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  • Einführung
  • Die Idee in einem Satz
  • Drei [Bedingungen](/themen/bedingungen) für Stetigkeit in x_0
  • Arten der Unstetigkeit
  • Stetige [Funktionen](/themen/funktionen), Beispiele
  • Rechenregeln
  • Wichtige Sätze (klausur-relevant)
  • \epsilon-\delta-Definition (formal)
  • Stetig vs. Differenzierbar
  • Klausur-Faustregeln
  • Häufige Stolpersteine
ThemenMathematikStetigkeit
Mathematik·4Lerneinheiten·20min·Stand17.07.2026

Stetigkeit.

Eine Funktion ist stetig, wenn du sie 'ohne abzusetzen' zeichnen kannst. Das ist die Intuition. Mathematisch präzise heißt das: kleine Änderungen im Input führen zu kleinen Änderungen im Output. Klausur-Pflicht in Mathe-2/Analysis-Klausuren, Sprungstellen, Polstellen und der Mittelwertsatz sind Klassiker.

Stetigkeit: Eine Funktion fff ist stetig in x0x_0x0​, wenn lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0​​f(x)=f(x0​), der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert.

  1. f(x0)f(x_0)f(x0​) existiert (Funktionswert definiert)
  2. lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x)limx→x0​​f(x) existiert (links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich)
  3. Beide sind gleich: lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0​​f(x)=f(x0​)

Verletzt eine dieser Bedingungen → Funktion ist UNSTETIG in x0x_0x0​.

1. Hebbare Lücke

Beispiel: f(x)=x2−1x−1f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}f(x)=x−1x2−1​ ist in x=1x = 1x=1 nicht definiert (00\frac{0}{0}00​).

Aber: lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1(x+1)=2\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2limx→1​f(x)=limx→1​(x+1)=2.

Heben: definiere f(1):=2f(1) := 2f(1):=2. Dann stetig.

2. Sprungstelle

Beispiel: f(x)={1x≥00x<0f(x) = \begin{cases} 1 & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}f(x)={10​x≥0x<0​ (Heaviside-Funktion).

lim⁡x→0−f(x)=0\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0limx→0−​f(x)=0, lim⁡x→0+f(x)=1\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1limx→0+​f(x)=1, verschieden → SPRUNGSTELLE.

3. Polstelle (Singularität)

Beispiel: f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​ in x=0x = 0x=0.

lim⁡x→0+f(x)=+∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\inftylimx→0+​f(x)=+∞, lim⁡x→0−f(x)=−∞\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\inftylimx→0−​f(x)=−∞, Grenzwert nicht endlich.

4. Oszillation

Beispiel: f(x)=sin⁡(1/x)f(x) = \sin(1/x)f(x)=sin(1/x) bei x→0x \to 0x→0 schwingt unendlich oft.

Immer stetig:

  • Polynome: f(x)=axn+bxn−1+…+cf(x) = ax^n + bx^{n-1} + \ldots + cf(x)=axn+bxn−1+…+c
  • sin⁡(x)\sin(x)sin(x), cos⁡(x)\cos(x)cos(x)
  • exe^xex
  • ln⁡(x)\ln(x)ln(x) (auf x>0x > 0x>0)

Stetig wo definiert:

  • Rationale Funktionen P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}Q(x)P(x)​ stetig wo Q(x)≠0Q(x) \neq 0Q(x)=0
  • tan⁡(x)\tan(x)tan(x) stetig wo cos⁡(x)≠0\cos(x) \neq 0cos(x)=0

Wenn fff und ggg stetig in x0x_0x0​:

  • f+gf + gf+g, f−gf - gf−g, f⋅gf \cdot gf⋅g sind stetig
  • f/gf / gf/g ist stetig wo g(x0)≠0g(x_0) \neq 0g(x0​)=0
  • Komposition f∘gf \circ gf∘g ist stetig

Zwischenwertsatz (ZWS)

Wenn fff auf [a,b][a, b][a,b] stetig ist und f(a)<c<f(b)f(a) < c < f(b)f(a)<c<f(b), dann existiert ξ∈(a,b)\xi \in (a, b)ξ∈(a,b) mit f(ξ)=cf(\xi) = cf(ξ)=c.

