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  • Einführung
  • Was ist eine partielle Ableitung?
  • Beispiele
  • Höhere partielle Ableitungen
  • Gradient
  • Extrema mehrerer Variablen
  • Brücke zur Mikroökonomie
  • Klausur-Faustregeln
  • Wo brauchst du das?
ThemenMathematikPartielle Ableitungen
Mathematik·4Lerneinheiten·22min·Stand04.08.2026

Partielle Ableitungen.

Bei Funktionen mit mehreren Variablen f(x,y)f(x, y)f(x,y) misst die partielle Ableitung die Steigung in einer einzelnen Richtung, andere Variablen werden konstant gehalten. Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathe und Analysis 2. Klausur-Klassiker für Optimierungsaufgaben in BWL/VWL (Nutzenmaximierung, Produktionsfunktionen, Kostenminimierung).

Was du in der Klausur können musst:

  • ∂f/∂x\partial f / \partial x∂f/∂x und ∂f/∂y\partial f / \partial y∂f/∂y mechanisch berechnen
  • Höhere partielle Ableitungen (fxxf_{xx}fxx​, fyyf_{yy}fyy​, fxyf_{xy}fxy​, Satz von Schwarz)
  • Gradient ∇f\nabla f∇f als Vektor der partiellen Ableitungen
  • Extrema mehrerer Variablen über ∇f=0\nabla f = 0∇f=0 + Hesse-Matrix
  • Anwendungen: Cobb-Douglas, marginale Nutzen / Grenzproduktivität

In Klausuren oft gefragt: "Berechne ∂f/∂x\partial f / \partial x∂f/∂x", "Bestimme die Extrema von f(x,y)f(x, y)f(x,y)", "Klassifiziere mit Hesse-Matrix", Pflicht-Aufgaben.

Bei f:R2→Rf: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}f:R2→R misst ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}∂x∂f​ die Änderungsrate, wenn nur xxx variiert und yyy konstant gehalten wird:

∂f∂x(x0,y0)=lim⁡h→0f(x0+h,y0)−f(x0,y0)h\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}∂x∂f​(x0​,y0​)=limh→0​hf(x0​+h,y0​)−f(x0​,y0​)​

Notations-Vielfalt (alle gleichbedeutend):

∂f∂x  =  fx  =  ∂xf\frac{\partial f}{\partial x} \;=\; f_x \;=\; \partial_x f∂x∂f​=fx​=∂x​f

Praxis-Trick: Beim partiellen Ableiten alle anderen Variablen wie Konstanten behandeln, sonst genau wie ein eindimensionales Ableiten.

Polynom: f(x,y)=3x2y+5x−2y3f(x, y) = 3x^2 y + 5x - 2y^3f(x,y)=3x2y+5x−2y3

fx=∂f∂x=6xy+5(y wie konstant)f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 6xy + 5 \quad \text{(y wie konstant)}fx​=∂x∂f​=6xy+5(y wie konstant)

fy=∂f∂y=3x2−6y2(x wie konstant)f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2 - 6y^2 \quad \text{(x wie konstant)}fy​=∂y∂f​=3x2−6y2(x wie konstant)

Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: f(K,L)=A⋅Kα⋅L1−αf(K, L) = A \cdot K^\alpha \cdot L^{1-\alpha}f(K,L)=A⋅Kα⋅L1−α

fK=A⋅α⋅Kα−1⋅L1−α(Grenzproduktivita¨t des Kapitals)f_K = A \cdot \alpha \cdot K^{\alpha - 1} \cdot L^{1-\alpha} \quad \text{(Grenzproduktivität des Kapitals)}fK​=A⋅α⋅Kα−1⋅L1−α(Grenzproduktivita¨t des Kapitals)

fL=A⋅(1−α)⋅Kα⋅L−α(Grenzproduktivita¨t der Arbeit)f_L = A \cdot (1 - \alpha) \cdot K^{\alpha} \cdot L^{-\alpha} \quad \text{(Grenzproduktivität der Arbeit)}fL​=A⋅(1−α)⋅Kα⋅L−α(Grenzproduktivita¨t der Arbeit)

fxx=∂2f∂x2,fyy=∂2f∂y2,fxy=∂2f∂y∂xf_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}fxx​=∂x2∂2f​,fyy​=∂y2∂2f​,fxy​=∂y∂x∂2f​

Satz von Schwarz: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen fxyf_{xy}fxy​ und fyxf_{yx}fyx​ in einer Umgebung des betrachteten Punktes stetig sind, gilt:

fxy=fyx\boxed{f_{xy} = f_{yx}}fxy​=fyx​​

Reihenfolge der Ableitung egal, bei "gutartigen" (in der Praxis fast allen Klausur-)Funktionen.

