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  • Einführung
  • Die Idee in einem Satz
  • Beispiel: Einfaches Wachstum
  • Klassifikation
  • Trennung der [Variablen](/themen/variablen-datentypen) (1. Ordnung)
  • Lineare DGL 1. Ordnung
  • Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
  • Anfangswertproblem (AWP)
  • Wichtige Anwendungs-DGLs
  • Numerische Lösung
  • Klausur-Faustregeln
  • Häufige Stolpersteine
ThemenMathematikDifferentialgleichungen, Grundlagen
Mathematik·4Lerneinheiten·20min·Stand17.07.2026

Differentialgleichungen, Grundlagen.

Wie wächst eine Population? Wie kühlt eine Tasse Tee ab? Wie schwingt ein Pendel? Solche dynamischen Vorgänge beschreibt man durch Differentialgleichungen (DGL), Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Klausur-Vorkommen in Master-nahen Mathe-2-Klausuren (P3-Vertiefung).

Differentialgleichung: Eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion y(x)y(x)y(x) mit ihren Ableitungen y′,y′′,…y', y'', \ldotsy′,y′′,… verknüpft. Lösung: finde die Funktion.

y′(x)=k⋅y(x)y'(x) = k \cdot y(x)y′(x)=k⋅y(x)

"Die Wachstumsrate ist proportional zum aktuellen Wert."

Lösung: y(x)=C⋅ekxy(x) = C \cdot e^{kx}y(x)=C⋅ekx, exponentielles Wachstum.

Bei y(0)=y0y(0) = y_0y(0)=y0​: C=y0C = y_0C=y0​, also y(x)=y0⋅ekxy(x) = y_0 \cdot e^{kx}y(x)=y0​⋅ekx.

Nach Ordnung

  • 1. Ordnung: nur y′y'y′
  • 2. Ordnung: y′′y''y′′ vorhanden (z.B. Schwingungen)
  • n. Ordnung: höchste Ableitung y(n)y^{(n)}y(n)

Linear vs. Nicht-Linear

Linear: yyy und Ableitungen kommen nur in 1. Potenz vor, keine Produkte.

y′′+p(x)y′+q(x)y=g(x)y'' + p(x) y' + q(x) y = g(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=g(x)

Nicht-linear: Produkte oder Potenzen von yyy und Ableitungen.

y′=y2+xy' = y^2 + xy′=y2+x (nicht-linear wegen y2y^2y2)

Homogen vs. Inhomogen

Homogen: rechte Seite = 0 → y′′+py′+qy=0y'' + p y' + q y = 0y′′+py′+qy=0.

Inhomogen: rechte Seite ≠ 0 → y′′+py′+qy=g(x)y'' + p y' + q y = g(x)y′′+py′+qy=g(x).

Form: y′=f(x)⋅g(y)y' = f(x) \cdot g(y)y′=f(x)⋅g(y)

Vorgehen:

  1. Umstellen: dyg(y)=f(x) dx\frac{dy}{g(y)} = f(x) \, dxg(y)dy​=f(x)dx
  2. Beide Seiten integrieren
  3. Nach yyy auflösen

Beispiel: y′=y⋅xy' = y \cdot xy′=y⋅x (mit y(0)=1y(0) = 1y(0)=1)

dyy=x dx\frac{dy}{y} = x \, dxydy​=xdx

∫1ydy=∫x dx\int \frac{1}{y} dy = \int x \, dx∫y1​dy=∫xdx

ln⁡∣y∣=x22+C\ln|y| = \frac{x^2}{2} + Cln∣y∣=2x2​+C

y=ex2/2+C=C′⋅ex2/2y = e^{x^2/2 + C} = C' \cdot e^{x^2/2}y=ex2/2+C=C′⋅ex2/2

Mit y(0)=1y(0) = 1y(0)=1: C′=1C' = 1C′=1, y=ex2/2y = e^{x^2/2}y=ex2/2.

Form: y′+p(x)y=q(x)y' + p(x) y = q(x)y′+p(x)y=q(x)

Lösungsmethode (integrierender Faktor):

μ(x)=e∫p(x)dx\mu(x) = e^{\int p(x) dx}μ(x)=e∫p(x)dx

Multipliziere DGL mit μ\muμ: (μy)′=μq(\mu y)' = \mu q(μy)′=μq.

