Mathematik4Lerneinheiten22minStand30.05.2026

Eigenwerte & Eigenvektoren.

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Teil 1·Erklärung

Erklärung

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Eigenwerte & Eigenvektoren, Mathematik · UniProMax

Es gibt Vektoren, die eine Matrix-Transformation NUR streckt — nicht dreht, nicht spiegelt. Diese besonderen Vektoren heißen Eigenvektoren, der Streckungsfaktor ist der Eigenwert. Das klingt erstmal abstrakt, ist aber DAS Konzept der linearen Algebra — Klausur-Pflicht in 16/16 WInf-Mathe-1-Klausuren und Grundlage für PCA, Google PageRank, Quantenmechanik.

Eigenvektor $\vec{v}$ einer Matrix $A$ ist ein Vektor, für den gilt: $A \vec{v} = \lambda \vec{v}$ — die Matrix-Multiplikation streckt $\vec{v}$ nur, ohne die Richtung zu ändern. $\lambda$ ist der zugehörige Eigenwert.

Stell dir vor, eine Matrix $A$ ist eine Transformation (Drehung, Streckung, Scherung). Sie wirkt auf alle Vektoren der Ebene/des Raums.

Die meisten Vektoren ändern sowohl ihre Länge ALS AUCH ihre Richtung.

Eigenvektoren sind die seltenen Vektoren, die nur ihre Länge ändern (oder gleich bleiben). Sie liegen auf einer Linie durch den Ursprung, die unter der Transformation stabil bleibt.

$\lambda$	Wirkung auf $\vec{v}$
$\lambda > 1$	Streckung
$\lambda = 1$	Vektor bleibt unverändert
$0 < \lambda < 1$	Stauchung
$\lambda = 0$	Vektor wird auf 0 abgebildet
$\lambda < 0$	Streckung MIT Richtungs-Flip

So findest du Eigenwerte rechnerisch:

$A \vec{v} = \lambda \vec{v} \Leftrightarrow (A - \lambda I) \vec{v} = \vec{0}$

Für nicht-triviale Lösungen $\vec{v} \neq \vec{0}$ muss die Matrix $A - \lambda I$ singulär sein:

$\det(A - \lambda I) = 0$

Das ist das charakteristische Polynom $\chi_A(\lambda)$ . Seine Nullstellen sind die Eigenwerte.

Gegeben:

$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

Schritt 1 — Charakteristisches Polynom: $\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10$

Schritt 2 — Nullstellen finden: $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 5, \, \lambda_2 = 2$

Schritt 3 — Eigenvektor zu $\lambda_1 = 5$ : Löse $(A - 5I)\vec{v} = \vec{0}$ : $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \vec{v} = \vec{0} \Rightarrow v_1 = v_2 \Rightarrow \vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Schritt 4 — Eigenvektor zu $\lambda_2 = 2$ : Löse $(A - 2I)\vec{v} = \vec{0}$ : $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \vec{v} = \vec{0} \Rightarrow 2v_1 + v_2 = 0 \Rightarrow \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

Verifikation: $A \vec{v_1} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = 5 \vec{v_1}$ ✓ und $A \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = 2 \vec{v_2}$ ✓.

Eigenschaft	Bedeutung
Spur = Summe der Eigenwerte	$\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \ldots$
Determinante = Produkt der Eigenwerte	$\det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \ldots$
$\lambda = 0$ ist Eigenwert	$\Leftrightarrow \det(A) = 0$ (Matrix singulär)
Eigenwerte von $A^T$	gleich denen von $A$
Eigenwerte von $A^{-1}$	sind $1/\lambda_i$ (falls $A$ invertierbar)
Eigenwerte von $A^n$	sind $\lambda_i^n$

Klausur-Trick: Spur und Determinante reichen für 2×2 oft, um die Eigenwerte zu finden ohne Polynom zu lösen.

Algebraische Vielfachheit: Wie oft $\lambda$ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms vorkommt
Geometrische Vielfachheit: Dimension des Eigenraums = Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren

Faustregel: Geometrische ≤ Algebraische Vielfachheit. Wenn beide gleich für alle $\lambda$ , ist die Matrix diagonalisierbar.

Eine Matrix $A$ ist diagonalisierbar, wenn: $A = P D P^{-1}$

wobei $D$ die Diagonalmatrix mit Eigenwerten ist und $P$ die Matrix mit Eigenvektoren als Spalten.