Beispiel: f(x,y)=3x2y+5x−2y3f(x, y) = 3x^2 y + 5x - 2y^3f(x,y)=3x2y+5x−2y3

  • fx=6xy+5f_x = 6xy + 5fx​=6xy+5 → fxx=6yf_{xx} = 6yfxx​=6y, fxy=6xf_{xy} = 6xfxy​=6x
  • fy=3x2−6y2f_y = 3x^2 - 6y^2fy​=3x2−6y2 → fyy=−12yf_{yy} = -12yfyy​=−12y, fyx=6xf_{yx} = 6xfyx​=6x ✓

Der Gradient ist der Vektor aller partiellen Ableitungen:

∇f(x,y)=(fxfy)\nabla f(x, y) = \begin{pmatrix} f_x \\ f_y \end{pmatrix}∇f(x,y)=(fx​fy​​)

Bedeutung: zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion. Betrag = lokale Steigungsrate.

Notwendige Bedingung im Optimum: bei einem inneren, unbeschränkten, differenzierbaren Optimum gilt ∇f=0\nabla f = 0∇f=0. Bei Randpunkten oder Optimierung mit Nebenbedingungen (Lagrange / KKT) muss der Gradient nicht verschwinden, siehe Nutzenmaximierung für die Lagrange-Anwendung.

Notwendige Bedingung (1. Ordnung): in einem inneren Extremum gilt

∇f(x0,y0)=0⟺fx=0  ∧  fy=0\nabla f(x_0, y_0) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad f_x = 0 \;\wedge\; f_y = 0∇f(x0​,y0​)=0⟺fx​=0∧fy​=0

→ Lösen des Gleichungssystems liefert die kritischen Punkte.

Hinreichende Bedingung (2. Ordnung), Hesse-Matrix:

H=(fxxfxyfyxfyy)H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}H=(fxx​fyx​​fxy​fyy​​)

Mit Determinante D=fxx⋅fyy−(fxy)2D = f_{xx} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2D=fxx​⋅fyy​−(fxy​)2:

DDDfxxf_{xx}fxx​Klassifikation
D>0D > 0D>0fxx>0f_{xx} > 0fxx​>0Lokales Minimum
D>0D > 0D>0fxx<0f_{xx} < 0fxx​<0Lokales Maximum
D<0D < 0D<0beliebigSattelpunkt
D=0D = 0D=0beliebigunentschieden, höhere Ordnung

Beispiel: f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2f(x,y)=x2+y2

  • ∇f=(2x,2y)=0⇒(x,y)=(0,0)\nabla f = (2x, 2y) = 0 \Rightarrow (x, y) = (0, 0)∇f=(2x,2y)=0⇒(x,y)=(0,0) kritisch
  • fxx=2f_{xx} = 2fxx​=2, fyy=2f_{yy} = 2fyy​=2, fxy=0f_{xy} = 0fxy​=0 → D=4>0D = 4 > 0D=4>0, fxx>0f_{xx} > 0fxx​>0 → Minimum bei (0,0)(0, 0)(0,0) mit f=0f = 0f=0 ✓

In der Mikroökonomie ist das Tangential-Bedingung der Optimum:

Nutzenmaximierung: ∂U/∂X∂U/∂Y=pXpY\frac{\partial U / \partial X}{\partial U / \partial Y} = \frac{p_X}{p_Y}∂U/∂Y∂U/∂X​=pY​pX​​, Verhältnis der Grenznutzen = Verhältnis der Preise (siehe Nutzenmaximierung)

Kostenminimierung: Verhältnis der Grenzproduktivitäten = Verhältnis der Faktorpreise

Beide sind Anwendungen partieller Ableitungen mit Lagrange-Multiplikatoren.