Integriere: μy=∫μq dx\mu y = \int \mu q \, dxμy=∫μqdx.

Auflösen: y=1μ∫μq dxy = \frac{1}{\mu} \int \mu q \, dxy=μ1​∫μqdx.

y′′+ay′+by=0y'' + a y' + b y = 0y′′+ay′+by=0

Charakteristische Gleichung: λ2+aλ+b=0\lambda^2 + a \lambda + b = 0λ2+aλ+b=0

3 Fälle (Diskriminante D=a2−4bD = a^2 - 4bD=a2−4b):

FallDiskriminanteAllgemeine Lösung
2 verschiedene reelleD>0D > 0D>0y=C1eλ1x+C2eλ2xy = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}y=C1​eλ1​x+C2​eλ2​x
DoppellösungD=0D = 0D=0y=(C1+C2x)eλxy = (C_1 + C_2 x) e^{\lambda x}y=(C1​+C2​x)eλx
KomplexD<0D < 0D<0y=eαx(C1cos⁡(βx)+C2sin⁡(βx))y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))y=eαx(C1​cos(βx)+C2​sin(βx))

Beispiel: y′′−5y′+6y=0y'' - 5y' + 6y = 0y′′−5y′+6y=0 → λ2−5λ+6=0\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0λ2−5λ+6=0 → λ=2,3\lambda = 2, 3λ=2,3.

y(x)=C1e2x+C2e3xy(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}y(x)=C1​e2x+C2​e3x.

DGL + Anfangsbedingungen → eindeutige Lösung.

Beispiel: y′=yy' = yy′=y, y(0)=5y(0) = 5y(0)=5 → y=5exy = 5 e^xy=5ex (eindeutig).

ModellDGL
Exponentielles Wachstumy′=kyy' = kyy′=ky
Logistisches Wachstumy′=ky(1−y/K)y' = ky(1 - y/K)y′=ky(1−y/K)
Newton-AbkühlungT′=−k(T−Tu)T' = -k(T - T_u)T′=−k(T−Tu​)
Harmonischer Oszillatory′′+ω2y=0y'' + \omega^2 y = 0y′′+ω2y=0
Gedämpfte Schwingungy′′+2γy′+ω02y=0y'' + 2\gamma y' + \omega_0^2 y = 0y′′+2γy′+ω02​y=0
Radioaktiver ZerfallN′=−λNN' = -\lambda NN′=−λN

Wenn analytische Lösung schwer/unmöglich:

Euler-Verfahren: yn+1=yn+h⋅f(xn,yn)y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)yn+1​=yn​+h⋅f(xn​,yn​).

Runge-Kutta: höhere Ordnung, präziser.

1. Klassifizieren: Ordnung, linear/nicht-linear, homogen/inhomogen.

2. 1. Ordnung trennbar: Variablen separieren, beide integrieren, auflösen.

3. 2. Ordnung mit konst. Koeff.: Charakteristische Gleichung → 3 Fälle.

4. Anfangswerte einsetzen, um Konstanten CCC zu bestimmen.

5. Standard-DGLs auswendig (Wachstum, Abkühlung, harmonisch).

1. Verwechsle DGL mit Funktionsgleichung. y=x2y = x^2y=x2 ist eine Funktion. y′=2xy' = 2xy′=2x ist eine DGL (gelöst durch y=x2+Cy = x^2 + Cy=x2+C).

2. Konstanten C vergessen. Nach Integration: +C+ C+C. Anfangswerte bestimmen CCC.

3. Lineare vs. nicht-lineare DGL verwechseln. y′=y2y' = y^2y′=y2 ist NICHT-LINEAR (wegen y2y^2y2).

4. Homogen-Form falsch: y′′+2y′+y=0y'' + 2y' + y = 0y′′+2y′+y=0 ist homogen (g=0g = 0g=0). y′′+2y′+y=sin⁡(x)y'' + 2y' + y = \sin(x)y′′+2y′+y=sin(x) ist inhomogen.

