Mathematik4Lerneinheiten22minStand20.06.2026

Partielle Ableitungen.

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Teil 1·Erklärung

Erklärung

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Partielle Ableitungen, Mathematik · UniProMax

Bei Funktionen mit mehreren Variablen $f(x, y)$ misst die partielle Ableitung die Steigung in einer einzelnen Richtung, andere Variablen werden konstant gehalten. Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathe und Analysis 2. Klausur-Klassiker für Optimierungsaufgaben in BWL/VWL (Nutzenmaximierung, Produktionsfunktionen, Kostenminimierung).

Was du in der Klausur können musst:

$\partial f / \partial x$ und $\partial f / \partial y$ mechanisch berechnen
Höhere partielle Ableitungen ( $f_{xx}$ , $f_{yy}$ , $f_{xy}$ , Satz von Schwarz)
Gradient $\nabla f$ als Vektor der partiellen Ableitungen
Extrema mehrerer Variablen über $\nabla f = 0$ + Hesse-Matrix
Anwendungen: Cobb-Douglas, marginale Nutzen / Grenzproduktivität

In Klausuren oft gefragt: "Berechne $\partial f / \partial x$ ", "Bestimme die Extrema von $f(x, y)$ ", "Klassifiziere mit Hesse-Matrix", Pflicht-Aufgaben.

Bei $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ misst $\frac{\partial f}{\partial x}$ die Änderungsrate, wenn nur $x$ variiert und $y$ konstant gehalten wird:

$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}$

Notations-Vielfalt (alle gleichbedeutend):

$\frac{\partial f}{\partial x} \;=\; f_x \;=\; \partial_x f$

Praxis-Trick: Beim partiellen Ableiten alle anderen Variablen wie Konstanten behandeln, sonst genau wie ein eindimensionales Ableiten.

Polynom: $f(x, y) = 3x^2 y + 5x - 2y^3$

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 6xy + 5 \quad \text{(y wie konstant)}$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2 - 6y^2 \quad \text{(x wie konstant)}$

Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: $f(K, L) = A \cdot K^\alpha \cdot L^{1-\alpha}$

$f_K = A \cdot \alpha \cdot K^{\alpha - 1} \cdot L^{1-\alpha} \quad \text{(Grenzproduktivität des Kapitals)}$

$f_L = A \cdot (1 - \alpha) \cdot K^{\alpha} \cdot L^{-\alpha} \quad \text{(Grenzproduktivität der Arbeit)}$

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

Satz von Schwarz: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen $f_{xy}$ und $f_{yx}$ in einer Umgebung des betrachteten Punktes stetig sind, gilt:

$\boxed{f_{xy} = f_{yx}}$

Reihenfolge der Ableitung egal, bei "gutartigen" (in der Praxis fast allen Klausur-)Funktionen.

Beispiel: $f(x, y) = 3x^2 y + 5x - 2y^3$

$f_x = 6xy + 5$ → $f_{xx} = 6y$ , $f_{xy} = 6x$
$f_y = 3x^2 - 6y^2$ → $f_{yy} = -12y$ , $f_{yx} = 6x$ ✓

Der Gradient ist der Vektor aller partiellen Ableitungen:

$\nabla f(x, y) = \begin{pmatrix} f_x \\ f_y \end{pmatrix}$

Bedeutung: zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion. Betrag = lokale Steigungsrate.

Notwendige Bedingung im Optimum: bei einem inneren, unbeschränkten, differenzierbaren Optimum gilt $\nabla f = 0$ . Bei Randpunkten oder Optimierung mit Nebenbedingungen (Lagrange / KKT) muss der Gradient nicht verschwinden, siehe Nutzenmaximierung für die Lagrange-Anwendung.

Notwendige Bedingung (1. Ordnung): in einem inneren Extremum gilt

$\nabla f(x_0, y_0) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad f_x = 0 \;\wedge\; f_y = 0$

→ Lösen des Gleichungssystems liefert die kritischen Punkte.