  1. Andere Variablen wie Konstanten behandeln, mechanisches Vorgehen.
  2. fxy=fyxf_{xy} = f_{yx}fxy​=fyx​ (Schwarz), Reihenfolge egal, Doppelarbeit sparen.
  3. Extrema: ∇f=0\nabla f = 0∇f=0 für kritische Punkte, dann Hesse-Determinante zur Klassifikation.
  4. D<0D < 0D<0 → immer Sattelpunkt, kein Test mit fxxf_{xx}fxx​ nötig.
  5. Cobb-Douglas-Ableitungen auswendig: Faktor α\alphaα rauszieht, Exponent um 1 senken.
  • Nutzenmaximierung, Lagrange mit Budget-Restriktion (siehe Nutzenmaximierung)
  • Produktionsfunktion, Grenzproduktivitäten von Kapital und Arbeit
  • Multivariate Optimierung, Kostenminimierung, Gewinnmaximierung mit mehreren Inputs
  • Statistik, Maximum-Likelihood-Schätzer (Lagrange + Hesse)
  • Numerik / ML, Gradient Descent für Loss-Funktionen, Backpropagation
  • Physik / Ingenieurwesen, Wärmeleitung, Strömung, Spannungen

Faustregel zum Mitnehmen: Partielle Ableitung = "Variation in einer Richtung, alles andere konstant". Gradient zeigt Richtung des steilsten Anstiegs. Bei einem inneren, unbeschränkten, differenzierbaren Optimum verschwindet der Gradient (∇f=0\nabla f = 0∇f=0). Hesse-Matrix klassifiziert dann: D>0D > 0D>0 + fxx>0f_{xx} > 0fxx​>0 Min, D>0D > 0D>0 + fxx<0f_{xx} < 0fxx​<0 Max, D<0D < 0D<0 Sattel. Bei Nebenbedingungen oder Randpunkten: Lagrange/KKT statt Hesse.

Wähle eine Standard-Funktion (Polynom, Cobb-Douglas, Sattel) und die Stelle (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​). Der Plot zeigt zwei Schnittkurven durch den gewählten Punkt:

  • Rot: f(x,y0)f(x, y_0)f(x,y0​), yyy fixiert, xxx variiert. Steigung an x0x_0x0​ = fxf_xfx​
  • Grau: f(x0,y)f(x_0, y)f(x0​,y), xxx fixiert, yyy variiert. Steigung an y0y_0y0​ = fyf_yfy​

Plus die partiellen Ableitungen, die Hesse-Determinante und die Klassifikation des kritischen Punkts (falls da).

Probier folgendes:

  • f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2f(x,y)=x2+y2, Paraboloid, Minimum bei (0, 0)
  • f(x,y)=x2−y2f(x, y) = x^2 - y^2f(x,y)=x2−y2, Sattel-Funktion, Sattelpunkt bei (0, 0), D=−4<0D = -4 < 0D=−4<0
  • Cobb-Douglas f=K0,5⋅L0,5f = K^{0{,}5} \cdot L^{0{,}5}f=K0,5⋅L0,5, Grenzproduktivitäten symmetrisch sinkend
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Faustregel zum Mitnehmen: Partielle Ableitung = Steigung der Schnittkurve in Achsen-Richtung am gewählten Punkt. Bei einem inneren Punkt: wenn beide Schnittkurven horizontal verlaufen (fx=fy=0f_x = f_y = 0fx​=fy​=0), ist's ein kritischer Punkt, Hesse-Matrix entscheidet dann Min / Max / Sattel. Bei Randpunkten oder Nebenbedingungen reicht der Hesse-Test allein nicht; dann Lagrange/KKT verwenden.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Bei Funktionen mit mehreren Variablen f(x, y) misst die partielle Ableitung die Steigung in einer einzelnen Richtung, andere Variablen werden konstant gehalten. Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathe und Analysis 2. Klausur-Klassiker für Optimierungsaufgaben in BWL/VWL (Nutzenmaximierung, Produktionsfunktionen, Kostenminimierung).

Was du in der Klausur können musst:

  • ∂ f / ∂ x und ∂ f / ∂ y mechanisch berechnen
  • Höhere partielle Ableitungen (f_(xx), f_(yy), f_(xy), Satz von Schwarz)
  • Gradient ∇ f als Vektor der partiellen Ableitungen
  • Extrema mehrerer Variablen über ∇ f = 0 + Hesse-Matrix
  • Anwendungen: Cobb-Douglas, marginale Nutzen / Grenzproduktivität

In Klausuren oft gefragt: "Berechne ∂ f / ∂ x", "Bestimme die Extrema von f(x, y)", "Klassifiziere mit Hesse-Matrix", Pflicht-Aufgaben.

