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  • Einführung
  • Notation
  • Annuitätentilgung
  • Ratentilgung (Tilgungsdarlehen)
  • Annuität vs. Rate, wann welche?
  • Disagio / Damnum
  • Klausur-Faustregeln
  • Wo brauchst du das?
ThemenMathematikTilgungsrechnung: Aufgaben, Annuität, Tilgungsplan (Mathe)
Mathematik·4Lerneinheiten·22min·Stand04.08.2026

Tilgungsrechnung: Aufgaben, Annuität, Tilgungsplan (Mathe).

Tilgungsrechnung

Tilgung = planmäßige Rückzahlung eines Darlehens. Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathe und BWL, direkte Anwendung der Renten- und Zinseszinsrechnung auf Kredite. Klausur-Klassiker bei Annuitätendarlehen, Ratendarlehen und Restschuld-Berechnungen.

Was du in der Klausur können musst:

  • Annuitäten-Tilgung vs. Raten-Tilgung unterscheiden
  • Tilgungsplan aufstellen (Annuität / Zinsen / Tilgung / Restschuld)
  • Restschuld nach ttt Jahren über die Restschuld-Formel
  • Effektivzins bei Disagio / Damnum berücksichtigen
  • Verfahrenswahl bei Klausur-Aufgaben

In Klausuren oft gefragt: "Wie hoch ist die Annuität?", "Restschuld nach 10 Jahren?", "Welche Tilgungsart ist günstiger?", Pflicht-Aufgaben.

SymbolBedeutung
S0S_0S0​Darlehensbetrag (Anfangsschuld)
StS_tSt​Restschuld am Ende von Periode ttt
AAAAnnuität, konstante Jahresleistung (Zins + Tilgung)
TtT_tTt​Tilgungsanteil in Periode ttt
ZtZ_tZt​Zinsanteil in Periode ttt
ppp / iii / qqqZinssatz wie gewohnt
nnnLaufzeit in Jahren

Konstante Jahresleistung: Annuität A=Tt+ZtA = T_t + Z_tA=Tt​+Zt​ ist jedes Jahr gleich. Anteilsweise ändert sich aber das Verhältnis: Zinsanteil sinkt, Tilgungsanteil steigt.

Annuitäten-Formel:

A=S0⋅qn⋅(q−1)qn−1A = S_0 \cdot \frac{q^n \cdot (q - 1)}{q^n - 1}A=S0​⋅qn−1qn⋅(q−1)​

Der Bruch heißt Annuitäten-Faktor (Wiedergewinnungs-Faktor), Inverse vom Rentenbarwert-Faktor.

Beispiel: S0=100.000S_0 = 100.000S0​=100.000 €, p=5p = 5p=5 %, n=20n = 20n=20 Jahre.

A=100.000⋅1,0520⋅0,051,0520−1≈100.000⋅0,08024≈8.024,26 €/JahrA = 100.000 \cdot \frac{1{,}05^{20} \cdot 0{,}05}{1{,}05^{20} - 1} \approx 100.000 \cdot 0{,}08024 \approx 8.024{,}26 \text{ €/Jahr}A=100.000⋅1,0520−11,0520⋅0,05​≈100.000⋅0,08024≈8.024,26 €/Jahr

Logik: Annuität ist die Rente, deren Barwert dem Darlehen entspricht. Brücke zur Rentenrechnung und Annuitätenmethode.

Tilgungsplan-Schema

Die einzelnen Komponenten pro Jahr:

Z_t = S_(t-1) · i        ← Zinsen auf Restschuld am Vorjahresende
T_t = A − Z_t             ← Tilgung = Annuität minus Zinsen
S_t = S_(t-1) − T_t       ← neue Restschuld

Beispiel-Plan (S0=100.000S_0 = 100.000S0​=100.000, p=5p = 5p=5 %, n=20n = 20n=20, A=8.024,26A = 8.024{,}26A=8.024,26):

Jahr tttRestschuld AnfangZinsen ZtZ_tZt​Tilgung TtT_tTt​Restschuld Ende
1100.000,005.000,003.024,2696.975,74
296.975,744.848,793.175,4793.800,27
393.800,274.690,013.334,2590.466,02
...............
207.642,15382,117.642,150,00

Beobachtung: Der Tilgungsanteil wächst geometrisch mit Faktor qqq pro Jahr: Tt+1=Tt⋅qT_{t+1} = T_t \cdot qTt+1​=Tt​⋅q. Weil dieser Anteil immer größer wird, sinkt die Restschuld anfangs nur langsam und gegen Ende deutlich schneller.

