Fläche unter der Kurve: Riemann-Summen, Stammfunktion und Hauptsatz. Bestimmtes vs. unbestimmtes Integral, Potenzregel rückwärts. Die zweite Säule der Analysis.
Das Integral ist das Gegenstück zur Ableitung: es summiert Änderungen auf und entspricht geometrisch dem orientierten Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse. Wenn die Geschwindigkeit ist, ist die Ortsänderung; die zurückgelegte Strecke ist (gleich der Ortsänderung, falls ).
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren wirst du oft gefragt: berechne ∫_0^2 (x² + 3) dx. Vorgehen: erst Stammfunktion bilden (F(x) = x³/3 + 3x), dann F(2) - F(0) ausrechnen. Bei Anwendungsaufgaben oft Flächen zwischen zwei Kurven, dann ∫(f - g) dx.
Ableiten und Integrieren sind die zwei Seiten der Differentialrechnung: was die eine zerlegt, baut die andere wieder zusammen.
Das Integral ist die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse, zwischen den Grenzen und .
Flächen unterhalb der x-Achse zählen negativ.
Die Idee: zerlege das Intervall in gleich breite Teile und approximiere die Fläche mit Rechtecken.
Sei die Breite jedes Rechtecks. Dann:
| Methode | Höhe des i-ten Rechtecks |
|---|---|
| Linkssumme | (linker Rand) |
| Rechtssumme | (rechter Rand) |
| Trapez | Mittelwert von links und rechts |
Die Riemann-Summe ist:
Bei steigender Anzahl Rechtecke konvergiert gegen den exakten Wert. Der Grenzwert ist das Integral:
Anstatt jedes Mal Riemann-Summen zu rechnen, gibt es einen direkten Weg: man sucht eine Stammfunktion mit . Dann gilt:
Das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Er verbindet Ableiten und Integrieren: Integrieren ist im Prinzip umgekehrtes Ableiten.
Beispiel: .
Das exakte Ergebnis. Keine Riemann-Summe nötig.
Wie bei Ableitungen gibt es Regeln, die das Rechnen vereinfachen.
Den Exponenten um 1 erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen. Genau die Umkehrung der Ableitungs-Potenzregel.
| f(x) | F(x) (eine Stammfunktion) |
|---|---|
Eine konstante Funktion integriert: linear wachsend.
Konstante Faktoren bleiben stehen, Summen werden gliedweise integriert:
Genau wie beim Ableiten.
Bei unbestimmten Integralen (ohne Grenzen) schreibst du immer am Ende. Warum? Weil und beide dieselbe Ableitung haben. Es gibt unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden.
Bei bestimmten Integralen (mit Grenzen) fällt raus, weil .
Zwei Begriffe, die oft verwechselt werden:
| Typ | Schreibweise | Ergebnis | Bedeutung |
|---|---|---|---|
| Unbestimmt | Funktion | Stammfunktion | |
| Bestimmt | Zahl | Fläche zwischen und |
Das bestimmte Integral ist eine konkrete Zahl. Das unbestimmte Integral liefert eine ganze Familie von Funktionen.
Wenn die Funktion unter der x-Achse verläuft, zählt diese Fläche negativ:
Wenn ein Integral teils oberhalb und teils unterhalb verläuft, heben sich die Flächen teilweise auf. Beispiel: (symmetrisch um den Ursprung).
Wenn du die echte Fläche willst (immer positiv), musst du den Betrag vor der Integration nehmen oder das Intervall an den Nullstellen aufteilen.
Die meisten Integrale lassen sich mit Standard-Regeln lösen. Schwierigere brauchen Tricks:
Im Studium-Klausur-Alltag reichen meist Potenz-, Faktor- und Summenregel plus eventuell Substitution.
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Das Integral ist das Gegenstück zur Ableitung: es summiert Änderungen auf und entspricht geometrisch dem orientierten Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse. Wenn die Geschwindigkeit ist, ist die ; die zurückgelegte ist (gleich der Ortsänderung, falls ).
