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  • Einführung
  • Die Idee in einem Satz
  • 2×2-Matrix: die einfache Formel
  • 3×3-Matrix: Sarrus-Regel
  • Laplace-Entwicklung (universell)
  • Determinante via Gauß
  • Eigenschaften der Determinante
  • Geometrische Bedeutung
  • Cramersche Regel
  • Beispiele
  • Klausur-Faustregeln
  • Häufige Stolpersteine
ThemenMathematikDeterminanten
Mathematik·4Lerneinheiten·22min·Stand17.07.2026

Determinanten.

Eine Zahl, die alles über eine Matrix aussagt. Determinante = 0? Matrix nicht invertierbar, LGS hat ∞ oder 0 Lösungen, Spalten linear abhängig. Determinante ≠ 0? Alles "gutartig". Sie ist die magische Zahl der linearen Algebra, Klausur-Pflicht in 16/16 WInf-Mathe-1-Klausuren.

Determinante det⁡(A)\det(A)det(A) ist eine Zahl, die jeder quadratischen Matrix AAA zugeordnet wird. Geometrisch: das vorzeichenbehaftete Volumen des Parallelepipeds, das die Spalten aufspannen.

A=(abcd)⇒det⁡(A)=ad−bcA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A) = ad - bcA=(ac​bd​)⇒det(A)=ad−bc

Beispiel: det⁡(3124)=3⋅4−1⋅2=10\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 10det(32​14​)=3⋅4−1⋅2=10.

Geometrisch: Die Spaltenvektoren (3,2)(3, 2)(3,2) und (1,4)(1, 4)(1,4) spannen ein Parallelogramm. Sein Flächeninhalt = 10.

A=(abcdefghi)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}A=​adg​beh​cfi​​

det⁡(A)=aei+bfg+cdh−ceg−afh−bdi\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdidet(A)=aei+bfg+cdh−ceg−afh−bdi

Sarrus-Trick: Die ersten zwei Spalten rechts wiederholen, dann die 3 Diagonalen nach rechts unten ADDIEREN und die 3 Diagonalen nach rechts oben SUBTRAHIEREN.

| a  b  c | a  b
| d  e  f | d  e     →  +aei + bfg + cdh
| g  h  i | g  h     →  -ceg - afh - bdi

Wichtig: Sarrus funktioniert NUR für 3×3. Für 4×4+ braucht es Laplace-Entwicklung oder Gauß.

Für eine n×nn \times nn×n-Matrix entwickle nach einer Zeile oder Spalte:

det⁡(A)=∑j=1n(−1)i+j⋅aij⋅det⁡(Aij)\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det(A_{ij})det(A)=∑j=1n​(−1)i+j⋅aij​⋅det(Aij​)

wobei AijA_{ij}Aij​ die (n−1)×(n−1)(n-1) \times (n-1)(n−1)×(n−1)-Untermatrix ist (Zeile iii und Spalte jjj gestrichen).

Vorzeichen-Schachbrett:

(+−+−−+−++−+−−+−+)\begin{pmatrix} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{pmatrix}​+−+−​−+−+​+−+−​−+−+​​

Klausur-Trick: Entwickle nach der Zeile/Spalte mit den meisten Nullen, spart Rechnung.

Die schnellste Methode für große Matrizen:

  1. Bringe AAA in obere Dreiecksform durch Gauß-Operationen
  2. Multipliziere die Diagonal-Einträge der Dreiecksmatrix

Aber Achtung, Operations-Tracking:

  • Zeilen vertauschen → Vorzeichen flippt (det⁡\detdet wird mal −1-1−1)
  • Zeile mit ccc multiplizieren → det⁡\detdet wird mal ccc (rückgängig: durch ccc teilen)
  • Vielfaches addieren → det⁡\detdet unverändert
EigenschaftBedeutung
det⁡(A)=0\det(A) = 0det(A)=0AAA nicht invertierbar, Spalten linear abhängig
det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0det(A)=0AAA invertierbar, eindeutige Lösung von Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}Ax=b
det⁡(A⋅B)=det⁡(A)⋅det⁡(B)\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)det(A⋅B)=det(A)⋅det(B)Determinante eines Produkts
det⁡(AT)=det⁡(A)\det(A^T) = \det(A)det(AT)=det(A)Transposition ändert nichts
det⁡(A−1)=1/det⁡(A)\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)det(A−1)=1/det(A)Inverse-Determinante
det⁡(c⋅A)=cn⋅det⁡(A)\det(c \cdot A) = c^n \cdot \det(A)det(c⋅A)=cn⋅det(A)Skalar-Multiplikation einer n×nn \times nn×n-Matrix
det⁡(I)=1\det(I) = 1det(I)=1Einheitsmatrix

Determinante = vorzeichenbehaftetes Volumen.