Nutzen: $A^n = P D^n P^{-1}$ — Matrix-Potenzen werden trivial, weil $D^n$ einfach jeden Diagonal-Eintrag potenziert.

Wenn $\vec{v}$ Eigenvektor ist, ist auch $c \cdot \vec{v}$ für jedes $c \neq 0$ ein Eigenvektor (zum gleichen $\lambda$ ). Klausuren erwarten meist die einfachste Form (ganzzahlig, kein gemeinsamer Faktor).

Symmetrische Matrix ( $A = A^T$ ):

Eigenwerte sind IMMER reell
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
IMMER diagonalisierbar

Dreiecksmatrix:

Eigenwerte = Diagonal-Einträge

Identitätsmatrix $I$ :

Eigenwerte alle 1
Jeder Vektor ist Eigenvektor

1. Eigenwerte: $\det(A - \lambda I) = 0$ . Charakteristisches Polynom aufstellen und Nullstellen finden.

2. Eigenvektor zu $\lambda$ : $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ . Mit Gauß lösen, eine freie Variable wählen.

3. Spur = $\sum \lambda_i$ , Determinante = $\prod \lambda_i$ . Bei 2×2 oft schneller als Polynom.

4. $\lambda = 0$ ⇔ $A$ singulär. Wichtige Brücke zu Determinanten-Eigenschaften.

5. Symmetrische Matrix → reelle Eigenwerte, orthogonale Eigenvektoren. Bonus-Klausurfrage.

1. $A \vec{v} = \lambda \vec{v}$ mit $\vec{v} = \vec{0}$ . Der Nullvektor ist trivial KEIN Eigenvektor — er erfüllt $A \cdot \vec{0} = \lambda \cdot \vec{0}$ für JEDES $\lambda$ , ist also unnütz.

2. Eigenwerte als komplexe Zahlen ignorieren. Für nicht-symmetrische Matrizen können Eigenwerte komplex sein ( $\lambda = a + bi$ ). Klausur erwartet das in den meisten Fällen NICHT (nur reelle), aber prüfe Diskriminante.

3. Algebraische vs. geometrische Vielfachheit verwechseln. Bei doppelter Nullstelle ( $\lambda$ mit alg. Vielfachheit 2) hast du entweder 2 linear unabhängige Eigenvektoren (geometrisch 2, diagonalisierbar) oder nur 1 (geometrisch 1, NICHT diagonalisierbar).

4. Eigenvektor mit beliebigem Skalar. Wenn $\vec{v} = (2, 2)$ Eigenvektor, ist auch $(1, 1)$ Eigenvektor. Klausur erwartet die einfachste Form — niemals als Bruch.

5. Charakteristisches Polynom falsch aufstellen. $\det(A - \lambda I)$ , NICHT $\det(\lambda I - A)$ (Vorzeichen kann variieren). Konsistente Konvention nutzen.

Wähle eine 2×2-Matrix und sieh wie sie Vektoren transformiert:

Die Eigenvektoren sind die Richtungen, die nur skaliert werden (markiert in Akzent)
Alle anderen Vektoren werden gedreht durch die Transformation
Die Eigenwerte stehen oben — sie sagen wie stark gestreckt wird

Klick einen Vektor an, um seine Transformation zu sehen.

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Klausur-Tipp: Bei "Berechne die Eigenwerte" — IMMER zuerst Spur und Determinante. Bei 2×2: $\lambda_1 + \lambda_2 = \text{tr}(A)$ und $\lambda_1 \cdot \lambda_2 = \det(A)$ . Oft kannst du die Eigenwerte daraus raten ohne Polynom zu lösen.

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Die Idee in einem Satz

Eigenvektor v⃗ einer Matrix A ist ein Vektor, für den gilt: A v⃗ = λ v⃗ — die Matrix-Multiplikation streckt v⃗ nur, ohne die Richtung zu ändern. λ ist der zugehörige Eigenwert.

Geometrische Intuition

Stell dir vor, eine Matrix A ist eine Transformation (Drehung, Streckung, Scherung). Sie wirkt auf alle Vektoren der Ebene/des Raums.

Die meisten Vektoren ändern sowohl ihre Länge ALS AUCH ihre Richtung.

Eigenvektoren sind die seltenen Vektoren, die nur ihre Länge ändern (oder gleich bleiben). Sie liegen auf einer Linie durch den Ursprung, die unter der Transformation stabil bleibt.