Anwendung: Nullstellen-Existenz. Wenn fff stetig + f(a)<0f(a) < 0f(a)<0 + f(b)>0f(b) > 0f(b)>0 → es gibt eine Nullstelle in (a,b)(a, b)(a,b).

Klausur-Klassiker: "Zeige, dass f(x)=x5+x−1f(x) = x^5 + x - 1f(x)=x5+x−1 eine Nullstelle in [0,1][0, 1][0,1] hat." → f(0)=−1<0f(0) = -1 < 0f(0)=−1<0, f(1)=1>0f(1) = 1 > 0f(1)=1>0, fff stetig (Polynom) → ZWS gibt's eine.

Satz von Weierstraß

Wenn fff auf [a,b][a, b][a,b] (abgeschlossen + beschränkt) stetig ist, dann nimmt fff ihr Maximum und Minimum an.

Wichtig: auf (a,b)(a, b)(a,b) (offen) gilt das nicht (Bsp: f(x)=xf(x) = xf(x)=x auf (0,1)(0, 1)(0,1) hat kein Max).

fff ist stetig in x0x_0x0​, wenn: Für jedes ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0 existiert ein δ>0\delta > 0δ>0 sodass für alle xxx mit ∣x−x0∣<δ|x - x_0| < \delta∣x−x0​∣<δ gilt: ∣f(x)−f(x0)∣<ϵ|f(x) - f(x_0)| < \epsilon∣f(x)−f(x0​)∣<ϵ.

Klausur-relevant für reine Mathematiker. WInf-Klausur akzeptiert meist die Grenzwert-Definition.

Wichtig: Differenzierbar ⇒ Stetig, aber nicht umgekehrt.

Beispiel: f(x)=∣x∣f(x) = |x|f(x)=∣x∣ ist STETIG in 0 (Wert = 0, beide Limites = 0), aber NICHT DIFFERENZIERBAR (Knick).

1. 3 Bedingungen für Stetigkeit: f(x0)f(x_0)f(x0​) existiert, lim⁡\limlim existiert, beide gleich.

2. Polynome, sin⁡\sinsin, cos⁡\coscos, exe^xex überall stetig. Rationale Funktionen wo Nenner ≠ 0.

3. ZWS für Nullstellen-Existenz, f(a)<0f(a) < 0f(a)<0, f(b)>0f(b) > 0f(b)>0, stetig → Nullstelle.

4. Weierstraß: Max/Min auf abgeschlossenem Intervall. Nicht auf offenem.

5. Differenzierbar ⇒ Stetig, aber nicht umgekehrt. ∣x∣|x|∣x∣ ist Gegenbeispiel.

1. Lim und f(x_0) verwechseln. Beide müssen existieren UND gleich sein. Eine hebbare Lücke hat existenten Grenzwert aber nicht f(x0)f(x_0)f(x0​).

2. Polstelle und Sprungstelle verwechseln. Sprung: zwei endliche Werte. Pol: Grenzwert ist ±∞\pm \infty±∞.

3. ZWS auch für nicht-stetige Funktionen anwenden. ZWS braucht Stetigkeit, sonst kann eine Nullstelle übersprungen werden.

4. Weierstraß auf offenes Intervall anwenden. Funktioniert NICHT. (0,1)(0, 1)(0,1) ist offen → f(x)=xf(x) = xf(x)=x erreicht ihr Supremum 1 nicht.

5. Stetig = differenzierbar annehmen. ∣x∣|x|∣x∣ ist Gegenbeispiel. Differenzierbar ist stärker.

Wähle eine Funktion und sieh:

  • Stetige Funktion (Sinus): durchgezogene Kurve
  • Hebbare Lücke ((x²-1)/(x-1)): offener Punkt bei x=1
  • Sprungstelle (Heaviside): visueller Sprung
  • Polstelle (1/x): vertikale Asymptote

Beobachte, welche Bedingung für Stetigkeit jeweils verletzt ist.

