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  • Einführung
  • Standard-Form eines LP
  • 2D-Grafische Lösung
  • Simplex-Algorithmus
  • Spezialfälle
  • Sensitivitätsanalyse
  • Klausur-Faustregeln
  • Wo brauchst du das?
ThemenMathematikLineare Optimierung & Simplex
Mathematik·4Lerneinheiten·22min·Stand04.08.2026

Lineare Optimierung & Simplex.

Lineare Optimierung (LP) sucht das Maximum oder Minimum einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen. Pflichtthema in Wirtschaftsmathe (BWL/WI/WiIng) und Operations Research. Klausur-Klassiker: 2D-grafische Lösung, Simplex-Algorithmus.

Was du in der Klausur können musst:

  • Modellieren: Wort-Aufgabe → Zielfunktion + Nebenbedingungen + Nicht-Negativitätsbedingungen
  • 2D-grafische Lösung: Restriktionen-Polygon zeichnen, optimale Ecke finden
  • Simplex-Tableau Schritt für Schritt durchrechnen
  • Spezialfälle: unbeschränkt, unzulässig, mehrere optimale Lösungen
  • Sensitivitätsanalyse: Schattenpreise, Zielfunktions-Bereiche

In Klausuren oft gefragt: "Maximiere zzz unter den Restriktionen ...", "Welche Ecke ist optimal?", "Eine Simplex-Iteration", Pflicht-Aufgaben.

Allgemein:

max⁡z=c1x1+c2x2+…+cnxn\max z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \ldots + c_n x_nmaxz=c1​x1​+c2​x2​+…+cn​xn​

unter den Nebenbedingungen:

a11x1+…+a1nxn≤b1a_{11} x_1 + \ldots + a_{1n} x_n \leq b_1a11​x1​+…+a1n​xn​≤b1​ a21x1+…+a2nxn≤b2a_{21} x_1 + \ldots + a_{2n} x_n \leq b_2a21​x1​+…+a2n​xn​≤b2​ ⋮\vdots⋮ xi≥0(Nicht-Negativita¨t)x_i \geq 0 \quad \text{(Nicht-Negativität)}xi​≥0(Nicht-Negativita¨t)

Klausur-Beispiel, Produktions-Aufgabe:

Eine Firma produziert Stuhl (x1x_1x1​) und Tisch (x2x_2x2​). Stuhl bringt 3 € Gewinn, Tisch 5 €. Restriktionen: Holz (4x1+6x2≤2404x_1 + 6x_2 \leq 2404x1​+6x2​≤240), Arbeitszeit (3x1+2x2≤1203x_1 + 2x_2 \leq 1203x1​+2x2​≤120). Maximiere Gewinn.

Modellierung:

max⁡z=3x1+5x2\max z = 3x_1 + 5x_2maxz=3x1​+5x2​

u.d.N.4x1+6x2≤240,3x1+2x2≤120,x1,x2≥0\text{u.d.N.} \quad 4x_1 + 6x_2 \leq 240, \quad 3x_1 + 2x_2 \leq 120, \quad x_1, x_2 \geq 0u.d.N.4x1​+6x2​≤240,3x1​+2x2​≤120,x1​,x2​≥0

Bei nur zwei Variablen ist die grafische Lösung in der Klausur Pflicht-Methode:

  1. Restriktionen als Halbebenen zeichnen, jede Ungleichung gibt eine Gerade plus die zulässige Seite
  2. Zulässiges Polygon ist der Schnitt aller Halbebenen plus Quadrant (x1,x2≥0x_1, x_2 \geq 0x1​,x2​≥0)
  3. Zielfunktion als Schar paralleler Geraden c1x1+c2x2=zc_1 x_1 + c_2 x_2 = zc1​x1​+c2​x2​=z verschieben
  4. Optimum ist die Ecke, wo die Zielfunktions-Gerade das Polygon zuletzt berührt

Fundamentalsatz der LP: Wenn ein zulässiges LP ein endliches Optimum besitzt, existiert mindestens eine optimale Ecke des zulässigen Polygons. Bei mehreren Optima kann auch eine ganze Kante optimal sein. Bei unbeschränkten oder unzulässigen LPs gibt es kein endliches Optimum.

