Welcher Parameter entscheidet über die Öffnung der Parabel (nach oben oder unten)?

Richtige Antwort: a. Der Koeffizient a entscheidet: a > 0 bedeutet nach oben geöffnet, a < 0 nach unten. b beeinflusst (zusammen mit a) die Lage von Scheitelpunkt und Symmetrieachse, c ist der y-Achsenabschnitt.

Wo liegt der Scheitelpunkt von $f(x) = x^2 - 6x + 5$?

Richtige Antwort: S(3 | -4). x_S = -b/(2a) = -(-6)/2 = 3. Einsetzen: f(3) = 9 - 18 + 5 = -4. Also S(3 | -4).

Wie viele Nullstellen hat $f(x) = 2x^2 - 4x + 5$?

Richtige Antwort: 0. Diskriminante: D = b² - 4ac = 16 - 4·2·5 = 16 - 40 = -24. D < 0 ⇒ keine reellen Nullstellen. Die Parabel verläuft komplett oberhalb der x-Achse.

Eine Parabel hat Nullstellen bei 2 und 6 und Streckungsfaktor $a = 1$. Was ist die Funktionsgleichung in Normalform?

Richtige Antwort: $f(x) = x^2 - 8x + 12$. Faktorisierte Form: f(x) = (x-2)(x-6) = x² - 8x + 12. Klausur-Trick: Summe der Nullstellen = -b/a = 8, Produkt = c/a = 12.

Welche Aussage über $f(x) = -3(x + 2)^2 + 5$ stimmt?

Richtige Antwort: Parabel öffnet nach unten, Scheitelpunkt S(-2 | 5). Das ist Scheitelpunktform: f(x) = a(x - x_S)² + y_S. Hier a = -3 (also nach unten), x_S = -2 (Vorzeichen umkehren!), y_S = 5. Ergibt S(-2 | 5).

Wann hat eine quadratische Funktion genau einen Schnittpunkt mit der x-Achse?

Richtige Antwort: Wenn die Diskriminante D = 0 ist. D = 0 bedeutet: die Wurzel in der Lösungsformel wird 0, also gibt es nur eine Nullstelle. Geometrisch: die Parabel berührt die x-Achse genau im Scheitelpunkt (kein Schnitt, sondern Berührung).

UniProMax/Mathematik/quadratische-funktionen

Mathematik·9 Min Lesezeit·Fortgeschritten

Quadratische Funktionen

f(x) = ax² + bx + c. Parabeln verstehen, Scheitelpunkt finden, Nullstellen berechnen mit pq- und abc-Formel. Drei Darstellungsformen und wann welche.

Voraussetzung:Lineare Funktionen

Lerneinheit 1 von 3

Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion hat die Form f(x) = ax² + bx + c (mit a ≠ 0), ihr Graph ist eine Parabel. Der Koeffizient a bestimmt Öffnung und Steilheit, b beeinflusst zusammen mit a die Lage des Scheitelpunkts (Symmetrieachse bei x = -b/(2a)), c ist der y-Achsenabschnitt.

Was du in der Klausur können musst:

Öffnung: a > 0 öffnet nach oben (Minimum), a < 0 nach unten (Maximum)
Scheitelpunkt: x_S = -b / (2a), höchster oder tiefster Punkt der Parabel
Nullstellen: Lösungen von ax² + bx + c = 0, mit der pq- oder Mitternachtsformel
Diskriminante: b² - 4ac entscheidet ob 2, 1 oder 0 Nullstellen existieren
Scheitelpunktform: f(x) = a(x - d)² + e mit Scheitelpunkt (d, e)

In Klausuren wirst du oft gefragt: berechne die Nullstellen (mit pq-Formel oder Mitternachtsformel), finde den Scheitelpunkt oder bestimme das Maximum / Minimum. Bei Anwendungsaufgaben (Wurfparabel, Kosten-Optimum) nimmst du die Scheitelpunktform.

Parameter	Wirkung
a	Krümmung & Öffnung. $a > 0$ : nach oben offen. $a < 0$ : nach unten. Je größer $\vert a \vert$ , desto schmaler/steiler; je kleiner $\vert a \vert$ , desto breiter/flacher.
b	Verschiebt die Parabel schräg (kombiniert mit a). Allein schwer zu interpretieren.
c	y-Achsenabschnitt: $f(0) = c$ . Verschiebt die Parabel vertikal.

