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  • Einführung
  • Warum braucht man das?
  • Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten
  • Beispiel: f(x) = x²
  • Ableitungsregeln
  • Anwendung: Extremwerte finden
  • Notation
ThemenMathematikAbleitungen
Mathematik·3Lerneinheiten·19min·Stand02.08.2026

Ableitungen.

Die Ableitung einer Funktion gibt an, wie schnell sich die Funktion an einem Punkt ändert. Geometrisch: die Steigung der Tangente an diesem Punkt. Bei f(x) = x² ist die Ableitung f'(x) = 2x, an der Stelle x = 3 also Steigung 6.

Die Ableitungsregeln die du in der Klausur können musst, getrennt in Grundregeln (für Polynome) und erweiterte Regeln (für Verknüpfungen):

Grundregeln:

  • Potenzregel: f(x) = xⁿ wird zu f'(x) = n · xⁿ⁻¹
  • Konstantenregel: f(x) = c wird zu f'(x) = 0
  • Faktor-Regel: f(x) = c · g(x) wird zu f'(x) = c · g'(x)
  • Summenregel: (f + g)' = f' + g'
  • Differenzregel: (f − g)' = f' − g'

Erweiterte Regeln:

  • Produktregel: (f · g)' = f' · g + f · g'
  • Quotientenregel: (u/v)' = (u' · v − u · v') / v²
  • Kettenregel: f(g(x))' = f'(g(x)) · g'(x), die häufigste Klausur-Falle

In Klausuren wirst du oft gefragt: leite f(x) ab oder finde die Extremwerte. Standard-Vorgehen für Extremwerte: f'(x) = 0 setzen, x-Werte berechnen, dann mit f''(x) prüfen ob Maximum (f'' < 0) oder Minimum (f'' > 0).

  • Geschwindigkeit = Ableitung der Position nach der Zeit
  • Beschleunigung = Ableitung der Geschwindigkeit
  • Grenzkosten = Ableitung der Kostenfunktion (BWL)
  • Extremwerte finden (Maximum/Minimum): an inneren Stellen, an denen fff differenzierbar ist, gilt f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0 als notwendige Bedingung. Randpunkte und Knicke separat prüfen.
  • Optimierung in Machine Learning (Gradient Descent)

Ableitungen sind nicht nur Mathe um der Mathe willen, sondern eine der wichtigsten Werkzeuge in fast jedem MINT-Fach.

Bei einer Geraden y=mx+by = mx + by=mx+b ist die Steigung überall gleich: mmm. Bei einer Kurve wechselt die Steigung von Punkt zu Punkt. Wie misst man sie an einem konkreten Punkt x0x_0x0​?

Idee in zwei Schritten:

1. Sekantensteigung

Nimm zwei Punkte P=(x0,f(x0))P = (x_0, f(x_0))P=(x0​,f(x0​)) und Q=(x0+h,f(x0+h))Q = (x_0 + h, f(x_0 + h))Q=(x0​+h,f(x0​+h)) und berechne ihre Steigung:

mSekante=f(x0+h)−f(x0)hm_{\text{Sekante}} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}mSekante​=hf(x0​+h)−f(x0​)​

Das ist der Differenzenquotient: Differenz der y-Werte geteilt durch Differenz der x-Werte.

2. h gegen 0 schicken

Je kleiner hhh, desto näher rückt QQQ an PPP heran, und die Sekante wird zur Tangente. Im Grenzwert:

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}f′(x0​)=limh→0​hf(x0​+h)−f(x0​)​

Das ist der Differentialquotient und definiert die Ableitung f′(x0)f'(x_0)f′(x0​).

Nehmen wir f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 und berechnen die Ableitung an x0=3x_0 = 3x0​=3:

f(3+h)−f(3)h=(3+h)2−9h=9+6h+h2−9h=6h+h2h=6+h\frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + hhf(3+h)−f(3)​=h(3+h)2−9​=h9+6h+h2−9​=h6h+h2​=6+h

Wenn h→0h \to 0h→0: f′(3)=6f'(3) = 6f′(3)=6. Die Tangente an y=x2y = x^2y=x2 in (3∣9)(3 | 9)(3∣9) hat Steigung 6.