5. Komplexe Wurzeln-Fall vergessen. Bei DGL 2. Ordnung kann Diskriminante negativ sein → trigonometrische Lösung.

Wähle eine Standard-DGL und sieh Lösungen für verschiedene Anfangswerte:

  • Exponentielles Wachstum: y′=kyy' = kyy′=ky
  • Logistisches Wachstum (gebremst durch Kapazität K)
  • Newton-Abkühlung: Temperatur nähert sich Umgebung
  • Harmonischer Oszillator: Schwingungen

Schiebe Parameter und Anfangswert, sieh wie sich Lösungen ändern.

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Klausur-Tipp: Bei DGL-Klausuraufgaben, ZUERST klassifizieren (Ordnung, linear, homogen), DANN Methode wählen. Falsche Methode für falschen Typ = 0 Punkte.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Wie wächst eine Population? Wie kühlt eine Tasse Tee ab? Wie schwingt ein Pendel? Solche dynamischen Vorgänge beschreibt man durch Differentialgleichungen (DGL), Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Klausur-Vorkommen in Master-nahen Mathe-2-Klausuren (P3-Vertiefung).

Die Idee in einem Satz

Differentialgleichung: Eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion y(x) mit ihren Ableitungen y', y'', ... verknüpft. Lösung: finde die Funktion.

Beispiel: Einfaches Wachstum

y'(x) = k · y(x)

"Die Wachstumsrate ist proportional zum aktuellen Wert."

Lösung: y(x) = C · e^(kx), exponentielles Wachstum.

Bei y(0) = y₀: C = y₀, also y(x) = y₀ · e^(kx).

Klassifikation

Nach Ordnung
  • 1. Ordnung: nur y'
  • 2. Ordnung: y'' vorhanden (z.B. Schwingungen)
  • n. Ordnung: höchste Ableitung y^((n))
Linear vs. Nicht-Linear

Linear: y und Ableitungen kommen nur in 1. Potenz vor, keine Produkte.

y'' + p(x) y' + q(x) y = g(x)

Nicht-linear: Produkte oder Potenzen von y und Ableitungen.

y' = y² + x (nicht-linear wegen y²)

Homogen vs. Inhomogen

Homogen: rechte Seite = 0 → y'' + p y' + q y = 0.

Inhomogen: rechte Seite ≠ 0 → y'' + p y' + q y = g(x).

Trennung der Variablen (1. Ordnung)

Form: y' = f(x) · g(y)

Vorgehen:

  1. Umstellen: dy/g(y) = f(x) dx
  2. Beide Seiten integrieren
  3. Nach y auflösen

Beispiel: y' = y · x (mit y(0) = 1)

dy/y = x dx

∫ 1/y dy = ∫ x dx

ln|y| = x²/2 + C

y = e^(x²/2 + C) = C' · e^(x²/2)

Mit y(0) = 1: C' = 1, y = e^(x²/2).

Lineare DGL 1. Ordnung

Form: y' + p(x) y = q(x)

Lösungsmethode (integrierender Faktor):

μ(x) = e^(∫ p(x) dx)

Multipliziere DGL mit μ: (μ y)' = μ q.

Integriere: μ y = ∫ μ q dx.

Auflösen: y = 1/(μ) ∫ μ q dx.

Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y'' + a y' + b y = 0

Charakteristische Gleichung: λ² + a λ + b = 0

3 Fälle (Diskriminante D = a² - 4b):

FallDiskriminanteAllgemeine Lösung
2 verschiedene reelleD > 0y = C₁ e^(λ₁ x) + C₂ e^(λ₂ x)
DoppellösungD = 0y = (C₁ + C₂ x) e^(λ x)
KomplexD < 0y = e^(α x)(C₁ cos(β x) + C₂ sin(β x))

Beispiel: y'' - 5y' + 6y = 0 → λ² - 5λ + 6 = 0 → λ = 2, 3.

y(x) = C₁ e^(2x) + C₂ e^(3x).

Anfangswertproblem (AWP)

DGL + Anfangsbedingungen → eindeutige Lösung.

Beispiel: y' = y, y(0) = 5 → y = 5 e^x (eindeutig).

