Mathematik4Lerneinheiten20minStand30.05.2026

Stetigkeit.

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Teil 1·Erklärung

Erklärung

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Stetigkeit, Mathematik · UniProMax

Eine Funktion ist stetig, wenn du sie 'ohne abzusetzen' zeichnen kannst. Das ist die Intuition. Mathematisch präzise heißt das: kleine Änderungen im Input führen zu kleinen Änderungen im Output. Klausur-Pflicht in Mathe-2/Analysis-Klausuren — Sprungstellen, Polstellen und der Mittelwertsatz sind Klassiker.

Stetigkeit: Eine Funktion $f$ ist stetig in $x_0$ , wenn $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ — der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert.

$f(x_0)$ existiert (Funktionswert definiert)
$\lim_{x \to x_0} f(x)$ existiert (links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich)
Beide sind gleich: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Verletzt eine dieser Bedingungen → Funktion ist UNSTETIG in $x_0$ .

1. Hebbare Lücke

Beispiel: $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ ist in $x = 1$ nicht definiert ( $\frac{0}{0}$ ).

Aber: $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$ .

Heben: definiere $f(1) := 2$ . Dann stetig.

2. Sprungstelle

Beispiel: $f(x) = \begin{cases} 1 & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$ (Heaviside-Funktion).

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ , $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ — verschieden → SPRUNGSTELLE.

3. Polstelle (Singularität)

Beispiel: $f(x) = \frac{1}{x}$ in $x = 0$ .

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ , $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ — Grenzwert nicht endlich.

4. Oszillation

Beispiel: $f(x) = \sin(1/x)$ bei $x \to 0$ schwingt unendlich oft.

Immer stetig:

Polynome: $f(x) = ax^n + bx^{n-1} + \ldots + c$
$\sin(x)$ , $\cos(x)$
$e^x$
$\ln(x)$ (auf $x > 0$ )

Stetig wo definiert:

Rationale Funktionen $\frac{P(x)}{Q(x)}$ stetig wo $Q(x) \neq 0$
$\tan(x)$ stetig wo $\cos(x) \neq 0$

Wenn $f$ und $g$ stetig in $x_0$ :

$f + g$ , $f - g$ , $f \cdot g$ sind stetig
$f / g$ ist stetig wo $g(x_0) \neq 0$
Komposition $f \circ g$ ist stetig

Zwischenwertsatz (ZWS)

Wenn $f$ auf $[a, b]$ stetig ist und $f(a) < c < f(b)$ , dann existiert $\xi \in (a, b)$ mit $f(\xi) = c$ .

Anwendung: Nullstellen-Existenz. Wenn $f$ stetig + $f(a) < 0$ + $f(b) > 0$ → es gibt eine Nullstelle in $(a, b)$ .

Klausur-Klassiker: "Zeige, dass $f(x) = x^5 + x - 1$ eine Nullstelle in $[0, 1]$ hat." → $f(0) = -1 < 0$ , $f(1) = 1 > 0$ , $f$ stetig (Polynom) → ZWS gibt's eine.

Satz von Weierstraß

Wenn $f$ auf $[a, b]$ (abgeschlossen + beschränkt) stetig ist, dann nimmt $f$ ihr Maximum und Minimum an.

Wichtig: auf $(a, b)$ (offen) gilt das nicht (Bsp: $f(x) = x$ auf $(0, 1)$ hat kein Max).

$f$ ist stetig in $x_0$ , wenn: Für jedes $\epsilon > 0$ existiert ein $\delta > 0$ sodass für alle $x$ mit $|x - x_0| < \delta$ gilt: $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ .

Klausur-relevant für reine Mathematiker. WInf-Klausur akzeptiert meist die Grenzwert-Definition.

Wichtig: Differenzierbar ⇒ Stetig, aber nicht umgekehrt.

Beispiel: $f(x) = |x|$ ist STETIG in 0 (Wert = 0, beide Limites = 0), aber NICHT DIFFERENZIERBAR (Knick).

