asymptotisch an die x-Achse (geht nie wirklich auf 0)
- Fläche unter der Kurve = 1 (= 100 % Wahrscheinlichkeit)
Die 68-95-99,7-Regel
Faustregel ohne Tabellen-Lookup:
| Intervall | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| μ ± 1σ | ≈ 68,3 % |
| μ ± 2σ | ≈ 95,4 % |
| μ ± 3σ | ≈ 99,7 % |
Beispiel: IQ-Werte normalverteilt mit μ = 100, σ = 15.
- 68 % der Menschen haben IQ zwischen 85 und 115
- 95 % zwischen 70 und 130
- 99,7 % zwischen 55 und 145
Standardisierung
Damit man eine einzige Tabelle für alle Normalverteilungen nutzen kann:
Z = (X - μ)/(σ)
Z ist standardnormalverteilt: Z ~ N(0, 1), μ = 0, σ = 1.
Beispiel: X ~ N(50, 10²), gesucht P(X ≤ 65).
- Standardisieren:
z = (65 - 50)/10 = 1,5 - Tabelle: Φ(1,5) ≈ 0,9332
- → P(X ≤ 65) ≈ 93,32 %
Symmetrie nutzen
Die Standardnormalverteilung ist symmetrisch um 0:
Φ(−z) = 1 − Φ(z)
Tabellen führen oft nur positive z-Werte. Bei negativen z einfach die Symmetrie:
Beispiel: P(Z ≤ −1) = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
Plus klassische Konstrukte:
P(Z ≥ z) = 1 - Φ(z)P(a ≤ Z ≤ b) = Φ(b) - Φ(a)P(|Z| ≤ z) = 2Φ(z) - 1
Inverse Aufgabe (Quantile)
Die Tabelle rückwärts gelesen: bei welchem z gilt Φ(z) = p?
Beispiel: Welcher Notenpunkt entspricht den oberen 10 % bei Klausur X ~ N(8, 2²)?
- Suche z mit Φ(z) = 0,90 → z ≈ 1,28 (aus Tabelle)
- Rück-Standardisierung:
x = μ + z · σ = 8 + 1,28 · 2 = 10,56 - → ab 10,56 Punkten in den Top 10 %.
Klausur-Faustregeln
- Skizziere immer die Glocke, markiere μ und Schraffierung. Hilft gegen "minus eins" Fehler.
- z-Werte über 3 → Wahrscheinlichkeit fast 0 oder 1.
- Bei "zwischen a und b" → Φ(b) − Φ(a), nie subtrahieren in falscher Reihenfolge.
- 68-95-99,7 als Plausibilitäts-Check, wenn du 99 % erwartest aber 50 % rauskommt, hast du wahrscheinlich vergessen zu standardisieren.
- Symmetrie hilft wenn Tabelle nur positive z-Werte zeigt.
Typischer Stolperstein
Standardabweichung vs. Varianz: σ steht in der Z-Score-Formel, nicht σ². Wenn die Aufgabe "X ~ N(50, 100)" sagt, ist meist Varianz = 100, also σ = 10. Wenn "X ~ N(50, 10²)" steht, ist σ = 10.
Stetig vs. diskret: P(X = exakt 5) = 0 bei stetigen Verteilungen. Nur P(X ≤ 5), P(X ≥ 5), P(a ≤ X ≤ b) sind sinnvoll.
Interaktiv verstehen
Normalverteilungs-Plot
Schraffiere unter der Glocke: stelle μ und σ ein, wähle einen x-Wert. Die Plattform standardisiert, schlägt P(X ≤ x) im Tabellen-Lookup ab und zeigt die markierte Fläche unter der Kurve.
Interaktive Visualisierung
Plottet die Normalverteilung mit Erwartungswert und Standardabweichung als Schieberegler.
Klausur-Tipp: lies oben rechts mit, was sich am Z-Score ändert wenn du nur σ änderst (μ und x fest). Bei σ → klein wird |z| groß → P → fast 0 oder fast 1. Das ist die Wirkung der Streuung.
Praxis-Übung
Normalverteilungs-Praxis
Klausur-typische Aufgaben: standardisieren, Tabellenwerte finden, 68-95-99,7-Regel anwenden, Symmetrie nutzen.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
- F1.X ist normalverteilt mit μ = 50, σ = 10. Berechne den Z-Score von x = 65.
Antwort: 1.5 (Toleranz ±0.01)
Erklärung: z = (x − μ) / σ = (65 − 50) / 10 = 1,5. Z-Score gibt an wie viele Standardabweichungen x über/unter dem Erwartungswert liegt.
Typ: Zahlen-Eingabe
- F2.Welcher Anteil der Werte einer Normalverteilung liegt im Intervall μ ± 2σ? (Antwort als Dezimalzahl, z.B. 0.68)
Antwort: 0.954 (Toleranz ±0.01)
Erklärung: Die 68-95-99,7-Regel: μ±1σ ≈ 68,3 %, μ±2σ ≈ 95,4 %, μ±3σ ≈ 99,7 %. Der Anteil 95,4 % ist Klausur-Standard.
Typ: Zahlen-Eingabe
- F3.Eine Standardnormalverteilung Z hat welche Parameter?