Bei einer Parabel willst du oft drei Dinge wissen:

y-Achsenabschnitt: $f(0) = c$
Scheitelpunkt (höchster oder tiefster Punkt der Parabel)
Nullstellen (wo die Parabel die x-Achse schneidet)

Der Scheitelpunkt ist der Extremwert der Parabel: bei $a > 0$ das Minimum, bei $a < 0$ das Maximum.

Formel:

$x_S = -\frac{b}{2a}, \qquad y_S = f(x_S) = c - \frac{b^2}{4a}$

Beispiel: $f(x) = x^2 - 4x + 1$ hat $a = 1$ , $b = -4$ , $c = 1$ .

$x_S = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2, \qquad y_S = 1 - \frac{16}{4} = -3$

Scheitelpunkt: $S(2 | -3)$ .

Falls $a = 1$ , kannst du die Funktion in Normalform bringen: $x^2 + px + q = 0$ . Dann:

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

Für $a \neq 1$ teilst du erst durch $a$ oder nutzt direkt die abc-Formel (Mitternachtsformel):

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ und entscheidet über die Anzahl der Nullstellen:

Diskriminante	Anzahl Nullstellen	Geometrische Bedeutung
$D > 0$	2	Parabel schneidet x-Achse an zwei Stellen
$D = 0$	1	Parabel berührt x-Achse genau im Scheitelpunkt
$D < 0$	0	Parabel verläuft komplett über/unter der x-Achse

Jede Parabel lässt sich in der Normal- oder Scheitelpunktform schreiben. Die faktorisierte Form über den reellen Zahlen existiert nur bei D ≥ 0 (also reellen Nullstellen):

1. Normalform / Allgemeine Form

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Die "Standardform" für Berechnungen mit der pq- oder abc-Formel.

2. Scheitelpunktform

$f(x) = a(x - x_S)^2 + y_S$

Liest direkt den Scheitelpunkt $S(x_S | y_S)$ ab. Ideal wenn der Scheitelpunkt gegeben oder gesucht ist.

Beispiel: $f(x) = 2(x - 3)^2 + 1$ hat Scheitelpunkt $S(3|1)$ und ist nach oben geöffnet.

3. Faktorisierte Form / Linearfaktorzerlegung

$f(x) = a \cdot (x - x_1)(x - x_2)$

Wenn du die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ kennst, hast du die Funktion direkt. Funktioniert nur bei $D \geq 0$ .

Beispiel: Nullstellen bei 1 und 5, Streckung 2 → $f(x) = 2(x - 1)(x - 5) = 2x^2 - 12x + 10$ .

Allgemein → Scheitelpunkt: quadratische Ergänzung oder direkt $x_S = -b/(2a)$ einsetzen
Scheitelpunkt → Allgemein: ausmultiplizieren
Allgemein → Faktorisiert: Nullstellen mit pq/abc-Formel berechnen, dann Linearfaktoren bilden

In der Klausur wirst du oft zwischen diesen Formen wechseln müssen, je nachdem was gefragt ist.

Klausur-ÜbersichtKomplette Übersicht: alle Tabs als linearer Text zum Lernen

Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv · Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur — und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).

Teil 1·Erklärung

Erklärung

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Eine quadratische Funktion hat die Form f(x) = ax² + bx + c (mit a ≠ 0), ihr ist eine Parabel. Der Koeffizient a bestimmt Öffnung und Steilheit, b beeinflusst zusammen mit a die Lage des Scheitelpunkts (Symmetrieachse bei x = -b/(2a)), c ist der y-Achsenabschnitt.

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Quadratische Funktionen — Mathematik · UniProMax

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Was du in der Klausur können musst:

Öffnung: a > 0 öffnet nach oben (Minimum), a < 0 nach unten (Maximum)
Scheitelpunkt: x_S = -b / (2a), höchster oder tiefster Punkt der Parabel
Nullstellen: Lösungen von ax² + bx + c = 0, mit der pq- oder Mitternachtsformel
Diskriminante: b² - 4ac entscheidet ob 2, 1 oder 0 Nullstellen existieren
Scheitelpunktform: f(x) = a(x - d)² + e mit Scheitelpunkt (d, e)

Parameter	Wirkung
a	Krümmung & Öffnung. $a > 0$ : nach oben offen. $a < 0$ : nach unten. Je größer $\vert a \vert$ , desto schmaler/steiler; je kleiner $\vert a \vert$ , desto breiter/flacher.
b	Verschiebt die Parabel schräg (kombiniert mit a). Allein schwer zu interpretieren.
c	y-Achsenabschnitt: $f(0) = c$ . Verschiebt die Parabel vertikal.

