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  • Einführung
  • Die Idee in einem Satz
  • Doppelintegrale
  • Beispiel: Volumen unter f(x,y) = xy über [0,2] \times [0,3]
  • Doppelintegrale über Nicht-Rechteck-Bereiche
  • Polar-Koordinaten für radial-symmetrische Probleme
  • Dreifachintegrale (3D)
  • Substitution / Koordinaten-Transformation
  • Anwendungen
  • Klausur-Faustregeln
  • Häufige Stolpersteine
ThemenMathematikIntegralrechnung mehrerer Variablen
Mathematik·4Lerneinheiten·20min·Stand17.07.2026

Integralrechnung mehrerer Variablen.

Wie groß ist das Volumen unter einem Sattel? ∫abf(x) dx\int_a^b f(x) \, dx∫ab​f(x)dx liefert eine Fläche unter einer Kurve. Aber wenn fff von 2 oder 3 Variablen abhängt, brauchst du Mehrfachintegrale. Klausur-Pflicht in 13/16 WInf-Mathe-2-Klausuren.

Mehrfachintegral: Verallgemeinerung des bestimmten Integrals auf Funktionen von mehreren Variablen, Berechnung von Volumen, Massen, Schwerpunkten in höheren Dimensionen.

Standard-Form:

∬Bf(x,y) dA\iint_B f(x, y) \, dA∬B​f(x,y)dA

mit BBB als Integrations-Bereich in der (x,y)(x, y)(x,y)-Ebene.

Iterative Berechnung (Fubini): Bei einem Rechteck B=[a,b]×[c,d]B = [a, b] \times [c, d]B=[a,b]×[c,d]:

∬Bf(x,y) dA=∫ab∫cdf(x,y) dy dx=∫cd∫abf(x,y) dx dy\iint_B f(x, y) \, dA = \int_a^b \int_c^d f(x, y) \, dy \, dx = \int_c^d \int_a^b f(x, y) \, dx \, dy∬B​f(x,y)dA=∫ab​∫cd​f(x,y)dydx=∫cd​∫ab​f(x,y)dxdy

Reihenfolge meist egal (bei stetigen Funktionen und Rechteckbereich, Satz von Fubini).

∬Bxy dA=∫02∫03xy dy dx\iint_B xy \, dA = \int_0^2 \int_0^3 xy \, dy \, dx∬B​xydA=∫02​∫03​xydydx

Innere Integration (y): ∫03xy dy=x⋅[y22]03=x⋅92=9x2\int_0^3 xy \, dy = x \cdot \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^3 = x \cdot \frac{9}{2} = \frac{9x}{2}∫03​xydy=x⋅[2y2​]03​=x⋅29​=29x​

Äußere Integration (x): ∫029x2 dx=92⋅x22∣02=92⋅2=9\int_0^2 \frac{9x}{2} \, dx = \frac{9}{2} \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_0^2 = \frac{9}{2} \cdot 2 = 9∫02​29x​dx=29​⋅2x2​​02​=29​⋅2=9

Volumen = 9 Kubikeinheiten.

Bereich vom Typ I: B={(x,y):a≤x≤b, g1(x)≤y≤g2(x)}B = \{(x, y) : a \leq x \leq b, \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}B={(x,y):a≤x≤b,g1​(x)≤y≤g2​(x)}

∬Bf dA=∫ab∫g1(x)g2(x)f(x,y) dy dx\iint_B f \, dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) \, dy \, dx∬B​fdA=∫ab​∫g1​(x)g2​(x)​f(x,y)dydx

Beispiel: Dreieck mit Ecken (0,0)(0,0)(0,0), (1,0)(1,0)(1,0), (0,1)(0,1)(0,1).

B={(x,y):0≤x≤1, 0≤y≤1−x}B = \{(x, y) : 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1 - x\}B={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤1−x}.

∬B1 dA=∫01∫01−x1 dy dx=∫01(1−x) dx=12\iint_B 1 \, dA = \int_0^1 \int_0^{1-x} 1 \, dy \, dx = \int_0^1 (1 - x) \, dx = \frac{1}{2}∬B​1dA=∫01​∫01−x​1dydx=∫01​(1−x)dx=21​

Das Dreieck hat Fläche 12\frac{1}{2}21​. ✓

Transformation: x=rcos⁡θx = r \cos\thetax=rcosθ, y=rsin⁡θy = r \sin\thetay=rsinθ, Jacobi-Determinante =r= r=r.