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Klausur-Tipp: Bei Stetigkeitsprüfungen IMMER alle 3 Bedingungen einzeln prüfen: (1) f(x0)f(x_0)f(x0​) existiert? (2) Grenzwert existiert? (3) Beide gleich? Eine Bedingung verletzt → unstetig, dann den Typ benennen (hebbar/Sprung/Pol).

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Eine Funktion ist stetig, wenn du sie 'ohne abzusetzen' zeichnen kannst. Das ist die Intuition. Mathematisch präzise heißt das: kleine Änderungen im Input führen zu kleinen Änderungen im Output. Klausur-Pflicht in Mathe-2/Analysis-Klausuren, Sprungstellen, Polstellen und der Mittelwertsatz sind Klassiker.

Die Idee in einem Satz

Stetigkeit: Eine Funktion f ist stetig in x₀, wenn lim_(x → x₀) f(x) = f(x₀), der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert.

Drei Bedingungen für Stetigkeit in x₀

  1. f(x₀) existiert (Funktionswert definiert)
  2. lim_(x → x₀) f(x) existiert (links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich)
  3. Beide sind gleich: lim_(x → x₀) f(x) = f(x₀)

Verletzt eine dieser Bedingungen → Funktion ist UNSTETIG in x₀.

Arten der Unstetigkeit

1. Hebbare Lücke

Beispiel: f(x) = (x² - 1)/(x - 1) ist in x = 1 nicht definiert (0/0).

Aber: lim_(x → 1) f(x) = lim_(x → 1) (x + 1) = 2.

Heben: definiere f(1) := 2. Dann stetig.

2. Sprungstelle

Beispiel: f(x) = 1 wenn x ≥ 0; 0 wenn x < 0 (Heaviside-Funktion).

lim_(x → 0⁻) f(x) = 0, lim_(x → 0⁺) f(x) = 1, verschieden → SPRUNGSTELLE.

3. Polstelle (Singularität)

Beispiel: f(x) = 1/x in x = 0.

lim_(x → 0⁺) f(x) = +∞, lim_(x → 0⁻) f(x) = -∞, Grenzwert nicht endlich.

4. Oszillation

Beispiel: f(x) = sin(1/x) bei x → 0 schwingt unendlich oft.

Stetige Funktionen, Beispiele

Immer stetig:

  • Polynome: f(x) = axⁿ + bx^(n-1) + ... + c
  • sin(x), cos(x)
  • e^x
  • ln(x) (auf x > 0)

Stetig wo definiert:

  • Rationale Funktionen P(x)/Q(x) stetig wo Q(x) ≠ 0
  • tan(x) stetig wo cos(x) ≠ 0

Rechenregeln

Wenn f und g stetig in x₀:

  • f + g, f - g, f · g sind stetig
  • f / g ist stetig wo g(x₀) ≠ 0
  • Komposition f ° g ist stetig

Wichtige Sätze (klausur-relevant)

Zwischenwertsatz (ZWS)

Wenn f auf [a, b] stetig ist und f(a) < c < f(b), dann existiert ξ ∈ (a, b) mit f(ξ) = c.

Anwendung: Nullstellen-Existenz. Wenn f stetig + f(a) < 0 + f(b) > 0 → es gibt eine Nullstelle in (a, b).

Klausur-Klassiker: "Zeige, dass f(x) = x⁵ + x - 1 eine Nullstelle in [0, 1] hat." → f(0) = -1 < 0, f(1) = 1 > 0, f stetig (Polynom) → ZWS gibt's eine.

Satz von Weierstraß

Wenn f auf [a, b] (abgeschlossen + beschränkt) stetig ist, dann nimmt f ihr Maximum und Minimum an.

Wichtig: auf (a, b) (offen) gilt das nicht (Bsp: f(x) = x auf (0, 1) hat kein Max).

ε-δ-Definition (formal)

f ist stetig in x₀, wenn: Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0 sodass für alle x mit |x - x₀| < δ gilt: |f(x) - f(x₀)| < ε.

Klausur-relevant für reine Mathematiker. WInf-Klausur akzeptiert meist die Grenzwert-Definition.

Stetig vs. Differenzierbar

Wichtig: Differenzierbar ⇒ Stetig, aber nicht umgekehrt.