Beispiel, Stuhl-Tisch-Aufgabe oben: vier Ecken-Kandidaten:

  • (0,0)(0, 0)(0,0) → z=0z = 0z=0
  • (40,0)(40, 0)(40,0) aus 3x1+2x2=1203x_1 + 2x_2 = 1203x1​+2x2​=120 bei x2=0x_2 = 0x2​=0 → z=120z = 120z=120
  • (0,40)(0, 40)(0,40) aus 4x1+6x2=2404x_1 + 6x_2 = 2404x1​+6x2​=240 bei x1=0x_1 = 0x1​=0 → z=200z = 200z=200
  • Schnittpunkt der zwei Restriktions-Geraden: 4x1+6x2=2404x_1 + 6x_2 = 2404x1​+6x2​=240 und 3x1+2x2=1203x_1 + 2x_2 = 1203x1​+2x2​=120 → Lösung (24,24)(24, 24)(24,24) → z=3⋅24+5⋅24=192z = 3 \cdot 24 + 5 \cdot 24 = 192z=3⋅24+5⋅24=192

Optimum bei (0,40)(0, 40)(0,40) mit z=200z = 200z=200 €.

Bei mehr als 2 Variablen ist grafisch unmöglich. Simplex (George Dantzig, 1947) ist der Standard-Algorithmus.

Idee: Starte in einer Ecke, wandere von Ecke zu Ecke entlang von Kanten, immer in Richtung Verbesserung. Stoppe, wenn keine Verbesserung mehr möglich ist.

Schritte (Klausur-Schema)

  1. Schlupfvariablen einführen: ≤\leq≤-Ungleichungen → Gleichungen mit si≥0s_i \geq 0si​≥0:

4x1+6x2+s1=240,3x1+2x2+s2=1204x_1 + 6x_2 + s_1 = 240, \quad 3x_1 + 2x_2 + s_2 = 1204x1​+6x2​+s1​=240,3x1​+2x2​+s2​=120

  1. Start-Tableau aufstellen:
Basisx1x_1x1​x2x_2x2​s1s_1s1​s2s_2s2​RHS
s1s_1s1​4610240
s2s_2s2​3201120
zzz−3−5000

  1. Pivot wählen: negativste Zahl in der zzz-Zeile bestimmt die Pivot-Spalte (hier: x2x_2x2​ mit −5-5−5). Min-Quotient RHS / Pivot-Spalten-Wert bestimmt die Pivot-Zeile (hier: min⁡(240/6,120/2)=min⁡(40,60)=40\min(240/6, 120/2) = \min(40, 60) = 40min(240/6,120/2)=min(40,60)=40 in Zeile s1s_1s1​).

  2. Pivot-Operation: Pivot-Element auf 1 normieren, Rest der Spalte auf 0.

  3. Wiederholen bis alle Werte in der zzz-Zeile ≥0\geq 0≥0 sind → Optimum erreicht.

Tableau nach 1. Iteration

Basisx1x_1x1​x2x_2x2​s1s_1s1​s2s_2s2​RHS
x2x_2x2​2/311/6040
s2s_2s2​5/30−1/3140
zzz1/305/60200

→ alle zzz-Werte ≥0\geq 0≥0 → Optimum: x1=0x_1 = 0x1​=0, x2=40x_2 = 40x2​=40, z=200z = 200z=200. Hinweis: hier hätte man auch zur Ecke (24,24)(24, 24)(24,24) pivot­ieren können, die Variante mit höherem zzz-Beitrag wird gewählt.

Unbeschränkt

Wenn die Pivot-Spalte nur ≤0\leq 0≤0-Werte hat → keine Pivot-Zeile möglich → Zielfunktion wächst ins Unendliche. Bedeutung: Modell ist falsch (vergessene Restriktion).

Unzulässig

Wenn das Polygon leer ist → kein zulässiger Punkt. Beispiel: x1≥5x_1 \geq 5x1​≥5 und x1≤3x_1 \leq 3x1​≤3.

