Beschreibende Statistik.

Beschreibende Statistik fasst große Datensätze in wenigen Kennzahlen zusammen, um sie schnell vergleichbar zu machen. Statt 120 Klausurnoten einzeln zu lesen, sagst du: "Mittelwert 2,8, Standardabweichung 0,9". Klausurpflicht in Mathe für BWL, Wirtschaftsinformatik und Data Science.

Die Kennzahlen die du in der Klausur kennen musst:

• Mittelwert (arithmetisches Mittel): Summe / Anzahl, x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
• Median: der mittlere Wert wenn die Daten sortiert sind, robust gegen Ausreißer
• Modus: der häufigste Wert
• Spannweite: Maximum minus Minimum
• Varianz s²: durchschnittliche quadrierte Abweichung vom Mittelwert
• Standardabweichung s: Wurzel der Varianz, gleiche Einheit wie die Daten
• Quartile: Teilen die sortierten Daten in 4 gleiche Teile (Q1, Median, Q3)

In Klausuren oft gefragt: berechne Mittelwert, Median, Standardabweichung für diese Daten. Plus die Frage wann ist Median besser als Mittelwert? (Antwort: bei Ausreißern, weil Median robust ist).

Das Problem

Du hast eine Liste von 120 Klausurnoten. Wie sagst du mit einer Zahl, "wie ist die Klausur gelaufen"?

• Notendurchschnitt 2,8?
• Mittlere Note 2,5?
• Häufigste Note: 3?
• Wie unterschiedlich waren die Ergebnisse?

Beschreibende Statistik kondensiert viele Daten zu wenigen aussagekräftigen Kennzahlen. Vier davon sind Klausur-Pflicht.

Die vier Kennzahlen-Familien

1. Lagemaße, wo liegt das Zentrum?

2. Streuungsmaße, wie weit auseinander?

3. Quartile + Boxplot

Der Boxplot visualisiert all das auf einen Blick.

Schritt für Schritt: Mittelwert

x̄ (sprich: "x-Quer") = Summe aller Werte ÷ Anzahl.

Daten: 3, 5, 6, 7, 8
Summe: 3 + 5 + 6 + 7 + 8 = 29
n = 5
Mittelwert = 29 / 5 = 5,8

Klausur-Trick: Mittelwert kann ein Wert sein der gar nicht im Datensatz vorkommt (5,8 ist kein Datenpunkt).

Schritt für Schritt: Median

Sortieren und den mittleren Wert nehmen.

Ungerade Anzahl (n = 5):

Daten: 3, 5, 6, 7, 8       (schon sortiert)
Mitte: Position (n+1)/2 = 3
Median: 6                  (das 3. Element)

Gerade Anzahl (n = 6):

Daten: 3, 5, 6, 7, 8, 50   (sortiert)
Zwei Mittlere: Position 3 und 4 → 6 und 7
Median: (6 + 7) / 2 = 6,5

Wichtigster Trick: Median ist robust gegen Ausreißer, Mittelwert nicht.

Datensatz A: [3, 5, 6, 7, 8]      → Mean 5,8 · Median 6
Datensatz B: [3, 5, 6, 7, 8, 50]  → Mean 13,17 · Median 6,5

Der eine Ausreißer (50) hebt den Mittelwert auf das Doppelte, der Median verschiebt sich kaum. Bei Einkommen, Hauspreisen, etc. ist deshalb der Median oft aussagekräftiger.

Schritt für Schritt: Modus

Der häufigste Wert. Kann mehrere geben (bimodal, multimodal) oder gar keinen.

Daten: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5
Häufigkeiten: 1→1, 2→2, 3→4, 4→2, 5→1
Modus: 3   (4-mal aufgetreten)

Bei stetigen Daten (z.B. Größe in cm) ist der Modus selten sinnvoll, selten kommt exakt dieselbe Zahl mehrmals vor. Bei kategorischen Daten (Noten, Farben) extrem nützlich.

Streuung: Varianz & Standardabweichung

Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert.