  • 2D: Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms
  • 3D: Volumen des aufgespannten Parallelepipeds
  • nD: nD-Volumen

Vorzeichen = Orientierung:

  • det⁡>0\det > 0det>0: gleiche Orientierung wie Standard-Basis
  • det⁡<0\det < 0det<0: gespiegelte Orientierung (z.B. Reflektion)
  • det⁡=0\det = 0det=0: degeneriert (Spaltenvektoren liegen in einer Hyperebene)

Für Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}Ax=b mit det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0det(A)=0:

xi=det⁡(Ai)det⁡(A)x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}xi​=det(A)det(Ai​)​

wobei AiA_iAi​ entsteht, indem die iii-te Spalte von AAA durch b⃗\vec{b}b ersetzt wird.

Klausur-Nutzen: Theoretisch elegant für 2×2 oder 3×3. Praktisch IMMER langsamer als Gauß (besonders ab 4×4, Gauß ist O(n³), Cramer O(n!)).

Beispiel 1 (2×2): det⁡(5213)=5⋅3−2⋅1=13\det\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 5 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 13det(51​23​)=5⋅3−2⋅1=13

Beispiel 2 (3×3 mit Sarrus): det⁡(123014560)=1⋅1⋅0+2⋅4⋅5+3⋅0⋅6−3⋅1⋅5−1⋅4⋅6−2⋅0⋅0=0+40+0−15−24−0=1\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 \cdot 5 + 3 \cdot 0 \cdot 6 - 3 \cdot 1 \cdot 5 - 1 \cdot 4 \cdot 6 - 2 \cdot 0 \cdot 0 = 0 + 40 + 0 - 15 - 24 - 0 = 1det​105​216​340​​=1⋅1⋅0+2⋅4⋅5+3⋅0⋅6−3⋅1⋅5−1⋅4⋅6−2⋅0⋅0=0+40+0−15−24−0=1

Beispiel 3 (Dreiecksmatrix): det⁡(251037004)=2⋅3⋅4=24\det\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24det​200​530​174​​=2⋅3⋅4=24

Bei Dreiecksmatrizen ist die Determinante einfach das Produkt der Diagonal-Einträge.

1. 2×2: ad−bcad - bcad−bc. Auswendig, sofort.

2. 3×3: Sarrus (ersten 2 Spalten wiederholen, 3 Diagonalen +/3 Diagonalen −).

3. n×n ab 4: Laplace nach Zeile/Spalte mit meisten Nullen ODER Gauß auf Dreiecksform → Produkt der Diagonale.

4. det⁡=0⇔\det = 0 \Leftrightarrowdet=0⇔ nicht invertierbar. Wichtigste Eigenschaft. Bei det=0: LGS hat ∞ oder 0 Lösungen.

5. Zeilenoperationen tracken bei Gauß-Methode. Vertauschen → ⋅(−1)\cdot(-1)⋅(−1), Skalieren → rückgängig durch Division.

1. Sarrus auf 4×4 anwenden. Funktioniert NUR für 3×3! Für 4×4 brauchst du Laplace oder Gauß.

2. Vorzeichen-Schachbrett bei Laplace vergessen. (−1)i+j(-1)^{i+j}(−1)i+j, bei ungerader Index-Summe ist das Vorzeichen negativ.

3. Zeilenoperationen ohne Tracking. Bei der Gauß-Methode MUSST du jede Operation tracken. Wenn du z.B. Zeile 1 mit 2 multiplizierst, hat sich der Determinanten-Wert verdoppelt, du musst am Ende durch 2 teilen.

4. det⁡(A+B)≠det⁡(A)+det⁡(B)\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)det(A+B)=det(A)+det(B). Determinante ist NICHT additiv über die Matrix-Addition! Nur multiplikativ: det⁡(A⋅B)=det⁡(A)⋅det⁡(B)\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)det(A⋅B)=det(A)⋅det(B).

5. Spaltenoperationen vergessen. Du darfst auch Spalten-Operationen nutzen für die Determinante (im Gegensatz zum LGS-Lösen, wo nur Zeilen erlaubt sind). det⁡(AT)=det⁡(A)\det(A^T) = \det(A)det(AT)=det(A) erlaubt das.

