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Teil 1·Erklärung
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Wie groß ist das Volumen unter einem Sattel? liefert eine Fläche unter einer Kurve. Aber wenn von 2 oder 3 Variablen abhängt, brauchst du Mehrfachintegrale. Klausur-Pflicht in 13/16 WInf-Mathe-2-Klausuren.
Klausur-Tipp: Bei Mehrfachintegralen IMMER zuerst den Bereich identifizieren (Rechteck / Typ I / Typ II / Polar?), dann die Grenzen wählen. Innere Variable hat Grenzen die von äußerer abhängen können.
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Wie groß ist das Volumen unter einem Sattel? ∫_a^b f(x) dx liefert eine Fläche unter einer Kurve. Aber wenn f von 2 oder 3 Variablen abhängt, brauchst du Mehrfachintegrale. Klausur-Pflicht in 13/16 WInf-Mathe-2-Klausuren.
Mehrfachintegral: Verallgemeinerung des bestimmten Integrals auf Funktionen von mehreren Variablen — Berechnung von Volumen, Massen, Schwerpunkten in höheren Dimensionen.
Standard-Form:
∬_B f(x, y) dA
mit B als Integrations-Bereich in der (x, y)-Ebene.
Iterative Berechnung (Fubini): Bei einem Rechteck B = [a, b] × [c, d]:
∬_B f(x, y) dA = ∫_a^b ∫_c^d f(x, y) dy dx = ∫_c^d ∫_a^b f(x, y) dx dy
Reihenfolge meist egal (bei stetigen Funktionen und Rechteckbereich, Satz von Fubini).
f(x,y) = xy über [0,2] × [0,3]∬_B xy dA = ∫₀² ∫₀³ xy dy dx
Innere Integration (y):
∫₀³ xy dy = x · [y²/2]₀³ = x · 9/2 = 9x/2
Äußere Integration (x):
∫₀² 9x/2 dx = 9/2 · x²/2 |₀² = 9/2 · 2 = 9
Volumen = 9 Kubikeinheiten.
Bereich vom Typ I: B = \(x, y) : a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)\
∬_B f dA = ∫_a^b ∫_(g₁(x))^(g₂(x)) f(x, y) dy dx
Beispiel: Dreieck mit Ecken (0,0), (1,0), (0,1).
B = \(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 - x\.
∬_B 1 dA = ∫₀¹ ∫₀^(1-x) 1 dy dx = ∫₀¹ (1 - x) dx = 1/2
Das Dreieck hat Fläche 1/2. ✓
Transformation: x = r cosθ, y = r sinθ, Jacobi-Determinante = r.
∬_B f(x, y) dx dy = ∬_B f(rcosθ, rsinθ) · r dr dθ
Beispiel: Fläche eines Kreises mit Radius R.
∬_(Kreis) 1 dA = ∫₀^(2π) ∫₀^R r dr dθ = 2π · R²/2 = π R²
Standard-Kreisflächen-Formel ✓.
∭_V f(x, y, z) dV
Iterativ: 3 nested integrals.
Beispiel: Volumen einer Kugel mit Radius R (Kugelkoordinaten):
V = ∫₀^(2π) ∫₀^π ∫₀^R r² sinθ dr dθ dφ = 4/3 π R³
Allgemeines Schema (Jacobi-Determinante):
∬_B f(x, y) dx dy = ∬_(B') f(x(u, v), y(u, v)) · |det J| du dv
mit Jacobi-Matrix J = [[(∂ x)/(∂ u), (∂ x)/(∂ v)], [(∂ y)/(∂ u), (∂ y)/(∂ v)]].
Polar: |J| = r. Kugel: |J| = r² sinθ.
| Anwendung | Integral |
|---|---|
| Fläche | ∬_B 1 dA |
| Volumen | ∬_B f dA (Höhe von f über Bereich) |
| Masse | ∬_B ρ(x, y) dA (Dichte mal Fläche) |
| Schwerpunkt | x̄ = (∬_B x ρ dA)/(∬_B ρ dA) |
| Wahrscheinlichkeit | ∬_B f(x, y) dA (2D-Dichte) |
| Trägheitsmoment | ∬_B r² ρ dA |
1. Fubini: ∬ = ∫ ∫ iterativ. Reihenfolge meist egal.
2. Innere Variable zuerst, dann äußere. Innere Grenzen können von äußerer Variable abhängen.
3. Polar-Koordinaten bei radial-symmetrischen Problemen: dA = r dr dθ.
4. Kreisfläche: π R², Kugelvolumen: 4/3 π R³. Standard-Resultate.
5. Jacobi-Determinante bei Koordinaten-Transformationen — wichtig sonst falscher Faktor.
1. Grenzen vertauschen. Innere Grenzen können von äußerer Variable abhängen, äußere müssen Konstanten sein.
2. Reihenfolge bei nicht-rechteckigen Bereichen. Vertauschen geht nicht immer einfach — Bereich muss neu beschrieben werden.