Mehrere optimale Lösungen

Wenn die Zielfunktions-Gerade parallel zu einer Polygon-Kante ist → die ganze Kante ist optimal. Im Tableau: ein zzz-Wert ist 0 in einer Nicht-Basis-Spalte.

Schattenpreis einer Restriktion: wie viel zusätzlicher Gewinn pro zusätzlicher Einheit der RHS? Im optimalen Tableau in der zzz-Zeile unter der sis_isi​-Spalte ablesbar (das Vorzeichen hängt von der Tableau-Konvention ab, in einigen Lehrbüchern zj−cjz_j - c_jzj​−cj​, in anderen cj−zjc_j - z_jcj​−zj​). Schattenpreise gelten lokal im Sensitivitätsbereich und sollten bei Degeneration / mehrfach optimalen Lösungen vorsichtig interpretiert werden.

Zielfunktions-Bereiche: Wie weit kann cic_ici​ schwanken, ohne dass sich die optimale Ecke ändert? Klausur-erweitert in OR-Vertiefung.

  1. 2 Variablen → immer grafisch lösen (Polygon + Ziel-Gerade verschieben).
  2. Mehr Variablen → Simplex-Tableau. Schlupfvariablen einführen, dann Pivot-Iterationen.
  3. Optimum in Ecke, Fundamentalsatz, mehrere Optima nur bei Parallelität.
  4. Pivot-Wahl: negativste in zzz-Zeile (Spalte), min-Quotient (Zeile).
  5. Schattenpreise ablesen aus sis_isi​-Spalten der finalen zzz-Zeile.
  • Produktionsplanung, was und wie viel produzieren bei knappen Ressourcen
  • Transportoptimierung, Lieferanten zu Kunden mit Mindestbedarf-Restriktionen
  • Mischungsprobleme, Zutaten-Anteile bei Nährwert-/Kosten-Restriktionen (Diet Problem)
  • Portfolio-Optimierung, Anlagen-Mix bei Risiko-/Rendite-Constraints (linearer Spezialfall)
  • Schedule-Optimierung, Personal, Maschinen-Belegung
  • Vorstufe für Ganzzahlige Optimierung (Branch-and-Bound), Network Flows

Faustregel zum Mitnehmen: LP-Modellierung in 3 Schritten, Zielfunktion, Restriktionen, Nicht-Negativität. 2D grafisch, n-D Simplex. Optimum immer in Ecke des Polygons. Mehr als alle anderen Mathematik-Themen lebt LP von der Modellierung der Wort-Aufgabe, geübtes Übersetzen ist der Klausur-Schlüssel.

Verstelle die Zielfunktions-Koeffizienten c1c_1c1​, c2c_2c2​ und die Restriktions-Parameter, das zulässige Polygon wird live gezeichnet, die Ziel-Gerade verschiebt sich entsprechend, der optimale Eckpunkt wird hervorgehoben.

Probier folgendes:

  • Stuhl-Tisch-Standard (c1=3c_1=3c1​=3, c2=5c_2=5c2​=5, Holz 4x1+6x2≤2404x_1+6x_2 \leq 2404x1​+6x2​≤240, Arbeit 2x1+3x2≤1202x_1+3x_2 \leq 1202x1​+3x2​≤120) → Optimum bei (0,40)(0, 40)(0,40) mit z=200z = 200z=200
  • Wechsel der Zielfunktion zu c1=10c_1=10c1​=10, c2=2c_2=2c2​=2 → Optimum verschiebt sich zu (60,0)(60, 0)(60,0)
  • Schiebe die Restriktionen, um zu sehen, wie das Polygon schrumpft / wächst
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Faustregel zum Mitnehmen: Bei 2 Variablen ist die grafische Lösung in der Klausur Standard, Polygon zeichnen, Ziel-Gerade als Schar paralleler Geraden verschieben, das Polygon "von außen" anschmiegen lassen. Die letzte berührte Ecke ist die Lösung. Bei Parallelität zur Restriktionskante: ganze Kante optimal (mehrfache Lösung).

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Lineare Optimierung (LP) sucht das Maximum oder Minimum einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen. Pflichtthema in Wirtschaftsmathe (BWL/WI/WiIng) und Operations Research. Klausur-Klassiker: 2D-grafische Lösung, Simplex-Algorithmus.