∬Bf(x,y) dx dy=∬Bf(rcos⁡θ,rsin⁡θ)⋅r dr dθ\iint_B f(x, y) \, dx \, dy = \iint_B f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \, dr \, d\theta∬B​f(x,y)dxdy=∬B​f(rcosθ,rsinθ)⋅rdrdθ

Beispiel: Fläche eines Kreises mit Radius RRR.

∬Kreis1 dA=∫02π∫0Rr dr dθ=2π⋅R22=πR2\iint_{\text{Kreis}} 1 \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^R r \, dr \, d\theta = 2\pi \cdot \frac{R^2}{2} = \pi R^2∬Kreis​1dA=∫02π​∫0R​rdrdθ=2π⋅2R2​=πR2

Standard-Kreisflächen-Formel ✓.

∭Vf(x,y,z) dV\iiint_V f(x, y, z) \, dV∭V​f(x,y,z)dV

Iterativ: 3 nested integrals.

Beispiel: Volumen einer Kugel mit Radius RRR (Kugelkoordinaten):

V=∫02π∫0π∫0Rr2sin⁡θ dr dθ dϕ=43πR3V = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi = \frac{4}{3} \pi R^3V=∫02π​∫0π​∫0R​r2sinθdrdθdϕ=34​πR3

Allgemeines Schema (Jacobi-Determinante):

∬Bf(x,y) dx dy=∬B′f(x(u,v),y(u,v))⋅∣det⁡J∣ du dv\iint_B f(x, y) \, dx \, dy = \iint_{B'} f(x(u, v), y(u, v)) \cdot |\det J| \, du \, dv∬B​f(x,y)dxdy=∬B′​f(x(u,v),y(u,v))⋅∣detJ∣dudv

mit Jacobi-Matrix J=(∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v)J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}J=(∂u∂x​∂u∂y​​∂v∂x​∂v∂y​​).

Polar: ∣J∣=r|J| = r∣J∣=r. Kugel: ∣J∣=r2sin⁡θ|J| = r^2 \sin\theta∣J∣=r2sinθ.

AnwendungIntegral
Fläche∬B1 dA\iint_B 1 \, dA∬B​1dA
Volumen∬Bf dA\iint_B f \, dA∬B​fdA (Höhe von fff über Bereich)
Masse∬Bρ(x,y) dA\iint_B \rho(x, y) \, dA∬B​ρ(x,y)dA (Dichte mal Fläche)
Schwerpunktxˉ=∬Bxρ dA∬Bρ dA\bar{x} = \frac{\iint_B x \rho \, dA}{\iint_B \rho \, dA}xˉ=∬B​ρdA∬B​xρdA​
Wahrscheinlichkeit∬Bf(x,y) dA\iint_B f(x, y) \, dA∬B​f(x,y)dA (2D-Dichte)
Trägheitsmoment∬Br2ρ dA\iint_B r^2 \rho \, dA∬B​r2ρdA

1. Fubini: ∬=∫∫\iint = \int \int∬=∫∫ iterativ. Reihenfolge meist egal.

2. Innere Variable zuerst, dann äußere. Innere Grenzen können von äußerer Variable abhängen.

3. Polar-Koordinaten bei radial-symmetrischen Problemen: dA=r dr dθdA = r \, dr \, d\thetadA=rdrdθ.

4. Kreisfläche: πR2\pi R^2πR2, Kugelvolumen: 43πR3\frac{4}{3} \pi R^334​πR3. Standard-Resultate.

5. Jacobi-Determinante bei Koordinaten-Transformationen, wichtig sonst falscher Faktor.

1. Grenzen vertauschen. Innere Grenzen können von äußerer Variable abhängen, äußere müssen Konstanten sein.

2. Reihenfolge bei nicht-rechteckigen Bereichen. Vertauschen geht nicht immer einfach, Bereich muss neu beschrieben werden.

3. Jacobi-Determinante vergessen. Bei Polar: dA≠dr dθdA \neq dr \, d\thetadA=drdθ, sondern =r dr dθ= r \, dr \, d\theta=rdrdθ. Faktor rrr leicht zu vergessen.