3. Jacobi-Determinante vergessen. Bei Polar: dA ≠ dr dθ, sondern = r dr dθ. Faktor r leicht zu vergessen.
4. Polar nur für Kreise nutzen. Polar geht für jede Funktion in radialer Symmetrie. Nicht nur Kreise.
5. Iteriertes Integral als Mehrfachintegral aufschreiben. ∫ ∫ ohne Erklärung kann unklar sein. Besser ∬_B mit explizitem Bereich.
Sieh den 3D-Effekt eines Doppelintegrals: die "Höhe" f(x, y) über einem Bereich. Volumen unter der Funktion über dem Rechteck-Bereich.
Wähle verschiedene Funktionen + Bereichsgrößen, sieh die Integrationsergebnisse.
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Klausur-Tipp: Bei Mehrfachintegralen IMMER zuerst den Bereich identifizieren (Rechteck / Typ I / Typ II / Polar?), dann die Grenzen wählen. Innere Variable hat Grenzen die von äußerer abhängen können.
6 Aufgaben zu Doppelintegralen, Fubini, Polar-Koordinaten.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: `∬ f dA = ∫ ∫ f dx dy = ∫ ∫ f dy dx` (Reihenfolge irrelevant für stetige Funktionen auf Rechteck)
Erklärung: Fubini: bei stetigen Funktionen auf Rechtecken kann man die Integrations-Reihenfolge vertauschen. `∬ = ∫ ∫ dx dy = ∫ ∫ dy dx`. Bei nicht-rechteckigen Bereichen kann Vertauschen den Bereich anders parametrisieren.
Antwort: 9
Erklärung: Innen: `∫₀³ xy dy = x · y²/2|₀³ = 9x/2`. Außen: `∫₀² 9x/2 dx = 9/2 · x²/2|₀² = 9`.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. `|J| = r` ist die Jacobi-Determinante der Polar-Transformation `x = rcosθ, y = rsinθ`. Der Faktor `r` ist PFLICHT, häufig vergessen.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: `∫₀^(2π) ∫₀^R r dr dθ = π R²`
Erklärung: Polar-Form mit Jacobi: `∫₀^(2π) ∫₀^R r dr dθ = 2π · R²/2 = π R²`. (Option 4 wäre auch korrekt, in 1D-Form via Umfang). Option 1 fehlt der Jacobi-Faktor `r`.
Richtige Antworten: Doppelintegral berechnet Volumen unter einer Funktion über einem Bereich; Bei Polar-Koordinaten ist `dA = r dr dθ`; Fubini erlaubt Vertauschen der Integrations-Reihenfolge (auf Rechteck); Kugelvolumen = `4/3 π R³`; Schwerpunkt eines Körpers erfordert Mehrfachintegral
Erklärung: Richtig: Doppelintegral=Volumen, Polar mit r-Faktor, Fubini, Kugelvolumen, Schwerpunkt. Falsch: Polar, Kugel, Zylinder oft besser als kartesisch — Koordinatenwahl ist Strategie.
Typ: Multi-Select
Zuordnungen:
Erklärung: Standard-Jacobi-Determinanten. Pflicht-Wissen für Klausur-Substitutionen.
Typ: Zuordnung
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: 0.5 (Toleranz ±0.01)
Erklärung: Innen: `∫₀^(1-x) 1 dy = 1 - x`. Außen: `∫₀¹ (1-x) dx = x - x²/2|₀¹ = 1 - 0.5 = 0.5`. ✓ Dreiecksfläche = `1/2`.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. Bei Typ-I-Bereich: `∫_a^b ∫_(g₁(x))^(g₂(x)) f dy dx`. Innere Grenzen `g₁, g₂` hängen von `x` ab. Äußere Grenzen MÜSSEN Konstanten sein.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: Polar (wegen radialer Symmetrie + einfache Grenzen)
Erklärung: Polar: Kreisscheibe wird zu `0 ≤ r ≤ R`, `0 ≤ θ ≤ 2π` — einfache Rechteck-Grenzen. In kartesisch wäre der Bereich kreisförmig (kompliziert). Polar = klare Wahl bei radialer Symmetrie.
Antwort: Masse eines Körpers mit variabler Dichte
Erklärung: Masse eines Körpers = `∭_V ρ(x,y,z) dV` (Dichte `ρ` mal Volumen). Bei konstanter Dichte: `ρ · V`. Bei variabler Dichte: Integral nötig. Standard-Physik-Anwendung.
Lösungen pro Lücke:
Erklärung: Mehrfachintegrale-Vokabular. Fubini, Polar mit r-Faktor, Standard-Volumina, Jacobi.
Typ: Lückentext
Richtige Reihenfolge:
Erklärung: Standard-Workflow für Doppelintegrale. Bereich → Koordinaten → Grenzen → ggf. Jacobi → 2-stufig integrieren.
Typ: Reihenfolge