In der Praxis berechnet niemand jedes Mal den Grenzwert. Stattdessen nutzt man Regeln, die man auswendig lernt.

Potenzregel (die wichtigste)

f(x)=xn⇒f′(x)=n⋅xn−1f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}f(x)=xn⇒f′(x)=n⋅xn−1

Den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen, dann den Exponenten um 1 verringern.

f(x)f'(x)
xxx111
x2x^2x22x2x2x
x3x^3x33x23x^23x2
x5x^5x55x45x^45x4
x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}x​=x1/212x−1/2=12x\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}21​x−1/2=2x​1​
1x=x−1\frac{1}{x} = x^{-1}x1​=x−1−x−2=−1x2-x^{-2} = -\frac{1}{x^2}−x−2=−x21​

Faktorregel

Konstante Faktoren bleiben stehen:

f(x)=c⋅g(x)⇒f′(x)=c⋅g′(x)f(x) = c \cdot g(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = c \cdot g'(x)f(x)=c⋅g(x)⇒f′(x)=c⋅g′(x)

Beispiel: f(x)=5x3⇒f′(x)=5⋅3x2=15x2f(x) = 5x^3 \Rightarrow f'(x) = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2f(x)=5x3⇒f′(x)=5⋅3x2=15x2.

Summen- und Differenzregel

Summen und Differenzen werden gliedweise abgeleitet:

f(x)=g(x)±h(x)⇒f′(x)=g′(x)±h′(x)f(x) = g(x) \pm h(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = g'(x) \pm h'(x)f(x)=g(x)±h(x)⇒f′(x)=g′(x)±h′(x)

Beispiel: f(x)=x3+2x2−5x+7⇒f′(x)=3x2+4x−5+0=3x2+4x−5f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 + 0 = 3x^2 + 4x - 5f(x)=x3+2x2−5x+7⇒f′(x)=3x2+4x−5+0=3x2+4x−5.

Konstanten verschwinden beim Ableiten: die Steigung einer waagerechten Linie ist 0.

Produktregel (wenn Funktionen multipliziert sind)

f(x)=u(x)⋅v(x)⇒f′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)f(x)=u(x)⋅v(x)⇒f′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)

Merksatz: "Erste mal Zweite' Strich plus Erste Strich mal Zweite".

Quotientenregel (wenn Funktionen geteilt werden)

f(x)=u(x)v(x)⇒f′(x)=u′(x)⋅v(x)−u(x)⋅v′(x)[v(x)]2f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}f(x)=v(x)u(x)​⇒f′(x)=[v(x)]2u′(x)⋅v(x)−u(x)⋅v′(x)​

Merksatz (zur Formel oben): "Im Zähler: Zähler-Ableitung mal Nenner minus Zähler mal Nenner-Ableitung. Im Nenner: Nenner zum Quadrat." Mit uuu = Zähler und vvv = Nenner: u′v−uv′u' v - u v'u′v−uv′ oben, v2v^2v2 unten.

Beispiel: f(x)=x2x+1f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}f(x)=x+1x2​. Mit u=x2u = x^2u=x2, v=x+1v = x + 1v=x+1, u′=2xu' = 2xu′=2x, v′=1v' = 1v′=1:

f′(x)=2x⋅(x+1)−x2⋅1(x+1)2=x2+2x(x+1)2f'(x) = \frac{2x \cdot (x+1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}f′(x)=(x+1)22x⋅(x+1)−x2⋅1​=(x+1)2x2+2x​

Bevor du die Quotientenregel anwendest: prüf, ob du den Term umschreiben kannst (z.B. 1x=x−1\frac{1}{x} = x^{-1}x1​=x−1 → Potenzregel reicht). Die Quotientenregel ist nur nötig, wenn Zähler und Nenner echte xxx-Funktionen sind.

