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Mathematik·13 Min Lesezeit·Fortgeschritten·Zuletzt reviewed 06.05.2026

Partielle Ableitungen

Funktionen mehrerer Variablen: partielle Ableitungen, Gradient, Hesse-Matrix und Klassifikation kritischer Punkte (Min/Max/Sattel). Anwendungen in Cobb-Douglas, Nutzenmaximierung und Optimierung.

Voraussetzung:Ableitungen

Lerneinheit 1 von 4

Partielle Ableitungen

Bei Funktionen mit mehreren Variablen $f(x, y)$ misst die partielle Ableitung die Steigung in einer einzelnen Richtung — andere Variablen werden konstant gehalten. Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathe und Analysis 2. Klausur-Klassiker für Optimierungsaufgaben in BWL/VWL (Nutzenmaximierung, Produktionsfunktionen, Kostenminimierung).

Was du in der Klausur können musst:

$\partial f / \partial x$ und $\partial f / \partial y$ mechanisch berechnen
Höhere partielle Ableitungen ( $f_{xx}$ , $f_{yy}$ , $f_{xy}$ , Satz von Schwarz)
Gradient $\nabla f$ als Vektor der partiellen Ableitungen
Extrema mehrerer Variablen über $\nabla f = 0$ + Hesse-Matrix
Anwendungen: Cobb-Douglas, marginale Nutzen / Grenzproduktivität

In Klausuren oft gefragt: "Berechne $\partial f / \partial x$ ", "Bestimme die Extrema von $f(x, y)$ ", "Klassifiziere mit Hesse-Matrix" — Pflicht-Aufgaben.

Bei $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ misst $\frac{\partial f}{\partial x}$ die Änderungsrate, wenn nur $x$ variiert und $y$ konstant gehalten wird:

$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}$

Notations-Vielfalt (alle gleichbedeutend):

$\frac{\partial f}{\partial x} \;=\; f_x \;=\; \partial_x f$

Praxis-Trick: Beim partiellen Ableiten alle anderen Variablen wie Konstanten behandeln, sonst genau wie ein eindimensionales Ableiten.

Polynom: $f(x, y) = 3x^2 y + 5x - 2y^3$

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 6xy + 5 \quad \text{(y wie konstant)}$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2 - 6y^2 \quad \text{(x wie konstant)}$

Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: $f(K, L) = A \cdot K^\alpha \cdot L^{1-\alpha}$

$f_K = A \cdot \alpha \cdot K^{\alpha - 1} \cdot L^{1-\alpha} \quad \text{(Grenzproduktivität des Kapitals)}$

$f_L = A \cdot (1 - \alpha) \cdot K^{\alpha} \cdot L^{-\alpha} \quad \text{(Grenzproduktivität der Arbeit)}$

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

Satz von Schwarz: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen $f_{xy}$ und $f_{yx}$ in einer Umgebung des betrachteten Punktes stetig sind, gilt:

$\boxed{f_{xy} = f_{yx}}$

Reihenfolge der Ableitung egal — bei "gutartigen" (in der Praxis fast allen Klausur-)Funktionen.

Beispiel: $f(x, y) = 3x^2 y + 5x - 2y^3$

$f_x = 6xy + 5$ → $f_{xx} = 6y$ , $f_{xy} = 6x$
$f_y = 3x^2 - 6y^2$ → $f_{yy} = -12y$ , $f_{yx} = 6x$ ✓

Der Gradient ist der Vektor aller partiellen Ableitungen:

$\nabla f(x, y) = \begin{pmatrix} f_x \\ f_y \end{pmatrix}$

Bedeutung: zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion. Betrag = lokale Steigungsrate.

Notwendige Bedingung im Optimum: bei einem inneren, unbeschränkten, differenzierbaren Optimum gilt $\nabla f = 0$ . Bei Randpunkten oder Optimierung mit Nebenbedingungen (Lagrange / KKT) muss der Gradient nicht verschwinden — siehe Nutzenmaximierung für die Lagrange-Anwendung.

Notwendige Bedingung (1. Ordnung): in einem inneren Extremum gilt

$\nabla f(x_0, y_0) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad f_x = 0 \;\wedge\; f_y = 0$

→ Lösen des Gleichungssystems liefert die kritischen Punkte.