`λ`	Wirkung auf `v⃗`
`λ > 1`	Streckung
`λ = 1`	Vektor bleibt unverändert
`0 < λ < 1`	Stauchung
`λ = 0`	Vektor wird auf 0 abgebildet
`λ < 0`	Streckung MIT Richtungs-Flip

Charakteristisches Polynom

So findest du Eigenwerte rechnerisch:

A v⃗ = λ v⃗ ⇔ (A - λ I) v⃗ = 0⃗

Für nicht-triviale Lösungen v⃗ ≠ 0⃗ muss die Matrix A - λ I singulär sein:

det(A - λ I) = 0

Das ist das charakteristische Polynom χ_A(λ). Seine Nullstellen sind die Eigenwerte.

Komplettes Beispiel: 2×2

Gegeben:

A = [[4, 1], [2, 3]]

Schritt 1 — Charakteristisches Polynom: det(A - λ I) = det[[4-λ, 1], [2, 3-λ]] = (4-λ)(3-λ) - 2 = λ² - 7λ + 10

Schritt 2 — Nullstellen finden: λ² - 7λ + 10 = 0 ⇒ λ₁ = 5, λ₂ = 2

Schritt 3 — Eigenvektor zu λ₁ = 5: Löse (A - 5I)v⃗ = 0⃗: [[-1, 1], [2, -2]] v⃗ = 0⃗ ⇒ v₁ = v₂ ⇒ vec(v₁) = (1, 1)

Schritt 4 — Eigenvektor zu λ₂ = 2: Löse (A - 2I)v⃗ = 0⃗: [[2, 1], [2, 1]] v⃗ = 0⃗ ⇒ 2v₁ + v₂ = 0 ⇒ vec(v₂) = (1, -2)

Verifikation: A vec(v₁) = (5, 5) = 5 vec(v₁) ✓ und A vec(v₂) = (2, -4) = 2 vec(v₂) ✓.

Eigenwerte & Eigenschaften

Eigenschaft	Bedeutung
Spur = Summe der Eigenwerte	`tr(A) = λ₁ + λ₂ + ...`
Determinante = Produkt der Eigenwerte	`det(A) = λ₁ · λ₂ · ...`
`λ = 0` ist Eigenwert	`⇔ det(A) = 0` (Matrix singulär)
Eigenwerte von `A^T`	gleich denen von `A`
Eigenwerte von `A^(-1)`	sind `1/λ_i` (falls `A` invertierbar)
Eigenwerte von

Klausur-Trick: Spur und Determinante reichen für 2×2 oft, um die Eigenwerte zu finden ohne Polynom zu lösen.

Algebraische vs. geometrische Vielfachheit

Algebraische Vielfachheit: Wie oft λ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms vorkommt
Geometrische Vielfachheit: Dimension des Eigenraums = Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren

Faustregel: Geometrische ≤ Algebraische Vielfachheit. Wenn beide gleich für alle λ, ist die Matrix diagonalisierbar.

Diagonalisierung

Eine Matrix A ist diagonalisierbar, wenn: A = P D P^(-1)

wobei D die Diagonalmatrix mit Eigenwerten ist und P die Matrix mit Eigenvektoren als Spalten.

Nutzen: Aⁿ = P Dⁿ P^(-1) — Matrix-Potenzen werden trivial, weil Dⁿ einfach jeden Diagonal-Eintrag potenziert.

Eigenvektoren sind nicht eindeutig

Wenn v⃗ Eigenvektor ist, ist auch c · v⃗ für jedes c ≠ 0 ein Eigenvektor (zum gleichen λ). Klausuren erwarten meist die einfachste Form (ganzzahlig, kein gemeinsamer Faktor).

Spezialfälle

Symmetrische Matrix (A = A^T):

Eigenwerte sind IMMER reell
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
IMMER diagonalisierbar

Dreiecksmatrix:

Eigenwerte = Diagonal-Einträge

Identitätsmatrix I:

Eigenwerte alle 1
Jeder Vektor ist Eigenvektor

Klausur-Faustregeln

1. Eigenwerte: det(A - λ I) = 0. Charakteristisches Polynom aufstellen und Nullstellen finden.

2. Eigenvektor zu λ: (A - λ I)v⃗ = 0⃗. Mit Gauß lösen, eine freie Variable wählen.

3. Spur = Σ λ_i, Determinante = ∏ λ_i. Bei 2×2 oft schneller als Polynom.

4. λ = 0 ⇔ A singulär. Wichtige Brücke zu Determinanten-Eigenschaften.

