Gerichtete Größen mit Komponenten und Länge. Addition, Skalarprodukt, Winkel, Orthogonalität. Grundlage für lineare Algebra, Computergrafik und Machine Learning.
Ein Vektor ist eine gerichtete Größe mit Länge und Richtung, geschrieben als Spalte aus Zahlen. In 2D oft als Pfeil vom Ursprung zu einem Punkt (x, y) visualisiert. Klausurrelevant in Mathe-Grundlagen, Linearer Algebra und Physik-naher Informatik.
Die Operationen die du in der Klausur können musst:
In Klausuren wirst du oft gefragt: berechne Betrag, Skalarprodukt, oder den Winkel zwischen zwei Vektoren (cos α = (a · b) / (|a| · |b|)). Plus Anwendungsaufgaben mit Geraden im Raum oder Ebenen.
Zwei Vektoren werden komponentenweise addiert:
Geometrisch: hänge an die Spitze von . Der Summenvektor zeigt vom Ursprung zur neuen Spitze.
Beispiel: , → .
Eine Zahl (Skalar) mal Vektor:
Mit dem Satz des Pythagoras:
Beispiel: → .
Das Skalarprodukt zweier Vektoren liefert eine Zahl (kein Vektor):
Es ist ein Maß für die Ähnlichkeit der Richtung.
wobei der Winkel zwischen den Vektoren ist.
| Skalarprodukt | Winkel | Bedeutung |
|---|---|---|
| Vektoren zeigen in ähnliche Richtung | ||
| Vektoren sind orthogonal (senkrecht) | ||
| Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtung |
Klausur-Trick: orthogonal-Test geht super-einfach: .
, .
→ orthogonal, der Winkel ist genau 90°.
Aus dem Skalarprodukt-Trick lässt sich direkt der Winkel berechnen:
Alle Operationen verallgemeinern sich problemlos auf 3D, 4D oder n-dimensionale Vektoren:
Das ist der Kern vom Skalarprodukt im n-dimensionalen Raum und in Machine Learning der wichtigste Operator überhaupt: er misst Ähnlichkeit zwischen zwei Daten-Vektoren.
Gegeben: , .
Lösung: .
→ Ja, orthogonal.
Gegeben: , . Bestimme so dass orthogonal.
Lösung: .
Skalarprodukt = 0 ⇔ orthogonal (für vom Nullvektor verschiedene Vektoren). Das ist das wichtigste Tool aus der Vektorrechnung in Klausuren.
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Ein Vektor ist eine gerichtete Größe mit Länge und Richtung, geschrieben als Spalte aus Zahlen. In 2D oft als Pfeil vom Ursprung zu einem Punkt (x, y) visualisiert. Klausurrelevant in Mathe-Grundlagen, Linearer Algebra und Physik-naher Informatik.
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Die Operationen die du in der Klausur können musst:
In Klausuren wirst du oft gefragt: berechne Betrag, Skalarprodukt, oder den Winkel zwischen zwei Vektoren (cos α = (a · b) / (|a| · |b|)). Plus Anwendungsaufgaben mit Geraden im Raum oder Ebenen.
Zwei Vektoren werden komponentenweise addiert:
a⃗ + b⃗ = (a_x + b_x, a_y + b_y)
Geometrisch: hänge b⃗ an die Spitze von a⃗. Der Summenvektor zeigt vom Ursprung zur neuen Spitze.
Beispiel: a⃗ = (3, 1), b⃗ = (1, 4) → a⃗ + b⃗ = (4, 5).
Eine Zahl (Skalar) mal Vektor:
k · a⃗ = (k · a_x, k · a_y)
k > 0: gleiche Richtung, Länge ändert sich um Faktor kk < 0: entgegengesetzte Richtungk = 0: NullvektorMit dem Satz des Pythagoras:
|a⃗| = √(a_x² + a_y²)
Beispiel: a⃗ = (3, 4) → |a⃗| = √(9 + 16) = √(25) = 5.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren liefert eine Zahl (kein Vektor):
a⃗ · b⃗ = a_x · b_x + a_y · b_y
Es ist ein Maß für die Ähnlichkeit der Richtung.
a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos(θ)
wobei θ der Winkel zwischen den Vektoren ist.
| Skalarprodukt | Winkel | Bedeutung |
|---|---|---|
> 0 | < 90° | Vektoren zeigen in ähnliche Richtung |
= 0 | = 90° | Vektoren sind orthogonal (senkrecht) |
< 0 | > 90° | Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtung |
Klausur-Trick: orthogonal-Test geht super-einfach: a⃗ · b⃗ stackrel?= 0.
a⃗ = (3, 1), b⃗ = (-1, 3).
a⃗ · b⃗ = 3 · (-1) + 1 · 3 = -3 + 3 = 0
→ orthogonal, der Winkel ist genau 90°.