Was du in der Klausur können musst:

  • Modellieren: Wort-Aufgabe → Zielfunktion + Nebenbedingungen + Nicht-Negativitätsbedingungen
  • 2D-grafische Lösung: Restriktionen-Polygon zeichnen, optimale Ecke finden
  • Simplex-Tableau Schritt für Schritt durchrechnen
  • Spezialfälle: unbeschränkt, unzulässig, mehrere optimale Lösungen
  • Sensitivitätsanalyse: Schattenpreise, Zielfunktions-Bereiche

In Klausuren oft gefragt: "Maximiere z unter den Restriktionen ...", "Welche Ecke ist optimal?", "Eine Simplex-Iteration", Pflicht-Aufgaben.

Standard-Form eines LP

Allgemein:

max z = c₁ x₁ + c₂ x₂ + ... + c_n x_n

unter den Nebenbedingungen:

a_(11) x₁ + ... + a_(1n) x_n ≤ b₁ a_(21) x₁ + ... + a_(2n) x_n ≤ b₂ ⋮ x_i ≥ 0 (Nicht-Negativität)

Klausur-Beispiel, Produktions-Aufgabe:

Eine Firma produziert Stuhl (x₁) und Tisch (x₂). Stuhl bringt 3 € Gewinn, Tisch 5 €. Restriktionen: Holz (4x₁ + 6x₂ ≤ 240), Arbeitszeit (3x₁ + 2x₂ ≤ 120). Maximiere Gewinn.

Modellierung:

max z = 3x₁ + 5x₂

u.d.N. 4x₁ + 6x₂ ≤ 240, 3x₁ + 2x₂ ≤ 120, x₁, x₂ ≥ 0

2D-Grafische Lösung

Bei nur zwei Variablen ist die grafische Lösung in der Klausur Pflicht-Methode:

  1. Restriktionen als Halbebenen zeichnen, jede Ungleichung gibt eine Gerade plus die zulässige Seite
  2. Zulässiges Polygon ist der Schnitt aller Halbebenen plus Quadrant (x₁, x₂ ≥ 0)
  3. Zielfunktion als Schar paralleler Geraden c₁ x₁ + c₂ x₂ = z verschieben
  4. Optimum ist die Ecke, wo die Zielfunktions-Gerade das Polygon zuletzt berührt

Fundamentalsatz der LP: Wenn ein zulässiges LP ein endliches Optimum besitzt, existiert mindestens eine optimale Ecke des zulässigen Polygons. Bei mehreren Optima kann auch eine ganze Kante optimal sein. Bei unbeschränkten oder unzulässigen LPs gibt es kein endliches Optimum.

Beispiel, Stuhl-Tisch-Aufgabe oben: vier Ecken-Kandidaten:

  • (0, 0) → z = 0
  • (40, 0) aus 3x₁ + 2x₂ = 120 bei x₂ = 0 → z = 120
  • (0, 40) aus 4x₁ + 6x₂ = 240 bei x₁ = 0 → z = 200
  • Schnittpunkt der zwei Restriktions-Geraden: 4x₁ + 6x₂ = 240 und 3x₁ + 2x₂ = 120 → Lösung (24, 24) → z = 3 · 24 + 5 · 24 = 192

Optimum bei (0, 40) mit z = 200 €.

Simplex-Algorithmus

Bei mehr als 2 Variablen ist grafisch unmöglich. Simplex (George Dantzig, 1947) ist der Standard-Algorithmus.

Idee: Starte in einer Ecke, wandere von Ecke zu Ecke entlang von Kanten, immer in Richtung Verbesserung. Stoppe, wenn keine Verbesserung mehr möglich ist.

Schritte (Klausur-Schema)
  1. Schlupfvariablen einführen: ≤-Ungleichungen → Gleichungen mit s_i ≥ 0:

4x₁ + 6x₂ + s₁ = 240, 3x₁ + 2x₂ + s₂ = 120

  1. Start-Tableau aufstellen:
Basisx₁x₂s₁s₂RHS
s₁4610240
s₂3201120
z−3−5000

  1. Pivot wählen: negativste Zahl in der z-Zeile bestimmt die Pivot-Spalte (hier: x₂ mit -5). Min-Quotient RHS / Pivot-Spalten-Wert bestimmt die Pivot-Zeile (hier: min(240/6, 120/2) = min(40, 60) = 40 in Zeile s₁).