Bei einer Parabel willst du oft drei Dinge wissen:

y-Achsenabschnitt: $f(0) = c$
Scheitelpunkt (höchster oder tiefster Punkt der Parabel)
Nullstellen (wo die Parabel die x-Achse schneidet)

Der Scheitelpunkt ist der Extremwert der Parabel: bei $a > 0$ das Minimum, bei $a < 0$ das Maximum.

Formel:

$x_S = -\frac{b}{2a}, \qquad y_S = f(x_S) = c - \frac{b^2}{4a}$

Beispiel: $f(x) = x^2 - 4x + 1$ hat $a = 1$ , $b = -4$ , $c = 1$ .

$x_S = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2, \qquad y_S = 1 - \frac{16}{4} = -3$

Scheitelpunkt: $S(2 | -3)$ .

Falls $a = 1$ , kannst du die Funktion in Normalform bringen: $x^2 + px + q = 0$ . Dann:

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

Für $a \neq 1$ teilst du erst durch $a$ oder nutzt direkt die abc-Formel (Mitternachtsformel):

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ und entscheidet über die Anzahl der Nullstellen:

Diskriminante	Anzahl Nullstellen	Geometrische Bedeutung
$D > 0$	2	Parabel schneidet x-Achse an zwei Stellen
$D = 0$	1	Parabel berührt x-Achse genau im Scheitelpunkt
$D < 0$	0	Parabel verläuft komplett über/unter der x-Achse

Jede Parabel lässt sich in der Normal- oder Scheitelpunktform schreiben. Die faktorisierte Form über den reellen Zahlen existiert nur bei D ≥ 0 (also reellen Nullstellen):

1. Normalform / Allgemeine Form

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Die "Standardform" für Berechnungen mit der pq- oder abc-Formel.

2. Scheitelpunktform

$f(x) = a(x - x_S)^2 + y_S$

Liest direkt den Scheitelpunkt $S(x_S | y_S)$ ab. Ideal wenn der Scheitelpunkt gegeben oder gesucht ist.

Beispiel: $f(x) = 2(x - 3)^2 + 1$ hat Scheitelpunkt $S(3|1)$ und ist nach oben geöffnet.

3. Faktorisierte Form / Linearfaktorzerlegung

$f(x) = a \cdot (x - x_1)(x - x_2)$

Wenn du die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ kennst, hast du die Funktion direkt. Funktioniert nur bei $D \geq 0$ .

Beispiel: Nullstellen bei 1 und 5, Streckung 2 → $f(x) = 2(x - 1)(x - 5) = 2x^2 - 12x + 10$ .

Allgemein → Scheitelpunkt: quadratische Ergänzung oder direkt $x_S = -b/(2a)$ einsetzen
Scheitelpunkt → Allgemein: ausmultiplizieren
Allgemein → Faktorisiert: Nullstellen mit pq/abc-Formel berechnen, dann Linearfaktoren bilden

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Parameter	Wirkung
a	Krümmung & Öffnung. `a > 0`: nach oben offen. `a < 0`: nach unten. Je größer `vert a vert`, desto schmaler/steiler; je kleiner `vert a vert`, desto breiter/flacher.
b	Verschiebt die Parabel schräg (kombiniert mit a). Allein schwer zu interpretieren.
c	y-Achsenabschnitt: `f(0) = c`. Verschiebt die Parabel vertikal.

Scheitelpunkt finden

Der Scheitelpunkt ist der Extremwert der Parabel: bei a > 0 das Minimum, bei a < 0 das Maximum.

Formel:

x_S = -b/2a, y_S = f(x_S) = c - b²/4a

Beispiel: f(x) = x² - 4x + 1 hat a = 1, b = -4, c = 1.

x_S = -(-4)/(2 · 1) = 2, y_S = 1 - 16/4 = -3

Scheitelpunkt: S(2 | -3).

Nullstellen finden mit der pq-Formel

Falls a = 1, kannst du die Funktion in Normalform bringen: x² + px + q = 0. Dann:

x_(1,2) = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Für a ≠ 1 teilst du erst durch a oder nutzt direkt die abc-Formel (Mitternachtsformel):

x_(1,2) = (-b ± √(b² - 4ac))/2a

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D = b² - 4ac und entscheidet über die Anzahl der Nullstellen:

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`D > 0`	2	Parabel schneidet x-Achse an zwei Stellen
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Die drei Parameter

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