Was ist eine partielle Ableitung?

Bei f: ℝ² → ℝ misst (∂ f)/(∂ x) die Änderungsrate, wenn nur x variiert und y konstant gehalten wird:

(∂ f)/(∂ x)(x₀, y₀) = lim_(h → 0) (f(x₀ + h, y₀) - f(x₀, y₀))/h

Notations-Vielfalt (alle gleichbedeutend):

(∂ f)/(∂ x) = f_x = ∂_x f

Praxis-Trick: Beim partiellen Ableiten alle anderen Variablen wie Konstanten behandeln, sonst genau wie ein eindimensionales Ableiten.

Beispiele

Polynom: f(x, y) = 3x² y + 5x - 2y³

f_x = (∂ f)/(∂ x) = 6xy + 5 (y wie konstant)

f_y = (∂ f)/(∂ y) = 3x² - 6y² (x wie konstant)

Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: f(K, L) = A · K^α · L^(1-α)

f_K = A · α · K^(α - 1) · L^(1-α) (Grenzproduktivität des Kapitals)

f_L = A · (1 - α) · K^(α) · L^(-α) (Grenzproduktivität der Arbeit)

Höhere partielle Ableitungen

f_(xx) = (∂² f)/(∂ x²), f_(yy) = (∂² f)/(∂ y²), f_(xy) = (∂² f)/(∂ y ∂ x)

Satz von Schwarz: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen f_(xy) und f_(yx) in einer Umgebung des betrachteten Punktes stetig sind, gilt:

boxedf_(xy) = f_(yx)

Reihenfolge der Ableitung egal, bei "gutartigen" (in der Praxis fast allen Klausur-)Funktionen.

Beispiel: f(x, y) = 3x² y + 5x - 2y³

  • f_x = 6xy + 5 → f_(xx) = 6y, f_(xy) = 6x
  • f_y = 3x² - 6y² → f_(yy) = -12y, f_(yx) = 6x ✓

Gradient

Der Gradient ist der Vektor aller partiellen Ableitungen:

∇ f(x, y) = (f_x, f_y)

Bedeutung: zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion. Betrag = lokale Steigungsrate.

Notwendige Bedingung im Optimum: bei einem inneren, unbeschränkten, differenzierbaren Optimum gilt ∇ f = 0. Bei Randpunkten oder Optimierung mit Nebenbedingungen (Lagrange / KKT) muss der Gradient nicht verschwinden, siehe Nutzenmaximierung für die Lagrange-Anwendung.

Extrema mehrerer Variablen

Notwendige Bedingung (1. Ordnung): in einem inneren Extremum gilt

∇ f(x₀, y₀) = 0 Longleftrightarrow f_x = 0 wedge f_y = 0

→ Lösen des Gleichungssystems liefert die kritischen Punkte.

Hinreichende Bedingung (2. Ordnung), Hesse-Matrix:

H = [[f_(xx), f_(xy)], [f_(yx), f_(yy)]]

Mit Determinante D = f_(xx) · f_(yy) - (f_(xy))²:

Df_(xx)Klassifikation
D > 0f_(xx) > 0Lokales Minimum
D > 0f_(xx) < 0Lokales Maximum
D < 0beliebigSattelpunkt
D = 0beliebigunentschieden, höhere Ordnung

Beispiel: f(x, y) = x² + y²

  • ∇ f = (2x, 2y) = 0 ⇒ (x, y) = (0, 0) kritisch
  • f_(xx) = 2, f_(yy) = 2, f_(xy) = 0 → D = 4 > 0, f_(xx) > 0 → Minimum bei (0, 0) mit f = 0 ✓

Brücke zur Mikroökonomie

In der Mikroökonomie ist das Tangential-Bedingung der Optimum:

Nutzenmaximierung: (∂ U / ∂ X)/(∂ U / ∂ Y) = p_X/p_Y, Verhältnis der Grenznutzen = Verhältnis der Preise (siehe Nutzenmaximierung)

Kostenminimierung: Verhältnis der Grenzproduktivitäten = Verhältnis der Faktorpreise

Beide sind Anwendungen partieller Ableitungen mit Lagrange-Multiplikatoren.

