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Erklärung
Eine lineare Funktion hat die Form f(x) = mx + b und ihr Graph ist eine Gerade. Zwei Parameter genügen: die Steigung m bestimmt wie steil die Gerade ist, der y-Achsenabschnitt b bestimmt wo sie die y-Achse schneidet.
Was du in der Klausur können musst:
- Steigung m: Δy / Δx, wie viel y pro Einheit x wächst
- y-Achsenabschnitt b: Wert von f(0), wo die Gerade die y-Achse schneidet
- Nullstelle: x-Wert wo f(x) = 0, berechnet als x = -b/m (für m ≠ 0). Bei m = 0 ist die Gerade konstant: keine Nullstelle, außer b = 0 (dann ist jeder x-Wert Nullstelle).
- Gerade durch zwei Punkte: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁), dann b einsetzen
- Parallel / Senkrecht: parallele Geraden haben gleiche m, für zwei nicht-vertikale Geraden gilt: senkrecht ⇔ m₁ · m₂ = -1 (vertikale Geraden haben keine definierte Steigung)
In Klausuren wirst du oft gefragt: stelle die Gleichung einer Geraden auf, die durch P₁(...) und P₂(...) geht oder berechne die Nullstelle. Schritt für Schritt: erst m berechnen, dann einen Punkt einsetzen um b zu finden.
Die zwei Parameter
| Parameter | Bedeutung | Effekt |
|---|---|---|
| m | Steigung | Wie schnell die Linie pro Schritt nach oben oder unten geht |
| b | y-Achsenabschnitt | Wo die Linie die y-Achse schneidet |
Steigung m verstehen
Die Steigung sagt: pro 1 Schritt nach rechts auf der x-Achse, geht die Linie m Schritte nach oben (oder unten, wenn m negativ ist).
m = 2: Die Linie geht steil nach oben (jeden Schritt rechts → 2 hoch)m = 0,5: Die Linie geht flach nach obenm = 0: Waagerechte Linie (kein Anstieg)m = -1: Die Linie fällt (jeden Schritt rechts → 1 runter)
y-Achsenabschnitt b verstehen
Wenn du x = 0 in die Funktion einsetzt, fallen alle x-Anteile weg:
f(0) = m · 0 + b = b
Das heißt: die Linie schneidet die y-Achse genau auf der Höhe b. Wenn b = 3, geht die Linie durch den Punkt (0 | 3).
Beispiele zum Mitdenken
Beispiel 1: f(x) = 2x + 1
Bei x = 0 ist y = 1. Bei x = 1 ist y = 3. Bei x = 2 ist y = 5. Pro Schritt rechts gehts immer 2 nach oben, das ist die Steigung 2. Die Gerade schneidet die y-Achse bei 1.
Beispiel 2: f(x) = -0,5 x + 4
Pro Schritt rechts gehts 0,5 nach UNTEN. Bei x = 0 ist y = 4. Die Linie fällt sanft.
Warum ist das wichtig?
Lineare Funktionen sind die Grundlage für:
- Informatik: Algorithmus-Laufzeit beschreiben (lineare Komplexität,
O(n)) - BWL: Kostenmodelle (Fixkosten + variable Kosten pro Stück)
- Statistik: einfache Regression
- Physik: gleichförmige Bewegung
Sobald du die zwei Parameter beherrschst, hast du das Werkzeug für all diese Anwendungen.
Interaktiv
Selber experimentieren
Stell m und b mit den Reglern ein und schau wie sich die Linie verhält. Probier auch den Vorhersage-Modus: berechne im Kopf was bei einem bestimmten x-Wert rauskommt, dann decke das Ergebnis auf.
Interaktive Visualisierung
Plottet lineare Funktionen y = m*x + b mit Schiebereglern für Steigung und Achsenabschnitt.
Mach dir bewusst:
- Wenn du nur m änderst, dreht sich die Linie um den y-Achsenabschnitt.
- Wenn du nur b änderst, verschiebt sich die ganze Linie nach oben oder unten, die Steigung bleibt gleich.
- Bei m = 0 wird aus
y = mx + beinfachy = b, eine waagerechte Linie auf Höhe b.
Quiz
Klausurfragen mit Lösungen (6)
- F1.Welchen y-Wert hat die Funktion f(x) = 3x - 2 an der Stelle x = 4?
Antwort: 10
Erklärung: Einsetzen: f(4) = 3·4 − 2 = 12 − 2 = 10.
Typ: Zahlen-Eingabe
- F2.Welcher Funktion gehört eine waagerechte Linie auf y = 5?
Antwort: `f(x) = 5`
Erklärung: Eine waagerechte Linie hat Steigung 0. Damit fällt der x-Anteil weg: f(x) = 0·x + 5 = 5.
- F3.Eine Linie hat Steigung m = -2 und schneidet die y-Achse bei b = 6. An welcher Stelle schneidet sie die x-Achse?
Antwort: `x = 3`
Erklärung: Schnitt mit x-Achse heißt y = 0. Also 0 = -2x + 6 lösen: 2x = 6, x = 3.
- F4.Welche Aussage über die Funktion f(x) = 0,5 x + 3 stimmt?
Antwort: Pro 2 nach rechts geht die Linie 1 nach oben.
Erklärung: Steigung 0,5 bedeutet: pro 1 nach rechts → 0,5 nach oben. Pro 2 nach rechts → 1 nach oben. Die anderen Aussagen passen nicht.
- F5.Eine Gerade verläuft durch die Punkte P₁(1; 4) und P₂(5; 12). Wie groß ist die Steigung m?
Antwort: 2
Erklärung: Steigungsformel: `m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (12 - 4)/(5 - 1) = 8/4 = 2`. Klausur-Klassiker zur Berechnung aus zwei Punkten.
Typ: Zahlen-Eingabe
- F6.Zwei lineare Funktionen mit derselben Steigung m, aber unterschiedlichem y-Achsenabschnitt b, sind parallel zueinander.
Antwort: Wahr
Erklärung: Gleiche Steigung = gleiche Neigung der Geraden. Wenn `b` unterschiedlich ist, schneiden sie verschiedene Punkte auf der y-Achse, sie laufen parallel und schneiden sich nie.
Typ: Wahr/Falsch