Hinreichende Bedingung (2. Ordnung), Hesse-Matrix:

$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$

Mit Determinante $D = f_{xx} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2$ :

$D$	$f_{xx}$	Klassifikation
$D > 0$	$f_{xx} > 0$	Lokales Minimum
$D > 0$	$f_{xx} < 0$	Lokales Maximum
$D < 0$	beliebig	Sattelpunkt
$D = 0$	beliebig	unentschieden, höhere Ordnung

Beispiel: $f(x, y) = x^2 + y^2$

$\nabla f = (2x, 2y) = 0 \Rightarrow (x, y) = (0, 0)$ kritisch
$f_{xx} = 2$ , $f_{yy} = 2$ , $f_{xy} = 0$ → $D = 4 > 0$ , $f_{xx} > 0$ → Minimum bei $(0, 0)$ mit $f = 0$ ✓

In der Mikroökonomie ist das Tangential-Bedingung der Optimum:

Nutzenmaximierung: $\frac{\partial U / \partial X}{\partial U / \partial Y} = \frac{p_X}{p_Y}$ , Verhältnis der Grenznutzen = Verhältnis der Preise (siehe Nutzenmaximierung)

Kostenminimierung: Verhältnis der Grenzproduktivitäten = Verhältnis der Faktorpreise

Beide sind Anwendungen partieller Ableitungen mit Lagrange-Multiplikatoren.

Andere Variablen wie Konstanten behandeln, mechanisches Vorgehen.

$f_{xy} = f_{yx}$ (Schwarz), Reihenfolge egal, Doppelarbeit sparen.

Extrema: $\nabla f = 0$ für kritische Punkte, dann Hesse-Determinante zur Klassifikation.

$D < 0$ → immer Sattelpunkt, kein Test mit $f_{xx}$ nötig.

Cobb-Douglas-Ableitungen auswendig: Faktor $\alpha$ rauszieht, Exponent um 1 senken.

Nutzenmaximierung, Lagrange mit Budget-Restriktion (siehe Nutzenmaximierung)
Produktionsfunktion, Grenzproduktivitäten von Kapital und Arbeit
Multivariate Optimierung, Kostenminimierung, Gewinnmaximierung mit mehreren Inputs
Statistik, Maximum-Likelihood-Schätzer (Lagrange + Hesse)
Numerik / ML, Gradient Descent für Loss-Funktionen, Backpropagation
Physik / Ingenieurwesen, Wärmeleitung, Strömung, Spannungen

Faustregel zum Mitnehmen: Partielle Ableitung = "Variation in einer Richtung, alles andere konstant". Gradient zeigt Richtung des steilsten Anstiegs. Bei einem inneren, unbeschränkten, differenzierbaren Optimum verschwindet der Gradient ( $\nabla f = 0$ ). Hesse-Matrix klassifiziert dann: $D > 0$ + $f_{xx} > 0$ Min, $D > 0$ + $f_{xx} < 0$ Max, $D < 0$ Sattel. Bei Nebenbedingungen oder Randpunkten: Lagrange/KKT statt Hesse.

Wähle eine Standard-Funktion (Polynom, Cobb-Douglas, Sattel) und die Stelle $(x_0, y_0)$ . Der Plot zeigt zwei Schnittkurven durch den gewählten Punkt:

Rot: $f(x, y_0)$ , $y$ fixiert, $x$ variiert. Steigung an $x_0$ = $f_x$
Grau: $f(x_0, y)$ , $x$ fixiert, $y$ variiert. Steigung an $y_0$ = $f_y$

Plus die partiellen Ableitungen, die Hesse-Determinante und die Klassifikation des kritischen Punkts (falls da).