Antwort: μ = 0, σ = 1
Erklärung: Z ~ N(0, 1): Erwartungswert 0, Standardabweichung 1, Varianz 1. Wird durch Standardisierung aus jeder Normalverteilung X ~ N(μ, σ²) gewonnen.
- F4.Bei einer stetigen Normalverteilung gilt: P(X = 5) = 0.
Antwort: Wahr
Erklärung: Korrekt. Bei stetigen Verteilungen hat jeder einzelne Punkt Wahrscheinlichkeit 0. Sinnvoll sind nur P(X ≤ x), P(X ≥ x), P(a ≤ X ≤ b). Klausur-Klassiker.
Typ: Wahr/Falsch
- F5.Symmetrie der Standardnormalverteilung: Φ(−z) = {{1}} − Φ({{2}}).
Lösungen pro Lücke:
- {{1}}: 1
- {{2}}: z
Erklärung: Φ(−z) = 1 − Φ(z). Genutzt um aus einer Tabelle mit nur positiven z-Werten auch negative z-Quantile zu berechnen. Klausur-Klassiker.
Typ: Lückentext
- F6.X ~ N(100, 15²). Mit Φ(1,5) ≈ 0,9332: berechne P(X ≤ 122,5).
Antwort: 0.9332 (Toleranz ±0.001)
Erklärung: z = (122,5 − 100) / 15 = 1,5. P(X ≤ 122,5) = Φ(1,5) ≈ 0,9332. Klausur-Standard: standardisieren → tabellenwert ablesen.
Typ: Zahlen-Eingabe
Klausur-Quiz
Klausurfragen mit Lösungen (6)
- F1.X ~ N(8, 2²). Mit Φ(1,28) ≈ 0,9: ab welchem Punktwert liegen die oberen 10 %? (auf 2 Nachkommastellen)
Antwort: 10.56 Punkte (Toleranz ±0.05)
Erklärung: Inverse Aufgabe: gesucht x mit P(X ≥ x) = 0,1, also Φ(z) = 0,9 → z ≈ 1,28. Rückstandardisierung: x = μ + z·σ = 8 + 1,28·2 = 10,56. Top 10 % ab 10,56 Punkten.
Typ: Zahlen-Eingabe
- F2.Welche Aussagen über die Normalverteilung sind RICHTIG?
Richtige Antworten: Symmetrisch um μ; Median = Modus = Erwartungswert; Wendepunkte bei μ ± σ; Fläche unter der Kurve = 1
Erklärung: Korrekt: Symmetrie um μ, Median=Modus=Mittel, Wendepunkte bei μ±σ, Gesamtfläche = 1. Falsch: Maximum bei x=μ (nicht σ); P(X = exakt μ) = 0 (stetig!).
Typ: Multi-Select
- F3.Ordne den Wahrscheinlichkeits-Aussagen die korrekte Formel zu:
Zuordnungen:
- P(Z ≥ z) → 1 − Φ(z)
- P(Z ≤ −z) → 1 − Φ(z)
- P(a ≤ Z ≤ b) → Φ(b) − Φ(a)
- P(|Z| ≤ z) → 2·Φ(z) − 1
Erklärung: Die vier Symmetrie-Tricks: Komplement, Symmetrie, Differenz, beidseitig. Klausur-Klassiker, dieselbe Tabelle muss für alle 4 Aufgabentypen reichen.
Typ: Zuordnung
- F4.Bei zwei Normalverteilungen mit gleichem μ aber unterschiedlichem σ ist die Glocke mit dem größeren σ schmaler und höher.
Antwort: Falsch
Erklärung: FALSCH. Größeres σ = breitere und FLACHERE Glocke (mehr Streuung). Kleineres σ = schmaler, höher (Werte konzentrieren sich um μ). Da die Gesamtfläche 1 bleibt, müssen Höhe und Breite umgekehrt skalieren.
Typ: Wahr/Falsch
- F5.Sortiere die Lösungs-Schritte für die Aufgabe 'X ~ N(50, 10), berechne P(45 ≤ X ≤ 60)':
Richtige Reihenfolge:
- X normalverteilt erkennen, μ und σ aus Aufgabe entnehmen
- Untere Grenze standardisieren: z₁ = (45 − μ) / σ
- Obere Grenze standardisieren: z₂ = (60 − μ) / σ
- Tabellenwerte Φ(z₁) und Φ(z₂) nachschlagen
- P(z₁ ≤ Z ≤ z₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁) berechnen
Erklärung: Standard-Workflow: Verteilung erkennen → standardisieren → tabellenwerte → differenz. In dieser Reihenfolge: kein Schritt überspringbar, sonst falsche Antwort.
Typ: Reihenfolge
- F6.X ~ N(170, 8²) (Körpergröße cm). Mit Φ(1,25) ≈ 0,8944: wie viel Prozent liegen unter 180 cm? (in %, 2 Nachkommastellen)
Antwort: 89.44 % (Toleranz ±0.5)
Erklärung: z = (180 − 170) / 8 = 1,25. P(X ≤ 180) = Φ(1,25) ≈ 0,8944 = 89,44 %. Klassiker mit anschaulichen Werten.
Typ: Zahlen-Eingabe
