Die Ableitung einer Funktion gibt an, wie schnell sich die Funktion an einem Punkt ändert. Geometrisch: die Steigung der Tangente an diesem Punkt. Bei f(x) = x² ist die Ableitung f'(x) = 2x, an der Stelle x = 3 also Steigung 6.
Die Ableitungsregeln die du in der Klausur können musst, getrennt in Grundregeln (für Polynome) und erweiterte Regeln (für Verknüpfungen):
Grundregeln:
Erweiterte Regeln:
In Klausuren wirst du oft gefragt: leite f(x) ab oder finde die Extremwerte. Standard-Vorgehen für Extremwerte: f'(x) = 0 setzen, x-Werte berechnen, dann mit f''(x) prüfen ob Maximum (f'' < 0) oder Minimum (f'' > 0).
Faustregel zum Mitnehmen: Die Ableitung an einem Punkt ist die Steigung der Tangente. Sie entsteht aus dem Grenzwert der Sekantensteigungen, wenn der zweite Punkt unendlich nah heranrückt.
Probier auch: zieh in den Scheitelpunkt der Parabel. Dort ist , die Tangente wird waagerecht. Genau das ist die Bedingung für einen Extremwert.
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Die Ableitung einer Funktion gibt an, wie schnell sich die Funktion an einem Punkt ändert. Geometrisch: die Steigung der Tangente an diesem Punkt. Bei f(x) = x² ist die Ableitung f'(x) = 2x, an der Stelle x = 3 also Steigung 6.
Die Ableitungsregeln die du in der Klausur können musst, getrennt in Grundregeln (für Polynome) und erweiterte Regeln (für Verknüpfungen):
Grundregeln:
Erweiterte Regeln:
In Klausuren wirst du oft gefragt: leite f(x) ab oder finde die Extremwerte. Standard-Vorgehen für Extremwerte: f'(x) = 0 setzen, x-Werte berechnen, dann mit f''(x) prüfen ob Maximum (f'' < 0) oder Minimum (f'' > 0).
f differenzierbar ist, gilt f'(x) = 0 als notwendige Bedingung. Randpunkte und Knicke separat prüfen.Ableitungen sind nicht nur Mathe um der Mathe willen, sondern eine der wichtigsten Werkzeuge in fast jedem MINT-Fach.
Bei einer Geraden y = mx + b ist die Steigung überall gleich: m. Bei einer Kurve wechselt die Steigung von Punkt zu Punkt. Wie misst man sie an einem konkreten Punkt x₀?
Idee in zwei Schritten:
Nimm zwei Punkte P = (x₀, f(x₀)) und Q = (x₀ + h, f(x₀ + h)) und berechne ihre Steigung:
m_(Sekante) = (f(x₀ + h) - f(x₀))/h
Das ist der Differenzenquotient: Differenz der y-Werte geteilt durch Differenz der x-Werte.
Je kleiner h, desto näher rückt Q an P heran, und die Sekante wird zur Tangente. Im Grenzwert:
f'(x₀) = lim_(h → 0) (f(x₀ + h) - f(x₀))/h
Das ist der Differentialquotient und definiert die Ableitung f'(x₀).
Nehmen wir f(x) = x² und berechnen die Ableitung an x₀ = 3:
(f(3 + h) - f(3))/h = ((3+h)² - 9)/h = (9 + 6h + h² - 9)/h = (6h + h²)/h = 6 + h
Wenn h → 0: f'(3) = 6. Die Tangente an y = x² in (3 | 9) hat Steigung 6.
In der Praxis berechnet niemand jedes Mal den Grenzwert. Stattdessen nutzt man Regeln, die man auswendig lernt.
f(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = n · x^(n-1)
Den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen, dann den Exponenten um 1 verringern.
| f(x) | f'(x) |
|---|---|
x | 1 |
x² | 2x |
x³ | 3x² |
x⁵ | 5x⁴ |
√(x) = x^(1/2) | 1/2x^(-1/2) = 1/(2√(x)) |
1/x = x^(-1) | -x^(-2) = -1/x² |
Konstante Faktoren bleiben stehen:
f(x) = c · g(x) ⇒ f'(x) = c · g'(x)
Beispiel: f(x) = 5x³ ⇒ f'(x) = 5 · 3x² = 15x².
Summen und Differenzen werden gliedweise abgeleitet:
f(x) = g(x) ± h(x) ⇒ f'(x) = g'(x) ± h'(x)
Beispiel: f(x) = x³ + 2x² - 5x + 7 ⇒ f'(x) = 3x² + 4x - 5 + 0 = 3x² + 4x - 5.
Konstanten verschwinden beim Ableiten: die Steigung einer waagerechten Linie ist 0.
f(x) = u(x) · v(x) ⇒ f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)
Merksatz: "Erste mal Zweite' Strich plus Erste Strich mal Zweite".
f(x) = u(x)/v(x) ⇒ f'(x) = (u'(x) · v(x) - u(x) · v'(x))/([v(x)]²)
Merksatz (zur Formel oben): "Im Zähler: Zähler-Ableitung mal Nenner minus Zähler mal Nenner-Ableitung. Im Nenner: Nenner zum Quadrat." Mit u = Zähler und v = Nenner: u' v - u v' oben, v² unten.