Beispiel: f(x) = |x| ist STETIG in 0 (Wert = 0, beide Limites = 0), aber NICHT DIFFERENZIERBAR (Knick).

Klausur-Faustregeln

1. 3 Bedingungen für Stetigkeit: f(x₀) existiert, lim existiert, beide gleich.

2. Polynome, sin, cos, e^x überall stetig. Rationale Funktionen wo Nenner ≠ 0.

3. ZWS für Nullstellen-Existenz, f(a) < 0, f(b) > 0, stetig → Nullstelle.

4. Weierstraß: Max/Min auf abgeschlossenem Intervall. Nicht auf offenem.

5. Differenzierbar ⇒ Stetig, aber nicht umgekehrt. |x| ist Gegenbeispiel.

Häufige Stolpersteine

1. Lim und f(x_0) verwechseln. Beide müssen existieren UND gleich sein. Eine hebbare Lücke hat existenten Grenzwert aber nicht f(x₀).

2. Polstelle und Sprungstelle verwechseln. Sprung: zwei endliche Werte. Pol: Grenzwert ist ± ∞.

3. ZWS auch für nicht-stetige Funktionen anwenden. ZWS braucht Stetigkeit, sonst kann eine Nullstelle übersprungen werden.

4. Weierstraß auf offenes Intervall anwenden. Funktioniert NICHT. (0, 1) ist offen → f(x) = x erreicht ihr Supremum 1 nicht.

5. Stetig = differenzierbar annehmen. |x| ist Gegenbeispiel. Differenzierbar ist stärker.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

Stetigkeit-Visualizer

Wähle eine Funktion und sieh:

  • Stetige Funktion (Sinus): durchgezogene Kurve
  • Hebbare Lücke ((x²-1)/(x-1)): offener Punkt bei x=1
  • Sprungstelle (Heaviside): visueller Sprung
  • Polstelle (1/x): vertikale Asymptote

Beobachte, welche Bedingung für Stetigkeit jeweils verletzt ist.

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Klausur-Tipp: Bei Stetigkeitsprüfungen IMMER alle 3 Bedingungen einzeln prüfen: (1) f(x₀) existiert? (2) Grenzwert existiert? (3) Beide gleich? Eine Bedingung verletzt → unstetig, dann den Typ benennen (hebbar/Sprung/Pol).

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Stetigkeit, Praxis-Übung

6 Aufgaben zu Stetigkeit, Unstetigkeitstypen, ZWS.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Welche 3 Bedingungen müssen für Stetigkeit von f in x₀ erfüllt sein?

Antwort: `f(x₀)` existiert, `lim_(x → x₀) f(x)` existiert, beide gleich

Erklärung: Standard-Definition: 1) Funktionswert existiert, 2) Grenzwert existiert (beidseitig gleich), 3) Beide stimmen überein. Eine Verletzung → Unstetigkeitstyp identifizieren.

F2.f(x) = (x² - 4)/(x - 2) ist in x = 2:

Antwort: Hebbare Lücke (Limes existiert, aber `f(2)` nicht)

Erklärung: `f(2) = 0/0` nicht definiert. Aber Limes: `lim_(x → 2) ((x-2)(x+2))/(x-2) = lim_(x → 2)(x+2) = 4`. Hebbare Lücke: definiere `f(2) := 4` → stetig.

F3.Polynome sind in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Polynome (`axⁿ + ... + c`) sind auf ganz `ℝ` stetig. Auch `sin`, `cos`, `e^x` sind überall stetig. Rationale Funktionen sind stetig wo Nenner ≠ 0.

Typ: Wahr/Falsch

F4.Was sagt der Zwischenwertsatz?

Antwort: Wenn `f` stetig auf `[a,b]` und `f(a) < c < f(b)`, dann existiert `ξ ∈ (a,b)` mit `f(ξ) = c`

Erklärung: Zwischenwertsatz (ZWS): Stetige Funktion auf abgeschlossenem Intervall nimmt jeden Wert zwischen `f(a)` und `f(b)` an. Klassische Anwendung: Nullstellen-Existenz.

F5.Welche Aussagen sind RICHTIG?