4. Polar nur für Kreise nutzen. Polar geht für jede Funktion in radialer Symmetrie. Nicht nur Kreise.

5. Iteriertes Integral als Mehrfachintegral aufschreiben. ∫∫\int \int∫∫ ohne Erklärung kann unklar sein. Besser ∬B\iint_B∬B​ mit explizitem Bereich.

Sieh den 3D-Effekt eines Doppelintegrals: die "Höhe" f(x,y)f(x, y)f(x,y) über einem Bereich. Volumen unter der Funktion über dem Rechteck-Bereich.

Wähle verschiedene Funktionen + Bereichsgrößen, sieh die Integrationsergebnisse.

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Klausur-Tipp: Bei Mehrfachintegralen IMMER zuerst den Bereich identifizieren (Rechteck / Typ I / Typ II / Polar?), dann die Grenzen wählen. Innere Variable hat Grenzen die von äußerer abhängen können.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Wie groß ist das Volumen unter einem Sattel? ∫_a^b f(x) dx liefert eine Fläche unter einer Kurve. Aber wenn f von 2 oder 3 Variablen abhängt, brauchst du Mehrfachintegrale. Klausur-Pflicht in 13/16 WInf-Mathe-2-Klausuren.

Die Idee in einem Satz

Mehrfachintegral: Verallgemeinerung des bestimmten Integrals auf Funktionen von mehreren Variablen, Berechnung von Volumen, Massen, Schwerpunkten in höheren Dimensionen.

Doppelintegrale

Standard-Form:

∬_B f(x, y) dA

mit B als Integrations-Bereich in der (x, y)-Ebene.

Iterative Berechnung (Fubini): Bei einem Rechteck B = [a, b] × [c, d]:

∬_B f(x, y) dA = ∫_a^b ∫_c^d f(x, y) dy dx = ∫_c^d ∫_a^b f(x, y) dx dy

Reihenfolge meist egal (bei stetigen Funktionen und Rechteckbereich, Satz von Fubini).

Beispiel: Volumen unter f(x,y) = xy über [0,2] × [0,3]

∬_B xy dA = ∫₀² ∫₀³ xy dy dx

Innere Integration (y): ∫₀³ xy dy = x · [y²/2]₀³ = x · 9/2 = 9x/2

Äußere Integration (x): ∫₀² 9x/2 dx = 9/2 · x²/2 |₀² = 9/2 · 2 = 9

Volumen = 9 Kubikeinheiten.

Doppelintegrale über Nicht-Rechteck-Bereiche

Bereich vom Typ I: B = \(x, y) : a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)\

∬_B f dA = ∫_a^b ∫_(g₁(x))^(g₂(x)) f(x, y) dy dx

Beispiel: Dreieck mit Ecken (0,0), (1,0), (0,1).

B = \(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 - x\.

∬_B 1 dA = ∫₀¹ ∫₀^(1-x) 1 dy dx = ∫₀¹ (1 - x) dx = 1/2

Das Dreieck hat Fläche 1/2. ✓

Polar-Koordinaten für radial-symmetrische Probleme

Transformation: x = r cosθ, y = r sinθ, Jacobi-Determinante = r.

∬_B f(x, y) dx dy = ∬_B f(rcosθ, rsinθ) · r dr dθ

Beispiel: Fläche eines Kreises mit Radius R.

∬_(Kreis) 1 dA = ∫₀^(2π) ∫₀^R r dr dθ = 2π · R²/2 = π R²

Standard-Kreisflächen-Formel ✓.

Dreifachintegrale (3D)

∭_V f(x, y, z) dV

Iterativ: 3 nested integrals.

Beispiel: Volumen einer Kugel mit Radius R (Kugelkoordinaten):

V = ∫₀^(2π) ∫₀^π ∫₀^R r² sinθ dr dθ dφ = 4/3 π R³

Substitution / Koordinaten-Transformation

Allgemeines Schema (Jacobi-Determinante):

∬_B f(x, y) dx dy = ∬_(B') f(x(u, v), y(u, v)) · |det J| du dv

mit Jacobi-Matrix J = [[(∂ x)/(∂ u), (∂ x)/(∂ v)], [(∂ y)/(∂ u), (∂ y)/(∂ v)]].