σ² = 1/nΣ_(i=1)ⁿ (x_i - x̄)²

Beispiel mit Daten [3, 5, 6, 7, 8] und Mittelwert 5,8:

σ² = (14,80)/5 = 2,96

Standardabweichung σ = √(σ²) = √(2,96) ≈ 1,72

Vorteil von σ: hat dieselbe Einheit wie die Originaldaten. Wenn Daten in € sind, ist σ auch in €. Varianz wäre €².

Stichproben-Varianz: n − 1 statt n

In der Stichproben-Statistik (typisch in Klausuren) wird durch n − 1 geteilt, nicht durch n. Grund: Bessel-Korrektur (Stichprobe unterschätzt sonst die wahre Varianz).

s² = 1/(n - 1)Σ_(i=1)ⁿ (x_i - x̄)²

Klausurtrick: Wenn die Aufgabe sagt "Stichprobe" → Nenner n−1. Wenn sie sagt "Grundgesamtheit" → Nenner n.

Quartile und IQR

Q1 = 25%-Marke (ein Viertel der Daten ist kleiner) Q2 = Median = 50%-Marke Q3 = 75%-Marke IQR = Q3 − Q1 (Inter-Quartile-Range)

Hinweis zur Quartil-Konvention: Quartile werden je nach Methode unterschiedlich berechnet (Excel, R, SPSS nutzen verschiedene Definitionen). Hier verwenden wir die lineare Interpolation mit Position 1 + p · (n - 1) (entspricht "Methode 7" in R, Standard in Excel). Bei Klausuraufgaben die Methodik des Dozenten prüfen.

Daten sortiert:  1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5    (n = 10)

Position Q1:   1 + 0,25·9 = 3,25  →  zwischen Pos 3 (=2) und Pos 4 (=3)
                                    Q1 = 2 + 0,25·(3-2) = 2,25
Position Q2:   1 + 0,50·9 = 5,50  →  zwischen Pos 5 (=3) und Pos 6 (=3)
                                    Median = 3 + 0,50·(3-3) = 3
Position Q3:   1 + 0,75·9 = 7,75  →  zwischen Pos 7 (=3) und Pos 8 (=4)
                                    Q3 = 3 + 0,75·(4-3) = 3,75

IQR:           3,75 - 2,25 = 1,5

IQR ist die "robuste Spannweite", ignoriert die obersten und untersten 25%, also Ausreißer-resistent.

Boxplot lesen

Ein Boxplot zeigt 5 Zahlen auf einen Blick:

• Einfacher Boxplot: Min, Q1, Median, Q3, Max, Whisker reichen bis zu den Extremwerten
• Tukey-Boxplot (Standard in R/Python): Whisker reichen nur bis zum letzten Wert innerhalb von 1,5 · IQR vom oberen/unteren Quartil. Werte außerhalb werden als Ausreißer als einzelne Punkte markiert. In Klausuren kommt meist die einfache Variante; in der Praxis fast immer Tukey.

                     Median (50%)
                       |
   |───────[Q1───────|───────Q3]───────|
  Min     25%       50%      75%     Max

  ←── Whisker ──→← Box (50%) →← Whisker ──→

Was du im Boxplot siehst:

• Box-Breite = IQR = wo die mittleren 50% liegen
• Median-Linie im Verhältnis zur Box: mittig = symmetrisch, schief = schiefe Verteilung
• Whisker-Längen: ungleich = Asymmetrie / Ausreißer

Klausur-Klassiker: "Beschreibe die Verteilung anhand des Boxplots."

• Median in der Mitte der Box, Whisker gleich lang → symmetrisch
• Median näher Q1, langer rechter Whisker → rechtsschief (Ausreißer oben, z.B. Einkommen)
• Median näher Q3, langer linker Whisker → linksschief

Welches Maß wann?

Faustregel: bei schiefen Daten (Einkommen, Hauspreise, Wartezeiten) → Median + IQR. Bei symmetrischen Daten (Größe, Klausuren) → Mittelwert + Std.