Restschuld nach ttt Jahren

Praktische Formel ohne kompletten Tilgungsplan:

St=S0⋅qt−A⋅qt−1q−1S_t = S_0 \cdot q^t - A \cdot \frac{q^t - 1}{q - 1}St​=S0​⋅qt−A⋅q−1qt−1​

Oder äquivalent als Barwert der noch ausstehenden Annuitäten:

St=A⋅qn−t−1qn−t⋅(q−1)S_t = A \cdot \frac{q^{n-t} - 1}{q^{n-t} \cdot (q - 1)}St​=A⋅qn−t⋅(q−1)qn−t−1​

Beispiel: Restschuld nach 10 Jahren im Beispiel oben:

S10=100.000⋅1,0510−8.024,26⋅1,0510−10,05≈162.889−100.943≈61.946 €S_{10} = 100.000 \cdot 1{,}05^{10} - 8.024{,}26 \cdot \frac{1{,}05^{10} - 1}{0{,}05} \approx 162.889 - 100.943 \approx 61.946 \text{ €}S10​=100.000⋅1,0510−8.024,26⋅0,051,0510−1​≈162.889−100.943≈61.946 €

Klausur-Trick: nach der halben Laufzeit ist die Restschuld noch deutlich über 50 %, bei 5 %/20 Jahre erst ~62 %. Tilgung "beschleunigt" sich erst zum Ende.

Konstante Tilgung: Tt=S0/nT_t = S_0 / nTt​=S0​/n jedes Jahr gleich. Annuität sinkt, weil die Zinsen mit der Restschuld abnehmen.

Vorgehen:

  • Tilgung pro Jahr: T=S0/nT = S_0 / nT=S0​/n
  • Zinsen: Zt=St−1⋅iZ_t = S_{t-1} \cdot iZt​=St−1​⋅i (sinkt)
  • Annuität: At=T+ZtA_t = T + Z_tAt​=T+Zt​ (sinkt)

Beispiel (S0=100.000S_0 = 100.000S0​=100.000, p=5p = 5p=5 %, n=20n = 20n=20): T=5.000T = 5.000T=5.000 €/Jahr.

JahrRestschuld AnfangZinsenTilgungAnnuität
1100.0005.0005.00010.000
295.0004.7505.0009.750
390.0004.5005.0009.500
...............
205.0002505.0005.250

Vergleich: Ratentilgung zahlt am Anfang mehr (10.000 €) als Annuitätentilgung (8.024 €), spart aber insgesamt Zinsen, Restschuld sinkt schneller.

AspektAnnuitätentilgungRatentilgung
Jahresleistungkonstantsinkend
Liquiditäts-Planungleicht (gleicher Betrag)schwerer
Zinslast gesamthöherniedriger
Anfangsbelastungniedrigerhöher
PraxisHypotheken, KonsumkrediteUnternehmenskredite

Wenn das Darlehen mit Abschlag ausgezahlt wird (z.B. 95 % bei 5 % Disagio), ist die Effektivverzinsung höher als der Nominalzins. Klausur-Standard:

  • Auszahlungsbetrag = Darlehensbetrag ⋅\cdot⋅ (1 − Disagio)
  • Tilgungsplan rechnet trotzdem mit dem vollen Darlehensbetrag
  • Effektivzins über Iteration / IRR-ähnliche Methode (siehe Interner Zinsfuß / IRR)
  1. Erst Variante klären: Annuität oder Rate? Bei "konstante Jahresleistung" → Annuität.
  2. Annuitäten-Faktor auswendig: qn(q−1)/(qn−1)q^n(q-1)/(q^n-1)qn(q−1)/(qn−1). Inverse vom Rentenbarwert.
  3. Restschuld-Formel spart das komplette Tabellen-Aufstellen, direkter Sprung zu beliebigem Jahr.
  4. Tt+1=Tt⋅qT_{t+1} = T_t \cdot qTt+1​=Tt​⋅q bei Annuität, Tilgung wächst geometrisch.
  5. Σ Annuitäten ≠ Σ Tilgung, die Differenz sind die gezahlten Zinsen über die gesamte Laufzeit.
  • Hypothekendarlehen, Annuitätentilgung ist Standard, "10 Jahre Zinsbindung" → Restschuld nach 10 Jahren essentiell
  • Konsumkredite, gleiche Logik, kürzere Laufzeit
  • Unternehmenskredite, oft Ratentilgung wegen niedrigerer Gesamt-Zinslast
  • Anleihen mit Tilgungsplan, Mortgage-Backed Securities, Pfandbriefe
  • Tilgungs-Klausel-Analyse, Sondertilgungen, variable Zinsen

Faustregel zum Mitnehmen: Annuität = konstante Jahresleistung mit wechselndem Zins-/Tilgungsanteil. Rate = konstante Tilgung mit sinkender Zinsbelastung. Die Annuitäten-Formel A=S0⋅qn(q−1)/(qn−1)A = S_0 \cdot q^n(q-1)/(q^n-1)A=S0​⋅qn(q−1)/(qn−1) ist der Kern, alles andere folgt aus dem Tilgungsplan-Schema.