Probier folgendes:

$f(x, y) = x^2 + y^2$ , Paraboloid, Minimum bei (0, 0)
$f(x, y) = x^2 - y^2$ , Sattel-Funktion, Sattelpunkt bei (0, 0), $D = -4 < 0$
Cobb-Douglas $f = K^{0{,}5} \cdot L^{0{,}5}$ , Grenzproduktivitäten symmetrisch sinkend

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Faustregel zum Mitnehmen: Partielle Ableitung = Steigung der Schnittkurve in Achsen-Richtung am gewählten Punkt. Bei einem inneren Punkt: wenn beide Schnittkurven horizontal verlaufen ( $f_x = f_y = 0$ ), ist's ein kritischer Punkt, Hesse-Matrix entscheidet dann Min / Max / Sattel. Bei Randpunkten oder Nebenbedingungen reicht der Hesse-Test allein nicht; dann Lagrange/KKT verwenden.

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Bei Funktionen mit mehreren Variablen f(x, y) misst die partielle Ableitung die Steigung in einer einzelnen Richtung, andere Variablen werden konstant gehalten. Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathe und Analysis 2. Klausur-Klassiker für Optimierungsaufgaben in BWL/VWL (Nutzenmaximierung, Produktionsfunktionen, Kostenminimierung).

Was du in der Klausur können musst:

∂ f / ∂ x und ∂ f / ∂ y mechanisch berechnen
Höhere partielle Ableitungen (f_(xx), f_(yy), f_(xy), Satz von Schwarz)
Gradient ∇ f als Vektor der partiellen Ableitungen
Extrema mehrerer Variablen über ∇ f = 0 + Hesse-Matrix
Anwendungen: Cobb-Douglas, marginale Nutzen / Grenzproduktivität

In Klausuren oft gefragt: "Berechne ∂ f / ∂ x", "Bestimme die Extrema von f(x, y)", "Klassifiziere mit Hesse-Matrix", Pflicht-Aufgaben.

Was ist eine partielle Ableitung?

Bei f: ℝ² → ℝ misst (∂ f)/(∂ x) die Änderungsrate, wenn nur x variiert und y konstant gehalten wird:

(∂ f)/(∂ x)(x₀, y₀) = lim_(h → 0) (f(x₀ + h, y₀) - f(x₀, y₀))/h

Notations-Vielfalt (alle gleichbedeutend):

(∂ f)/(∂ x) = f_x = ∂_x f

Praxis-Trick: Beim partiellen Ableiten alle anderen Variablen wie Konstanten behandeln, sonst genau wie ein eindimensionales Ableiten.

Beispiele

Polynom: f(x, y) = 3x² y + 5x - 2y³

f_x = (∂ f)/(∂ x) = 6xy + 5 (y wie konstant)

f_y = (∂ f)/(∂ y) = 3x² - 6y² (x wie konstant)

Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: f(K, L) = A · K^α · L^(1-α)

f_K = A · α · K^(α - 1) · L^(1-α) (Grenzproduktivität des Kapitals)

f_L = A · (1 - α) · K^(α) · L^(-α) (Grenzproduktivität der Arbeit)

Höhere partielle Ableitungen

f_(xx) = (∂² f)/(∂ x²), f_(yy) = (∂² f)/(∂ y²), f_(xy) = (∂² f)/(∂ y ∂ x)

Satz von Schwarz: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen f_(xy) und f_(yx) in einer Umgebung des betrachteten Punktes stetig sind, gilt:

boxedf_(xy) = f_(yx)

Reihenfolge der Ableitung egal, bei "gutartigen" (in der Praxis fast allen Klausur-)Funktionen.

Beispiel: f(x, y) = 3x² y + 5x - 2y³

f_x = 6xy + 5 → f_(xx) = 6y, f_(xy) = 6x
f_y = 3x² - 6y² → f_(yy) = -12y, f_(yx) = 6x ✓

Gradient

Der Gradient ist der Vektor aller partiellen Ableitungen:

∇ f(x, y) = (f_x, f_y)

Bedeutung: zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion. Betrag = lokale Steigungsrate.

