Wachstum und Zerfall: a^x und log_a(x) als Inversen. Zinseszins, 72er-Regel, Halbwertszeit, log₂ in der Informatik. Mit Funktions-Plotter und Verdopplungs-Rechner.
Der Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion: log_b(x) = y bedeutet b^y = x. Wenn du wissen willst "welche Potenz von b ergibt x", ist das genau ein Logarithmus. Der reelle Logarithmus ist nur definiert für b > 0, b ≠ 1, x > 0.
Die Bausteine die du in der Klausur können musst:
In Klausuren wirst du oft gefragt: löse die Gleichung 2^x = 100 (Antwort: x = log₂(100) ≈ 6,64) oder vereinfache log-Ausdrücke mit den Rechenregeln. Bei Wachstumsaufgaben: bekanntes Schema mit y = a · b^t und nach t auflösen via Logarithmus.
Du hast 1.000 €. Bei 5 % Zinsen pro Jahr — wann wird daraus 2.000 €?
Jahr 0: 1000 €
Jahr 1: 1050 € = 1000 · 1,05
Jahr 2: 1102,50 € = 1000 · 1,05²
...
Jahr t: 1000 · 1,05^t = 2000 ← gesucht: t
Die Gleichung lässt sich NICHT mit einfacher Algebra lösen — du brauchst den Logarithmus:
Logarithmus = Umkehrung der Exponentialfunktion. Wenn die Variable im Exponenten steht, brauchst du Log zum Auflösen.
| a | Verhalten | Beispiel |
|---|---|---|
| a > 1 | Wachstum (steigt) | Zinsen: 1,05^t |
| a = 1 | konstant | nicht interessant |
| 0 < a < 1 | Zerfall (fällt) | Halbwertszeit: 0,5^t |
Wichtigste Eigenschaften:
a^0 = 1 (jede Zahl hoch 0 = 1)
a^1 = a
a^x · a^y = a^(x+y) Potenzgesetz
a^x / a^y = a^(x-y)
(a^x)^y = a^(x·y)
Klassisch klausurrelevante Basen: 2 (Informatik / Bits), e ≈ 2,72 (Naturwissenschaften / Wachstum), 10 (Alltag / Wissenschaft)
bedeutet .
In Worten: "Welche Potenz von ergibt ?" — bei ganzzahligen Werten anschaulich auch: "Wie oft muss ich mit sich selbst multiplizieren?"
log_2(8) = 3 weil 2^3 = 8
log_2(1024) = 10 weil 2^10 = 1024
log_10(1000) = 3 weil 10^3 = 1000
log_e(e) = 1 weil e^1 = e
| Schreibweise | Basis | Heißt | Wo |
|---|---|---|---|
| oder | 2 | Logarithmus dualis | Informatik |
| oder | 10 | Dezimaler Log | Wissenschaft (pH, dB) |
| oder | e | natürlicher Log | Mathematik / Physik |
In Java/Python ist
Math.log(x)der natürliche Logarithmus (Basis e). Für log10:Math.log10(x). Für log2:Math.log(x) / Math.log(2).
Genau spiegelbildlich zu Potenzgesetzen:
| Regel | Anwendung |
|---|---|
| Produkt → Summe | |
| Quotient → Differenz | |
| Potenz → Faktor | |
| jede Basis hoch 0 = 1 | |
| b^1 = b |
Klausur-Trick: Diese Regeln machen aus Multiplikation Addition. Vor Computern war das die Methode für große Zahlen (Rechenschieber).
Manchmal hast du log zur einen Basis, brauchst aber eine andere.
log_2(100) = ?
= log_10(100) / log_10(2)
= 2 / 0.301
≈ 6,64
Damit kannst du jeden Logarithmus mit einem Taschenrechner berechnen, der nur ln oder log10 hat.
// Java: log_2 selbst berechnen
double log2x = Math.log(x) / Math.log(2);
import math
log2x = math.log(x, 2) # Python: zweites Argument ist Basis
log2x = math.log2(x) # oder direkt log2()
Wann verdoppelt sich Kapital bei Zinssatz p?
1000 · (1 + p/100)^t = 2000
(1 + p/100)^t = 2
t · log(1 + p/100) = log 2
t = log 2 / log(1 + p/100)
Beispiele:
5 %: 72/5 = 14,4 Jahre (exakt 14,2)
10 %: 72/10 = 7,2 Jahre (exakt 7,3)
Die 72er-Regel funktioniert weil für kleine p (Taylorreihe). Im Kopf rechenbar — Klausurfrage in BWL-Klausuren.