Verstelle Darlehensbetrag S0S_0S0​, Zinssatz ppp, Laufzeit nnn und wähle Tilgungs-Modus. Der Plot zeigt Restschuld im Zeitverlauf für beide Varianten, Annuitätentilgung (konvex fallend) vs. Ratentilgung (linear fallend).

Probier folgendes:

  • Standard-Hypothek: 200.000 €, 4 %, 25 Jahre, Annuität ~12.800 €/Jahr
  • Vergleich Annuität vs. Rate bei selben Werten, Differenz in der Gesamtzinslast
  • Bei langen Laufzeiten dominiert der Zinseszins-Effekt; in den ersten Jahren ist der Zinsanteil hoch und der Tilgungsanteil niedriger, später kehrt sich das Verhältnis zunehmend um.
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Faustregel zum Mitnehmen: Annuitätentilgung hat konstante Jahresbelastung, bequem für die Haushaltsplanung. Ratentilgung hat sinkende Belastung und spart Gesamtzinsen, wenn du am Anfang mehr Cashflow hast. Die Restschuld bei Annuität sinkt anfangs langsam und gegen Ende deutlich schneller, weil der Tilgungsanteil geometrisch mit Faktor qqq wächst.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Tilgungsrechnung

Tilgung = planmäßige Rückzahlung eines Darlehens. Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathe und BWL, direkte Anwendung der Renten- und Zinseszinsrechnung auf Kredite. Klausur-Klassiker bei Annuitätendarlehen, Ratendarlehen und Restschuld-Berechnungen.

Was du in der Klausur können musst:

  • Annuitäten-Tilgung vs. Raten-Tilgung unterscheiden
  • Tilgungsplan aufstellen (Annuität / Zinsen / Tilgung / Restschuld)
  • Restschuld nach t Jahren über die Restschuld-Formel
  • Effektivzins bei Disagio / Damnum berücksichtigen
  • Verfahrenswahl bei Klausur-Aufgaben

In Klausuren oft gefragt: "Wie hoch ist die Annuität?", "Restschuld nach 10 Jahren?", "Welche Tilgungsart ist günstiger?", Pflicht-Aufgaben.

Notation

SymbolBedeutung
S₀Darlehensbetrag (Anfangsschuld)
S_tRestschuld am Ende von Periode t
AAnnuität, konstante Jahresleistung (Zins + Tilgung)
T_tTilgungsanteil in Periode t
Z_tZinsanteil in Periode t
p / i / qZinssatz wie gewohnt
nLaufzeit in Jahren

Annuitätentilgung

Konstante Jahresleistung: Annuität A = T_t + Z_t ist jedes Jahr gleich. Anteilsweise ändert sich aber das Verhältnis: Zinsanteil sinkt, Tilgungsanteil steigt.

Annuitäten-Formel:

A = S₀ · (qⁿ · (q - 1))/(qⁿ - 1)

Der Bruch heißt Annuitäten-Faktor (Wiedergewinnungs-Faktor), Inverse vom Rentenbarwert-Faktor.

Beispiel: S₀ = 100.000 €, p = 5 %, n = 20 Jahre.

A = 100.000 · (1,05^(20) · 0,05)/(1,05^(20) - 1) ≈ 100.000 · 0,08024 ≈ 8.024,26 €/Jahr

Logik: Annuität ist die Rente, deren Barwert dem Darlehen entspricht. Brücke zur Rentenrechnung und Annuitätenmethode.

Tilgungsplan-Schema

Die einzelnen Komponenten pro Jahr:

Z_t = S_(t-1) · i        ← Zinsen auf Restschuld am Vorjahresende
T_t = A − Z_t             ← Tilgung = Annuität minus Zinsen
S_t = S_(t-1) − T_t       ← neue Restschuld

Beispiel-Plan (S₀ = 100.000, p = 5 %, n = 20, A = 8.024,26):

Jahr tRestschuld AnfangZinsen Z_tTilgung T_tRestschuld Ende
1100.000,005.000,003.024,2696.975,74
296.975,744.848,793.175,4793.800,27
393.800,274.690,013.334,2590.466,02
...............
207.642,15382,117.642,150,00

Beobachtung: Der Tilgungsanteil wächst geometrisch mit Faktor q pro Jahr: T_(t+1) = T_t · q. Weil dieser Anteil immer größer wird, sinkt die Restschuld anfangs nur langsam und gegen Ende deutlich schneller.

