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Teil 1·Erklärung
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Wie wächst eine Population? Wie kühlt eine Tasse Tee ab? Wie schwingt ein Pendel? Solche dynamischen Vorgänge beschreibt man durch Differentialgleichungen (DGL) — Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Klausur-Vorkommen in Master-nahen Mathe-2-Klausuren (P3-Vertiefung).
Klausur-Tipp: Bei DGL-Klausuraufgaben — ZUERST klassifizieren (Ordnung, linear, homogen), DANN Methode wählen. Falsche Methode für falschen Typ = 0 Punkte.
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Wie wächst eine Population? Wie kühlt eine Tasse Tee ab? Wie schwingt ein Pendel? Solche dynamischen Vorgänge beschreibt man durch Differentialgleichungen (DGL) — Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Klausur-Vorkommen in Master-nahen Mathe-2-Klausuren (P3-Vertiefung).
Differentialgleichung: Eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion
y(x)mit ihren Ableitungeny', y'', ...verknüpft. Lösung: finde die Funktion.
y'(x) = k · y(x)
"Die Wachstumsrate ist proportional zum aktuellen Wert."
Lösung: y(x) = C · e^(kx) — exponentielles Wachstum.
Bei y(0) = y₀: C = y₀, also y(x) = y₀ · e^(kx).
y'y'' vorhanden (z.B. Schwingungen)y^((n))Linear: y und Ableitungen kommen nur in 1. Potenz vor, keine Produkte.
y'' + p(x) y' + q(x) y = g(x)
Nicht-linear: Produkte oder Potenzen von y und Ableitungen.
y' = y² + x (nicht-linear wegen y²)
Homogen: rechte Seite = 0 → y'' + p y' + q y = 0.
Inhomogen: rechte Seite ≠ 0 → y'' + p y' + q y = g(x).
Form: y' = f(x) · g(y)
Vorgehen:
dy/g(y) = f(x) dxy auflösenBeispiel: y' = y · x (mit y(0) = 1)
dy/y = x dx
∫ 1/y dy = ∫ x dx
ln|y| = x²/2 + C
y = e^(x²/2 + C) = C' · e^(x²/2)
Mit y(0) = 1: C' = 1, y = e^(x²/2).
Form: y' + p(x) y = q(x)
Lösungsmethode (integrierender Faktor):
μ(x) = e^(∫ p(x) dx)
Multipliziere DGL mit μ: (μ y)' = μ q.
Integriere: μ y = ∫ μ q dx.
Auflösen: y = 1/(μ) ∫ μ q dx.
y'' + a y' + b y = 0
Charakteristische Gleichung:
λ² + a λ + b = 0
3 Fälle (Diskriminante D = a² - 4b):
| Fall | Diskriminante | Allgemeine Lösung |
|---|---|---|
| 2 verschiedene reelle | D > 0 | y = C₁ e^(λ₁ x) + C₂ e^(λ₂ x) |
| Doppellösung | D = 0 | y = (C₁ + C₂ x) e^(λ x) |
| Komplex | D < 0 | y = e^(α x)(C₁ cos(β x) + C₂ sin(β x)) |
Beispiel: y'' - 5y' + 6y = 0 → λ² - 5λ + 6 = 0 → λ = 2, 3.
y(x) = C₁ e^(2x) + C₂ e^(3x).
DGL + Anfangsbedingungen → eindeutige Lösung.
Beispiel: y' = y, y(0) = 5 → y = 5 e^x (eindeutig).
| Modell | DGL |
|---|---|
| Exponentielles Wachstum | y' = ky |
| Logistisches Wachstum | y' = ky(1 - y/K) |
| Newton-Abkühlung | T' = -k(T - T_u) |
| Harmonischer Oszillator | y'' + ω² y = 0 |
| Gedämpfte Schwingung | y'' + 2γ y' + ω₀² y = 0 |
| Radioaktiver Zerfall | N' = -λ N |
Wenn analytische Lösung schwer/unmöglich:
Euler-Verfahren: y_(n+1) = y_n + h · f(x_n, y_n).
Runge-Kutta: höhere Ordnung, präziser.
1. Klassifizieren: Ordnung, linear/nicht-linear, homogen/inhomogen.
2. 1. Ordnung trennbar: Variablen separieren, beide integrieren, auflösen.
3. 2. Ordnung mit konst. Koeff.: Charakteristische Gleichung → 3 Fälle.