N(t) = N₀ · (1/2)^(t/T) T = Halbwertszeit
Carbon-14 hat T = 5.730 Jahre. Nach 5.730 Jahren noch 50 %, nach 11.460 Jahren noch 25 %, …
log₂(n) Operationen für binäre Suche in Liste der Länge n
log₂(1.000.000) ≈ 20 Operationen für 1 Million Elemente!
Logarithmisches Wachstum ist sehr langsam. Verdoppelung der Eingabe = nur EIN zusätzlicher Schritt.
pH = -log₁₀(H⁺-Konzentration) Chemie
dB = 10 · log₁₀(P / P₀) Akustik
Beide sind logarithmisch — eine Erhöhung um 1 bedeutet 10× mehr.
Trick 1 — Potenzgleichungen lösen: Wenn die Variable im Exponenten steht, brauchst du Log.
2^x = 32 → x = log₂(32) = 5
3^x = 81 → x = log₃(81) = 4
Trick 2 — Logarithmus-Regeln auswendig:
Damit lassen sich komplizierte Ausdrücke vereinfachen.
Trick 3 — Basis-Wechsel-Formel:
Egal welche Basis im Zähler/Nenner — Hauptsache gleiche Basis.
Trick 4 — Zwei Spezialwerte:
Trick 5 — Log und Exp sind invers:
Kann man manchmal nutzen um Gleichungen zu vereinfachen.
Trick 6 — log negativer Zahlen ist undefiniert: existiert nicht in . Klausur-Falle bei Anwendungen.
Trick 7 — Logarithmus von 0: ist nicht definiert; nur der Grenzwert geht gegen ().
Trick 8 — log und ln in Code:
Math.log ist ln (natürlicher Log)Math.log10 ist log10math.log(x) ist ln, math.log(x, b) mit BasisTrick 9 — 72er-Regel: Verdopplungszeit ≈ 72/p (für Prozent-Wachstum). Funktioniert für 1 % bis ~20 %.
Trick 10 — Wachstum ist asymmetrisch:
10 Jahre Wachstum +5 % und 10 Jahre Verlust -5 % ergeben NICHT 1, sondern 0,98 (knapp unter Start).
Faustregel: Wenn etwas multiplikativ wächst (Zinsen, Bevölkerung, Bakterien) → Exponential. Wenn der Output viele Größenordnungen umfasst (pH 1 bis 14, Erdbeben 1 bis 10) → Logarithmisch.
Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv · Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur — und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).
Der Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion: log_b(x) = y bedeutet b^y = x. Wenn du wissen willst "welche Potenz von b ergibt x", ist das genau ein Logarithmus. Der reelle Logarithmus ist nur definiert für .
y = mx + b verstehen, Graph zeichnen, Werte berechnen. Die Grundlage für Algorithmus-Laufzeit, Kostenmodelle und einfache Regression.
f(x) = ax² + bx + c. Parabeln verstehen, Scheitelpunkt finden, Nullstellen berechnen mit pq- und abc-Formel. Drei Darstellungsformen und wann welche.
Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten: Tangentensteigung als Grenzwert der Sekantensteigungen. Grundregeln (Potenz, Faktor, Summe, Differenz) und erweiterte Regeln (Produkt, Quotient, Kette). Extremwerte über die notwendige Bedingung f'(x) = 0 und hinreichende Bedingung mit f''.
Die Bausteine die du in der Klausur können musst:
In Klausuren wirst du oft gefragt: löse die Gleichung 2^x = 100 (Antwort: x = log₂(100) ≈ 6,64) oder vereinfache log-Ausdrücke mit den Rechenregeln. Bei Wachstumsaufgaben: bekanntes Schema mit y = a · b^t und nach t auflösen via Logarithmus.
Du hast 1.000 €. Bei 5 % Zinsen pro Jahr — wann wird daraus 2.000 €?
Jahr 0: 1000 €
Jahr 1: 1050 € = 1000 · 1,05
Jahr 2: 1102,50 € = 1000 · 1,05²
...
Jahr t: 1000 · 1,05^t = 2000 ← gesucht: t
Die Gleichung 1,05^t = 2 lässt sich NICHT mit einfacher Algebra lösen — du brauchst den Logarithmus:
t = (ln 2)/(ln 1,05) ≈ 14,2 Jahre
Logarithmus = Umkehrung der Exponentialfunktion. Wenn die Variable im Exponenten steht, brauchst du Log zum Auflösen.
f(x) = a^x mit Basis a > 0, a ≠ 1
| a | Verhalten | Beispiel |
|---|---|---|
| a > 1 | Wachstum (steigt) | Zinsen: 1,05^t |
| a = 1 | konstant | nicht interessant |
| 0 < a < 1 | Zerfall (fällt) | Halbwertszeit: 0,5^t |
Wichtigste Eigenschaften:
a^0 = 1 (jede Zahl hoch 0 = 1)
a^1 = a
a^x · a^y = a^(x+y) Potenzgesetz
a^x / a^y = a^(x-y)
(a^x)^y = a^(x·y)
Klassisch klausurrelevante Basen: 2 (Informatik / Bits), e ≈ 2,72 (Naturwissenschaften / Wachstum), 10 (Alltag / Wissenschaft)
log_a x = ybedeuteta^y = x.