Kettenregel (wenn Funktion verschachtelt ist)

f(x)=g(h(x))⇒f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)f(x) = g(h(x)) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)f(x)=g(h(x))⇒f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)

"Äußere mal innere Ableitung". Beispiel: f(x)=(3x+2)4f(x) = (3x + 2)^4f(x)=(3x+2)4. Äußere u4→4u3u^4 \to 4u^3u4→4u3, innere 3x+2→33x + 2 \to 33x+2→3. Also f′(x)=4(3x+2)3⋅3=12(3x+2)3f'(x) = 4(3x+2)^3 \cdot 3 = 12(3x+2)^3f′(x)=4(3x+2)3⋅3=12(3x+2)3.

Eine wichtige Klausuraufgabe: bestimme das Maximum oder Minimum einer Funktion.

Strategie:

  1. Erste Ableitung f′(x)f'(x)f′(x) bilden
  2. Nullstellen von f′(x)f'(x)f′(x) suchen: das sind Kandidaten für Extrema
  3. Mit der zweiten Ableitung f′′(x)f''(x)f′′(x) prüfen:
    • f′′(x0)>0f''(x_0) > 0f′′(x0​)>0 → Minimum
    • f′′(x0)<0f''(x_0) < 0f′′(x0​)<0 → Maximum
    • f′′(x0)=0f''(x_0) = 0f′′(x0​)=0 → genauer prüfen (Sattelpunkt möglich)

Beispiel: Wo hat f(x)=x2−4x+1f(x) = x^2 - 4x + 1f(x)=x2−4x+1 ein Extremum?

  • f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4f′(x)=2x−4
  • f′(x)=0⇒x=2f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2f′(x)=0⇒x=2
  • f′′(x)=2>0f''(x) = 2 > 0f′′(x)=2>0 → Minimum bei x=2x = 2x=2
  • f(2)=4−8+1=−3f(2) = 4 - 8 + 1 = -3f(2)=4−8+1=−3
  • Tiefster Punkt: (2∣−3)(2 | -3)(2∣−3), genau der Scheitelpunkt!

Bei einer Parabel ist die Extremstelle immer der Scheitelpunkt. Bei komplexeren Funktionen (Polynome höheren Grades) gibt es mehrere Extrema.

In der Schule und Uni siehst du verschiedene Schreibweisen:

SchreibweiseWer nutzt das?
f′(x)f'(x)f′(x)Standardschule, Lagrange-Notation
dfdx\dfrac{df}{dx}dxdf​Leibniz-Notation, in Physik/Ingenieurswissenschaften
f˙\dot ff˙​Newton-Notation, oft bei zeitlichen Ableitungen
DxfD_x fDx​fOperator-Schreibweise, in höherer Mathematik

Alle bedeuten das Gleiche: die Ableitung von fff nach xxx.

Die Aha-Visualisierung der Ableitung. Du siehst:

  • Die Funktion f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c (Parameter unten anpassbar)
  • Den lila Punkt PPP bei x0x_0x0​ (Berührpunkt der Tangente)
  • Die lila Tangente mit der exakten Steigung f′(x0)=2ax0+bf'(x_0) = 2ax_0 + bf′(x0​)=2ax0​+b
  • Falls h≠0h \neq 0h=0: einen orangen Punkt QQQ bei x0+hx_0 + hx0​+h und die orange Sekante durch beide Punkte

Probier folgendes:

  • Setz h=2h = 2h=2: die Sekante hat sichtbar eine andere Steigung als die Tangente
  • Schieb hhh langsam Richtung 0: die Sekante nähert sich der Tangente an
  • Bei h=0h = 0h=0 verschwinden Sekante und Punkt QQQ, übrig bleibt die Tangente
  • Beobachte oben den Wert Δ\DeltaΔ: die Differenz Sekantensteigung - exakte Ableitung. Bei h→0h \to 0h→0 geht Δ→0\Delta \to 0Δ→0.
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Faustregel zum Mitnehmen: Die Ableitung an einem Punkt ist die Steigung der Tangente. Sie entsteht aus dem Grenzwert der Sekantensteigungen, wenn der zweite Punkt unendlich nah heranrückt.