4. Anfangswerte einsetzen, um Konstanten C zu bestimmen.
5. Standard-DGLs auswendig (Wachstum, Abkühlung, harmonisch).
1. Verwechsle DGL mit Funktionsgleichung. y = x² ist eine Funktion. y' = 2x ist eine DGL (gelöst durch y = x² + C).
2. Konstanten C vergessen. Nach Integration: + C. Anfangswerte bestimmen C.
3. Lineare vs. nicht-lineare DGL verwechseln. y' = y² ist NICHT-LINEAR (wegen y²).
4. Homogen-Form falsch: y'' + 2y' + y = 0 ist homogen (g = 0). y'' + 2y' + y = sin(x) ist inhomogen.
5. Komplexe Wurzeln-Fall vergessen. Bei DGL 2. Ordnung kann Diskriminante negativ sein → trigonometrische Lösung.
Wähle eine Standard-DGL und sieh Lösungen für verschiedene Anfangswerte:
y' = kySchiebe Parameter und Anfangswert, sieh wie sich Lösungen ändern.
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Klausur-Tipp: Bei DGL-Klausuraufgaben — ZUERST klassifizieren (Ordnung, linear, homogen), DANN Methode wählen. Falsche Methode für falschen Typ = 0 Punkte.
6 Aufgaben zu Klassifikation, Trennung der Variablen, lineare DGLs.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: Eine Gleichung, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpft
Erklärung: DGL = Gleichung mit Funktion + Ableitungen. Beispiel: `y' = k · y` (Wachstum). Lösung ist eine FUNKTION (z.B. `y = C · e^(kx)`), nicht ein einzelner Wert wie bei algebraischen Gleichungen.
Antwort: `y' = k · y`
Erklärung: `y' = ky` → Wachstumsrate proportional zum aktuellen Wert. Lösung: `y(x) = C e^(kx)`. Klassisches Wachstums-/Zerfalls-Modell. `y'' = -ω² y` wäre harmonischer Oszillator.
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. Form `y' = f(x) · g(y)` mit `f(x) = x` und `g(y) = y`. Lösung: `∫ dy/y = ∫ x dx ⇒ ln|y| = x²/2 + C ⇒ y = C' e^(x²/2)`.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: `y' = y² + x`
Erklärung: `y' = y² + x` ist nicht-linear wegen `y²`. Lineare DGL: `y, y', y''` nur in 1. Potenz, ohne Produkte. Andere Optionen sind alle linear (1./2. Ordnung).
Richtige Antworten: Lineare DGL: `y, y', ...` nur in 1. Potenz; Homogene DGL: rechte Seite = 0; Anfangswertproblem (AWP) hat eindeutige Lösung; Harmonischer Oszillator: `y'' + ω² y = 0`; Euler-Verfahren ist numerische Lösungsmethode
Erklärung: Richtig: Linear-Def, Homogen-Def, AWP eindeutig, Oszillator-DGL, Euler. Falsch: Trennung der Variablen für 1. ORDNUNG mit Form `y' = f(x)g(y)` — nicht für 2. Ordnung.
Typ: Multi-Select
Zuordnungen:
Erklärung: Standard-DGL-Anwendungen. Klausur-Pflicht: für jedes Modell die DGL kennen.
Typ: Zuordnung
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: `y(1) = 3e²`
Erklärung: `y' = 2y ⇒ y(x) = Ce^(2x)`. Mit `y(0) = C = 3`: `y(x) = 3e^(2x)`. `y(1) = 3e² ≈ 22.17`.
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. Substitution `y = e^(λ x)`: `λ² e^(λ x) - 4 λ e^(λ x) + 3 e^(λ x) = 0 ⇒ λ² - 4λ + 3 = 0`. Faktor: `(λ-1)(λ-3) = 0 ⇒ λ = 1, 3`. Lösung: `y = C₁ e^x + C₂ e^(3x)`.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: `y = C₁ cos(2x) + C₂ sin(2x)`
Erklärung: `y'' + 4y = 0 ⇒ λ² + 4 = 0 ⇒ λ = ± 2i`. Komplexer Fall: `y = C₁ cos(2x) + C₂ sin(2x)`. Reine Schwingung mit Frequenz `ω = 2`.
Antwort: Trennung der Variablen (`y' = f(x) · g(y)`)
Erklärung: `y' = x · y` ist von Form `f(x) · g(y)` mit `f(x) = x` und `g(y) = y`. Trennung der Variablen ist die natürliche Methode. (Lösung: `y = e^(x²/2)`.)
Lösungen pro Lücke:
Erklärung: DGL-Vokabular. Differentialgleichung, Trennung der Variablen, homogen, charakteristische Gleichung.
Typ: Lückentext
Richtige Reihenfolge:
Erklärung: Standard-Workflow für DGL 2. Ordnung. Klassifizieren → charakt. Gleichung → Diskriminante → Nullstellen → Allgemeine Lösung → Konstanten via AW.
Typ: Reihenfolge