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Teil 1·Erklärung
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Eine Zahl, die alles über eine Matrix aussagt. Determinante = 0? Matrix nicht invertierbar, LGS hat ∞ oder 0 Lösungen, Spalten linear abhängig. Determinante ≠ 0? Alles "gutartig". Sie ist die magische Zahl der linearen Algebra — Klausur-Pflicht in 16/16 WInf-Mathe-1-Klausuren.
Klausur-Tipp: Wenn dich die Klausur fragt "Ist die Matrix invertierbar?" — berechne nur die Determinante. det ≠ 0 → invertierbar, det = 0 → nicht. Spart das volle Gauß-Verfahren.
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Eine Zahl, die alles über eine Matrix aussagt. Determinante = 0? Matrix nicht invertierbar, LGS hat ∞ oder 0 Lösungen, Spalten linear abhängig. Determinante ≠ 0? Alles "gutartig". Sie ist die magische Zahl der linearen Algebra — Klausur-Pflicht in 16/16 WInf-Mathe-1-Klausuren.
Determinante
det(A)ist eine Zahl, die jeder quadratischen MatrixAzugeordnet wird. Geometrisch: das vorzeichenbehaftete Volumen des Parallelepipeds, das die Spalten aufspannen.
A = [[a, b], [c, d]] ⇒ det(A) = ad - bc
Beispiel: det[[3, 1], [2, 4]] = 3 · 4 - 1 · 2 = 10.
Geometrisch: Die Spaltenvektoren (3, 2) und (1, 4) spannen ein Parallelogramm. Sein Flächeninhalt = 10.
A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]
det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
Sarrus-Trick: Die ersten zwei Spalten rechts wiederholen, dann die 3 Diagonalen nach rechts unten ADDIEREN und die 3 Diagonalen nach rechts oben SUBTRAHIEREN.
| a b c | a b
| d e f | d e → +aei + bfg + cdh
| g h i | g h → -ceg - afh - bdi
Wichtig: Sarrus funktioniert NUR für 3×3. Für 4×4+ braucht es Laplace-Entwicklung oder Gauß.
Für eine n × n-Matrix entwickle nach einer Zeile oder Spalte:
det(A) = Σ_(j=1)ⁿ (-1)^(i+j) · a_(ij) · det(A_(ij))
wobei A_(ij) die (n-1) × (n-1)-Untermatrix ist (Zeile i und Spalte j gestrichen).
Vorzeichen-Schachbrett:
[[+, -, +, -], [-, +, -, +], [+, -, +, -], [-, +, -, +]]
Klausur-Trick: Entwickle nach der Zeile/Spalte mit den meisten Nullen — spart Rechnung.
Die schnellste Methode für große Matrizen:
A in obere Dreiecksform durch Gauß-OperationenAber Achtung — Operations-Tracking:
det wird mal -1)c multiplizieren → det wird mal c (rückgängig: durch c teilen)det unverändert| Eigenschaft | Bedeutung |
|---|---|
det(A) = 0 | A nicht invertierbar, Spalten linear abhängig |
det(A) ≠ 0 | A invertierbar, eindeutige Lösung von Ax⃗ = b⃗ |
det(A · B) = det(A) · det(B) | Determinante eines Produkts |
det(A^T) = det(A) | Transposition ändert nichts |
det(A^(-1)) = 1 / det(A) | Inverse-Determinante |
det(c · A) = cⁿ · det(A) | Skalar-Multiplikation einer n × n-Matrix |
det(I) = 1 |
Determinante = vorzeichenbehaftetes Volumen.
Vorzeichen = Orientierung:
det > 0: gleiche Orientierung wie Standard-Basisdet < 0: gespiegelte Orientierung (z.B. Reflektion)det = 0: degeneriert (Spaltenvektoren liegen in einer Hyperebene)Für A x⃗ = b⃗ mit det(A) ≠ 0:
x_i = (det(A_i))/(det(A))
wobei A_i entsteht, indem die i-te Spalte von A durch b⃗ ersetzt wird.
Klausur-Nutzen: Theoretisch elegant für 2×2 oder 3×3. Praktisch IMMER langsamer als Gauß (besonders ab 4×4 — Gauß ist O(n³), Cramer O(n!)).
Beispiel 1 (2×2):
det[[5, 2], [1, 3]] = 5 · 3 - 2 · 1 = 13
Beispiel 2 (3×3 mit Sarrus):
det[[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]] = 1 · 1 · 0 + 2 · 4 · 5 + 3 · 0 · 6 - 3 · 1 · 5 - 1 · 4 · 6 - 2 · 0 · 0 = 0 + 40 + 0 - 15 - 24 - 0 = 1
Beispiel 3 (Dreiecksmatrix):
det[[2, 5, 1], [0, 3, 7], [0, 0, 4]] = 2 · 3 · 4 = 24
Bei Dreiecksmatrizen ist die Determinante einfach das Produkt der Diagonal-Einträge.
1. 2×2: ad - bc. Auswendig, sofort.
2. 3×3: Sarrus (ersten 2 Spalten wiederholen, 3 Diagonalen +/3 Diagonalen −).
3. n×n ab 4: Laplace nach Zeile/Spalte mit meisten Nullen ODER Gauß auf Dreiecksform → Produkt der Diagonale.