Probier auch: zieh x0x_0x0​ in den Scheitelpunkt der Parabel. Dort ist f′(x0)=0f'(x_0) = 0f′(x0​)=0, die Tangente wird waagerecht. Genau das ist die Bedingung für einen Extremwert.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Die Ableitung einer Funktion gibt an, wie schnell sich die Funktion an einem Punkt ändert. Geometrisch: die Steigung der Tangente an diesem Punkt. Bei f(x) = x² ist die Ableitung f'(x) = 2x, an der Stelle x = 3 also Steigung 6.

Die Ableitungsregeln die du in der Klausur können musst, getrennt in Grundregeln (für Polynome) und erweiterte Regeln (für Verknüpfungen):

Grundregeln:

  • Potenzregel: f(x) = xⁿ wird zu f'(x) = n · xⁿ⁻¹
  • Konstantenregel: f(x) = c wird zu f'(x) = 0
  • Faktor-Regel: f(x) = c · g(x) wird zu f'(x) = c · g'(x)
  • Summenregel: (f + g)' = f' + g'
  • Differenzregel: (f − g)' = f' − g'

Erweiterte Regeln:

  • Produktregel: (f · g)' = f' · g + f · g'
  • Quotientenregel: (u/v)' = (u' · v − u · v') / v²
  • Kettenregel: f(g(x))' = f'(g(x)) · g'(x), die häufigste Klausur-Falle

In Klausuren wirst du oft gefragt: leite f(x) ab oder finde die Extremwerte. Standard-Vorgehen für Extremwerte: f'(x) = 0 setzen, x-Werte berechnen, dann mit f''(x) prüfen ob Maximum (f'' < 0) oder Minimum (f'' > 0).

Warum braucht man das?

  • Geschwindigkeit = Ableitung der Position nach der Zeit
  • Beschleunigung = Ableitung der Geschwindigkeit
  • Grenzkosten = Ableitung der Kostenfunktion (BWL)
  • Extremwerte finden (Maximum/Minimum): an inneren Stellen, an denen f differenzierbar ist, gilt f'(x) = 0 als notwendige Bedingung. Randpunkte und Knicke separat prüfen.
  • Optimierung in Machine Learning (Gradient Descent)

Ableitungen sind nicht nur Mathe um der Mathe willen, sondern eine der wichtigsten Werkzeuge in fast jedem MINT-Fach.

Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten

Bei einer Geraden y = mx + b ist die Steigung überall gleich: m. Bei einer Kurve wechselt die Steigung von Punkt zu Punkt. Wie misst man sie an einem konkreten Punkt x₀?

Idee in zwei Schritten:

1. Sekantensteigung

Nimm zwei Punkte P = (x₀, f(x₀)) und Q = (x₀ + h, f(x₀ + h)) und berechne ihre Steigung:

m_(Sekante) = (f(x₀ + h) - f(x₀))/h

Das ist der Differenzenquotient: Differenz der y-Werte geteilt durch Differenz der x-Werte.

2. h gegen 0 schicken

Je kleiner h, desto näher rückt Q an P heran, und die Sekante wird zur Tangente. Im Grenzwert:

f'(x₀) = lim_(h → 0) (f(x₀ + h) - f(x₀))/h

Das ist der Differentialquotient und definiert die Ableitung f'(x₀).

Beispiel: f(x) = x²

Nehmen wir f(x) = x² und berechnen die Ableitung an x₀ = 3:

(f(3 + h) - f(3))/h = ((3+h)² - 9)/h = (9 + 6h + h² - 9)/h = (6h + h²)/h = 6 + h

Wenn h → 0: f'(3) = 6. Die Tangente an y = x² in (3 | 9) hat Steigung 6.

Ableitungsregeln

In der Praxis berechnet niemand jedes Mal den Grenzwert. Stattdessen nutzt man Regeln, die man auswendig lernt.