Wichtige Anwendungs-DGLs

ModellDGL
Exponentielles Wachstumy' = ky
Logistisches Wachstumy' = ky(1 - y/K)
Newton-AbkühlungT' = -k(T - T_u)
Harmonischer Oszillatory'' + ω² y = 0
Gedämpfte Schwingungy'' + 2γ y' + ω₀² y = 0
Radioaktiver ZerfallN' = -λ N

Numerische Lösung

Wenn analytische Lösung schwer/unmöglich:

Euler-Verfahren: y_(n+1) = y_n + h · f(x_n, y_n).

Runge-Kutta: höhere Ordnung, präziser.

Klausur-Faustregeln

1. Klassifizieren: Ordnung, linear/nicht-linear, homogen/inhomogen.

2. 1. Ordnung trennbar: Variablen separieren, beide integrieren, auflösen.

3. 2. Ordnung mit konst. Koeff.: Charakteristische Gleichung → 3 Fälle.

4. Anfangswerte einsetzen, um Konstanten C zu bestimmen.

5. Standard-DGLs auswendig (Wachstum, Abkühlung, harmonisch).

Häufige Stolpersteine

1. Verwechsle DGL mit Funktionsgleichung. y = x² ist eine Funktion. y' = 2x ist eine DGL (gelöst durch y = x² + C).

2. Konstanten C vergessen. Nach Integration: + C. Anfangswerte bestimmen C.

3. Lineare vs. nicht-lineare DGL verwechseln. y' = y² ist NICHT-LINEAR (wegen y²).

4. Homogen-Form falsch: y'' + 2y' + y = 0 ist homogen (g = 0). y'' + 2y' + y = sin(x) ist inhomogen.

5. Komplexe Wurzeln-Fall vergessen. Bei DGL 2. Ordnung kann Diskriminante negativ sein → trigonometrische Lösung.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

DGL-Lösungs-Plot

Wähle eine Standard-DGL und sieh Lösungen für verschiedene Anfangswerte:

  • Exponentielles Wachstum: y' = ky
  • Logistisches Wachstum (gebremst durch Kapazität K)
  • Newton-Abkühlung: Temperatur nähert sich Umgebung
  • Harmonischer Oszillator: Schwingungen

Schiebe Parameter und Anfangswert, sieh wie sich Lösungen ändern.

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Klausur-Tipp: Bei DGL-Klausuraufgaben, ZUERST klassifizieren (Ordnung, linear, homogen), DANN Methode wählen. Falsche Methode für falschen Typ = 0 Punkte.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Differentialgleichungen, Praxis-Übung

6 Aufgaben zu Klassifikation, Trennung der Variablen, lineare DGLs.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Was ist eine Differentialgleichung?

Antwort: Eine Gleichung, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpft

Erklärung: DGL = Gleichung mit Funktion + Ableitungen. Beispiel: `y' = k · y` (Wachstum). Lösung ist eine FUNKTION (z.B. `y = C · e^(kx)`), nicht ein einzelner Wert wie bei algebraischen Gleichungen.

F2.Welche DGL beschreibt exponentielles Wachstum?

Antwort: `y' = k · y`

Erklärung: `y' = ky` → Wachstumsrate proportional zum aktuellen Wert. Lösung: `y(x) = C e^(kx)`. Klassisches Wachstums-/Zerfalls-Modell. `y'' = -ω² y` wäre harmonischer Oszillator.

F3.y' = y · x ist eine trennbare DGL.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Form `y' = f(x) · g(y)` mit `f(x) = x` und `g(y) = y`. Lösung: `∫ dy/y = ∫ x dx ⇒ ln|y| = x²/2 + C ⇒ y = C' e^(x²/2)`.

Typ: Wahr/Falsch

F4.Welche DGL ist NICHT-LINEAR?

Antwort: `y' = y² + x`

Erklärung: `y' = y² + x` ist nicht-linear wegen `y²`. Lineare DGL: `y, y', y''` nur in 1. Potenz, ohne Produkte. Andere Optionen sind alle linear (1./2. Ordnung).

F5.Welche Aussagen sind RICHTIG?