In Worten: "Welche Potenz von a ergibt x?" — bei ganzzahligen Werten anschaulich auch: "Wie oft muss ich a mit sich selbst multiplizieren?"
log_2(8) = 3 weil 2^3 = 8
log_2(1024) = 10 weil 2^10 = 1024
log_10(1000) = 3 weil 10^3 = 1000
log_e(e) = 1 weil e^1 = e
| Schreibweise | Basis | Heißt | Wo |
|---|---|---|---|
log₂ x oder lb x | 2 | Logarithmus dualis | Informatik |
log_(10) x oder lg x | 10 | Dezimaler Log | Wissenschaft (pH, dB) |
log_e x oder ln x | e | natürlicher Log | Mathematik / Physik |
In Java/Python ist
Math.log(x)der natürliche Logarithmus (Basis e). Für log10:Math.log10(x). Für log2:Math.log(x) / Math.log(2).
Genau spiegelbildlich zu Potenzgesetzen:
| Regel | Anwendung |
|---|---|
log(a · b) = log a + log b | Produkt → Summe |
log(a / b) = log a - log b | Quotient → Differenz |
log(aⁿ) = n · log a | Potenz → Faktor |
log_b 1 = 0 | jede Basis hoch 0 = 1 |
log_b b = 1 | b^1 = b |
Klausur-Trick: Diese Regeln machen aus Multiplikation Addition. Vor Computern war das die Methode für große Zahlen (Rechenschieber).
Manchmal hast du log zur einen Basis, brauchst aber eine andere.
log_b x = (log x)/(log b) (neue Basis beliebig)
log_2(100) = ?
= log_10(100) / log_10(2)
= 2 / 0.301
≈ 6,64
Damit kannst du jeden Logarithmus mit einem Taschenrechner berechnen, der nur ln oder log10 hat.
// Java: log_2 selbst berechnen
double log2x = Math.log(x) / Math.log(2);
import math
log2x = math.log(x, 2) # Python: zweites Argument ist Basis
log2x = math.log2(x) # oder direkt log2()
Wann verdoppelt sich Kapital bei Zinssatz p?
1000 · (1 + p/100)^t = 2000
(1 + p/100)^t = 2
t · log(1 + p/100) = log 2
t = log 2 / log(1 + p/100)
Beispiele:
t ≈ 72/p
5 %: 72/5 = 14,4 Jahre (exakt 14,2)
10 %: 72/10 = 7,2 Jahre (exakt 7,3)
Die 72er-Regel funktioniert weil
ln(1+p) ≈ pfür kleine p (Taylorreihe). Im Kopf rechenbar — Klausurfrage in BWL-Klausuren.
N(t) = N₀ · (1/2)^(t/T) T = Halbwertszeit
Carbon-14 hat T = 5.730 Jahre. Nach 5.730 Jahren noch 50 %, nach 11.460 Jahren noch 25 %, …
log₂(n) Operationen für binäre Suche in Liste der Länge n
log₂(1.000.000) ≈ 20 Operationen für 1 Million Elemente!
Logarithmisches Wachstum ist sehr langsam. Verdoppelung der Eingabe = nur EIN zusätzlicher Schritt.
pH = -log₁₀(H⁺-Konzentration) Chemie
dB = 10 · log₁₀(P / P₀) Akustik
Beide sind logarithmisch — eine Erhöhung um 1 bedeutet 10× mehr.
Trick 1 — Potenzgleichungen lösen: Wenn die Variable im Exponenten steht, brauchst du Log.
2^x = 32 → x = log₂(32) = 5
3^x = 81 → x = log₃(81) = 4
Trick 2 — Logarithmus-Regeln auswendig:
log(a · b) = log a + log blog(a/b) = log a - log blog(aⁿ) = n · log aDamit lassen sich komplizierte Ausdrücke vereinfachen.
Trick 3 — Basis-Wechsel-Formel:
log_b x = (log x)/(log b)
Egal welche Basis im Zähler/Nenner — Hauptsache gleiche Basis.
Trick 4 — Zwei Spezialwerte:
log_b 1 = 0 (immer 0 für jede Basis)log_b b = 1 (Basis selbst → 1)Trick 5 — Log und Exp sind invers:
a^(log_a x) = xlog_a(a^x) = xKann man manchmal nutzen um Gleichungen zu vereinfachen.