1. 3 Bedingungen für Stetigkeit: $f(x_0)$ existiert, $\lim$ existiert, beide gleich.

2. Polynome, $\sin$ , $\cos$ , $e^x$ überall stetig. Rationale Funktionen wo Nenner ≠ 0.

3. ZWS für Nullstellen-Existenz — $f(a) < 0$ , $f(b) > 0$ , stetig → Nullstelle.

4. Weierstraß: Max/Min auf abgeschlossenem Intervall. Nicht auf offenem.

5. Differenzierbar ⇒ Stetig, aber nicht umgekehrt. $|x|$ ist Gegenbeispiel.

1. Lim und f(x_0) verwechseln. Beide müssen existieren UND gleich sein. Eine hebbare Lücke hat existenten Grenzwert aber nicht $f(x_0)$ .

2. Polstelle und Sprungstelle verwechseln. Sprung: zwei endliche Werte. Pol: Grenzwert ist $\pm \infty$ .

3. ZWS auch für nicht-stetige Funktionen anwenden. ZWS braucht Stetigkeit — sonst kann eine Nullstelle übersprungen werden.

4. Weierstraß auf offenes Intervall anwenden. Funktioniert NICHT. $(0, 1)$ ist offen → $f(x) = x$ erreicht ihr Supremum 1 nicht.

5. Stetig = differenzierbar annehmen. $|x|$ ist Gegenbeispiel. Differenzierbar ist stärker.

Wähle eine Funktion und sieh:

Stetige Funktion (Sinus): durchgezogene Kurve
Hebbare Lücke ((x²-1)/(x-1)): offener Punkt bei x=1
Sprungstelle (Heaviside): visueller Sprung
Polstelle (1/x): vertikale Asymptote

Beobachte, welche Bedingung für Stetigkeit jeweils verletzt ist.

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Klausur-Tipp: Bei Stetigkeitsprüfungen IMMER alle 3 Bedingungen einzeln prüfen: (1) $f(x_0)$ existiert? (2) Grenzwert existiert? (3) Beide gleich? Eine Bedingung verletzt → unstetig, dann den Typ benennen (hebbar/Sprung/Pol).

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Die Idee in einem Satz

Stetigkeit: Eine Funktion f ist stetig in x₀, wenn lim_(x → x₀) f(x) = f(x₀) — der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert.

Drei Bedingungen für Stetigkeit in `x₀`

f(x₀) existiert (Funktionswert definiert)
lim_(x → x₀) f(x) existiert (links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich)
Beide sind gleich: lim_(x → x₀) f(x) = f(x₀)

Verletzt eine dieser Bedingungen → Funktion ist UNSTETIG in x₀.

Arten der Unstetigkeit

1. Hebbare Lücke

Beispiel: f(x) = (x² - 1)/(x - 1) ist in x = 1 nicht definiert (0/0).

Aber: lim_(x → 1) f(x) = lim_(x → 1) (x + 1) = 2.

Heben: definiere f(1) := 2. Dann stetig.

2. Sprungstelle

Beispiel: f(x) = 1 wenn x ≥ 0; 0 wenn x < 0 (Heaviside-Funktion).

lim_(x → 0⁻) f(x) = 0, lim_(x → 0⁺) f(x) = 1 — verschieden → SPRUNGSTELLE.

3. Polstelle (Singularität)

Beispiel: f(x) = 1/x in x = 0.

lim_(x → 0⁺) f(x) = +∞, lim_(x → 0⁻) f(x) = -∞ — Grenzwert nicht endlich.

4. Oszillation

Beispiel: f(x) = sin(1/x) bei x → 0 schwingt unendlich oft.

