Vektoren.

Ein Vektor ist eine gerichtete Größe mit Länge und Richtung, geschrieben als Spalte aus Zahlen. In 2D oft als Pfeil vom Ursprung zu einem Punkt (x, y) visualisiert. Klausurrelevant in Mathe-Grundlagen, Linearer Algebra und Physik-naher Informatik.

Die Operationen die du in der Klausur können musst:

• Addition: komponentenweise, (a₁, a₂) + (b₁, b₂) = (a₁+b₁, a₂+b₂)
• Skalarmultiplikation: λ · (a₁, a₂) = (λa₁, λa₂), streckt oder staucht den Vektor
• Betrag (Länge): |v| = √(a₁² + a₂² + ...) per Pythagoras
• Skalarprodukt: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + ..., Ergebnis ist eine Zahl
• Senkrecht: für zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren gilt: a · b = 0 ⇔ a ⊥ b (Nullvektor hat keinen definierten Winkel)
• Einheitsvektor: v / |v|, hat Länge 1 in Richtung von v

In Klausuren wirst du oft gefragt: berechne Betrag, Skalarprodukt, oder den Winkel zwischen zwei Vektoren (cos α = (a · b) / (|a| · |b|)). Plus Anwendungsaufgaben mit Geraden im Raum oder Ebenen.

Warum Vektoren?

• Physik: Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung, alle gerichtete Größen
• Computergrafik: Positionen, Bewegungen, Lichtrichtung
• Machine Learning: Datenpunkte, Gewichte, Embeddings (oft hochdimensional)
• Datenanalyse: Merkmals-Vektoren, Ähnlichkeit zwischen Datensätzen

Vektor-Addition

Zwei Vektoren werden komponentenweise addiert:

a⃗ + b⃗ = (a_x + b_x, a_y + b_y)

Geometrisch: hänge b⃗ an die Spitze von a⃗. Der Summenvektor zeigt vom Ursprung zur neuen Spitze.

Beispiel: a⃗ = (3, 1), b⃗ = (1, 4) → a⃗ + b⃗ = (4, 5).

Skalarmultiplikation

Eine Zahl (Skalar) mal Vektor:

k · a⃗ = (k · a_x, k · a_y)

• k > 0: gleiche Richtung, Länge ändert sich um Faktor k
• k < 0: entgegengesetzte Richtung
• k = 0: Nullvektor

Länge eines Vektors

Mit dem Satz des Pythagoras:

|a⃗| = √(a_x² + a_y²)

Beispiel: a⃗ = (3, 4) → |a⃗| = √(9 + 16) = √(25) = 5.

Skalarprodukt (Dot Product)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren liefert eine Zahl (kein Vektor):

a⃗ · b⃗ = a_x · b_x + a_y · b_y

Es ist ein Maß für die Ähnlichkeit der Richtung.

Geometrische Bedeutung

a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos(θ)

wobei θ der Winkel zwischen den Vektoren ist.

Klausur-Trick: orthogonal-Test geht super-einfach: a⃗ · b⃗ stackrel?= 0.

Beispiel

a⃗ = (3, 1), b⃗ = (-1, 3).

a⃗ · b⃗ = 3 · (-1) + 1 · 3 = -3 + 3 = 0

→ orthogonal, der Winkel ist genau 90°.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus dem Skalarprodukt-Trick lässt sich direkt der Winkel berechnen:

cos(θ) = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗| · |b⃗|)

θ = arccos((a⃗ · b⃗)/(|a⃗| · |b⃗|))

Vektoren in höheren Dimensionen

Alle Operationen verallgemeinern sich problemlos auf 3D, 4D oder n-dimensionale Vektoren:

a⃗ · b⃗ = Σ_(i=1)ⁿ a_i · b_i

Das ist der Kern vom Skalarprodukt im n-dimensionalen Raum und in Machine Learning der wichtigste Operator überhaupt: er misst Ähnlichkeit zwischen zwei Daten-Vektoren.

Klausur-Klassiker

Aufgabe 1: Sind die Vektoren orthogonal?

Gegeben: a⃗ = (4, 6), b⃗ = (3, -2).

Lösung: a⃗ · b⃗ = 4 · 3 + 6 · (-2) = 12 - 12 = 0.

→ Ja, orthogonal.

Aufgabe 2: Welcher Wert von k macht die Vektoren orthogonal?

Gegeben: a⃗ = (2, 3), b⃗ = (k, -4). Bestimme k so dass orthogonal.

Lösung: a⃗ · b⃗ = 2k + 3 · (-4) = 0 ⇒ 2k = 12 ⇒ k = 6.

Aufgabe 3: Berechne den Winkel zwischen a⃗ = (1, 0) und b⃗ = (1, 1).

|a⃗| = 1, |b⃗| = √(2), a⃗ · b⃗ = 1

cos(θ) = 1/(1 · √(2)) = 1/(√(2)) ⇒ θ = 45°

Merksatz

Skalarprodukt = 0 ⇔ orthogonal (für vom Nullvektor verschiedene Vektoren). Das ist das wichtigste Tool aus der Vektorrechnung in Klausuren.

Vektoren live

Stell die Komponenten der Vektoren a⃗ (blau) und b⃗ (lila) ein. Live-Anzeige oben: Längen, Skalarprodukt, Winkel.

Probier folgendes:

• Orthogonal: setze a⃗ = (3, 0) und b⃗ = (0, 4). Skalarprodukt wird 0, Winkel 90°.
• Parallel: a⃗ = (2, 1) und b⃗ = (4, 2), gleiche Richtung. Bei festen Längen ist a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| (maximal positiv).
• Antiparallel: a⃗ = (3, 1) und b⃗ = (-3, -1), entgegengesetzt. Bei festen Längen ist Skalarprodukt = -|a⃗| · |b⃗| (maximal negativ). Ohne feste Längen kann das Skalarprodukt durch Skalieren beliebig groß / klein werden.
• Anzeige umstellen auf "a + b": die Summe wird als Vermillion-Vektor gezeichnet, du siehst die Parallelogramm-Regel.

Faustregel zum Mitnehmen: Skalarprodukt misst Ähnlichkeit der Richtung. Positiv = ähnlich, 0 = senkrecht, negativ = entgegengesetzt. Diese Intuition ist auch in Machine Learning relevant (Cosine Similarity zwischen Daten-Vektoren).