Schiebe die 2 Spaltenvektoren und sieh, wie sich:

  • Der Parallelogramm-Flächeninhalt (= |det|) verändert
  • Die Orientierung (Vorzeichen) bei Spiegelung umkippt
  • Die Fläche kollabiert auf 0, wenn die Vektoren parallel werden (det = 0)

Das ist Determinante zum Anfassen.

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Klausur-Tipp: Wenn dich die Klausur fragt "Ist die Matrix invertierbar?", berechne nur die Determinante. det ≠ 0 → invertierbar, det = 0 → nicht. Spart das volle Gauß-Verfahren.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Eine Zahl, die alles über eine Matrix aussagt. Determinante = 0? Matrix nicht invertierbar, LGS hat ∞ oder 0 Lösungen, Spalten linear abhängig. Determinante ≠ 0? Alles "gutartig". Sie ist die magische Zahl der linearen Algebra, Klausur-Pflicht in 16/16 WInf-Mathe-1-Klausuren.

Die Idee in einem Satz

Determinante det(A) ist eine Zahl, die jeder quadratischen Matrix A zugeordnet wird. Geometrisch: das vorzeichenbehaftete Volumen des Parallelepipeds, das die Spalten aufspannen.

2×2-Matrix: die einfache Formel

A = [[a, b], [c, d]] ⇒ det(A) = ad - bc

Beispiel: det[[3, 1], [2, 4]] = 3 · 4 - 1 · 2 = 10.

Geometrisch: Die Spaltenvektoren (3, 2) und (1, 4) spannen ein Parallelogramm. Sein Flächeninhalt = 10.

3×3-Matrix: Sarrus-Regel

A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]

det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

Sarrus-Trick: Die ersten zwei Spalten rechts wiederholen, dann die 3 Diagonalen nach rechts unten ADDIEREN und die 3 Diagonalen nach rechts oben SUBTRAHIEREN.

| a  b  c | a  b
| d  e  f | d  e     →  +aei + bfg + cdh
| g  h  i | g  h     →  -ceg - afh - bdi

Wichtig: Sarrus funktioniert NUR für 3×3. Für 4×4+ braucht es Laplace-Entwicklung oder Gauß.

Laplace-Entwicklung (universell)

Für eine n × n-Matrix entwickle nach einer Zeile oder Spalte:

det(A) = Σ_(j=1)ⁿ (-1)^(i+j) · a_(ij) · det(A_(ij))

wobei A_(ij) die (n-1) × (n-1)-Untermatrix ist (Zeile i und Spalte j gestrichen).

Vorzeichen-Schachbrett:

[[+, -, +, -], [-, +, -, +], [+, -, +, -], [-, +, -, +]]

Klausur-Trick: Entwickle nach der Zeile/Spalte mit den meisten Nullen, spart Rechnung.

Determinante via Gauß

Die schnellste Methode für große Matrizen:

  1. Bringe A in obere Dreiecksform durch Gauß-Operationen
  2. Multipliziere die Diagonal-Einträge der Dreiecksmatrix

Aber Achtung, Operations-Tracking:

  • Zeilen vertauschen → Vorzeichen flippt (det wird mal -1)
  • Zeile mit c multiplizieren → det wird mal c (rückgängig: durch c teilen)
  • Vielfaches addieren → det unverändert

Eigenschaften der Determinante

EigenschaftBedeutung
det(A) = 0A nicht invertierbar, Spalten linear abhängig
det(A) ≠ 0A invertierbar, eindeutige Lösung von Ax⃗ = b⃗
det(A · B) = det(A) · det(B)Determinante eines Produkts
det(A^T) = det(A)Transposition ändert nichts
det(A^(-1)) = 1 / det(A)Inverse-Determinante
det(c · A) = cⁿ · det(A)Skalar-Multiplikation einer n × n-Matrix
det(I) = 1Einheitsmatrix

Geometrische Bedeutung

Determinante = vorzeichenbehaftetes Volumen.

  • 2D: Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms
  • 3D: Volumen des aufgespannten Parallelepipeds
  • nD: nD-Volumen

Vorzeichen = Orientierung:

  • det > 0: gleiche Orientierung wie Standard-Basis
  • det < 0: gespiegelte Orientierung (z.B. Reflektion)
  • det = 0: degeneriert (Spaltenvektoren liegen in einer Hyperebene)

Cramersche Regel

Für A x⃗ = b⃗ mit det(A) ≠ 0:

x_i = (det(A_i))/(det(A))

wobei A_i entsteht, indem die i-te Spalte von A durch b⃗ ersetzt wird.