Stetige Funktionen — Beispiele

Immer stetig:

Polynome: f(x) = axⁿ + bx^(n-1) + ... + c
sin(x), cos(x)
e^x
ln(x) (auf x > 0)

Stetig wo definiert:

Rationale Funktionen P(x)/Q(x) stetig wo Q(x) ≠ 0
tan(x) stetig wo cos(x) ≠ 0

Rechenregeln

Wenn f und g stetig in x₀:

f + g, f - g, f · g sind stetig
f / g ist stetig wo g(x₀) ≠ 0
Komposition f ° g ist stetig

Wichtige Sätze (klausur-relevant)

Zwischenwertsatz (ZWS)

Wenn f auf [a, b] stetig ist und f(a) < c < f(b), dann existiert ξ ∈ (a, b) mit f(ξ) = c.

Anwendung: Nullstellen-Existenz. Wenn f stetig + f(a) < 0 + f(b) > 0 → es gibt eine Nullstelle in (a, b).

Klausur-Klassiker: "Zeige, dass f(x) = x⁵ + x - 1 eine Nullstelle in [0, 1] hat." → f(0) = -1 < 0, f(1) = 1 > 0, f stetig (Polynom) → ZWS gibt's eine.

Satz von Weierstraß

Wenn f auf [a, b] (abgeschlossen + beschränkt) stetig ist, dann nimmt f ihr Maximum und Minimum an.

Wichtig: auf (a, b) (offen) gilt das nicht (Bsp: f(x) = x auf (0, 1) hat kein Max).

`ε`-`δ`-Definition (formal)

f ist stetig in x₀, wenn: Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0 sodass für alle x mit |x - x₀| < δ gilt: |f(x) - f(x₀)| < ε.

Klausur-relevant für reine Mathematiker. WInf-Klausur akzeptiert meist die Grenzwert-Definition.

Stetig vs. Differenzierbar

Wichtig: Differenzierbar ⇒ Stetig, aber nicht umgekehrt.

Beispiel: f(x) = |x| ist STETIG in 0 (Wert = 0, beide Limites = 0), aber NICHT DIFFERENZIERBAR (Knick).

Klausur-Faustregeln

1. 3 Bedingungen für Stetigkeit: f(x₀) existiert, lim existiert, beide gleich.

2. Polynome, sin, cos, e^x überall stetig. Rationale Funktionen wo Nenner ≠ 0.

3. ZWS für Nullstellen-Existenz — f(a) < 0, f(b) > 0, stetig → Nullstelle.

4. Weierstraß: Max/Min auf abgeschlossenem Intervall. Nicht auf offenem.

5. Differenzierbar ⇒ Stetig, aber nicht umgekehrt. |x| ist Gegenbeispiel.

Häufige Stolpersteine

1. Lim und f(x_0) verwechseln. Beide müssen existieren UND gleich sein. Eine hebbare Lücke hat existenten Grenzwert aber nicht f(x₀).

2. Polstelle und Sprungstelle verwechseln. Sprung: zwei endliche Werte. Pol: Grenzwert ist ± ∞.

3. ZWS auch für nicht-stetige Funktionen anwenden. ZWS braucht Stetigkeit — sonst kann eine Nullstelle übersprungen werden.

4. Weierstraß auf offenes Intervall anwenden. Funktioniert NICHT. (0, 1) ist offen → f(x) = x erreicht ihr Supremum 1 nicht.

5. Stetig = differenzierbar annehmen. |x| ist Gegenbeispiel. Differenzierbar ist stärker.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Stetigkeit — Praxis-Übung

6 Aufgaben zu Stetigkeit, Unstetigkeitstypen, ZWS.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Welche 3 Bedingungen müssen für Stetigkeit von f in x₀ erfüllt sein?

Antwort: `f(x₀)` existiert, `lim_(x → x₀) f(x)` existiert, beide gleich

Erklärung: Standard-Definition: 1) Funktionswert existiert, 2) Grenzwert existiert (beidseitig gleich), 3) Beide stimmen überein. Eine Verletzung → Unstetigkeitstyp identifizieren.