Trick 6 — log negativer Zahlen ist undefiniert: log(-1) existiert nicht in ℝ. Klausur-Falle bei Anwendungen.
Trick 7 — Logarithmus von 0: log(0) ist nicht definiert; nur der Grenzwert geht gegen -∞ (lim_(x → 0⁺) log(x) = -∞).
Trick 8 — log und ln in Code:
Math.log ist ln (natürlicher Log)Math.log10 ist log10math.log(x) ist ln, math.log(x, b) mit BasisTrick 9 — 72er-Regel: Verdopplungszeit ≈ 72/p (für Prozent-Wachstum). Funktioniert für 1 % bis ~20 %.
Trick 10 — Wachstum ist asymmetrisch:
1,05^(10) ≈ 1,63 (10 Jahre 5 %: +63 %)0,95^(10) ≈ 0,60 (10 Jahre -5 %: nur −40 %!)10 Jahre Wachstum +5 % und 10 Jahre Verlust -5 % ergeben NICHT 1, sondern 0,98 (knapp unter Start).
Faustregel: Wenn etwas multiplikativ wächst (Zinsen, Bevölkerung, Bakterien) → Exponential. Wenn der Output viele Größenordnungen umfasst (pH 1 bis 14, Erdbeben 1 bis 10) → Logarithmisch.
Wechsle zwischen Exponential f(x) = a^x und Logarithmus f(x) = log_a(x), wähle eine Basis und sieh den Plot live. Die Werte-Tabelle zeigt 5 wichtige Funktionswerte.
Probier folgendes:
2^(10) = 1024 (wichtigste Zahl in der Informatik!)log_(10)(1000) = 3 — "wieviel Nullen hat 1000"Plus: Verdopplungszeit-Rechner unten — gib einen Zinssatz ein und sieh die exakte und die 72er-Regel-Approximation.
Interaktive Visualisierung
Logarithmen und Exponentialfunktionen mit Basis-Wechsel und Log-Regeln.
Faustregel zum Mitnehmen: Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Wenn die Variable im Exponenten steht — Log brauchen. Die 72er-Regel ist der schnellste Weg zur Verdopplungszeit im Kopf.
Klausurfragen mit Lösungen (8)
Antwort: 6
Erklärung: log₂(64) fragt: 'wie oft muss ich 2 mit sich multiplizieren, um 64 zu kriegen?' 2·2·2·2·2·2 = 64, also 6. Auch: 2⁶ = 64.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: `log a + log b`
Erklärung: Logarithmus eines Produkts = Summe der Logarithmen. Diese Regel war vor Computern essentiell — sie wandelt Multiplikation in Addition (Rechenschieber-Prinzip). Spiegelbild zur Potenzregel: a^(x+y) = a^x · a^y.
Antwort: 72/7 ≈ 10,3 Jahre
Erklärung: 72er-Regel: t ≈ 72/p. Bei 7 %: ≈ 10,3 Jahre. Funktioniert für Zinssätze 1 % bis ~20 %. Exakt wäre ln(2)/ln(1,07) = 10,24 Jahre — die 72er-Regel ist also sehr nah dran.
Antwort: 4
Erklärung: 3⁴ = 81 (3·3·3·3). Also x = log₃(81) = 4. Wenn die Variable im Exponenten steht: Logarithmus zur Basis nehmen.
Antwort: Math.log(x) / Math.log(2)
Erklärung: Basis-Wechsel-Formel: log_b(x) = log(x) / log(b). Math.log ist natürlicher Log (Basis e), aber jeder Log mit gleicher Basis-Wahl im Zähler/Nenner funktioniert. log₂(x) = ln(x)/ln(2).
Antwort: 6
Erklärung: 1.000.000 = 10⁶, also log₁₀(1.000.000) = 6. Trick: log₁₀ einer Zahl ist (ungefähr) 'Anzahl der Stellen − 1'. log₁₀(1000) = 3, log₁₀(1.000.000) = 6.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Geht gegen 0 (Zerfall)
Erklärung: Bei Basis 0 < a < 1 ist a^x ein **Zerfall** — geht gegen 0 für x → ∞. (1/2)^10 ≈ 0,001. Klassisches Halbwertszeit-Modell. Bei a > 1 dagegen Wachstum gegen unendlich.
Antwort: 10
Erklärung: Höhe eines balancierten BST ≈ log₂(n). log₂(1024) = 10 (weil 2¹⁰ = 1024). Im worst case folgt die Suche dem längsten Pfad von der Wurzel bis zu einem Blatt — also höchstens 10 Vergleiche. Im best case (Wert an der Wurzel) reicht 1 Vergleich. Logarithmisches Wachstum ist die Stärke von Bäumen — bei 1 Million Knoten nur ~20 Vergleiche.
Typ: Zahlen-Eingabe