Klausur-Nutzen: Theoretisch elegant für 2×2 oder 3×3. Praktisch IMMER langsamer als Gauß (besonders ab 4×4, Gauß ist O(n³), Cramer O(n!)).

Beispiele

Beispiel 1 (2×2): det[[5, 2], [1, 3]] = 5 · 3 - 2 · 1 = 13

Beispiel 2 (3×3 mit Sarrus): det[[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]] = 1 · 1 · 0 + 2 · 4 · 5 + 3 · 0 · 6 - 3 · 1 · 5 - 1 · 4 · 6 - 2 · 0 · 0 = 0 + 40 + 0 - 15 - 24 - 0 = 1

Beispiel 3 (Dreiecksmatrix): det[[2, 5, 1], [0, 3, 7], [0, 0, 4]] = 2 · 3 · 4 = 24

Bei Dreiecksmatrizen ist die Determinante einfach das Produkt der Diagonal-Einträge.

Klausur-Faustregeln

1. 2×2: ad - bc. Auswendig, sofort.

2. 3×3: Sarrus (ersten 2 Spalten wiederholen, 3 Diagonalen +/3 Diagonalen −).

3. n×n ab 4: Laplace nach Zeile/Spalte mit meisten Nullen ODER Gauß auf Dreiecksform → Produkt der Diagonale.

4. det = 0 ⇔ nicht invertierbar. Wichtigste Eigenschaft. Bei det=0: LGS hat ∞ oder 0 Lösungen.

5. Zeilenoperationen tracken bei Gauß-Methode. Vertauschen → ·(-1), Skalieren → rückgängig durch Division.

Häufige Stolpersteine

1. Sarrus auf 4×4 anwenden. Funktioniert NUR für 3×3! Für 4×4 brauchst du Laplace oder Gauß.

2. Vorzeichen-Schachbrett bei Laplace vergessen. (-1)^(i+j), bei ungerader Index-Summe ist das Vorzeichen negativ.

3. Zeilenoperationen ohne Tracking. Bei der Gauß-Methode MUSST du jede Operation tracken. Wenn du z.B. Zeile 1 mit 2 multiplizierst, hat sich der Determinanten-Wert verdoppelt, du musst am Ende durch 2 teilen.

4. det(A+B) ≠ det(A) + det(B). Determinante ist NICHT additiv über die Matrix-Addition! Nur multiplikativ: det(A · B) = det(A) · det(B).

5. Spaltenoperationen vergessen. Du darfst auch Spalten-Operationen nutzen für die Determinante (im Gegensatz zum LGS-Lösen, wo nur Zeilen erlaubt sind). det(A^T) = det(A) erlaubt das.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

Determinante geometrisch, Parallelogramm-Lab

Schiebe die 2 Spaltenvektoren und sieh, wie sich:

  • Der Parallelogramm-Flächeninhalt (= |det|) verändert
  • Die Orientierung (Vorzeichen) bei Spiegelung umkippt
  • Die Fläche kollabiert auf 0, wenn die Vektoren parallel werden (det = 0)

Das ist Determinante zum Anfassen.

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Klausur-Tipp: Wenn dich die Klausur fragt "Ist die Matrix invertierbar?", berechne nur die Determinante. det ≠ 0 → invertierbar, det = 0 → nicht. Spart das volle Gauß-Verfahren.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Determinanten, Praxis-Übung

6 Aufgaben zu 2×2/3×3-Determinanten, Eigenschaften, Invertierbarkeit.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Berechne det[[4, 2], [1, 3]].

Antwort: 10

Erklärung: 2×2-Formel: `ad - bc = 4 · 3 - 2 · 1 = 12 - 2 = 10`.

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.Berechne det[[1, 0, 2], [0, 3, 0], [4, 0, 5]] (Laplace nach Spalte 2).

Antwort: -9

Erklärung: Spalte 2 hat 2 Nullen, nur ein Term: `a_(22) · (-1)^(2+2) · det[[1, 2], [4, 5]] = 3 · (5 - 8) = -9`.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Eine Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn det(A) = 0.

Antwort: Falsch

Erklärung: FALSCH. Genau umgekehrt! `A` invertierbar ⇔ `det(A) ≠ 0`. Bei `det = 0` ist die Matrix SINGULÄR (nicht invertierbar). Häufiger Klausurfehler, Vorzeichen-Logik kontrollieren.

Typ: Wahr/Falsch

F4.Welche der folgenden Eigenschaften ist FALSCH?