  2. Pivot-Operation: Pivot-Element auf 1 normieren, Rest der Spalte auf 0.

  3. Wiederholen bis alle Werte in der z-Zeile ≥ 0 sind → Optimum erreicht.

Tableau nach 1. Iteration
Basisx₁x₂s₁s₂RHS
x₂2/311/6040
s₂5/30−1/3140
z1/305/60200

→ alle z-Werte ≥ 0 → Optimum: x₁ = 0, x₂ = 40, z = 200. Hinweis: hier hätte man auch zur Ecke (24, 24) pivot­ieren können, die Variante mit höherem z-Beitrag wird gewählt.

Spezialfälle

Unbeschränkt

Wenn die Pivot-Spalte nur ≤ 0-Werte hat → keine Pivot-Zeile möglich → Zielfunktion wächst ins Unendliche. Bedeutung: Modell ist falsch (vergessene Restriktion).

Unzulässig

Wenn das Polygon leer ist → kein zulässiger Punkt. Beispiel: x₁ ≥ 5 und x₁ ≤ 3.

Mehrere optimale Lösungen

Wenn die Zielfunktions-Gerade parallel zu einer Polygon-Kante ist → die ganze Kante ist optimal. Im Tableau: ein z-Wert ist 0 in einer Nicht-Basis-Spalte.

Sensitivitätsanalyse

Schattenpreis einer Restriktion: wie viel zusätzlicher Gewinn pro zusätzlicher Einheit der RHS? Im optimalen Tableau in der z-Zeile unter der s_i-Spalte ablesbar (das Vorzeichen hängt von der Tableau-Konvention ab, in einigen Lehrbüchern z_j - c_j, in anderen c_j - z_j). Schattenpreise gelten lokal im Sensitivitätsbereich und sollten bei Degeneration / mehrfach optimalen Lösungen vorsichtig interpretiert werden.

Zielfunktions-Bereiche: Wie weit kann c_i schwanken, ohne dass sich die optimale Ecke ändert? Klausur-erweitert in OR-Vertiefung.

Klausur-Faustregeln

  1. 2 Variablen → immer grafisch lösen (Polygon + Ziel-Gerade verschieben).
  2. Mehr Variablen → Simplex-Tableau. Schlupfvariablen einführen, dann Pivot-Iterationen.
  3. Optimum in Ecke, Fundamentalsatz, mehrere Optima nur bei Parallelität.
  4. Pivot-Wahl: negativste in z-Zeile (Spalte), min-Quotient (Zeile).
  5. Schattenpreise ablesen aus s_i-Spalten der finalen z-Zeile.

Wo brauchst du das?

  • Produktionsplanung, was und wie viel produzieren bei knappen Ressourcen
  • Transportoptimierung, Lieferanten zu Kunden mit Mindestbedarf-Restriktionen
  • Mischungsprobleme, Zutaten-Anteile bei Nährwert-/Kosten-Restriktionen (Diet Problem)
  • Portfolio-Optimierung, Anlagen-Mix bei Risiko-/Rendite-Constraints (linearer Spezialfall)
  • Schedule-Optimierung, Personal, Maschinen-Belegung
  • Vorstufe für Ganzzahlige Optimierung (Branch-and-Bound), Network Flows

Faustregel zum Mitnehmen: LP-Modellierung in 3 Schritten, Zielfunktion, Restriktionen, Nicht-Negativität. 2D grafisch, n-D Simplex. Optimum immer in Ecke des Polygons. Mehr als alle anderen Mathematik-Themen lebt LP von der Modellierung der Wort-Aufgabe, geübtes Übersetzen ist der Klausur-Schlüssel.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv

2D-LP-Plot

Verstelle die Zielfunktions-Koeffizienten c₁, c₂ und die Restriktions-Parameter, das zulässige Polygon wird live gezeichnet, die Ziel-Gerade verschiebt sich entsprechend, der optimale Eckpunkt wird hervorgehoben.