Klausur-Faustregeln

  1. Andere Variablen wie Konstanten behandeln, mechanisches Vorgehen.
  2. f_(xy) = f_(yx) (Schwarz), Reihenfolge egal, Doppelarbeit sparen.
  3. Extrema: ∇ f = 0 für kritische Punkte, dann Hesse-Determinante zur Klassifikation.
  4. D < 0 → immer Sattelpunkt, kein Test mit f_(xx) nötig.
  5. Cobb-Douglas-Ableitungen auswendig: Faktor α rauszieht, Exponent um 1 senken.

Wo brauchst du das?

  • Nutzenmaximierung, Lagrange mit Budget-Restriktion (siehe Nutzenmaximierung)
  • Produktionsfunktion, Grenzproduktivitäten von Kapital und Arbeit
  • Multivariate Optimierung, Kostenminimierung, Gewinnmaximierung mit mehreren Inputs
  • Statistik, Maximum-Likelihood-Schätzer (Lagrange + Hesse)
  • Numerik / ML, Gradient Descent für Loss-Funktionen, Backpropagation
  • Physik / Ingenieurwesen, Wärmeleitung, Strömung, Spannungen

Faustregel zum Mitnehmen: Partielle Ableitung = "Variation in einer Richtung, alles andere konstant". Gradient zeigt Richtung des steilsten Anstiegs. Bei einem inneren, unbeschränkten, differenzierbaren Optimum verschwindet der Gradient (∇ f = 0). Hesse-Matrix klassifiziert dann: D > 0 + f_(xx) > 0 Min, D > 0 + f_(xx) < 0 Max, D < 0 Sattel. Bei Nebenbedingungen oder Randpunkten: Lagrange/KKT statt Hesse.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv

Schnitt-Plot, partielle Ableitungen visualisiert

Wähle eine Standard-Funktion (Polynom, Cobb-Douglas, Sattel) und die Stelle (x₀, y₀). Der Plot zeigt zwei Schnittkurven durch den gewählten Punkt:

  • Rot: f(x, y₀), y fixiert, x variiert. Steigung an x₀ = f_x
  • Grau: f(x₀, y), x fixiert, y variiert. Steigung an y₀ = f_y

Plus die partiellen Ableitungen, die Hesse-Determinante und die Klassifikation des kritischen Punkts (falls da).

Probier folgendes:

  • f(x, y) = x² + y², Paraboloid, Minimum bei (0, 0)
  • f(x, y) = x² - y², Sattel-Funktion, Sattelpunkt bei (0, 0), D = -4 < 0
  • Cobb-Douglas f = K^{0,5} · L^{0,5}, Grenzproduktivitäten symmetrisch sinkend

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Faustregel zum Mitnehmen: Partielle Ableitung = Steigung der Schnittkurve in Achsen-Richtung am gewählten Punkt. Bei einem inneren Punkt: wenn beide Schnittkurven horizontal verlaufen (f_x = f_y = 0), ist's ein kritischer Punkt, Hesse-Matrix entscheidet dann Min / Max / Sattel. Bei Randpunkten oder Nebenbedingungen reicht der Hesse-Test allein nicht; dann Lagrange/KKT verwenden.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Praxis-Übung, Partielle Ableitungen

Klausur-typische Berechnungen: f_x, f_y, höhere Ableitungen, Extrema-Klassifikation.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.f(x, y) = 3x² + 4xy + y³. Was ist f_x?

Antwort: `6x + 4y`

Erklärung: f_x = ∂f/∂x: y wie Konstante, also d/dx von (3x² + 4xy + y³) = 6x + 4y + 0 = 6x + 4y. Das y³ verschwindet, weil's keine x enthält.

F2.f(x, y) = 3x² + 4xy + y³. Was ist f_y?

Antwort: `4x + 3y²`

Erklärung: f_y = ∂f/∂y: x wie Konstante. d/dy(3x² + 4xy + y³) = 0 + 4x + 3y² = 4x + 3y². Klausur-Klassiker.

F3.Cobb-Douglas f(K, L) = K^{0,5} · L^{0,5}. Wie hoch ist f_K bei K = 4, L = 9? (auf 4 Nachkommastellen)

Antwort: 0.75 (Toleranz ±0.01)

Erklärung: f_K = 0,5 · K^(-0,5) · L^0,5 = 0,5 · L^0,5 / K^0,5 = 0,5 · √9/√4 = 0,5 · 3/2 = 0,75. Grenzproduktivität des Kapitals an der Stelle (4, 9).