Aus dem Skalarprodukt-Trick lässt sich direkt der Winkel berechnen:
cos(θ) = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗| · |b⃗|)
θ = arccos((a⃗ · b⃗)/(|a⃗| · |b⃗|))
Alle Operationen verallgemeinern sich problemlos auf 3D, 4D oder n-dimensionale Vektoren:
a⃗ · b⃗ = Σ_(i=1)ⁿ a_i · b_i
Das ist der Kern vom Skalarprodukt im n-dimensionalen Raum und in Machine Learning der wichtigste Operator überhaupt: er misst Ähnlichkeit zwischen zwei Daten-Vektoren.
Gegeben: a⃗ = (4, 6), b⃗ = (3, -2).
Lösung: a⃗ · b⃗ = 4 · 3 + 6 · (-2) = 12 - 12 = 0.
→ Ja, orthogonal.
k macht die Vektoren orthogonal?Gegeben: a⃗ = (2, 3), b⃗ = (k, -4). Bestimme k so dass orthogonal.
Lösung: a⃗ · b⃗ = 2k + 3 · (-4) = 0 ⇒ 2k = 12 ⇒ k = 6.
a⃗ = (1, 0) und b⃗ = (1, 1).|a⃗| = 1, |b⃗| = √(2), a⃗ · b⃗ = 1
cos(θ) = 1/(1 · √(2)) = 1/(√(2)) ⇒ θ = 45°
Skalarprodukt = 0 ⇔ orthogonal (für vom Nullvektor verschiedene Vektoren). Das ist das wichtigste Tool aus der Vektorrechnung in Klausuren.
Stell die Komponenten der Vektoren a⃗ (blau) und b⃗ (lila) ein. Live-Anzeige oben: Längen, Skalarprodukt, Winkel.
Probier folgendes:
a⃗ = (3, 0) und b⃗ = (0, 4). Skalarprodukt wird 0, Winkel 90°.a⃗ = (2, 1) und b⃗ = (4, 2) — gleiche Richtung, a⃗ · b⃗ maximal positiv.a⃗ = (3, 1) und b⃗ = (-3, -1) — entgegengesetzt, Skalarprodukt maximal negativ.Interaktive Visualisierung
Visualisiert 2D-Vektoren mit Addition, Skalarmultiplikation und Skalarprodukt.
Faustregel zum Mitnehmen: Skalarprodukt misst Ähnlichkeit der Richtung. Positiv = ähnlich, 0 = senkrecht, negativ = entgegengesetzt. Diese Intuition ist auch in Machine Learning relevant (Cosine Similarity zwischen Daten-Vektoren).
Klausurfragen mit Lösungen (7)
Antwort: (5, 4)
Erklärung: Komponentenweise addieren: (2+3, 5+(-1)) = (5, 4).
Antwort: −7
Erklärung: a · b = 4·2 + (−3)·5 = 8 − 15 = −7. Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor!
Antwort: Sie sind orthogonal (90° Winkel)
Erklärung: Skalarprodukt = 0 bedeutet cos(θ) = 0, also θ = 90°. Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.
Antwort: 10
Erklärung: |a| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Klassisches 6-8-10-Dreieck.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: k = 6
Erklärung: Orthogonalitäts-Bedingung: a · b = 0 ⇒ 2k + 3·(-4) = 0 ⇒ 2k = 12 ⇒ k = 6.
Antwort: Es misst, wie ähnlich die Richtungen sind
Erklärung: a · b = |a|·|b|·cos(θ). Es ist ein Maß für die Ähnlichkeit der Richtungen: positiv bei spitzem Winkel, 0 bei orthogonal, negativ bei stumpfem Winkel.
Antwort: (-6, 3)
Erklärung: k·a = (k·ax, k·ay) = (-3·2, -3·(-1)) = (-6, 3). Die Richtung kehrt sich um (negativer Skalar) und die Länge verdreifacht sich.