Restschuld nach t Jahren

Praktische Formel ohne kompletten Tilgungsplan:

S_t = S₀ · q^t - A · (q^t - 1)/(q - 1)

Oder äquivalent als Barwert der noch ausstehenden Annuitäten:

S_t = A · (q^(n-t) - 1)/(q^(n-t) · (q - 1))

Beispiel: Restschuld nach 10 Jahren im Beispiel oben:

S_(10) = 100.000 · 1,05^(10) - 8.024,26 · (1,05^(10) - 1)/(0,05) ≈ 162.889 - 100.943 ≈ 61.946 €

Klausur-Trick: nach der halben Laufzeit ist die Restschuld noch deutlich über 50 %, bei 5 %/20 Jahre erst ~62 %. Tilgung "beschleunigt" sich erst zum Ende.

Ratentilgung (Tilgungsdarlehen)

Konstante Tilgung: T_t = S₀ / n jedes Jahr gleich. Annuität sinkt, weil die Zinsen mit der Restschuld abnehmen.

Vorgehen:

  • Tilgung pro Jahr: T = S₀ / n
  • Zinsen: Z_t = S_(t-1) · i (sinkt)
  • Annuität: A_t = T + Z_t (sinkt)

Beispiel (S₀ = 100.000, p = 5 %, n = 20): T = 5.000 €/Jahr.

JahrRestschuld AnfangZinsenTilgungAnnuität
1100.0005.0005.00010.000
295.0004.7505.0009.750
390.0004.5005.0009.500
...............
205.0002505.0005.250

Vergleich: Ratentilgung zahlt am Anfang mehr (10.000 €) als Annuitätentilgung (8.024 €), spart aber insgesamt Zinsen, Restschuld sinkt schneller.

Annuität vs. Rate, wann welche?

AspektAnnuitätentilgungRatentilgung
Jahresleistungkonstantsinkend
Liquiditäts-Planungleicht (gleicher Betrag)schwerer
Zinslast gesamthöherniedriger
Anfangsbelastungniedrigerhöher
PraxisHypotheken, KonsumkrediteUnternehmenskredite

Disagio / Damnum

Wenn das Darlehen mit Abschlag ausgezahlt wird (z.B. 95 % bei 5 % Disagio), ist die Effektivverzinsung höher als der Nominalzins. Klausur-Standard:

  • Auszahlungsbetrag = Darlehensbetrag · (1 − Disagio)
  • Tilgungsplan rechnet trotzdem mit dem vollen Darlehensbetrag
  • Effektivzins über Iteration / IRR-ähnliche Methode (siehe Interner Zinsfuß / IRR)

Klausur-Faustregeln

  1. Erst Variante klären: Annuität oder Rate? Bei "konstante Jahresleistung" → Annuität.
  2. Annuitäten-Faktor auswendig: qⁿ(q-1)/(qⁿ-1). Inverse vom Rentenbarwert.
  3. Restschuld-Formel spart das komplette Tabellen-Aufstellen, direkter Sprung zu beliebigem Jahr.
  4. T_(t+1) = T_t · q bei Annuität, Tilgung wächst geometrisch.
  5. Σ Annuitäten ≠ Σ Tilgung, die Differenz sind die gezahlten Zinsen über die gesamte Laufzeit.

Wo brauchst du das?

  • Hypothekendarlehen, Annuitätentilgung ist Standard, "10 Jahre Zinsbindung" → Restschuld nach 10 Jahren essentiell
  • Konsumkredite, gleiche Logik, kürzere Laufzeit
  • Unternehmenskredite, oft Ratentilgung wegen niedrigerer Gesamt-Zinslast
  • Anleihen mit Tilgungsplan, Mortgage-Backed Securities, Pfandbriefe
  • Tilgungs-Klausel-Analyse, Sondertilgungen, variable Zinsen

Faustregel zum Mitnehmen: Annuität = konstante Jahresleistung mit wechselndem Zins-/Tilgungsanteil. Rate = konstante Tilgung mit sinkender Zinsbelastung. Die Annuitäten-Formel A = S₀ · qⁿ(q-1)/(qⁿ-1) ist der Kern, alles andere folgt aus dem Tilgungsplan-Schema.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv

Tilgungs-Plot

Verstelle Darlehensbetrag S₀, Zinssatz p, Laufzeit n und wähle Tilgungs-Modus. Der Plot zeigt Restschuld im Zeitverlauf für beide Varianten, Annuitätentilgung (konvex fallend) vs. Ratentilgung (linear fallend).