Richtige Antworten: Lineare DGL: `y, y', ...` nur in 1. Potenz; Homogene DGL: rechte Seite = 0; Anfangswertproblem (AWP) hat eindeutige Lösung; Harmonischer Oszillator: `y'' + ω² y = 0`; Euler-Verfahren ist numerische Lösungsmethode

Erklärung: Richtig: Linear-Def, Homogen-Def, AWP eindeutig, Oszillator-DGL, Euler. Falsch: Trennung der Variablen für 1. ORDNUNG mit Form `y' = f(x)g(y)`, nicht für 2. Ordnung.

Typ: Multi-Select

F6.Ordne Modell der DGL zu:

Zuordnungen:

  • Exp. Wachstum → $y' = ky$
  • Logistisches Wachstum → $y' = ky(1 - y/K)$
  • Newton-Abkühlung → $T' = -k(T - T_u)$
  • Harmonischer Oszillator → $y'' + \omega^2 y = 0$

Erklärung: Standard-DGL-Anwendungen. Klausur-Pflicht: für jedes Modell die DGL kennen.

Typ: Zuordnung

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Lösen Sie y' = 2y mit y(0) = 3. Was ist y(1)?

Antwort: `y(1) = 3e²`

Erklärung: `y' = 2y ⇒ y(x) = Ce^(2x)`. Mit `y(0) = C = 3`: `y(x) = 3e^(2x)`. `y(1) = 3e² ≈ 22.17`.

F2.Die charakteristische Gleichung von y'' - 4y' + 3y = 0 ist λ² - 4λ + 3 = 0 mit Nullstellen λ = 1, 3.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Substitution `y = e^(λ x)`: `λ² e^(λ x) - 4 λ e^(λ x) + 3 e^(λ x) = 0 ⇒ λ² - 4λ + 3 = 0`. Faktor: `(λ-1)(λ-3) = 0 ⇒ λ = 1, 3`. Lösung: `y = C₁ e^x + C₂ e^(3x)`.

Typ: Wahr/Falsch

F3.Für y'' + 4y = 0 (harmonischer Oszillator mit ω = 2). Wie lautet die allgemeine Lösung?

Antwort: `y = C₁ cos(2x) + C₂ sin(2x)`

Erklärung: `y'' + 4y = 0 ⇒ λ² + 4 = 0 ⇒ λ = ± 2i`. Komplexer Fall: `y = C₁ cos(2x) + C₂ sin(2x)`. Reine Schwingung mit Frequenz `ω = 2`.

F4.Sie wollen y' = x · y mit y(0) = 1 lösen. Welche Methode?

Antwort: Trennung der Variablen (`y' = f(x) · g(y)`)

Erklärung: `y' = x · y` ist von Form `f(x) · g(y)` mit `f(x) = x` und `g(y) = y`. Trennung der Variablen ist die natürliche Methode. (Lösung: `y = e^(x²/2)`.)

F5.Eine {{1}}-Gleichung verknüpft eine Funktion mit ihren {{2}}. {{3}} der Variablen: bei y' = f(x) · g(y) separieren + integrieren. {{4}} bezeichnet rechte Seite = 0. {{5}}-Gleichung für DGL 2. Ordnung: λ² + aλ + b = 0.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: Differential
  • {{2}}: Ableitungen
  • {{3}}: Trennung
  • {{4}}: Homogen
  • {{5}}: Charakteristische / Charakteristisch

Erklärung: DGL-Vokabular. Differentialgleichung, Trennung der Variablen, homogen, charakteristische Gleichung.

Typ: Lückentext

F6.Sortiere: DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten lösen.

Richtige Reihenfolge:

  1. DGL klassifizieren: $y'' + ay' + by = 0$ (homogen)
  2. Charakteristische Gleichung: $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$
  3. Diskriminante $D = a^2 - 4b$ berechnen → 3 Fälle
  4. Nullstellen $\lambda_1, \lambda_2$ bestimmen
  5. Allgemeine Lösung aufstellen (je nach Fall)
  6. Anfangswerte einsetzen, $C_1, C_2$ bestimmen

Erklärung: Standard-Workflow für DGL 2. Ordnung. Klassifizieren → charakt. Gleichung → Diskriminante → Nullstellen → Allgemeine Lösung → Konstanten via AW.

Typ: Reihenfolge

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