Richtige Antworten: Sprungstelle: links- und rechtsseitiger Grenzwert sind verschieden (beide endlich); Polstelle: Grenzwert ist `± ∞`; Hebbare Lücke kann durch Redefinition von `f(x₀)` stetig gemacht werden; Differenzierbar impliziert stetig; `|x|` ist stetig aber nicht differenzierbar in 0

Erklärung: Richtig: Sprung-Definition, Pol-Definition, Hebbar, diff→stetig, `|x|`-Beispiel. Falsch: stetig → diff ist NICHT korrekt (siehe `|x|`). Differenzierbarkeit ist STÄRKERE Eigenschaft.

Typ: Multi-Select

F6.Ordne Unstetigkeitstyp dem Beispiel zu:

Zuordnungen:

  • Hebbare Lücke → $\frac{x^2-1}{x-1}$ bei $x=1$
  • Sprungstelle → Heaviside-Funktion bei $x=0$
  • Polstelle → $\frac{1}{x}$ bei $x=0$
  • Oszillation → $\sin(1/x)$ bei $x=0$

Erklärung: 4 Standard-Unstetigkeitstypen. Klausur-Pflicht: Beispiel + Typ erkennen.

Typ: Zuordnung

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Mit ZWS: hat f(x) = x³ + x - 1 eine Nullstelle in [0, 1]?

Antwort: Ja: `f(0) = -1 < 0`, `f(1) = 1 > 0`, `f` stetig (Polynom)

Erklärung: Klassische ZWS-Anwendung: Polynom ist stetig. `f(0) = -1`, `f(1) = 1`. Da `f` stetig und `f(0) < 0 < f(1)`, gibt es ein `ξ ∈ (0, 1)` mit `f(ξ) = 0`.

F2.Der Satz von Weierstraß gilt nur auf abgeschlossenen + beschränkten Intervallen.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Weierstraß: stetig + abgeschlossen + beschränkt = Max/Min existiert + wird angenommen. Auf offenem Intervall `(a,b)` kann Supremum nicht erreicht werden (Bsp: `f(x) = x` auf `(0,1)`).

Typ: Wahr/Falsch

F3.Welche Funktion ist NICHT auf ganz ℝ stetig?

Antwort: `f(x) = 1/x`

Erklärung: `1/x` ist in `x = 0` nicht definiert → Polstelle (nicht stetig auf ganz `ℝ`). Polynome, Sinus und `e^x` sind überall stetig.

F4.Wo ist f(x) = (x+2)/(x² - 1) unstetig?

Antwort: Bei `x = 1` und `x = -1` (Polstellen)

Erklärung: Rationale Funktion unstetig wo Nenner = 0. `x² - 1 = 0 ⇔ x = ± 1`. Bei beiden Stellen Polstellen (Limes wird `± ∞`).

F5.Stetigkeit braucht 3 Bedingungen: f(x₀) {{1}}, lim_(x → x₀) f(x) {{2}}, beide {{3}}. {{4}}-Stelle wenn beide Limes-Seiten verschieden, {{5}}-Stelle wenn Limes ± ∞.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: existiert
  • {{2}}: existiert
  • {{3}}: gleich
  • {{4}}: Sprung / Sprung-
  • {{5}}: Pol / Pol-

Erklärung: Stetigkeits-Vokabular. 3 Bedingungen + 2 Unstetigkeitstypen (Sprung-/Polstelle).

Typ: Lückentext

F6.Sortiere: Stetigkeitsprüfung von f in x₀.

Richtige Reihenfolge:

  1. Prüfe: Ist $f(x_0)$ definiert?
  2. Berechne $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ und $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$
  3. Sind beide einseitigen Grenzwerte gleich? → Limes existiert
  4. Vergleiche: $\lim_{x \to x_0} f(x) \stackrel{?}{=} f(x_0)$
  5. Wenn alle 3 erfüllt: stetig. Sonst: Typ identifizieren (Lücke/Sprung/Pol)

Erklärung: Standard-Stetigkeitsprüfung. 3 Bedingungen sequenziell prüfen, bei Bedarf Unstetigkeitstyp benennen.

Typ: Reihenfolge

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