Notwendige Bedingung im Optimum: bei einem inneren, unbeschränkten, differenzierbaren Optimum gilt ∇ f = 0. Bei Randpunkten oder Optimierung mit Nebenbedingungen (Lagrange / KKT) muss der Gradient nicht verschwinden, siehe Nutzenmaximierung für die Lagrange-Anwendung.

Extrema mehrerer Variablen

Notwendige Bedingung (1. Ordnung): in einem inneren Extremum gilt

∇ f(x₀, y₀) = 0 Longleftrightarrow f_x = 0 wedge f_y = 0

→ Lösen des Gleichungssystems liefert die kritischen Punkte.

Hinreichende Bedingung (2. Ordnung), Hesse-Matrix:

H = [[f_(xx), f_(xy)], [f_(yx), f_(yy)]]

Mit Determinante D = f_(xx) · f_(yy) - (f_(xy))²:

`D`	`f_(xx)`	Klassifikation
`D > 0`	`f_(xx) > 0`	Lokales Minimum
`D > 0`	`f_(xx) < 0`	Lokales Maximum
`D < 0`	beliebig	Sattelpunkt
`D = 0`	beliebig	unentschieden, höhere Ordnung

Beispiel: f(x, y) = x² + y²

∇ f = (2x, 2y) = 0 ⇒ (x, y) = (0, 0) kritisch
f_(xx) = 2, f_(yy) = 2, f_(xy) = 0 → D = 4 > 0, f_(xx) > 0 → Minimum bei (0, 0) mit f = 0 ✓

Brücke zur Mikroökonomie

In der Mikroökonomie ist das Tangential-Bedingung der Optimum:

Nutzenmaximierung: (∂ U / ∂ X)/(∂ U / ∂ Y) = p_X/p_Y, Verhältnis der Grenznutzen = Verhältnis der Preise (siehe Nutzenmaximierung)

Kostenminimierung: Verhältnis der Grenzproduktivitäten = Verhältnis der Faktorpreise

Beide sind Anwendungen partieller Ableitungen mit Lagrange-Multiplikatoren.

Klausur-Faustregeln

Andere Variablen wie Konstanten behandeln, mechanisches Vorgehen.

f_(xy) = f_(yx) (Schwarz), Reihenfolge egal, Doppelarbeit sparen.

Extrema: ∇ f = 0 für kritische Punkte, dann Hesse-Determinante zur Klassifikation.

D < 0 → immer Sattelpunkt, kein Test mit f_(xx) nötig.

Cobb-Douglas-Ableitungen auswendig: Faktor α rauszieht, Exponent um 1 senken.

Wo brauchst du das?

Nutzenmaximierung, Lagrange mit Budget-Restriktion (siehe Nutzenmaximierung)
Produktionsfunktion, Grenzproduktivitäten von Kapital und Arbeit
Multivariate Optimierung, Kostenminimierung, Gewinnmaximierung mit mehreren Inputs
Statistik, Maximum-Likelihood-Schätzer (Lagrange + Hesse)
Numerik / ML, Gradient Descent für Loss-Funktionen, Backpropagation
Physik / Ingenieurwesen, Wärmeleitung, Strömung, Spannungen

Faustregel zum Mitnehmen: Partielle Ableitung = "Variation in einer Richtung, alles andere konstant". Gradient zeigt Richtung des steilsten Anstiegs. Bei einem inneren, unbeschränkten, differenzierbaren Optimum verschwindet der Gradient (∇ f = 0). Hesse-Matrix klassifiziert dann: D > 0 + f_(xx) > 0 Min, D > 0 + f_(xx) < 0 Max, D < 0 Sattel. Bei Nebenbedingungen oder Randpunkten: Lagrange/KKT statt Hesse.

