Matrizen.

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten. Klausurrelevant für lineare Gleichungssysteme, Transformationen in der Computergrafik und Datenanalyse. Größenangabe: m × n bedeutet m Zeilen, n Spalten.

Die Operationen die du in der Klausur können musst:

• Addition / Subtraktion: komponentenweise, nur bei gleicher Größe
• Skalarmultiplikation: jeder Eintrag wird mit dem Skalar multipliziert
• Matrix-Vektor-Multiplikation: m × n Matrix mal n-Vektor ergibt m-Vektor
• Matrix-Matrix-Multiplikation: A (m×n) · B (n×p) = C (m×p), nicht kommutativ!
• Transponieren: Aᵀ vertauscht Zeilen und Spalten
• Einheitsmatrix I: hat 1 auf der Diagonale, 0 sonst, neutral bei Multiplikation

In Klausuren wirst du oft gefragt: berechne A · B oder löse das lineare Gleichungssystem mit Gauß-Verfahren. Wichtig: bei A · B muss die Spaltenzahl von A der Zeilenzahl von B entsprechen, sonst nicht definiert.

Das Problem

Du hast mehrere Gleichungen gleichzeitig zu lösen:

2x + 3y = 12
x  - y  = 1

Oder du willst Daten verarbeiten: 1.000 Bilder × je 784 Pixel, wie speichern, wie transformieren? Antwort: als Matrix.

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten. Eine 2×3-Matrix hat 2 Zeilen und 3 Spalten.

A = ⎡ 1  2  3 ⎤        2 Zeilen, 3 Spalten → 2×3
    ⎣ 4  5  6 ⎦

Notation und Begriffe

Klausurfalle Indexierung: in der Mathematik 1-basiert (A_(11) = oben links). In Code (Java/Python) 0-basiert (A[0][0]).

Vier Grundoperationen

1. Addition / Subtraktion

Elementweise, nur bei gleicher Dimension.

[[1, 2], [3, 4]] + [[5, 6], [7, 8]] = [[6, 8], [10, 12]]

Voraussetzung: gleiche m und n. Sonst nicht definiert.

2. Skalar-Multiplikation

Jedes Element mit dem Skalar multiplizieren.

3 · [[1, 2], [3, 4]] = [[3, 6], [9, 12]]

3. Matrix-Multiplikation

Klausur-Killer Nummer 1. Nicht elementweise!

(A · B)_(ij) = Σ_k A_(ik) · B_(kj)

Sprich: Zeile i von A mit Spalte j von B als Skalarprodukt.

A = ⎡ 1  2 ⎤    B = ⎡ 5  6 ⎤    A·B = ?
    ⎣ 3  4 ⎦        ⎣ 7  8 ⎦

(A·B)[1][1] = Zeile 1 von A · Spalte 1 von B
            = 1·5 + 2·7
            = 5 + 14 = 19

(A·B)[1][2] = 1·6 + 2·8 = 22
(A·B)[2][1] = 3·5 + 4·7 = 43
(A·B)[2][2] = 3·6 + 4·8 = 50

A·B = ⎡ 19  22 ⎤
      ⎣ 43  50 ⎦

Voraussetzung: Spalten von A = Zeilen von B. Bei (m×n) · (n×p) → Ergebnis ist (m×p). Wenn Dimensionen nicht passen → Multiplikation nicht definiert.

Achtung: A·B ≠ B·A im Allgemeinen, Matrix-Multiplikation ist NICHT kommutativ! Klausur-Klassiker.

4. Transposition

Zeilen werden Spalten, Spiegeln an der Hauptdiagonale.

A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] A^T = [[1, 4], [2, 5], [3, 6]]

Aus 2×3 wird 3×2. Element A_(ij) wandert nach A^T_(ji).

Symmetrisch heißt: A = A^T. Funktioniert nur bei quadratischen Matrizen.

Determinante

Eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird. Sagt: ist die Matrix invertierbar (det ≠ 0) oder nicht (det = 0)?

