Eine quadratische Funktion hat die Form f(x) = ax² + bx + c (mit a ≠ 0), ihr Graph ist eine Parabel. Der Koeffizient a bestimmt Öffnung und Steilheit, b beeinflusst zusammen mit a die Lage des Scheitelpunkts (Symmetrieachse bei x = -b/(2a)), c ist der y-Achsenabschnitt.
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren wirst du oft gefragt: berechne die Nullstellen (mit pq-Formel oder Mitternachtsformel), finde den Scheitelpunkt oder bestimme das Maximum / Minimum. Bei Anwendungsaufgaben (Wurfparabel, Kosten-Optimum) nimmst du die Scheitelpunktform.
Faustregel zum Mitnehmen: Drei Zahlen (, , ) bestimmen die ganze Parabel. Aus diesen drei Zahlen kannst du Scheitelpunkt, Nullstellen und y-Achsenabschnitt komplett ableiten.
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Eine quadratische Funktion hat die Form f(x) = ax² + bx + c (mit a ≠ 0), ihr ist eine Parabel. Der Koeffizient a bestimmt Öffnung und Steilheit, b beeinflusst zusammen mit a die Lage des Scheitelpunkts (Symmetrieachse bei x = -b/(2a)), c ist der y-Achsenabschnitt.
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren wirst du oft gefragt: berechne die Nullstellen (mit pq-Formel oder Mitternachtsformel), finde den Scheitelpunkt oder bestimme das Maximum / Minimum. Bei Anwendungsaufgaben (Wurfparabel, Kosten-Optimum) nimmst du die Scheitelpunktform.
| Parameter | Wirkung |
|---|---|
| a | Krümmung & Öffnung. a > 0: nach oben offen. a < 0: nach unten. Je größer vert a vert, desto schmaler/steiler; je kleiner vert a vert, desto breiter/flacher. |
| b | Verschiebt die Parabel schräg (kombiniert mit a). Allein schwer zu interpretieren. |
| c | y-Achsenabschnitt: f(0) = c. Verschiebt die Parabel vertikal. |
Bei einer Parabel willst du oft drei Dinge wissen:
f(0) = cDer Scheitelpunkt ist der Extremwert der Parabel: bei a > 0 das Minimum, bei a < 0 das Maximum.
Formel:
x_S = -b/2a, y_S = f(x_S) = c - b²/4a
Beispiel: f(x) = x² - 4x + 1 hat a = 1, b = -4, c = 1.
x_S = -(-4)/(2 · 1) = 2, y_S = 1 - 16/4 = -3
Scheitelpunkt: S(2 | -3).
Falls a = 1, kannst du die Funktion in Normalform bringen: x² + px + q = 0. Dann:
x_(1,2) = -p/2 ± √((p/2)² - q)
Für a ≠ 1 teilst du erst durch a oder nutzt direkt die abc-Formel (Mitternachtsformel):
x_(1,2) = (-b ± √(b² - 4ac))/2a
Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D = b² - 4ac und entscheidet über die Anzahl der Nullstellen:
| Diskriminante | Anzahl Nullstellen | Geometrische Bedeutung |
|---|---|---|
D > 0 | 2 | Parabel schneidet x-Achse an zwei Stellen |
D = 0 | 1 | Parabel berührt x-Achse genau im Scheitelpunkt |
D < 0 | 0 | Parabel verläuft komplett über der x-Achse (wenn a > 0) oder komplett unter ihr (wenn a < 0) |
Jede Parabel lässt sich in der Normal- oder Scheitelpunktform schreiben. Die faktorisierte Form über den reellen Zahlen existiert nur bei D ≥ 0 (also reellen Nullstellen):
f(x) = ax² + bx + c
Die "Standardform" für Berechnungen mit der pq- oder abc-Formel.
f(x) = a(x - x_S)² + y_S
Liest direkt den Scheitelpunkt S(x_S | y_S) ab. Ideal wenn der Scheitelpunkt gegeben oder gesucht ist.
Beispiel: f(x) = 2(x - 3)² + 1 hat Scheitelpunkt S(3|1) und ist nach oben geöffnet.
f(x) = a · (x - x₁)(x - x₂)
Wenn du die Nullstellen x₁ und x₂ kennst, hast du die Funktion direkt. Funktioniert nur bei D ≥ 0.
Beispiel: Nullstellen bei 1 und 5, Streckung 2 → f(x) = 2(x - 1)(x - 5) = 2x² - 12x + 10.
x_S = -b/(2a) einsetzenIn der Klausur wirst du oft zwischen diesen Formen wechseln müssen, je nachdem was gefragt ist.
Stell die Parameter a, b und c ein und beobachte wie sich die Parabel verhält. Der lila Punkt markiert den Scheitelpunkt, rote Punkte zeigen die Nullstellen (falls reell).
Beobachte folgendes:
a = 1, b = 0, c = 0: die Standardparabel y = x²a negativ: die Parabel öffnet sich nach unten (bei gleichem Betrag von a ist sie an der x-Achse gespiegelt)c allein: die Parabel verschiebt sich nur vertikalb: der Scheitelpunkt wandert auf einer Kurve, nicht nur horizontal!Was die Diskriminante macht:
D > 0 siehst du 2 rote Nullstellen-PunkteD = 0 verschmelzen sie zu einem (Berührpunkt)D < 0 verschwinden sie: die Parabel schneidet die x-Achse nichtInteraktive Visualisierung
Plottet quadratische Funktionen mit Scheitelpunkt, Nullstellen und pq-Formel-Kontrolle.
Faustregel zum Mitnehmen: Drei Zahlen (a, b, c) bestimmen die ganze Parabel. Aus diesen drei Zahlen kannst du Scheitelpunkt, Nullstellen und y-Achsenabschnitt komplett ableiten.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: a
Erklärung: Der Koeffizient a entscheidet: a > 0 bedeutet nach oben geöffnet, a < 0 nach unten. b beeinflusst (zusammen mit a) die Lage von Scheitelpunkt und Symmetrieachse, c ist der y-Achsenabschnitt.
Antwort: S(3 | -4)
Erklärung: x_S = -b/(2a) = -(-6)/2 = 3. Einsetzen: f(3) = 9 - 18 + 5 = -4. Also S(3 | -4).
Antwort: 0
Erklärung: Diskriminante: D = b² - 4ac = 16 - 4·2·5 = 16 - 40 = -24. D < 0 ⇒ keine reellen Nullstellen. Die Parabel verläuft komplett oberhalb der x-Achse.
Antwort: `f(x) = x² - 8x + 12`
Erklärung: Faktorisierte Form: f(x) = (x-2)(x-6) = x² - 8x + 12. Klausur-Trick: Summe der Nullstellen = -b/a = 8, Produkt = c/a = 12.
Antwort: Parabel öffnet nach unten, Scheitelpunkt S(-2 | 5)
Erklärung: Das ist Scheitelpunktform: f(x) = a(x - x_S)² + y_S. Hier a = -3 (also nach unten), x_S = -2 (Vorzeichen umkehren!), y_S = 5. Ergibt S(-2 | 5).
Antwort: Wenn die Diskriminante D = 0 ist
Erklärung: D = 0 bedeutet: die Wurzel in der Lösungsformel wird 0, also gibt es nur eine Nullstelle. Geometrisch: die Parabel berührt die x-Achse genau im Scheitelpunkt (kein Schnitt, sondern Berührung).