Beispiel: f(x) = x²/(x + 1). Mit u = x², v = x + 1, u' = 2x, v' = 1:
f'(x) = (2x · (x+1) - x² · 1)/((x+1)²) = (x² + 2x)/((x+1)²)
Bevor du die Quotientenregel anwendest: prüf, ob du den Term umschreiben kannst (z.B.
1/x = x^(-1)→ Potenzregel reicht). Die Quotientenregel ist nur nötig, wenn Zähler und Nenner echtex-Funktionen sind.
f(x) = g(h(x)) ⇒ f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)
"Äußere mal innere Ableitung". Beispiel: f(x) = (3x + 2)⁴. Äußere u⁴ → 4u³, innere 3x + 2 → 3. Also f'(x) = 4(3x+2)³ · 3 = 12(3x+2)³.
Eine wichtige Klausuraufgabe: bestimme das Maximum oder Minimum einer Funktion.
Strategie:
f'(x) bildenf'(x) suchen: das sind Kandidaten für Extremaf''(x) prüfen:
f''(x₀) > 0 → Minimumf''(x₀) < 0 → Maximumf''(x₀) = 0 → genauer prüfen (Sattelpunkt möglich)Beispiel: Wo hat f(x) = x² - 4x + 1 ein Extremum?
f'(x) = 2x - 4f'(x) = 0 ⇒ x = 2f''(x) = 2 > 0 → Minimum bei x = 2f(2) = 4 - 8 + 1 = -3(2 | -3), genau der Scheitelpunkt!Bei einer Parabel ist die Extremstelle immer der Scheitelpunkt. Bei komplexeren Funktionen (Polynome höheren Grades) gibt es mehrere Extrema.
In der Schule und Uni siehst du verschiedene Schreibweisen:
| Schreibweise | Wer nutzt das? |
|---|---|
f'(x) | Standardschule, Lagrange-Notation |
df/dx | Leibniz-Notation, in Physik/Ingenieurswissenschaften |
dot f | Newton-Notation, oft bei zeitlichen Ableitungen |
D_x f | Operator-Schreibweise, in höherer Mathematik |
Alle bedeuten das Gleiche: die Ableitung von f nach x.
Die Aha-Visualisierung der Ableitung. Du siehst:
f(x) = ax² + bx + c (Parameter unten anpassbar)P bei x₀ (Berührpunkt der Tangente)f'(x₀) = 2ax₀ + bh ≠ 0: einen orangen Punkt Q bei x₀ + h und die orange Sekante durch beide PunkteProbier folgendes:
h = 2: die Sekante hat sichtbar eine andere Steigung als die Tangenteh langsam Richtung 0: die Sekante nähert sich der Tangente anh = 0 verschwinden Sekante und Punkt Q, übrig bleibt die TangenteΔ: die Differenz Sekantensteigung - exakte Ableitung. Bei h → 0 geht Δ → 0.Interaktive Visualisierung
Zeigt Funktion und ihre Ableitung gleichzeitig mit beweglicher Tangente.
Faustregel zum Mitnehmen: Die Ableitung an einem Punkt ist die Steigung der Tangente. Sie entsteht aus dem Grenzwert der Sekantensteigungen, wenn der zweite Punkt unendlich nah heranrückt.
Probier auch: zieh x₀ in den Scheitelpunkt der Parabel. Dort ist f'(x₀) = 0, die Tangente wird waagerecht. Genau das ist die Bedingung für einen Extremwert.
Klausurfragen mit Lösungen (7)
Antwort: `f'(x) = 4x³`
Erklärung: Potenzregel: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹. Bei n = 4: f'(x) = 4·x³. Den Exponenten als Faktor vorholen, dann Exponent um 1 verringern.
Antwort: `f'(x) = 6x - 5`
Erklärung: Summenregel + Potenzregel + Faktorregel: (3x²)' = 6x, (5x)' = 5, (7)' = 0. Konstanten verschwinden beim Ableiten. Ergebnis: 6x - 5.
Antwort: 6
Erklärung: f'(x) = 2x. An x = 3: f'(3) = 2·3 = 6. Die Tangente an die Parabel y = x² in (3|9) hat Steigung 6.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: x = 3
Erklärung: f'(x) = 2x - 6. Nullstelle: 2x - 6 = 0 ⇒ x = 3. f''(x) = 2 > 0 ⇒ Minimum. Das ist gleichzeitig der Scheitelpunkt der Parabel.
Antwort: `f'(x) = 0`
Erklärung: Die Ableitung einer Konstante ist 0. Eine waagerechte Linie hat keine Steigung. Das ist auch eine Folge der Potenzregel: 5 = 5·x⁰, abgeleitet 0·5·x⁻¹ = 0.
Antwort: Die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten
Erklärung: Der Differenzenquotient ist die Sekantensteigung zwischen den Punkten (x₀, f(x₀)) und (x₀+h, f(x₀+h)). Erst im Grenzwert h → 0 wird daraus die Tangentensteigung, also die Ableitung.
Antwort: `f'(x₀) = 0`
Erklärung: Notwendige Bedingung an inneren, differenzierbaren Stellen: f'(x₀) = 0. Die Tangente muss waagerecht sein. Die hinreichende Bedingung schaut zusätzlich auf f''(x₀): > 0 = Minimum, < 0 = Maximum. Randpunkte des Definitionsbereichs und nicht-differenzierbare Stellen (Knicke) müssen separat untersucht werden.