2×2-Determinante

det [[a, b], [c, d]] = ad - bc

Beispiel: det[[2, 3], [1, 4]] = 2 · 4 - 3 · 1 = 5

Trick zum Merken: Hauptdiagonale minus Nebendiagonale.

3×3-Determinante: Sarrus-Regel

⎡ a  b  c ⎤
⎢ d  e  f ⎥
⎣ g  h  i ⎦

det = (aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + bdi)
       └── nach unten ──┘  └── nach oben ──┘

Sarrus funktioniert nur bei 3×3. Bei 4×4 und größer braucht's andere Methoden (Laplace-Entwicklung, Gauß).

Eigenschaften:

• det(A·B) = det(A) · det(B), multiplikativ
• det(A) = det(A^T), Transposition ändert nichts
• det = 0 ⇔ Spalten/Zeilen linear abhängig ⇔ Matrix nicht invertierbar (singulär)

Inverse Matrix

Die Inverse A^(-1) einer quadratischen Matrix A erfüllt A · A^(-1) = A^(-1) · A = I (Einheitsmatrix).

Existenz: eine quadratische Matrix ist invertierbar genau dann, wenn det(A) ≠ 0. Nicht-quadratische Matrizen haben keine klassische Inverse (höchstens eine Pseudoinverse).

2×2-Inverse

A^(-1) = 1/(det A) · [[d, -b], [-c, a]]

Beispiel: A = [[2, 3], [1, 4]], det = 5. A^(-1) = 1/5 [[4, -3], [-1, 2]] = [[0.8, -0.6], [-0.2, 0.4]]

Bei 3×3 und größer: Gauß-Jordan-Verfahren oder Cramer'sche Regel.

Wofür?

Lineares Gleichungssystem Ax = b lösen: x = A^(-1) · b

Aber Vorsicht: in der Praxis wird selten A^(-1) explizit berechnet, direkter Gauß-Algorithmus ist effizienter und numerisch stabiler.

Lineare Gleichungssysteme

Ein System wie:

2x + 3y = 12
x  - y  = 1

lässt sich als A x = b schreiben:

underbrace[[2, 3], [1, -1]]_(A) underbrace(x, y)_(x) = underbrace(12, 1)_(b)

Drei Lösungsmethoden

Gauß-Verfahren auf einen Blick

Bringe die erweiterte Matrix (A | b) in Stufenform:

⎡ 2  3 |12 ⎤              ⎡ 1 -1  | 1 ⎤   tausche & teile
⎢ 1 -1 | 1 ⎥   →          ⎣ 0  5  |10 ⎦   subtrahiere

→ y = 10/5 = 2
→ x − y = 1 → x = 3

Drei elementare Zeilenumformungen (verändern die Lösung nicht):

1. Zwei Zeilen vertauschen
2. Zeile mit Skalar multiplizieren (≠ 0)
3. Vielfaches einer Zeile zu anderer addieren

Lösbarkeit

Bei einer quadratischen Koeffizientenmatrix A:

Bei rechteckigen A (mehr/weniger Zeilen als Spalten) entscheidet immer der Rang-Vergleich:

• Lösbar genau dann, wenn Rang(A) = Rang(A mid b) (Konsistenz).
• Eindeutig lösbar genau dann, wenn zusätzlich Rang(A) = Anzahl der Variablen.
• Sonst (lösbar, aber Rang < Anzahl Variablen) → unendlich viele Lösungen.

Wichtige spezielle Matrizen

Einheitsmatrix I: Multiplikation ändert nichts. A · I = I · A = A

Diagonalmatrix: alle Einträge außerhalb der Hauptdiagonale sind 0 (Diagonalwerte dürfen auch 0 sein). Multiplikation entspricht Skalierung pro Achse.

Drehmatrix (in 2D): R(θ) = [[cosθ, -sinθ], [sinθ, cosθ]]

Wendet eine Drehung um Winkel θ an.

Permutationsmatrix: vertauscht Zeilen/Spalten beim Multiplizieren.

Klausur-Tricks

Trick 1, Dimensionen prüfen: bevor du multiplizierst, immer die Dimensionen checken.