5. Symmetrische Matrix → reelle Eigenwerte, orthogonale Eigenvektoren. Bonus-Klausurfrage.

Häufige Stolpersteine

1. A v⃗ = λ v⃗ mit v⃗ = 0⃗. Der Nullvektor ist trivial KEIN Eigenvektor — er erfüllt A · 0⃗ = λ · 0⃗ für JEDES λ, ist also unnütz.

2. Eigenwerte als komplexe Zahlen ignorieren. Für nicht-symmetrische Matrizen können Eigenwerte komplex sein (λ = a + bi). Klausur erwartet das in den meisten Fällen NICHT (nur reelle), aber prüfe Diskriminante.

3. Algebraische vs. geometrische Vielfachheit verwechseln. Bei doppelter Nullstelle (λ mit alg. Vielfachheit 2) hast du entweder 2 linear unabhängige Eigenvektoren (geometrisch 2, diagonalisierbar) oder nur 1 (geometrisch 1, NICHT diagonalisierbar).

4. Eigenvektor mit beliebigem Skalar. Wenn v⃗ = (2, 2) Eigenvektor, ist auch (1, 1) Eigenvektor. Klausur erwartet die einfachste Form — niemals als Bruch.

5. Charakteristisches Polynom falsch aufstellen. det(A - λ I), NICHT det(λ I - A) (Vorzeichen kann variieren). Konsistente Konvention nutzen.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Eigenwerte & Eigenvektoren — Praxis-Übung

6 Aufgaben zu Eigenwerten, Eigenvektoren, Diagonalisierung.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Was ist die Definition eines Eigenvektors v⃗ einer Matrix A?

Antwort: `A v⃗ = λ v⃗` mit `v⃗ ≠ 0⃗`

Erklärung: Eigenvektor-Definition: `A v⃗ = λ v⃗` mit `v⃗ ≠ 0⃗`. Der Vektor wird durch die Transformation nur gestreckt (mit Faktor λ), nicht gedreht. Nullvektor ist explizit ausgeschlossen.

F2.Spur(A) = 7, det(A) = 12. Was ist der größere Eigenwert von A (2×2-Matrix)?

Antwort: 4

Erklärung: `λ₁ + λ₂ = 7` und `λ₁ · λ₂ = 12`. Faktorisieren von `x² - 7x + 12 = (x-3)(x-4)` → `λ = 3, 4`. Größerer: 4.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Wenn λ = 0 Eigenwert von A ist, dann ist A singulär (nicht invertierbar).

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. `det(A) = ∏ λ_i`. Wenn ein Eigenwert 0 ist, ist auch det(A) = 0 → A nicht invertierbar. Logische Brücke zwischen Eigenwerten und Determinante.

Typ: Wahr/Falsch

F4.Wie findet man die Eigenwerte einer Matrix?

Antwort: Nullstellen des charakteristischen Polynoms `det(A - λ I) = 0` finden

Erklärung: Standard-Methode: `det(A - λ I) = 0` → Polynom in `λ` → Nullstellen sind die Eigenwerte. Spur und Determinante sind Hilfsmittel, lösen aber nicht direkt für jede Matrix.

F5.Welche Aussagen über Eigenwerte sind RICHTIG?

Richtige Antworten: Symmetrische Matrizen haben reelle Eigenwerte; Eigenwerte einer Dreiecksmatrix = Diagonal-Einträge; Spur = Summe der Eigenwerte; Eigenwerte von `Aⁿ` sind `λⁿ`

Erklärung: Richtig: Symmetrisch→reell, Dreieck→Diagonale, Spur=Σλ, `Aⁿ→λⁿ`. Falsch: Eigenvektoren sind bis auf Skalierung eindeutig (jedes `cv⃗` ist auch Eigenvektor); nicht jede Matrix ist diagonalisierbar (z.B. Jordan-Blöcke).

Typ: Multi-Select

F6.Ordne den Schritt der Berechnung zu:

Zuordnungen:

Eigenwerte finden → $\det(A - \lambda I) = 0$
Eigenvektor zu $\lambda$ finden → $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ mit Gauß lösen
Matrix diagonalisieren → $A = P D P^{-1}$ mit P=Eigenvektoren, D=Eigenwerte
Schnell-Check für 2×2 Eigenwerte → Spur + Determinante geben Σλ und Πλ

Erklärung: Standard-Workflow Eigenwerte. Polynom → Nullstellen (Eigenwerte) → Gauß für jeden Eigenwert (Eigenvektoren) → Diagonalisierung.

