Forschungsmethoden und Statistik. Hypothesentests, Regression, ANOVA, χ², die quantitativen Pflicht-Module ohne Formel-Panik.
y = mx + b verstehen, Graph zeichnen, Werte berechnen. Die Grundlage für Algorithmus-Laufzeit, Kostenmodelle und einfache Regression.
f(x) = ax² + bx + c. Parabeln verstehen, Scheitelpunkt finden, Nullstellen berechnen mit pq- und abc-Formel. Drei Darstellungsformen und wann welche.
Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten: Tangentensteigung als Grenzwert der Sekantensteigungen. Grundregeln (Potenz, Faktor, Summe, Differenz) und erweiterte Regeln (Produkt, Quotient, Kette). Extremwerte über die notwendige Bedingung f'(x) = 0 und hinreichende Bedingung mit f''.
Fläche unter der Kurve: Riemann-Summen, Stammfunktion und Hauptsatz. Bestimmtes vs. unbestimmtes Integral, Potenzregel rückwärts. Die zweite Säule der Analysis.
Gerichtete Größen mit Komponenten und Länge. Addition, Skalarprodukt, Winkel, Orthogonalität. Grundlage für lineare Algebra, Computergrafik und Machine Learning.
Sammlungen verstehen: Vereinigung, Schnitt, Differenz, Komplement. Venn-Diagramme, De Morgansche Regeln, Inklusion-Exklusion. Grundlage für Logik, Datenbanken und Wahrscheinlichkeit.
Wahr und Falsch verknüpfen: AND, OR, NOT, Implikation. Wahrheitstabellen, Tautologien, De Morgan. Grundlage für jede if-Bedingung in Code und für mathematische Beweise.
Vom Würfel zur Vorhersage: Ergebnisraum, Laplace, Gegenereignis, Unabhängigkeit. Wahrscheinlichkeits-Lab mit 5 Szenarien (Münze, Würfel, Karte, Urne, 2-Würfel-Summe) zeigt das Gesetz der großen Zahlen, auch bei ungleicher Verteilung.
Die Mathematik des Zählens: Variation, Permutation und Kombination, mit oder ohne Wiederholung. Lotto (Kombination), PIN (Variation mit Wdh), 5 Bücher anordnen (Permutation). Mit Entscheidungstabelle und Explorer für n und k.
Mittelwert, Median, Modus, Varianz, Standardabweichung, Quartile, Boxplot. Mit interaktivem Statistik-Lab, sieh wie ein einziger Ausreißer den Mittelwert zerlegt, der Median aber ruhig bleibt.
Tabellen aus Zahlen, die Sprache der linearen Algebra. Addition, Multiplikation (nicht elementweise!), Transposition, Determinante. Mit Matrix-Lab und animierter Multiplikation Zelle-für-Zelle.
Bruch, Dezimal, Prozent, Promille, vier Schreibweisen für denselben Anteil. Kürzen, Erweitern, Prozent-Rechnung mit Grundwert / Prozentwert / Prozentsatz.
Wachstum und Zerfall: a^x und log_a(x) als Inversen. Zinseszins, 72er-Regel, Halbwertszeit, log₂ in der Informatik. Mit Funktions-Plotter und Verdopplungs-Rechner.
Einfacher Zins vs. Zinseszins, Aufzinsen ↔ Abzinsen mit Diskontfaktor, unterjährige Verzinsung (30/360-Konvention), Effektivzins vs. Nominalzins. Vorstufe für Investitions-, Renten- und Tilgungsrechnung.
Folge gleicher Zahlungen, Endwert und Barwert vor- vs. nachschüssiger Renten, ewige Rente als Sonderfall, Brücke zu Annuitätendarlehen und DCF-Bewertung.
Annuitäten- vs Ratentilgung mit interaktivem Tilgungsplan: Restschuld nach t Jahren, Annuitäten-Faktor, Disagio + Aufgaben mit Lösungen.
Lineare Programmierung: Modellierung als Zielfunktion + Restriktionen, 2D-grafische Lösung über Polygon-Ecken, Simplex-Algorithmus, Spezialfälle (unbeschränkt, mehrfach optimal) und Sensitivitäts-/Schattenpreis-Analyse.
Arithmetische und geometrische Folgen, Partialsummen, Konvergenzbegriff und wichtige Grenzwerte. Geometrische Reihe als Rückgrat der Wirtschaftsmathe (ewige Rente, Zinseszins, NPV).
Funktionen mehrerer Variablen: partielle Ableitungen, Gradient, Hesse-Matrix und Klassifikation kritischer Punkte (Min/Max/Sattel). Anwendungen in Cobb-Douglas, Nutzenmaximierung und Optimierung.