(m × n) · (n × p) = (m × p)        ✓
(m × n) · (p × q) wenn n ≠ p        ✗ undefiniert

Trick 2, Multiplikation ist nicht kommutativ: A·B = B·A gilt nur in Sonderfällen (z.B. eine ist Einheitsmatrix). Klausur testet das gerne.

Trick 3, Determinante = 0 → singulär: Matrix nicht invertierbar, lineares Gleichungssystem hat unendliche oder keine Lösung.

Trick 4, 2×2-Determinante auswendig: ad - bc. Hauptdiagonale minus Nebendiagonale. Eine Sekunde.

Trick 5, Sarrus nur bei 3×3: bei 4×4 und größer NICHT anwendbar.

Trick 6, Skalar zieht aus: det(c · A) = cⁿ · det(A) (n = Größe). Trick: skalierst du eine Zeile mit c, multipliziert sich die Det mit c. Skalierst du alle Zeilen mit c, mit cⁿ.

Trick 7, Transposition rückgängig: (A^T)^T = A. Doppelt transponiert = Original.

Trick 8, (A · B)^T = B^T · A^T: Reihenfolge dreht sich beim Transponieren!

Trick 9, Inverse von Produkten: (A · B)^(-1) = B^(-1) · A^(-1). Reihenfolge dreht sich auch hier.

Trick 10, Spaltensicht: A · x⃗ ist eine Linearkombination der Spalten von A mit den Koeffizienten in x⃗. Kommt häufig in Klausuren über lineare Abhängigkeit.

Wo brauchst du Matrizen?

• Computergrafik: 3D-Transformationen (Rotation, Skalierung, Translation) als 4×4-Matrizen
• Computer Vision: Bilder sind Matrizen aus Pixelwerten
• Machine Learning: Daten als Matrix (Zeilen = Samples, Spalten = Features). Neuronale Netze = große Matrix-Multiplikationen
• Datenbanken: relationale Algebra arbeitet auf Tabellen/Relationen, nicht klassisch auf Matrizen. Matrizen sind eher relevant für Datenanalyse (Pivot-Tabellen), lineare Modelle und Embedding-/Feature-Matrizen in ML-Pipelines.
• Wirtschaft / Operations Research: Input-Output-Tabellen, Linear Programming
• Physik / Engineering: Steifigkeitsmatrizen in der Statik, Quanten-Operatoren in der Physik
• Game-Design: Schach-Brett als 8×8-Matrix, Kollisions-Detection
• Statistik: Kovarianzmatrizen, Regressions-Koeffizienten

Faustregel: wenn du mehrere Größen gleichzeitig transformieren oder kombinieren willst, Matrix. Numpy/Pandas/Linear-Algebra-Bibliotheken sind ein Lebensretter, weil per Hand fehleranfällig.

Matrix-Lab

Editiere zwei Matrizen A und B (klick die Felder, tipp Zahlen). Wähle eine Operation und sieh das Ergebnis live.

Probier folgendes:

• A + B: elementweise, gleiche Dimension nötig
• A · B (Multiplikation): klick Play und sieh die Animation: pro Zelle wird i-te Zeile von A mit j-ter Spalte von B kombiniert. Oben in den Matrizen leuchten die aktuellen Zeile/Spalte rot. Unten zeigt die Berechnungs-Box den exakten Schritt.
• det(A): Determinante als einzelne Zahl. Bei 0 → Matrix singulär (nicht invertierbar)
• Aᵀ: Transposition, Zeilen werden Spalten. Bei symmetrischer Matrix: Aᵀ = A
• Toggle 2×2 / 3×3: Sarrus bei 3×3-Determinante automatisch

Klausur-Lehrziel: Sieh mit eigenen Augen wie Matrix-Multiplikation nicht elementweise ist, das ist die größte Verwirrung am Anfang.

Faustregel zum Mitnehmen: Bei Matrix-Multiplikation: Zeile mal Spalte (Skalarprodukt), nicht elementweise. Voraussetzung: Spalten von A = Zeilen von B. A·B ≠ B·A im Allgemeinen.