Potenzregel (die wichtigste)

f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = n · x^(n-1)

Den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen, dann den Exponenten um 1 verringern.

f(x)f'(x)
x1
x²2x
x³3x²
x⁵5x⁴
√(x) = x^(1/2)1/2x^(-1/2) = 1/(2√(x))
1/x = x^(-1)-x^(-2) = -1/x²
Faktorregel

Konstante Faktoren bleiben stehen:

f(x) = c · g(x) ⇒ f'(x) = c · g'(x)

Beispiel: f(x) = 5x³ ⇒ f'(x) = 5 · 3x² = 15x².

Summen- und Differenzregel

Summen und Differenzen werden gliedweise abgeleitet:

f(x) = g(x) ± h(x) ⇒ f'(x) = g'(x) ± h'(x)

Beispiel: f(x) = x³ + 2x² - 5x + 7 ⇒ f'(x) = 3x² + 4x - 5 + 0 = 3x² + 4x - 5.

Konstanten verschwinden beim Ableiten: die Steigung einer waagerechten Linie ist 0.

Produktregel (wenn Funktionen multipliziert sind)

f(x) = u(x) · v(x) ⇒ f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)

Merksatz: "Erste mal Zweite' Strich plus Erste Strich mal Zweite".

Quotientenregel (wenn Funktionen geteilt werden)

f(x) = u(x)/v(x) ⇒ f'(x) = (u'(x) · v(x) - u(x) · v'(x))/([v(x)]²)

Merksatz (zur Formel oben): "Im Zähler: Zähler-Ableitung mal Nenner minus Zähler mal Nenner-Ableitung. Im Nenner: Nenner zum Quadrat." Mit u = Zähler und v = Nenner: u' v - u v' oben, v² unten.

Beispiel: f(x) = x²/(x + 1). Mit u = x², v = x + 1, u' = 2x, v' = 1:

f'(x) = (2x · (x+1) - x² · 1)/((x+1)²) = (x² + 2x)/((x+1)²)

Bevor du die Quotientenregel anwendest: prüf, ob du den Term umschreiben kannst (z.B. 1/x = x^(-1) → Potenzregel reicht). Die Quotientenregel ist nur nötig, wenn Zähler und Nenner echte x-Funktionen sind.

Kettenregel (wenn Funktion verschachtelt ist)

f(x) = g(h(x)) ⇒ f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)

"Äußere mal innere Ableitung". Beispiel: f(x) = (3x + 2)⁴. Äußere u⁴ → 4u³, innere 3x + 2 → 3. Also f'(x) = 4(3x+2)³ · 3 = 12(3x+2)³.

Anwendung: Extremwerte finden

Eine wichtige Klausuraufgabe: bestimme das Maximum oder Minimum einer Funktion.

Strategie:

  1. Erste Ableitung f'(x) bilden
  2. Nullstellen von f'(x) suchen: das sind Kandidaten für Extrema
  3. Mit der zweiten Ableitung f''(x) prüfen:
    • f''(x₀) > 0 → Minimum
    • f''(x₀) < 0 → Maximum
    • f''(x₀) = 0 → genauer prüfen (Sattelpunkt möglich)

Beispiel: Wo hat f(x) = x² - 4x + 1 ein Extremum?

  • f'(x) = 2x - 4
  • f'(x) = 0 ⇒ x = 2
  • f''(x) = 2 > 0 → Minimum bei x = 2
  • f(2) = 4 - 8 + 1 = -3
  • Tiefster Punkt: (2 | -3), genau der Scheitelpunkt!

Bei einer Parabel ist die Extremstelle immer der Scheitelpunkt. Bei komplexeren Funktionen (Polynome höheren Grades) gibt es mehrere Extrema.