Probier folgendes:

  • Stuhl-Tisch-Standard (c₁=3, c₂=5, Holz 4x₁+6x₂ ≤ 240, Arbeit 2x₁+3x₂ ≤ 120) → Optimum bei (0, 40) mit z = 200
  • Wechsel der Zielfunktion zu c₁=10, c₂=2 → Optimum verschiebt sich zu (60, 0)
  • Schiebe die Restriktionen, um zu sehen, wie das Polygon schrumpft / wächst

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Faustregel zum Mitnehmen: Bei 2 Variablen ist die grafische Lösung in der Klausur Standard, Polygon zeichnen, Ziel-Gerade als Schar paralleler Geraden verschieben, das Polygon "von außen" anschmiegen lassen. Die letzte berührte Ecke ist die Lösung. Bei Parallelität zur Restriktionskante: ganze Kante optimal (mehrfache Lösung).

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Praxis-Übung, Lineare Optimierung

Klausur-typische LP-Aufgaben: Modellierung, grafische Lösung, Simplex-Schritte.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Welche drei Bestandteile gehören zu jedem LP-Modell?

Antwort: Zielfunktion, Nebenbedingungen, Nicht-Negativitäts-Bedingungen

Erklärung: LP-Modell: (1) lineare Zielfunktion (Max/Min), (2) lineare Nebenbedingungen (Ungleichungen), (3) Nicht-Negativität x_i ≥ 0. Die NNB ist Pflicht, sonst ist es kein Standard-LP.

F2.Maximiere z = 3x₁ + 5x₂ unter 4x₁ + 6x₂ ≤ 240, 2x₁ + 3x₂ ≤ 120, x₁, x₂ ≥ 0. Wie hoch ist der Wert von z am optimalen Punkt (0, 40)?

Antwort: 200

Erklärung: z = 3·0 + 5·40 = 200. Beide Restriktionen sind in (0, 40) bindend (4·0+6·40=240, 2·0+3·40=120). Eckpunkt liegt auf Schnitt zweier Restriktionen → klassische LP-Lösung.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Was sagt der Fundamentalsatz der LP?

Antwort: Die optimale Lösung liegt immer in einer Ecke des zulässigen Polygons (oder auf einer ganzen Kante)

Erklärung: Fundamentalsatz: Optimum liegt in einer Ecke (Vertex), Begründung: Niveaulinien der Zielfunktion sind parallel, die letzte berührte Stelle ist eine Ecke. Bei Parallelität zur Polygon-Kante ist die ganze Kante optimal (unendlich viele Lösungen, alle gleichwertig).

F4.Wie wird die Pivot-Spalte im Simplex gewählt?

Antwort: Die Spalte mit dem negativsten Wert in der z-Zeile

Erklärung: Standardregel (Dantzig): negativste z-Zeilen-Eintrag → Pivot-Spalte. Begründung: gibt die größte Verbesserung pro Schritt. Wenn alle z-Einträge ≥ 0 → Optimum erreicht. Pivot-Zeile dann via Min-Quotient RHS / Pivot-Spalten-Wert (positiv).

F5.Ein LP-Modell hat genau dann keine zulässige Lösung, wenn das Polygon leer ist.

Antwort: Wahr

Erklärung: Korrekt. Beispiel: x_1 ≥ 5 und x_1 ≤ 3 gleichzeitig, Schnittmenge leer → unzulässiges Modell (Infeasible). Im Simplex erkennt man das durch eine negative RHS, die nicht behoben werden kann (Big-M oder Zwei-Phasen-Methode für formale Diagnose).

Typ: Wahr/Falsch

F6.Was bezeichnet ein Schattenpreis im optimalen Tableau?

Antwort: Den marginalen Zielfunktions-Zuwachs pro zusätzlicher Einheit einer Restriktion-RHS

Erklärung: Schattenpreis (= Dual-Variable, = Marginalwert): wie viel mehr ist die Zielfunktion wert, wenn die rechte Seite einer Restriktion um 1 erhöht wird? Ablesen im optimalen Simplex-Tableau in der z-Zeile unter den Schlupfvariablen-Spalten. Klausur-Anwendung in Sensitivitätsanalyse.