Typ: Zuordnung

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Eigenwerte von A = [[3, 0], [0, 5]]. Was ist das Produkt der Eigenwerte?

Antwort: 15

Erklärung: Bei Diagonalmatrix sind die Eigenwerte die Diagonal-Einträge: `λ₁ = 3`, `λ₂ = 5`. Produkt = 15 = det(A).

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.Charakteristisches Polynom von A = [[4, 1], [2, 3]]. Was ist der größere Eigenwert?

Antwort: 5 (Toleranz ±0.05)

Erklärung: `det(A - λ I) = (4-λ)(3-λ) - 2 = λ² - 7λ + 10 = 0`. Nullstellen: `λ = 5, 2`. Größerer: 5.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Wenn v⃗ ein Eigenvektor zu λ ist, ist auch 3v⃗ ein Eigenvektor zu λ.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. `A(3v⃗) = 3(Av⃗) = 3(lambdav⃗) = λ(3v⃗)`. Jedes skalare Vielfache eines Eigenvektors ist auch Eigenvektor (zum gleichen Eigenwert).

Typ: Wahr/Falsch

F4.Eine symmetrische 2×2-Matrix hat Eigenwerte 3 und 7. Was ist die Determinante?

Antwort: 21

Erklärung: det(A) = Produkt der Eigenwerte = 3 · 7 = 21. Universelle Eigenschaft, unabhängig von Symmetrie.

F5.Die Eigenwerte einer Matrix sind die Nullstellen des {{1}}-Polynoms det(A - λ I) = 0. Den Eigenvektor zu einem Eigenwert λ findet man durch Lösen von (A - λ I){2} = 0⃗. Die {{3}} der Matrix ist die Summe ihrer Eigenwerte. Die Determinante ist das {{4}} der Eigenwerte.

Lösungen pro Lücke:

{{1}}: charakteristischen / char. / charakt.
{{2}}: \vec{v} / v / $\vec{v}$
{{3}}: Spur / Trace / tr
{{4}}: Produkt

Erklärung: Standard-Vokabular Eigenwerte. Charakteristisches Polynom, Eigenvektor via Gauß, Spur = Σλ, det = Πλ.

Typ: Lückentext

F6.Sortiere: Eigenwerte + Eigenvektoren einer 2×2-Matrix berechnen.

Richtige Reihenfolge:

$A - \lambda I$ aufstellen
$\det(A - \lambda I)$ berechnen → charakteristisches Polynom
Nullstellen finden → Eigenwerte $\lambda_1, \lambda_2$
Für jedes $\lambda_i$: $(A - \lambda_i I)\vec{v} = \vec{0}$ mit Gauß lösen
Eigenvektor $\vec{v_i}$ ablesen (eine Variable wählen)
Verifizieren: $A \vec{v_i} = \lambda_i \vec{v_i}$

Erklärung: Standard-Workflow für Eigenwert-Aufgaben. Polynom → Nullstellen → Gauß für jeden Eigenwert → Eigenvektor → Verifikation.

Typ: Reihenfolge

Aⁿ

Eigenwerte & Eigenvektoren.

Erklärung

Eigenwerte & Eigenvektoren.

Erklärung

Die Idee in einem Satz

Geometrische Intuition

Charakteristisches Polynom

Komplettes Beispiel: 2×2

Eigenwerte & Eigenschaften

Algebraische vs. geometrische Vielfachheit

Diagonalisierung

Eigenvektoren sind nicht eindeutig

Spezialfälle

Klausur-Faustregeln

Häufige Stolpersteine

Eigenvektor-Transformations-Lab

Wenn du fertig bist: jetzt üben.

Die Idee in einem Satz

Geometrische Intuition

Charakteristisches Polynom

Komplettes Beispiel: 2×2

Eigenwerte & Eigenschaften

Algebraische vs. geometrische Vielfachheit

Diagonalisierung

Eigenvektoren sind nicht eindeutig

Spezialfälle

Klausur-Faustregeln

Häufige Stolpersteine

Interaktiv verstehen

Eigenvektor-Transformations-Lab

Praxis-Übung

Eigenwerte & Eigenvektoren — Praxis-Übung

Klausur-Quiz