Integrale.

Das Integral ist das Gegenstück zur Ableitung: es summiert Änderungen auf und entspricht geometrisch dem orientierten Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse. Wenn v(t) die Geschwindigkeit ist, ist ∫ v(t) dt die Ortsänderung; die zurückgelegte Strecke ist ∫ vert v(t) vert dt (gleich der Ortsänderung, falls v(t) ≥ 0).

Was du in der Klausur können musst:

• Stammfunktion F(x): F'(x) = f(x), umgekehrte Ableitungsregel
• Potenzregel umgekehrt: f(x) = xⁿ wird zu F(x) = xⁿ⁺¹ / (n+1)
• Bestimmtes Integral: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), liefert Fläche zwischen a und b
• Unbestimmtes Integral: ∫ f(x) dx = F(x) + C (mit Integrationskonstante)
• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Differenzieren und Integrieren sind Umkehroperationen

In Klausuren wirst du oft gefragt: berechne ∫_0^2 (x² + 3) dx. Vorgehen: erst Stammfunktion bilden (F(x) = x³/3 + 3x), dann F(2) - F(0) ausrechnen. Bei Anwendungsaufgaben oft Flächen zwischen zwei Kurven, dann ∫(f - g) dx.

Warum braucht man das?

• Ortsänderung = Integral der Geschwindigkeit über die Zeit (Strecke nur wenn v ge 0)
• Gesamtenergie = Integral der Leistung
• Wahrscheinlichkeit = Integral einer Dichtefunktion (Statistik)
• Fläche, Volumen, Schwerpunkt in Physik und Technik
• Loss-Funktionen in Machine Learning oft als Integral definiert

Ableiten und Integrieren sind die zwei Seiten der Differentialrechnung: was die eine zerlegt, baut die andere wieder zusammen.

Die Idee in einem Satz

Das Integral ∫_a^b f(x) dx ist die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse, zwischen den Grenzen x = a und x = b.

Flächen unterhalb der x-Achse zählen negativ.

Riemann-Summen: die Fläche annähern

Die Idee: zerlege das Intervall [a, b] in n gleich breite Teile und approximiere die Fläche mit Rechtecken.

Sei Δ x = (b - a)/n die Breite jedes Rechtecks. Dann:

Die Riemann-Summe ist:

S_n = Σ_(i) f(x_i) · Δ x

Bei steigender Anzahl Rechtecke n konvergiert S_n gegen den exakten Wert. Der Grenzwert ist das Integral:

∫_a^b f(x) dx = lim_(n → ∞) S_n

Hauptsatz der Integralrechnung

Anstatt jedes Mal Riemann-Summen zu rechnen, gibt es einen direkten Weg: man sucht eine Stammfunktion F mit F'(x) = f(x). Dann gilt:

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Er verbindet Ableiten und Integrieren: Integrieren ist im Prinzip umgekehrtes Ableiten.

Beispiel: ∫₀² x² dx.

• Stammfunktion von x²: F(x) = x³/3
• F(2) - F(0) = 8/3 - 0 = 8/3 ≈ 2,67

Das exakte Ergebnis. Keine Riemann-Summe nötig.

Integrationsregeln

Wie bei Ableitungen gibt es Regeln, die das Rechnen vereinfachen.

Potenzregel (umgekehrt)

∫ xⁿ dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n ≠ -1)

Den Exponenten um 1 erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen. Genau die Umkehrung der Ableitungs-Potenzregel.

Konstantenregel

∫ c dx = c · x + C

Eine konstante Funktion integriert: linear wachsend.

Faktor- und Summenregel

Konstante Faktoren bleiben stehen, Summen werden gliedweise integriert:

∫ (a · f(x) + b · g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx

Genau wie beim Ableiten.

Die +C-Konstante

Bei unbestimmten Integralen (ohne Grenzen) schreibst du immer + C am Ende. Warum? Weil F(x) und F(x) + 17 beide dieselbe Ableitung haben. Es gibt unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden.

Bei bestimmten Integralen (mit Grenzen) fällt C raus, weil F(b) - F(a) = (F(b) + C) - (F(a) + C).

Bestimmtes vs unbestimmtes Integral

Zwei Begriffe, die oft verwechselt werden:

Das bestimmte Integral ist eine konkrete Zahl. Das unbestimmte Integral liefert eine ganze Familie von Funktionen.

Vorzeichen verstehen

Wenn die Funktion unter der x-Achse verläuft, zählt diese Fläche negativ:

∫_(-1)⁰ -x² dx = -1/3

Wenn ein Integral teils oberhalb und teils unterhalb verläuft, heben sich die Flächen teilweise auf. Beispiel: ∫_(-1)¹ x³ dx = 0 (symmetrisch um den Ursprung).

Wenn du die echte Fläche willst (immer positiv), musst du den Betrag vor der Integration nehmen oder das Intervall an den Nullstellen aufteilen.

In der Praxis

Die meisten Integrale lassen sich mit Standard-Regeln lösen. Schwierigere brauchen Tricks:

• Substitutionsregel (Kettenregel rückwärts)
• Partielle Integration (Produktregel rückwärts)
• Numerische Integration: Computer rechnet Riemann-Summen mit großem n

Im Studium-Klausur-Alltag reichen meist Potenz-, Faktor- und Summenregel plus eventuell Substitution.

Riemann-Summen live

Hier siehst du wie ein Integral wirklich entsteht: Rechtecke füllen die Fläche unter der Kurve aus, und je mehr Rechtecke, desto genauer.

Probier folgendes:

• Setz n = 4: grobe Annäherung, deutliche Lücken zur Kurve
• Erhöhe n auf 20: schon viel besser
• n = 100: kaum noch zu unterscheiden vom exakten Integral
• Beobachte oben den Wert Δ: die Differenz Riemann-Summe vs. Exakt. Bei n → ∞ geht Δ → 0.

Methoden vergleichen:

• Linkssumme unterschätzt bei monoton steigender Funktion
• Rechtssumme überschätzt
• Trapez liegt dazwischen, ist meist am genauesten

Spielerei:

• Verschiebe die Untergrenze a nach links, sodass ein Teil der Fläche unter der x-Achse liegt: rote Rechtecke = negativer Beitrag
• Stell die Funktion auf f(x) = -x² + 4 (p = -1, q = 0, r = 4): Parabel kopfüber, ganz andere Fläche

Faustregel zum Mitnehmen: Das bestimmte Integral ∫_a^b f(x) dx ist die Fläche zwischen Funktion und x-Achse zwischen a und b. Riemann-Summen approximieren sie mit Rechtecken, der Hauptsatz F(b) - F(a) liefert sie exakt.