Polar: |J| = r. Kugel: |J| = r² sinθ.

Anwendungen

AnwendungIntegral
Fläche∬_B 1 dA
Volumen∬_B f dA (Höhe von f über Bereich)
Masse∬_B ρ(x, y) dA (Dichte mal Fläche)
Schwerpunktx̄ = (∬_B x ρ dA)/(∬_B ρ dA)
Wahrscheinlichkeit∬_B f(x, y) dA (2D-Dichte)
Trägheitsmoment∬_B r² ρ dA

Klausur-Faustregeln

1. Fubini: ∬ = ∫ ∫ iterativ. Reihenfolge meist egal.

2. Innere Variable zuerst, dann äußere. Innere Grenzen können von äußerer Variable abhängen.

3. Polar-Koordinaten bei radial-symmetrischen Problemen: dA = r dr dθ.

4. Kreisfläche: π R², Kugelvolumen: 4/3 π R³. Standard-Resultate.

5. Jacobi-Determinante bei Koordinaten-Transformationen, wichtig sonst falscher Faktor.

Häufige Stolpersteine

1. Grenzen vertauschen. Innere Grenzen können von äußerer Variable abhängen, äußere müssen Konstanten sein.

2. Reihenfolge bei nicht-rechteckigen Bereichen. Vertauschen geht nicht immer einfach, Bereich muss neu beschrieben werden.

3. Jacobi-Determinante vergessen. Bei Polar: dA ≠ dr dθ, sondern = r dr dθ. Faktor r leicht zu vergessen.

4. Polar nur für Kreise nutzen. Polar geht für jede Funktion in radialer Symmetrie. Nicht nur Kreise.

5. Iteriertes Integral als Mehrfachintegral aufschreiben. ∫ ∫ ohne Erklärung kann unklar sein. Besser ∬_B mit explizitem Bereich.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

Doppelintegral-Visualizer

Sieh den 3D-Effekt eines Doppelintegrals: die "Höhe" f(x, y) über einem Bereich. Volumen unter der Funktion über dem Rechteck-Bereich.

Wähle verschiedene Funktionen + Bereichsgrößen, sieh die Integrationsergebnisse.

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Klausur-Tipp: Bei Mehrfachintegralen IMMER zuerst den Bereich identifizieren (Rechteck / Typ I / Typ II / Polar?), dann die Grenzen wählen. Innere Variable hat Grenzen die von äußerer abhängen können.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Mehrfachintegrale, Praxis-Übung

6 Aufgaben zu Doppelintegralen, Fubini, Polar-Koordinaten.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Was sagt der Satz von Fubini?

Antwort: `∬ f dA = ∫ ∫ f dx dy = ∫ ∫ f dy dx` (Reihenfolge irrelevant für stetige Funktionen auf Rechteck)

Erklärung: Fubini: bei stetigen Funktionen auf Rechtecken kann man die Integrations-Reihenfolge vertauschen. `∬ = ∫ ∫ dx dy = ∫ ∫ dy dx`. Bei nicht-rechteckigen Bereichen kann Vertauschen den Bereich anders parametrisieren.

F2.∫₀² ∫₀³ xy dy dx. Ergebnis?

Antwort: 9

Erklärung: Innen: `∫₀³ xy dy = x · y²/2|₀³ = 9x/2`. Außen: `∫₀² 9x/2 dx = 9/2 · x²/2|₀² = 9`.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Bei Polar-Koordinaten ist dA = r dr dθ (mit Jacobi-Faktor r).

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. `|J| = r` ist die Jacobi-Determinante der Polar-Transformation `x = rcosθ, y = rsinθ`. Der Faktor `r` ist PFLICHT, häufig vergessen.

Typ: Wahr/Falsch

F4.Wie berechnet man die Fläche eines Kreises mit Radius R via Polar-Integral?

Antwort: `∫₀^(2π) ∫₀^R r dr dθ = π R²`

Erklärung: Polar-Form mit Jacobi: `∫₀^(2π) ∫₀^R r dr dθ = 2π · R²/2 = π R²`. (Option 4 wäre auch korrekt, in 1D-Form via Umfang). Option 1 fehlt der Jacobi-Faktor `r`.