F2.f(x) = (x² - 4)/(x - 2) ist in x = 2:

Antwort: Hebbare Lücke (Limes existiert, aber `f(2)` nicht)

Erklärung: `f(2) = 0/0` nicht definiert. Aber Limes: `lim_(x → 2) ((x-2)(x+2))/(x-2) = lim_(x → 2)(x+2) = 4`. Hebbare Lücke: definiere `f(2) := 4` → stetig.

F3.Polynome sind in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Polynome (`axⁿ + ... + c`) sind auf ganz `ℝ` stetig. Auch `sin`, `cos`, `e^x` sind überall stetig. Rationale Funktionen sind stetig wo Nenner ≠ 0.

Typ: Wahr/Falsch

F4.Was sagt der Zwischenwertsatz?

Antwort: Wenn `f` stetig auf `[a,b]` und `f(a) < c < f(b)`, dann existiert `ξ ∈ (a,b)` mit `f(ξ) = c`

Erklärung: Zwischenwertsatz (ZWS): Stetige Funktion auf abgeschlossenem Intervall nimmt jeden Wert zwischen `f(a)` und `f(b)` an. Klassische Anwendung: Nullstellen-Existenz.

F5.Welche Aussagen sind RICHTIG?

Richtige Antworten: Sprungstelle: links- und rechtsseitiger Grenzwert sind verschieden (beide endlich); Polstelle: Grenzwert ist `± ∞`; Hebbare Lücke kann durch Redefinition von `f(x₀)` stetig gemacht werden; Differenzierbar impliziert stetig; `|x|` ist stetig aber nicht differenzierbar in 0

Erklärung: Richtig: Sprung-Definition, Pol-Definition, Hebbar, diff→stetig, `|x|`-Beispiel. Falsch: stetig → diff ist NICHT korrekt (siehe `|x|`). Differenzierbarkeit ist STÄRKERE Eigenschaft.

Typ: Multi-Select

F6.Ordne Unstetigkeitstyp dem Beispiel zu:

Zuordnungen:

Hebbare Lücke → $\frac{x^2-1}{x-1}$ bei $x=1$
Sprungstelle → Heaviside-Funktion bei $x=0$
Polstelle → $\frac{1}{x}$ bei $x=0$
Oszillation → $\sin(1/x)$ bei $x=0$

Erklärung: 4 Standard-Unstetigkeitstypen. Klausur-Pflicht: Beispiel + Typ erkennen.

Typ: Zuordnung

Erklärung

Erklärung

Die Idee in einem Satz

Drei Bedingungen für Stetigkeit in x0x_0x0​

Arten der Unstetigkeit

1. Hebbare Lücke

2. Sprungstelle

3. Polstelle (Singularität)

4. Oszillation

Stetige Funktionen — Beispiele

Rechenregeln

Wichtige Sätze (klausur-relevant)

Zwischenwertsatz (ZWS)

Satz von Weierstraß

ϵ\epsilonϵ-δ\deltaδ-Definition (formal)

Stetig vs. Differenzierbar

Klausur-Faustregeln

Häufige Stolpersteine

Stetigkeit-Visualizer

Wenn du fertig bist: jetzt üben.

Die Idee in einem Satz

Drei Bedingungen für Stetigkeit in x₀

Arten der Unstetigkeit

1. Hebbare Lücke

2. Sprungstelle

3. Polstelle (Singularität)

4. Oszillation

Stetige Funktionen — Beispiele

Rechenregeln

Wichtige Sätze (klausur-relevant)

Zwischenwertsatz (ZWS)

Satz von Weierstraß

ε-δ-Definition (formal)

Stetig vs. Differenzierbar

Klausur-Faustregeln

Häufige Stolpersteine

Interaktiv verstehen

Stetigkeit-Visualizer

Praxis-Übung

Stetigkeit — Praxis-Übung

Klausur-Quiz

Drei Bedingungen für Stetigkeit in $x_0$

$\epsilon$ - $\delta$ -Definition (formal)

Drei Bedingungen für Stetigkeit in `x₀`

`ε`-`δ`-Definition (formal)