Antwort: `det(A + B) = det(A) + det(B)`

Erklärung: Determinante ist NICHT additiv! `det(A+B) ≠ det(A) + det(B)` im Allgemeinen. Nur multiplikativ: `det(AB) = det A · det B`. Auch `det(A^T) = det(A)` und `det(I) = 1` sind korrekt.

F5.Welche Aussagen sind RICHTIG?

Richtige Antworten: Sarrus-Regel gilt nur für 3×3-Matrizen; Bei Dreiecksmatrizen ist det = Produkt der Diagonale; Zeilen vertauschen ändert das Vorzeichen der Determinante; `det(A^(-1)) = 1 / det(A)`

Erklärung: Richtig: Sarrus nur 3×3, Dreieck = Produkt der Diagonale, Tausch → −, Inverse-Determinante. Falsch: `det(c · A) = cⁿ · det(A)`, für 3×3 also `2³ = 8`; Cramer ist O(n!), Gauß O(n³), Gauß deutlich schneller.

Typ: Multi-Select

F6.Ordne den Operation der Auswirkung auf det(A) zu:

Zuordnungen:

  • Zwei Zeilen vertauschen → Vorzeichen flippt (·(−1))
  • Eine Zeile mit c multiplizieren → det wird mit c multipliziert
  • Vielfaches einer Zeile zu anderer addieren → det unverändert
  • Matrix transponieren → det unverändert

Erklärung: Operations-Tracking bei der Gauß-Determinanten-Methode. Tausch flippt, Skalieren multipliziert, Linearkombination und Transponieren ändern nichts.

Typ: Zuordnung

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Sarrus: det[[1, 2, 0], [0, 1, 3], [2, 0, 1]].

Antwort: 13

Erklärung: Sarrus `aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi` mit `a=1,b=2,c=0,d=0,e=1,f=3,g=2,h=0,i=1`: `1·1·1 + 2·3·2 + 0·0·0 − 0·1·2 − 1·3·0 − 2·0·1 = 1+12+0-0-0-0 = 13`.

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.Wenn die Determinante einer Matrix gleich 0 ist, dann hat das LGS Ax⃗ = b⃗ KEINE Lösung.

Antwort: Falsch

Erklärung: FALSCH. Bei `det(A) = 0` hat das LGS entweder UNENDLICH viele oder KEINE Lösung, kommt darauf an, ob `b⃗` in der Spaltenraum-Hülle von `A` liegt. Eindeutige Lösung gibt es bei `det ≠ 0`.

Typ: Wahr/Falsch

F3.Eine 4×4-Matrix soll nach Laplace berechnet werden. Welche Strategie ist OPTIMAL?

Antwort: Nach der Zeile/Spalte mit den meisten Nullen entwickeln

Erklärung: Bei Laplace-Entwicklung wählst du IMMER die Zeile/Spalte mit den meisten Nullen, jede Null spart einen 3×3-Determinanten-Schritt. Sarrus geht nicht für 4×4. Cramer/Inverse sind hier ineffizient.

F4.Für 3×3-Matrix A mit det(A) = 5, berechne det(3A).

Antwort: 135

Erklärung: `det(c · A) = cⁿ · det(A)` für `n × n`-Matrix. Hier: `3³ · 5 = 27 · 5 = 135`.

Typ: Zahlen-Eingabe

F5.Für eine 2×2-Matrix gilt det = {{1}} - {{2}}. Die {{3}}-Regel löst 3×3-Determinanten. Bei einer Matrix mit det = 0 ist die Matrix {{4}}.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: ad / a·d / a*d
  • {{2}}: bc / b·c / b*c
  • {{3}}: Sarrus
  • {{4}}: singulär / singulaer / nicht invertierbar

Erklärung: 2×2: ad − bc. Sarrus für 3×3. det=0 → singulär = nicht invertierbar.

Typ: Lückentext

F6.Sortiere: Laplace-Entwicklung einer 4×4-Matrix nach Zeile 1.

Richtige Reihenfolge:

  1. Zeile/Spalte mit meisten Nullen wählen (z.B. Zeile 1)
  2. Summe über alle Einträge: $\sum (-1)^{1+j} a_{1j} \cdot \det(A_{1j})$
  3. Für jede 3×3-Untermatrix $A_{1j}$: Sarrus anwenden
  4. Vorzeichen ${(-1)^{1+j}}$ beachten
  5. Aufsummieren und Endergebnis

Erklärung: Laplace rekursiv: 4×4 → vier 3×3-Determinanten → jede via Sarrus. Vorzeichen-Schachbrett nicht vergessen.

Typ: Reihenfolge

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