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.f(x, y) = x² + 2xy + 3y². Hesse-Determinante D am Punkt (0, 0)?

Antwort: 8 (Toleranz ±0.5)

Erklärung: f_x = 2x + 2y → f_xx = 2. f_y = 2x + 6y → f_yy = 6. f_xy = 2. D = f_xx · f_yy − (f_xy)² = 2·6 − 4 = 8. D > 0 und f_xx > 0 → Minimum.

Typ: Zahlen-Eingabe

F5.f(x, y) = x² - y². Welcher Typ ist der kritische Punkt (0, 0)?

Antwort: Sattelpunkt

Erklärung: f_x = 2x = 0, f_y = −2y = 0 → kritisch bei (0, 0). f_xx = 2, f_yy = −2, f_xy = 0. D = 2·(−2) − 0 = −4 < 0 → Sattelpunkt. In x-Richtung Minimum (positiv quadratisch), in y-Richtung Maximum (negativ quadratisch).

F6.Nach dem Satz von Schwarz gilt für hinreichend glatte Funktionen f_(xy) = f_(yx).

Antwort: Wahr

Erklärung: Korrekt. Bei stetigen zweiten partiellen Ableitungen ist die Reihenfolge der Ableitung egal. In Klausuren spart das Doppelarbeit, eine der beiden gemischten Ableitungen reicht.

Typ: Wahr/Falsch

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausur-Quiz, Partielle Ableitungen

Sechs Aufgaben zu Ableitungen, Gradient, Hesse-Matrix und Anwendungen.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Was bedeutet ∂ f / ∂ x?

Antwort: Die Ableitung von `f` nach `x`, andere Variablen konstant

Erklärung: Partielle Ableitung: nach einer Variable ableiten, alle anderen wie Konstanten behandeln. Mechanik wie eindimensional, nur dass mehrere Variablen vorkommen.

F2.f(x, y) = e^(xy). Wie hoch ist f_x bei (1, 2)? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 14.78 (Toleranz ±0.1)

Erklärung: f_x = y · e^(xy) (Kettenregel: y · e^xy). Bei (1, 2): f_x = 2 · e^2 ≈ 2 · 7,389 ≈ 14,78.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Welche Aussage zum Gradient ∇ f ist korrekt?

Antwort: Er zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs

Erklärung: Der Gradient ∇f = (f_x, f_y) zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs. Sein Betrag ist die maximale Richtungsableitung. In Optimum verschwindet er. Anwendung: Gradient Descent (negative Richtung) in Machine Learning.

F4.f(x, y) = x³ - 3xy + y³. Wie viele kritische Punkte hat f?

Antwort: 2

Erklärung: f_x = 3x² − 3y = 0 → y = x². f_y = −3x + 3y² = 0 → y² = x. Einsetzen: y² = x, y = x² → (x²)² = x → x^4 = x → x(x³−1)=0 → x = 0 oder x = 1. Kritische Punkte: (0, 0) und (1, 1). Bei (0, 0): D = −9 < 0 → Sattel. Bei (1, 1): D = 27 > 0, f_xx = 6 > 0 → Minimum.

Typ: Zahlen-Eingabe

F5.Hesse-Matrix-Klassifikation: D > 0 und f_(xx) > 0 → {{1}}. D > 0 und f_(xx) < 0 → {{2}}. D < 0 → {{3}}.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: Minimum / lokales Minimum
  • {{2}}: Maximum / lokales Maximum
  • {{3}}: Sattelpunkt / Sattel

Erklärung: Klassifikation kritischer Punkte: D = f_xx·f_yy − (f_xy)². D > 0 ∧ f_xx > 0 → Minimum. D > 0 ∧ f_xx < 0 → Maximum. D < 0 → Sattelpunkt. D = 0 → Test versagt, höhere Ordnung nötig.

Typ: Lückentext

F6.Cobb-Douglas U(X, Y) = X^(1/3) · Y^(2/3). Welche Eigenschaft hat die Grenznutzen-Funktion U_X?

Antwort: Sie ist sinkend in `X` (abnehmender Grenznutzen)

Erklärung: U_X = (1/3) · X^(-2/3) · Y^(2/3). Bei steigendem X sinkt X^(-2/3) → U_X fällt. Klassisches Cobb-Douglas-Verhalten: positiver, aber sinkender Grenznutzen. In Mikroökonomie: 1. Gossen'sches Gesetz.

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