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f(x) = ax² + bx + c. Parabeln verstehen, Scheitelpunkt finden, Nullstellen berechnen mit pq- und abc-Formel. Drei Darstellungsformen und wann welche.
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v(t)∫ v(t) dt∫ vert v(t) vert dtv(t) ≥ 0Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren wirst du oft gefragt: berechne ∫_0^2 (x² + 3) dx. Vorgehen: erst Stammfunktion bilden (F(x) = x³/3 + 3x), dann F(2) - F(0) ausrechnen. Bei Anwendungsaufgaben oft Flächen zwischen zwei Kurven, dann ∫(f - g) dx.
v ge 0)Ableiten und Integrieren sind die zwei Seiten der Differentialrechnung: was die eine zerlegt, baut die andere wieder zusammen.
Das Integral
∫_a^b f(x) dxist die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse, zwischen den Grenzenx = aundx = b.
Flächen unterhalb der x-Achse zählen negativ.
Die Idee: zerlege das Intervall [a, b] in n gleich breite Teile und approximiere die Fläche mit Rechtecken.
Sei Δ x = (b - a)/n die Breite jedes Rechtecks. Dann:
| Methode | Höhe des i-ten Rechtecks |
|---|---|
| Linkssumme | f(a + i · Δ x) (linker Rand) |
| Rechtssumme | f(a + (i+1) · Δ x) (rechter Rand) |
| Trapez | Mittelwert von links und rechts |
Die Riemann-Summe ist:
S_n = Σ_(i) f(x_i) · Δ x
Bei steigender Anzahl Rechtecke n konvergiert S_n gegen den exakten Wert. Der Grenzwert ist das Integral:
∫_a^b f(x) dx = lim_(n → ∞) S_n
Anstatt jedes Mal Riemann-Summen zu rechnen, gibt es einen direkten Weg: man sucht eine Stammfunktion F mit F'(x) = f(x). Dann gilt:
∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
Das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Er verbindet Ableiten und Integrieren: Integrieren ist im Prinzip umgekehrtes Ableiten.
Beispiel: ∫₀² x² dx.
x²: F(x) = x³/3F(2) - F(0) = 8/3 - 0 = 8/3 ≈ 2,67Das exakte Ergebnis. Keine Riemann-Summe nötig.
Wie bei Ableitungen gibt es Regeln, die das Rechnen vereinfachen.
∫ xⁿ dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n ≠ -1)
Den Exponenten um 1 erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen. Genau die Umkehrung der Ableitungs-Potenzregel.
| f(x) | F(x) (eine Stammfunktion) |
|---|---|
x | x²/2 |
x² | x³/3 |
x³ | x⁴/4 |
√(x) = x^(1/2) | 2/3x^(3/2) |
1/x² = x^(-2) | -1/x |
∫ c dx = c · x + C
Eine konstante Funktion integriert: linear wachsend.
Konstante Faktoren bleiben stehen, Summen werden gliedweise integriert:
∫ (a · f(x) + b · g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx
Genau wie beim Ableiten.
Bei unbestimmten Integralen (ohne Grenzen) schreibst du immer + C am Ende. Warum? Weil F(x) und F(x) + 17 beide dieselbe Ableitung haben. Es gibt unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden.
Bei bestimmten Integralen (mit Grenzen) fällt C raus, weil F(b) - F(a) = (F(b) + C) - (F(a) + C).
Zwei Begriffe, die oft verwechselt werden:
| Typ | Schreibweise | Ergebnis | Bedeutung |
|---|---|---|---|
| Unbestimmt | ∫ f(x) dx | Funktion F(x) + C | Stammfunktion |
| Bestimmt | ∫_a^b f(x) dx | Zahl | Fläche zwischen a und b |
Das bestimmte Integral ist eine konkrete Zahl. Das unbestimmte Integral liefert eine ganze Familie von Funktionen.
