Quadratische Funktionen.

Eine quadratische Funktion hat die Form f(x) = ax² + bx + c (mit a ≠ 0), ihr Graph ist eine Parabel. Der Koeffizient a bestimmt Öffnung und Steilheit, b beeinflusst zusammen mit a die Lage des Scheitelpunkts (Symmetrieachse bei x = -b/(2a)), c ist der y-Achsenabschnitt.

Was du in der Klausur können musst:

• Öffnung: a > 0 öffnet nach oben (Minimum), a < 0 nach unten (Maximum)
• Scheitelpunkt: x_S = -b / (2a), höchster oder tiefster Punkt der Parabel
• Nullstellen: Lösungen von ax² + bx + c = 0, mit der pq- oder Mitternachtsformel
• Diskriminante: b² - 4ac entscheidet ob 2, 1 oder 0 Nullstellen existieren
• Scheitelpunktform: f(x) = a(x - d)² + e mit Scheitelpunkt (d, e)

In Klausuren wirst du oft gefragt: berechne die Nullstellen (mit pq-Formel oder Mitternachtsformel), finde den Scheitelpunkt oder bestimme das Maximum / Minimum. Bei Anwendungsaufgaben (Wurfparabel, Kosten-Optimum) nimmst du die Scheitelpunktform.

Die drei Parameter

Drei wichtige Punkte

Bei einer Parabel willst du oft drei Dinge wissen:

1. y-Achsenabschnitt: f(0) = c
2. Scheitelpunkt (höchster oder tiefster Punkt der Parabel)
3. Nullstellen (wo die Parabel die x-Achse schneidet)

Scheitelpunkt finden

Der Scheitelpunkt ist der Extremwert der Parabel: bei a > 0 das Minimum, bei a < 0 das Maximum.

Formel:

x_S = -b/2a, y_S = f(x_S) = c - b²/4a

Beispiel: f(x) = x² - 4x + 1 hat a = 1, b = -4, c = 1.

x_S = -(-4)/(2 · 1) = 2, y_S = 1 - 16/4 = -3

Scheitelpunkt: S(2 | -3).

Nullstellen finden mit der pq-Formel

Falls a = 1, kannst du die Funktion in Normalform bringen: x² + px + q = 0. Dann:

x_(1,2) = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Für a ≠ 1 teilst du erst durch a oder nutzt direkt die abc-Formel (Mitternachtsformel):

x_(1,2) = (-b ± √(b² - 4ac))/2a

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D = b² - 4ac und entscheidet über die Anzahl der Nullstellen:

Drei Darstellungsformen

Jede Parabel lässt sich in der Normal- oder Scheitelpunktform schreiben. Die faktorisierte Form über den reellen Zahlen existiert nur bei D ≥ 0 (also reellen Nullstellen):

1. Normalform / Allgemeine Form

f(x) = ax² + bx + c

Die "Standardform" für Berechnungen mit der pq- oder abc-Formel.

2. Scheitelpunktform

f(x) = a(x - x_S)² + y_S

Liest direkt den Scheitelpunkt S(x_S | y_S) ab. Ideal wenn der Scheitelpunkt gegeben oder gesucht ist.

Beispiel: f(x) = 2(x - 3)² + 1 hat Scheitelpunkt S(3|1) und ist nach oben geöffnet.

3. Faktorisierte Form / Linearfaktorzerlegung

f(x) = a · (x - x₁)(x - x₂)

Wenn du die Nullstellen x₁ und x₂ kennst, hast du die Funktion direkt. Funktioniert nur bei D ≥ 0.

Beispiel: Nullstellen bei 1 und 5, Streckung 2 → f(x) = 2(x - 1)(x - 5) = 2x² - 12x + 10.

Umrechnung zwischen den Formen

• Allgemein → Scheitelpunkt: quadratische Ergänzung oder direkt x_S = -b/(2a) einsetzen
• Scheitelpunkt → Allgemein: ausmultiplizieren
• Allgemein → Faktorisiert: Nullstellen mit pq/abc-Formel berechnen, dann Linearfaktoren bilden

In der Klausur wirst du oft zwischen diesen Formen wechseln müssen, je nachdem was gefragt ist.

Probier es selbst

Stell die Parameter a, b und c ein und beobachte wie sich die Parabel verhält. Der lila Punkt markiert den Scheitelpunkt, rote Punkte zeigen die Nullstellen (falls reell).

Beobachte folgendes:

• Setz a = 1, b = 0, c = 0: die Standardparabel y = x²
• Mach a negativ: die Parabel öffnet sich nach unten (bei gleichem Betrag von a ist sie an der x-Achse gespiegelt)
• Verschiebe mit c allein: die Parabel verschiebt sich nur vertikal
• Spiele mit b: der Scheitelpunkt wandert auf einer Kurve, nicht nur horizontal!

Was die Diskriminante macht:

• Bei D > 0 siehst du 2 rote Nullstellen-Punkte
• Bei D = 0 verschmelzen sie zu einem (Berührpunkt)
• Bei D < 0 verschwinden sie: die Parabel schneidet die x-Achse nicht

Faustregel zum Mitnehmen: Drei Zahlen (a, b, c) bestimmen die ganze Parabel. Aus diesen drei Zahlen kannst du Scheitelpunkt, Nullstellen und y-Achsenabschnitt komplett ableiten.