Die 4 Standard-Techniken jeder Mathe-1-Klausur: direkter Beweis, Widerspruchsbeweis (klassisch für √2 irrational), vollständige Induktion (für 'für alle n ∈ ℕ'), Kontraposition. Plus Gegenbeispiel zum Widerlegen. Mit Beweis-Stepper für 3 klassische Beweise Schritt für Schritt.
Wie man Winkel zwischen Vektoren berechnet. Skalarprodukt algebraisch (Komponenten-Summe) + geometrisch (|u|·|v|·cos α), Norm via √(v·v), Orthogonalität ⇔ Skalarprodukt = 0, Cauchy-Schwarz-Ungleichung, orthogonale Projektion mit Anwendung in Least-Squares. Mit interaktivem Vektor-Lab.
Funktionen zwischen Vektorräumen, die Additivität + Homogenität erfüllen. Matrix-Darstellung über Bilder der Standard-Basisvektoren, Bild und Kern als Unterräume, Dimensionssatz (Rangsatz), injektiv/surjektiv/bijektiv, Komposition = Matrix-Multiplikation. Mit Transformations-Lab (Drehung, Spiegelung, Streckung, Scherung).
Vektoren, die unter einer Matrix-Transformation nur gestreckt (nicht gedreht) werden. Charakteristisches Polynom det(A−λI)=0 für Eigenwerte, Gauß für Eigenvektoren, Spur/Determinante als Shortcuts, Diagonalisierung A=PDP⁻¹. Grundlage für PCA, Google PageRank, Quantenmechanik. Mit Transformations-Visualizer.
Eine Zahl, die alles über eine Matrix sagt: invertierbar oder nicht, Lösungstyp des LGS, vorzeichenbehaftetes Volumen. 2×2-Formel ad−bc, Sarrus für 3×3, Laplace-Entwicklung für größere Matrizen, Gauß-Methode mit Operations-Tracking. Mit Parallelogramm-Lab als geometrische Anschauung.
Das Standard-Werkzeug zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Stufenform durch Zeilen-Operationen, Rückwärts-Einsetzen, Rang einer Matrix, Rouché-Capelli-Kriterium für Lösungstyp (eindeutig / unendlich / keine Lösung). Mit Tableau-Stepper für 3 Szenarien, die Standardtechnik jeder LinAlg-Klausur.
Einführung in Differentialgleichungen für dynamische Vorgänge (Wachstum, Zerfall, Schwingungen). Klassifikation (Ordnung, linear/nicht-linear, homogen/inhomogen), Trennung der Variablen für 1. Ordnung, charakteristische Gleichung für 2. Ordnung (3 Fälle Diskriminante), Anfangswertprobleme, klassische Modelle. Mit interaktivem Lösungs-Plot.
Doppel- und Dreifachintegrale für Funktionen mehrerer Variablen. Fubini für Vertauschen der Reihenfolge, nicht-rechteckige Bereiche, Polar-/Kugel-Koordinaten mit Jacobi-Determinante, Anwendungen (Fläche/Volumen/Masse/Schwerpunkt/Trägheitsmoment/Wahrscheinlichkeit). Mit interaktivem Doppelintegral-Visualizer.
Polynom-Approximation einer Funktion um einen Entwicklungspunkt. Taylor-Formel mit Ableitungen + Faktoriellen, Maclaurin als Spezialfall ($x_0=0$), Standard-Reihen ($e^x, \sin, \cos, \ln$), Restglied (Lagrange-Form), Konvergenzradius, Anwendungen (Linearisierung, numerische Berechnung). Mit interaktivem Approximations-Plot.
Pilot Welle 14, der mathematische Klausur-Klassiker für Optimierung mit Nebenbedingungen. Lagrange-Funktion $\mathcal{L} = f - \lambda(g - c)$, notwendige Bedingungen (3 partielle Ableitungen = 0), Schattenpreis-Interpretation, KKT für Ungleichungs-NB. Mit interaktivem Höhenlinien-Plot.
Mathematische Definition der 'ohne abzusetzen zeichnen'-Eigenschaft. 3 Bedingungen (Funktionswert + Limes + Gleichheit), 4 Unstetigkeitstypen (hebbar/Sprung/Pol/Oszillation), Zwischenwertsatz für Nullstellen-Existenz, Satz von Weierstraß für Max/Min, ε-δ-Definition (formal). Mit Visualizer für alle 4 Unstetigkeitstypen.
Die wichtigste stetige Verteilung der Statistik. Glockenkurve, Standardisierung, Z-Score, 68-95-99,7-Regel und Tabellen-Lookup für Klausur-Aufgaben.