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausur-Quiz, Partielle Ableitungen

Sechs Aufgaben zu Ableitungen, Gradient, Hesse-Matrix und Anwendungen.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Was bedeutet ∂ f / ∂ x?

Antwort: Die Ableitung von `f` nach `x`, andere Variablen konstant

Erklärung: Partielle Ableitung: nach einer Variable ableiten, alle anderen wie Konstanten behandeln. Mechanik wie eindimensional, nur dass mehrere Variablen vorkommen.

F2.f(x, y) = e^(xy). Wie hoch ist f_x bei (1, 2)? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 14.78 (Toleranz ±0.1)

Erklärung: f_x = y · e^(xy) (Kettenregel: y · e^xy). Bei (1, 2): f_x = 2 · e^2 ≈ 2 · 7,389 ≈ 14,78.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Welche Aussage zum Gradient ∇ f ist korrekt?

Antwort: Er zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs

Erklärung: Der Gradient ∇f = (f_x, f_y) zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs. Sein Betrag ist die maximale Richtungsableitung. In Optimum verschwindet er. Anwendung: Gradient Descent (negative Richtung) in Machine Learning.

F4.f(x, y) = x³ - 3xy + y³. Wie viele kritische Punkte hat f?

Antwort: 2

Erklärung: f_x = 3x² − 3y = 0 → y = x². f_y = −3x + 3y² = 0 → y² = x. Einsetzen: y² = x, y = x² → (x²)² = x → x^4 = x → x(x³−1)=0 → x = 0 oder x = 1. Kritische Punkte: (0, 0) und (1, 1). Bei (0, 0): D = −9 < 0 → Sattel. Bei (1, 1): D = 27 > 0, f_xx = 6 > 0 → Minimum.

Typ: Zahlen-Eingabe

F5.Hesse-Matrix-Klassifikation: D > 0 und f_(xx) > 0 → {{1}}. D > 0 und f_(xx) < 0 → {{2}}. D < 0 → {{3}}.

Lösungen pro Lücke:

{{1}}: Minimum / lokales Minimum
{{2}}: Maximum / lokales Maximum
{{3}}: Sattelpunkt / Sattel

Erklärung: Klassifikation kritischer Punkte: D = f_xx·f_yy − (f_xy)². D > 0 ∧ f_xx > 0 → Minimum. D > 0 ∧ f_xx < 0 → Maximum. D < 0 → Sattelpunkt. D = 0 → Test versagt, höhere Ordnung nötig.

Typ: Lückentext

F6.Cobb-Douglas U(X, Y) = X^(1/3) · Y^(2/3). Welche Eigenschaft hat die Grenznutzen-Funktion U_X?

Antwort: Sie ist sinkend in `X` (abnehmender Grenznutzen)

Erklärung: U_X = (1/3) · X^(-2/3) · Y^(2/3). Bei steigendem X sinkt X^(-2/3) → U_X fällt. Klassisches Cobb-Douglas-Verhalten: positiver, aber sinkender Grenznutzen. In Mikroökonomie: 1. Gossen'sches Gesetz.

Partielle Ableitungen.

Erklärung

Partielle Ableitungen.

Erklärung

Was ist eine partielle Ableitung?

Beispiele

Höhere partielle Ableitungen

Gradient

Extrema mehrerer Variablen

Brücke zur Mikroökonomie

Klausur-Faustregeln

Wo brauchst du das?

Schnitt-Plot, partielle Ableitungen visualisiert

Wenn du fertig bist: jetzt üben.

Was ist eine partielle Ableitung?

Beispiele

Höhere partielle Ableitungen

Gradient

Extrema mehrerer Variablen

Brücke zur Mikroökonomie

Klausur-Faustregeln

Wo brauchst du das?

Interaktiv

Schnitt-Plot, partielle Ableitungen visualisiert

Praxis-Übung

Praxis-Übung, Partielle Ableitungen

Klausur-Quiz

Klausur-Quiz, Partielle Ableitungen