Hinreichende Bedingung (2. Ordnung) — Hesse-Matrix:

$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$

Mit Determinante $D = f_{xx} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2$ :

$D$	$f_{xx}$	Klassifikation
$D > 0$	$f_{xx} > 0$	Lokales Minimum
$D > 0$	$f_{xx} < 0$	Lokales Maximum
$D < 0$	beliebig	Sattelpunkt
$D = 0$	beliebig	unentschieden — höhere Ordnung

Beispiel: $f(x, y) = x^2 + y^2$

$\nabla f = (2x, 2y) = 0 \Rightarrow (x, y) = (0, 0)$ kritisch
$f_{xx} = 2$ , $f_{yy} = 2$ , $f_{xy} = 0$ → $D = 4 > 0$ , $f_{xx} > 0$ → Minimum bei $(0, 0)$ mit $f = 0$ ✓

In der Mikroökonomie ist das Tangential-Bedingung der Optimum:

Nutzenmaximierung: $\frac{\partial U / \partial X}{\partial U / \partial Y} = \frac{p_X}{p_Y}$ — Verhältnis der Grenznutzen = Verhältnis der Preise (siehe Nutzenmaximierung)

Kostenminimierung: Verhältnis der Grenzproduktivitäten = Verhältnis der Faktorpreise

Beide sind Anwendungen partieller Ableitungen mit Lagrange-Multiplikatoren.

Andere Variablen wie Konstanten behandeln — mechanisches Vorgehen.

$f_{xy} = f_{yx}$ (Schwarz) — Reihenfolge egal, Doppelarbeit sparen.

Extrema: $\nabla f = 0$ für kritische Punkte, dann Hesse-Determinante zur Klassifikation.

$D < 0$ → immer Sattelpunkt, kein Test mit $f_{xx}$ nötig.

Cobb-Douglas-Ableitungen auswendig: Faktor $\alpha$ rauszieht, Exponent um 1 senken.

Nutzenmaximierung — Lagrange mit Budget-Restriktion (siehe Nutzenmaximierung)
Produktionsfunktion — Grenzproduktivitäten von Kapital und Arbeit
Multivariate Optimierung — Kostenminimierung, Gewinnmaximierung mit mehreren Inputs
Statistik — Maximum-Likelihood-Schätzer (Lagrange + Hesse)
Numerik / ML — Gradient Descent für Loss-Funktionen, Backpropagation
Physik / Ingenieurwesen — Wärmeleitung, Strömung, Spannungen

Faustregel zum Mitnehmen: Partielle Ableitung = "Variation in einer Richtung, alles andere konstant". Gradient zeigt Richtung des steilsten Anstiegs. Bei einem inneren, unbeschränkten, differenzierbaren Optimum verschwindet der Gradient ( $\nabla f = 0$ ). Hesse-Matrix klassifiziert dann: $D > 0$ + $f_{xx} > 0$ Min, $D > 0$ + $f_{xx} < 0$ Max, $D < 0$ Sattel. Bei Nebenbedingungen oder Randpunkten: Lagrange/KKT statt Hesse.

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Teil 1·Erklärung

Erklärung

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Partielle Ableitungen

Was du in der Klausur können musst:

$\partial f / \partial x$ und $\partial f / \partial y$ mechanisch berechnen

Höhere partielle Ableitungen (

f_{xx}

f_{yy}

f_{xy}

, Satz von Schwarz)

Gradient

\nabla f

als Vektor der partiellen Ableitungen

Extrema mehrerer Variablen über

\nabla f = 0

+ Hesse-Matrix

Anwendungen: Cobb-Douglas, marginale Nutzen / Grenzproduktivität

In Klausuren oft gefragt: "Berechne $\partial f / \partial x$ ", "Bestimme die Extrema von $f(x, y)$ ", "Klassifiziere mit Hesse-Matrix" — Pflicht-Aufgaben.

D

f_{xx}

Klassifikation

D > 0

f_{xx} > 0

Lokales Minimum

D > 0

f_{xx} < 0

Lokales Maximum

D < 0

beliebig

Sattelpunkt

D = 0

beliebig

unentschieden — höhere Ordnung

`D`	`f_(xx)`	Klassifikation
`D > 0`	`f_(xx) > 0`	Lokales Minimum
`D > 0`	`f_(xx) < 0`	Lokales Maximum
`D < 0`	beliebig	Sattelpunkt
`D = 0`	beliebig	unentschieden — höhere Ordnung

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