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausur-Quiz, Lineare Optimierung

Sechs Aufgaben zur LP-Modellierung, Simplex-Mechanik und Spezialfällen.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Maximiere z = 4x₁ + 3x₂ unter x₁ + x₂ ≤ 10, 2x₁ + x₂ ≤ 16, x₁, x₂ ≥ 0. Optimaler Punkt ist der Schnitt der zwei Restriktionen. Wie hoch ist z im Optimum?

Antwort: 36

Erklärung: Schnittpunkt: x_1 + x_2 = 10 und 2x_1 + x_2 = 16 → Subtraktion ergibt x_1 = 6, dann x_2 = 4. z = 4·6 + 3·4 = 24 + 12 = 36. Plausibilitäts-Check: andere Ecken (0,0)=0, (8,0)=32, (0,10)=30, alle kleiner als 36 → Optimum bestätigt.

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.Was bewirkt das Einführen von Schlupfvariablen im Simplex?

Antwort: Ungleichungen werden in Gleichungen umgewandelt

Erklärung: Schlupfvariablen s_i ≥ 0 wandeln a·x ≤ b in a·x + s = b um, Gleichungssystem statt Ungleichungssystem. Im Start-Tableau bilden die Schlupfvariablen die Anfangs-Basis (alles auf 0 + s_i = b_i). Klausur-Pflicht-Schritt vor jeder Simplex-Iteration.

F3.Welche Aussage zu mehreren optimalen Lösungen im LP ist korrekt?

Antwort: Tritt auf, wenn die Zielfunktions-Gerade parallel zu einer Polygon-Kante ist, dann ist die ganze Kante optimal

Erklärung: Mehrere Optima: Zielfunktions-Gerade ist parallel zu einer Polygon-Kante → unendlich viele optimale Punkte entlang dieser Kante (alle mit gleichem z-Wert). Im Tableau erkennt man das an einem 0-Wert in der z-Zeile bei einer Nicht-Basis-Variable. Häufig in Praxis-Modellen, z.B. wenn zwei Produkte gleich profitabel pro Engpass-Einheit sind.

F4.Im optimalen Tableau steht für s₁ in der z-Zeile der Wert 2. Was bedeutet das?

Antwort: Eine Erhöhung der RHS von Restriktion 1 um 1 erhöht `z` um 2 (Schattenpreis = 2)

Erklärung: Schattenpreis = Wert von s_i in z-Zeile am Optimum. Schattenpreis 2 bedeutet: 1 zusätzliche Einheit der Restriktion-RHS bringt 2 zusätzliche Zielfunktion-Einheiten. Klausur-Pflicht in Sensitivitätsanalyse. Wenn Schattenpreis = 0, ist die Restriktion nicht bindend (Slack > 0).

F5.Im Simplex-Tableau bestimmt {{1}} die Pivot-Spalte und {{2}} die Pivot-Zeile. Optimum erreicht wenn {{3}}.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: der negativste z-Wert / negativster z-Wert / negativste z-Zeilen-Eintrag
  • {{2}}: der Min-Quotient (RHS / Pivot-Spalten-Wert) / min-Quotient / minimaler Quotient
  • {{3}}: alle z-Werte ≥ 0 / alle z-Einträge nichtnegativ sind / z-Zeile ≥ 0

Erklärung: Pivot-Spalte: negativste z-Zeile. Pivot-Zeile: min-Quotient RHS/Spalten-Wert (positiv). Stopp: alle z-Einträge ≥ 0 → keine Verbesserung mehr möglich → Optimum erreicht.

Typ: Lückentext

F6.Ein LP heißt unbeschränkt, wenn ...

Antwort: ... die Zielfunktion in eine Richtung beliebig wachsen kann (Polygon offen in Verbesserungsrichtung)

Erklärung: Unbeschränkt = das Polygon ist offen in der Richtung, in der die Zielfunktion wächst → z → ∞. Im Simplex erkennbar: Pivot-Spalte hat keine positiven Einträge → keine Pivot-Zeile möglich. Praktische Bedeutung: Modellierungsfehler, eine Ressourcen-Restriktion fehlt.

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