Binomialverteilung B(n,p) und Poisson-Verteilung Po(λ) mit Formel, Erwartungswert (np bzw. λ), Varianz und Approximationen Binomial→Poisson→Normal.
Bereich um den Stichprobenmittelwert, in dem der wahre Populationsmittelwert mit (1−α) Sicherheit liegt. Standard-Quantile, Wurzel-Gesetz, Stichprobenplanung, Klausur-Pflicht.
Datenbasierte Entscheidung über Behauptungen zur Population. Hypothesen H₀/H₁, einseitig vs. zweiseitig, z-Test, p-Wert, Fehler 1. und 2. Art, Klausur-Pflicht.
Hypothesentest für Mittelwerte bei unbekanntem σ. Drei Varianten (Ein-Stichproben, Zwei-Stichproben, Gepaart), t-Verteilung mit Freiheitsgraden, Klausur-Pflicht.
Misst Zusammenhänge zwischen zwei Variablen. Pearson für linearen Zusammenhang, Spearman für ordinale oder Ausreißer-behaftete Daten. Wertebereich −1 bis +1, plus Bestimmtheitsmaß r².
Regressionsgerade y = a + b·x mit OLS-Methode, Bestimmtheitsmaß R², Residuen-Plot, Gauss-Markov-Voraussetzungen + Klausur-Aufgaben. Mit interaktivem Plot.
Test für kategoriale Daten: passen beobachtete Häufigkeiten zu erwarteten? Drei Varianten (Anpassungs-, Unabhängigkeits-, Homogenitätstest), Σ(O−E)²/E, df = (r−1)(c−1).
Vergleich von Mittelwerten mehrerer Gruppen mit dem F-Test. Quadrat-Summen-Zerlegung SST = SSB + SSW, F = MSB/MSW, Voraussetzungen und Post-hoc-Tests.
Qualitativ vs. quantitativ, diskret vs. stetig, und vor allem die 4 Skalenniveaus (nominal/ordinal/intervall/verhältnis). Klausur-Klassifikator mit Entscheidungsbaum + Trainings-Spiel mit 12 Variablen. Pflicht-Basis für jede Statistik-Aufgabe, falsche Skala führt zu falschem Test und falschem Diagramm.
Mittelwert, Median, Modus + Spannweite, Varianz, Standardabweichung, IQR. Robustheits-Frage 'Mittelwert oder Median?' am interaktiven Lab mit Boxplot durchspielen, sieh wie ein Ausreißer den Mittelwert kippt, der Median ruhig bleibt. Klausur-Klassiker zu Stichproben- vs. Populationsvarianz und Quartil-Methoden.
Absolute vs. relative Häufigkeit, Histogramm-Erstellung, Bin-Breite-Wahl (Sturges/Scott/Freedman-Diaconis), kumulierte Häufigkeit als EDF. Interaktives Lab mit 4 Datensätzen (Normal/Bimodal/Schief/Ausreißer) und Bin-Slider, sieh wie Bimodalität bei zu wenigen Bins verschwindet und ab welcher Anzahl sie sichtbar wird.
Warum Stichprobenmittel annähernd normalverteilt sind, egal aus welcher Ausgangsverteilung. Wurzel-n-Regel, Standardfehler σ/√n, Z-Wert für Stichprobenmittel. Interaktiver Simulator mit Würfel/Exponential/Bimodal als Ausgang, der CLT in Echtzeit zeigt. Grundlage für jeden t-Test, jedes Konfidenzintervall und jede Stichproben-basierte Inferenz.
Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B), Multiplikationssatz, Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und Bayes-Theorem. Vier-Felder-Tafel als Klausur-Werkzeug, medizinischer Test als Klassiker, Falsch-Positiv-Falle bei seltenen Krankheiten.
Rechenregeln für E(X) und Var(X): Linearität, Skalierung mit a², Summen mit/ohne Unabhängigkeit, Verschiebungssatz, klassische E/Var je Verteilung.
Stetige Verteilungen: Dichte als Fläche, Exponentialverteilung mit Gedächtnislosigkeit, Gleichverteilung mit Erwartungswert und Varianz.
Maximum-Likelihood: Likelihood und Log-Likelihood, Score-Gleichung, ML-Schätzer für Bernoulli (p-Dach = k/n) und Normalverteilung, Eigenschaften (konsistent, effizient).
Multiple Regression: mehrere Prädiktoren, partielle Koeffizienten (ceteris paribus), OLS, R² und adjustiertes R², Multikollinearität und Dummy-Variablen.