Wenn die Funktion unter der x-Achse verläuft, zählt diese Fläche negativ:
∫_(-1)⁰ -x² dx = -1/3
Wenn ein Integral teils oberhalb und teils unterhalb verläuft, heben sich die Flächen teilweise auf. Beispiel: ∫_(-1)¹ x³ dx = 0 (symmetrisch um den Ursprung).
Wenn du die echte Fläche willst (immer positiv), musst du den Betrag vor der Integration nehmen oder das Intervall an den Nullstellen aufteilen.
Die meisten Integrale lassen sich mit Standard-Regeln lösen. Schwierigere brauchen Tricks:
nIm Studium-Klausur-Alltag reichen meist Potenz-, Faktor- und Summenregel plus eventuell Substitution.
Hier siehst du wie ein Integral wirklich entsteht: Rechtecke füllen die Fläche unter der Kurve aus, und je mehr Rechtecke, desto genauer.
Probier folgendes:
n → ∞ geht Δ → 0.Methoden vergleichen:
Spielerei:
a nach links, sodass ein Teil der Fläche unter der x-Achse liegt: rote Rechtecke = negativer Beitragf(x) = -x² + 4 (p = -1, q = 0, r = 4): Parabel kopfüber, ganz andere FlächeInteraktive Visualisierung
Visualisiert das bestimmte Integral als Fläche unter der Kurve mit Riemann-Summen.
Faustregel zum Mitnehmen: Das bestimmte Integral ∫_a^b f(x) dx ist die Fläche zwischen Funktion und x-Achse zwischen a und b. Riemann-Summen approximieren sie mit Rechtecken, der Hauptsatz F(b) - F(a) liefert sie exakt.
Klausurfragen mit Lösungen (7)
Antwort: `F(x) = x⁴/4 + C`
Erklärung: Potenzregel umgekehrt: Exponent um 1 erhöhen, dann durch neuen Exponenten teilen. (x³)' = 3x² ✗, also brauchen wir x⁴/4. Probe: (x⁴/4)' = 4x³/4 = x³ ✓.
Antwort: `27/3 = 9`
Erklärung: Stammfunktion: F(x) = x³/3. Hauptsatz: F(3) - F(0) = 27/3 - 0 = 9. Antwort C ist nur eine andere Schreibweise für 9.
Antwort: `∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)` wenn `F'(x) = f(x)`
Erklärung: Der Hauptsatz verbindet Ableiten und Integrieren: das bestimmte Integral lässt sich mit einer beliebigen Stammfunktion F berechnen, einfach F(b) - F(a). Das ersetzt das mühsame Berechnen von Riemann-Summen.
Antwort: Weil sich Stammfunktionen nur um eine additive Konstante unterscheiden
Erklärung: Wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann ist auch F(x) + 17 eine, oder F(x) + π. Die Konstante verschwindet beim Ableiten. Daher gibt es unendlich viele Stammfunktionen, alle unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante C.
Antwort: Trapezregel
Erklärung: Die Trapezregel mittelt Links und Rechts, daher liegt sie genau dazwischen und ist meist die genaueste der drei einfachen Methoden. Bei monoton steigender Funktion: Links ≤ Trapez ≤ Rechts.
Antwort: 0
Erklärung: Stammfunktion: F(x) = x⁴/4. F(1) - F(-1) = 1/4 - 1/4 = 0. Geometrisch: x³ ist symmetrisch zum Ursprung, der negative Teil hebt den positiven exakt auf.
Antwort: 28
Erklärung: Summenregel: ∫(2x+3)dx = ∫2x dx + ∫3 dx = x² + 3x. F(4) - F(0) = (16 + 12) - 0 = 28. Geometrisch ist das die Fläche eines Trapezes mit Höhen f(0)=3 und f(4)=11 und Breite 4: (3+11)/2 · 4 = 28 ✓.
Typ: Zahlen-Eingabe