F5.Welche Aussagen sind RICHTIG?

Richtige Antworten: Doppelintegral berechnet Volumen unter einer Funktion über einem Bereich; Bei Polar-Koordinaten ist `dA = r dr dθ`; Fubini erlaubt Vertauschen der Integrations-Reihenfolge (auf Rechteck); Kugelvolumen = `4/3 π R³`; Schwerpunkt eines Körpers erfordert Mehrfachintegral

Erklärung: Richtig: Doppelintegral=Volumen, Polar mit r-Faktor, Fubini, Kugelvolumen, Schwerpunkt. Falsch: Polar, Kugel, Zylinder oft besser als kartesisch, Koordinatenwahl ist Strategie.

Typ: Multi-Select

F6.Ordne Koordinaten-System der Jacobi-Determinante zu:

Zuordnungen:

  • Kartesisch (2D) → $|J| = 1$
  • Polar (2D) → $|J| = r$
  • Zylinder (3D) → $|J| = r$
  • Kugel (3D) → $|J| = r^2 \sin\theta$

Erklärung: Standard-Jacobi-Determinanten. Pflicht-Wissen für Klausur-Substitutionen.

Typ: Zuordnung

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.∫₀¹ ∫₀^(1-x) 1 dy dx (Fläche des Dreiecks mit Ecken (0,0), (1,0), (0,1)).

Antwort: 0.5 (Toleranz ±0.01)

Erklärung: Innen: `∫₀^(1-x) 1 dy = 1 - x`. Außen: `∫₀¹ (1-x) dx = x - x²/2|₀¹ = 1 - 0.5 = 0.5`. ✓ Dreiecksfläche = `1/2`.

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.Bei nicht-rechteckigen Bereichen können innere Grenzen von der äußeren Variable abhängen.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Bei Typ-I-Bereich: `∫_a^b ∫_(g₁(x))^(g₂(x)) f dy dx`. Innere Grenzen `g₁, g₂` hängen von `x` ab. Äußere Grenzen MÜSSEN Konstanten sein.

Typ: Wahr/Falsch

F3.Sie integrieren über eine Kreisscheibe. Welche Koordinaten sind am EINFACHSTEN?

Antwort: Polar (wegen radialer Symmetrie + einfache Grenzen)

Erklärung: Polar: Kreisscheibe wird zu `0 ≤ r ≤ R`, `0 ≤ θ ≤ 2π`, einfache Rechteck-Grenzen. In kartesisch wäre der Bereich kreisförmig (kompliziert). Polar = klare Wahl bei radialer Symmetrie.

F4.Welche Anwendung benötigt das Volumen-Integral ∭_V ρ dV?

Antwort: Masse eines Körpers mit variabler Dichte

Erklärung: Masse eines Körpers = `∭_V ρ(x,y,z) dV` (Dichte `ρ` mal Volumen). Bei konstanter Dichte: `ρ · V`. Bei variabler Dichte: Integral nötig. Standard-Physik-Anwendung.

F5.Satz von {{1}}: Integrations-Reihenfolge irrelevant für stetige Funktionen auf Rechtecken. Polar-Koordinaten: dA = {{2}} dr dθ. Kreisfläche = π · {{3}}². Kugelvolumen = 4/3 π · {{4}}³. Bei Koordinaten-Transformation: {{5}}-Determinante.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: Fubini
  • {{2}}: r
  • {{3}}: R
  • {{4}}: R
  • {{5}}: Jacobi

Erklärung: Mehrfachintegrale-Vokabular. Fubini, Polar mit r-Faktor, Standard-Volumina, Jacobi.

Typ: Lückentext

F6.Sortiere: Doppelintegral berechnen.

Richtige Reihenfolge:

  1. Bereich $B$ identifizieren (Rechteck / Typ I / Polar?)
  2. Koordinaten-System wählen (kartesisch / polar / etc.)
  3. Grenzen aufschreiben (innere Variable zuerst)
  4. Falls Substitution: Jacobi-Determinante einbauen
  5. Innere Integration durchführen
  6. Äußere Integration durchführen

Erklärung: Standard-Workflow für Doppelintegrale. Bereich → Koordinaten → Grenzen → ggf. Jacobi → 2-stufig integrieren.

Typ: Reihenfolge

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