Klausur-Tricks

Trick 1, Lage von Mean und Median als Schiefe-Indikator: bei symmetrischen Verteilungen fallen Mittelwert und Median oft zusammen, aber Gleichheit allein beweist keine Symmetrie. Praktischer: Mean > Median → rechtsschief, Mean < Median → linksschief, Mean ≈ Median → vermutlich symmetrisch (Boxplot/Histogramm zur Bestätigung anschauen).

Trick 2, Robuster sein bei Ausreißern: Median und IQR. Mittelwert und SD reagieren stark auf Extremwerte.

Trick 3, n vs. n−1: Bei Stichprobe zur Schätzung der Populationsvarianz → durch n-1 teilen (Bessel-Korrektur). Bei beschreibender Statistik des vollständigen Datensatzes / Grundgesamtheit → durch n. Wenn die Aufgabe nichts vorgibt, die Konvention des eigenen Kurses prüfen, pauschal "n-1 wenn nichts steht" kann je nach Lehrbuch falsch sein.

Trick 4, Sortieren ist Pflicht: Median, Quartile, Min, Max, alles braucht sortierte Daten. Nicht vergessen.

Trick 5, Unimodal vs. Bimodal: ein Modus heißt unimodal, mehrere bimodal/multimodal. Bimodal ist oft Hinweis auf zwei verschiedene Gruppen im Datensatz.

Trick 6, Z-Score: z = (x - x̄) / σ. Sagt: "wie viele Standardabweichungen ist x vom Mittel entfernt?" Bei Normalverteilung gilt: |z| < 1 → 68%, |z| < 2 → 95%, |z| < 3 → 99,7%.

Trick 7, Lineare Transformation: wenn man jeden Wert mit a multipliziert und b addiert (y = a · x + b):

• Mean: ȳ = a · x̄ + b
• SD: σ_y = |a| · σ_x (b verschwindet, |a| skaliert)

Häufige Klausurfrage. Beispiel: alle Einkommen +100€ → Mean +100€, SD unverändert.

Trick 8, Histogram-Bins: bei stetigen Daten gruppiert man in Klassen. Anzahl Klassen ≈ √(n) oder Sturges-Regel: lceil log₂(n) + 1 rceil.

Wo brauchst du beschreibende Statistik?

• Klausuren: Notenverteilung, mittlere Bearbeitungszeit, Streuung
• BWL/Marketing: durchschnittlicher Warenkorbwert, Conversion-Rate, Standardabweichung
• Data Science: erste Exploration eines Datensatzes (df.describe() in Pandas)
• Sportstatistik: Trefferquoten, Ranglisten
• Wirtschaftsdaten: Einkommensverteilung, Inflation
• A/B-Tests: Mittelwert + SD beider Gruppen vergleichen

Faustregel: Mittelwert und Median immer beide angeben. Wenn sie auseinanderlaufen, gibt's einen interessanten Grund.

Statistik-Lab

Lade einen Preset oder bau deinen eigenen Datensatz und beobachte alle 12 Kennzahlen live.

Probier folgendes:

• Mit Ausreißer: [3, 5, 6, 7, 8, 50], sieh wie der Mittelwert dramatisch hochspringt, der Median bleibt bei 6,5
• Konstant: [5, 5, 5, 5, 5], alle gleich, Standardabweichung ist exakt 0
• Klausur-Noten: typische Notenverteilung mit Modus 3
• Symmetrisch: schaue ob Mittelwert ≈ Median (sie sollten zusammenfallen auf dem Zahlenstrahl)
• Klick auf einen Wert oben um ihn zu entfernen und beobachte wie die Kennzahlen reagieren

Der Boxplot unten zeigt dir die 5 Zahlen Min/Q1/Median/Q3/Max auf einen Blick, ein Klausur-Klassiker.

Faustregel zum Mitnehmen: Median und IQR sind robust, Mean und SD sind sensibel. Bei schiefen Daten (Einkommen, Hauspreise) lieber die robusten Maße wählen.