Notation

In der Schule und Uni siehst du verschiedene Schreibweisen:

SchreibweiseWer nutzt das?
f'(x)Standardschule, Lagrange-Notation
df/dxLeibniz-Notation, in Physik/Ingenieurswissenschaften
dot fNewton-Notation, oft bei zeitlichen Ableitungen
D_x fOperator-Schreibweise, in höherer Mathematik

Alle bedeuten das Gleiche: die Ableitung von f nach x.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv

Sekante wird Tangente

Die Aha-Visualisierung der Ableitung. Du siehst:

  • Die Funktion f(x) = ax² + bx + c (Parameter unten anpassbar)
  • Den lila Punkt P bei x₀ (Berührpunkt der Tangente)
  • Die lila Tangente mit der exakten Steigung f'(x₀) = 2ax₀ + b
  • Falls h ≠ 0: einen orangen Punkt Q bei x₀ + h und die orange Sekante durch beide Punkte

Probier folgendes:

  • Setz h = 2: die Sekante hat sichtbar eine andere Steigung als die Tangente
  • Schieb h langsam Richtung 0: die Sekante nähert sich der Tangente an
  • Bei h = 0 verschwinden Sekante und Punkt Q, übrig bleibt die Tangente
  • Beobachte oben den Wert Δ: die Differenz Sekantensteigung - exakte Ableitung. Bei h → 0 geht Δ → 0.

Interaktive Visualisierung

Zeigt Funktion und ihre Ableitung gleichzeitig mit beweglicher Tangente.

Faustregel zum Mitnehmen: Die Ableitung an einem Punkt ist die Steigung der Tangente. Sie entsteht aus dem Grenzwert der Sekantensteigungen, wenn der zweite Punkt unendlich nah heranrückt.

Probier auch: zieh x₀ in den Scheitelpunkt der Parabel. Dort ist f'(x₀) = 0, die Tangente wird waagerecht. Genau das ist die Bedingung für einen Extremwert.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (7)

F1.Was ist die Ableitung von f(x) = x⁴?

Antwort: `f'(x) = 4x³`

Erklärung: Potenzregel: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹. Bei n = 4: f'(x) = 4·x³. Den Exponenten als Faktor vorholen, dann Exponent um 1 verringern.

F2.Bilde die Ableitung von f(x) = 3x² - 5x + 7.

Antwort: `f'(x) = 6x - 5`

Erklärung: Summenregel + Potenzregel + Faktorregel: (3x²)' = 6x, (5x)' = 5, (7)' = 0. Konstanten verschwinden beim Ableiten. Ergebnis: 6x - 5.

F3.Welche Steigung hat die Tangente an f(x) = x² im Punkt (3 | 9)?

Antwort: 6

Erklärung: f'(x) = 2x. An x = 3: f'(3) = 2·3 = 6. Die Tangente an die Parabel y = x² in (3|9) hat Steigung 6.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Wo hat f(x) = x² - 6x + 4 ein lokales Minimum?

Antwort: x = 3

Erklärung: f'(x) = 2x - 6. Nullstelle: 2x - 6 = 0 ⇒ x = 3. f''(x) = 2 > 0 ⇒ Minimum. Das ist gleichzeitig der Scheitelpunkt der Parabel.

F5.Was ist die erste Ableitung von f(x) = 5?

Antwort: `f'(x) = 0`

Erklärung: Die Ableitung einer Konstante ist 0. Eine waagerechte Linie hat keine Steigung. Das ist auch eine Folge der Potenzregel: 5 = 5·x⁰, abgeleitet 0·5·x⁻¹ = 0.

F6.Was beschreibt der Differenzenquotient (f(x₀ + h) - f(x₀))/h?

Antwort: Die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten

Erklärung: Der Differenzenquotient ist die Sekantensteigung zwischen den Punkten (x₀, f(x₀)) und (x₀+h, f(x₀+h)). Erst im Grenzwert h → 0 wird daraus die Tangentensteigung, also die Ableitung.

F7.Welche Bedingung muss bei einer Funktion an einer Stelle x₀ erfüllt sein, damit dort ein Extremum liegt (notwendige Bedingung)?

Antwort: `f'(x₀) = 0`

Erklärung: Notwendige Bedingung an inneren, differenzierbaren Stellen: f'(x₀) = 0. Die Tangente muss waagerecht sein. Die hinreichende Bedingung schaut zusätzlich auf f''(x₀): > 0 = Minimum, < 0 = Maximum. Randpunkte des Definitionsbereichs und nicht-differenzierbare Stellen (Knicke) müssen separat untersucht werden.

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