4. det = 0 ⇔ nicht invertierbar. Wichtigste Eigenschaft. Bei det=0: LGS hat ∞ oder 0 Lösungen.
5. Zeilenoperationen tracken bei Gauß-Methode. Vertauschen → ·(-1), Skalieren → rückgängig durch Division.
1. Sarrus auf 4×4 anwenden. Funktioniert NUR für 3×3! Für 4×4 brauchst du Laplace oder Gauß.
2. Vorzeichen-Schachbrett bei Laplace vergessen. (-1)^(i+j) — bei ungerader Index-Summe ist das Vorzeichen negativ.
3. Zeilenoperationen ohne Tracking. Bei der Gauß-Methode MUSST du jede Operation tracken. Wenn du z.B. Zeile 1 mit 2 multiplizierst, hat sich der Determinanten-Wert verdoppelt — du musst am Ende durch 2 teilen.
4. det(A+B) ≠ det(A) + det(B). Determinante ist NICHT additiv über die Matrix-Addition! Nur multiplikativ: det(A · B) = det(A) · det(B).
5. Spaltenoperationen vergessen. Du darfst auch Spalten-Operationen nutzen für die Determinante (im Gegensatz zum LGS-Lösen, wo nur Zeilen erlaubt sind). det(A^T) = det(A) erlaubt das.
Schiebe die 2 Spaltenvektoren und sieh, wie sich:
Das ist Determinante zum Anfassen.
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Klausur-Tipp: Wenn dich die Klausur fragt "Ist die Matrix invertierbar?" — berechne nur die Determinante. det ≠ 0 → invertierbar, det = 0 → nicht. Spart das volle Gauß-Verfahren.
6 Aufgaben zu 2×2/3×3-Determinanten, Eigenschaften, Invertierbarkeit.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: 10
Erklärung: 2×2-Formel: `ad - bc = 4 · 3 - 2 · 1 = 12 - 2 = 10`.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: -9
Erklärung: Spalte 2 hat 2 Nullen, nur ein Term: `a_(22) · (-1)^(2+2) · det[[1, 2], [4, 5]] = 3 · (5 - 8) = -9`.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Falsch
Erklärung: FALSCH. Genau umgekehrt! `A` invertierbar ⇔ `det(A) ≠ 0`. Bei `det = 0` ist die Matrix SINGULÄR (nicht invertierbar). Häufiger Klausurfehler — Vorzeichen-Logik kontrollieren.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: `det(A + B) = det(A) + det(B)`
Erklärung: Determinante ist NICHT additiv! `det(A+B) ≠ det(A) + det(B)` im Allgemeinen. Nur multiplikativ: `det(AB) = det A · det B`. Auch `det(A^T) = det(A)` und `det(I) = 1` sind korrekt.
Richtige Antworten: Sarrus-Regel gilt nur für 3×3-Matrizen; Bei Dreiecksmatrizen ist det = Produkt der Diagonale; Zeilen vertauschen ändert das Vorzeichen der Determinante; `det(A^(-1)) = 1 / det(A)`
Erklärung: Richtig: Sarrus nur 3×3, Dreieck = Produkt der Diagonale, Tausch → −, Inverse-Determinante. Falsch: `det(c · A) = cⁿ · det(A)`, für 3×3 also `2³ = 8`; Cramer ist O(n!), Gauß O(n³), Gauß deutlich schneller.
Typ: Multi-Select
Zuordnungen:
Erklärung: Operations-Tracking bei der Gauß-Determinanten-Methode. Tausch flippt, Skalieren multipliziert, Linearkombination und Transponieren ändern nichts.
Typ: Zuordnung
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: 13
Erklärung: Sarrus `aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi` mit `a=1,b=2,c=0,d=0,e=1,f=3,g=2,h=0,i=1`: `1·1·1 + 2·3·2 + 0·0·0 − 0·1·2 − 1·3·0 − 2·0·1 = 1+12+0-0-0-0 = 13`.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Falsch
Erklärung: FALSCH. Bei `det(A) = 0` hat das LGS entweder UNENDLICH viele oder KEINE Lösung — kommt darauf an, ob `b⃗` in der Spaltenraum-Hülle von `A` liegt. Eindeutige Lösung gibt es bei `det ≠ 0`.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: Nach der Zeile/Spalte mit den meisten Nullen entwickeln
Erklärung: Bei Laplace-Entwicklung wählst du IMMER die Zeile/Spalte mit den meisten Nullen — jede Null spart einen 3×3-Determinanten-Schritt. Sarrus geht nicht für 4×4. Cramer/Inverse sind hier ineffizient.
Antwort: 135
Erklärung: `det(c · A) = cⁿ · det(A)` für `n × n`-Matrix. Hier: `3³ · 5 = 27 · 5 = 135`.
Typ: Zahlen-Eingabe
Lösungen pro Lücke:
Erklärung: 2×2: ad − bc. Sarrus für 3×3. det=0 → singulär = nicht invertierbar.
Typ: Lückentext
Richtige Reihenfolge:
Erklärung: Laplace rekursiv: 4×4 → vier 3×3-Determinanten → jede via Sarrus. Vorzeichen-Schachbrett nicht vergessen.
Typ: Reihenfolge
| Einheitsmatrix |