Probier folgendes:

  • Standard-Hypothek: 200.000 €, 4 %, 25 Jahre, Annuität ~12.800 €/Jahr
  • Vergleich Annuität vs. Rate bei selben Werten, Differenz in der Gesamtzinslast
  • Bei langen Laufzeiten dominiert der Zinseszins-Effekt; in den ersten Jahren ist der Zinsanteil hoch und der Tilgungsanteil niedriger, später kehrt sich das Verhältnis zunehmend um.

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Faustregel zum Mitnehmen: Annuitätentilgung hat konstante Jahresbelastung, bequem für die Haushaltsplanung. Ratentilgung hat sinkende Belastung und spart Gesamtzinsen, wenn du am Anfang mehr Cashflow hast. Die Restschuld bei Annuität sinkt anfangs langsam und gegen Ende deutlich schneller, weil der Tilgungsanteil geometrisch mit Faktor q wächst.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Praxis-Übung, Tilgungsrechnung

Klausur-typische Berechnungen: Annuität, Restschuld, Tilgungsplan, Vergleich.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Annuitätentilgung: S₀ = 200.000 €, p = 4 %, n = 25 Jahre. Wie hoch ist die jährliche Annuität? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 12801.84 € (Toleranz ±1)

Erklärung: A = S_0 · q^n · (q − 1) / (q^n − 1) = 200.000 · 1,04^25 · 0,04 / (1,04^25 − 1) = 200.000 · 2,6658 · 0,04 / 1,6658 ≈ 12.801,84 €. Annuitäten-Faktor ≈ 0,06401.

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.Ratentilgung: S₀ = 60.000 €, n = 10 Jahre, p = 5 %. Wie hoch ist die Annuität im ersten Jahr?

Antwort: 9000 € (Toleranz ±1)

Erklärung: Tilgung T = 60.000 / 10 = 6.000 €/Jahr. Zinsen Jahr 1: Z_1 = 60.000 · 0,05 = 3.000 €. Annuität Jahr 1: A_1 = 6.000 + 3.000 = 9.000 €. In Folgejahren sinkt A, weil die Zinslast mit der Restschuld abnimmt.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Annuitätentilgung: S₀ = 100.000 €, p = 5 %, n = 20, A = 8.024,26 €. Wie hoch ist die Restschuld nach 10 Jahren? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 61945.92 € (Toleranz ±5)

Erklärung: S_t = S_0 · q^t − A · (q^t − 1) / (q − 1) = 100.000 · 1,05^10 − 8.024,26 · (1,05^10 − 1) / 0,05 ≈ 162.889,46 − 100.943,53 ≈ 61.945,93 €. Nach der halben Laufzeit sind erst ~38 % getilgt, Annuitätentilgung beschleunigt sich erst zum Ende.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Annuitätentilgung mit T₁ = 1.500 €, p = 4 %. Wie hoch ist der Tilgungsanteil im zweiten Jahr? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 1560 € (Toleranz ±0.5)

Erklärung: T_(t+1) = T_t · q = 1.500 · 1,04 = 1.560 €. Bei Annuität wächst die Tilgung geometrisch mit dem Zinsfaktor, der Zinsanteil sinkt entsprechend.

Typ: Zahlen-Eingabe

F5.Bei Annuitätentilgung sind Zinsen und Tilgung jedes Jahr gleich.

Antwort: Falsch

Erklärung: FALSCH. Bei Annuitätentilgung ist die GESAMT-Annuität gleich, das VERHÄLTNIS Zins zu Tilgung ändert sich aber: Zinsanteil sinkt (weil Restschuld sinkt), Tilgungsanteil steigt entsprechend. Konstanter Tilgungsanteil ist die Ratentilgung.

Typ: Wahr/Falsch

F6.Welcher Vorteil zeichnet die Ratentilgung gegenüber der Annuitätentilgung aus?

Antwort: Insgesamt niedrigere Zinsbelastung über die Laufzeit

Erklärung: Ratentilgung: konstante Tilgung → Restschuld sinkt schneller → insgesamt weniger gezahlte Zinsen. Nachteil: Anfangsbelastung höher (Annuität sinkt erst über die Zeit), Liquiditäts-Planung weniger gleichmäßig. Annuitätentilgung dagegen ist bequemer (gleicher Jahresbetrag), aber zinslastiger.

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausur-Quiz, Tilgungsrechnung

Sechs Aufgaben zu Annuitäten- und Ratentilgung, Restschuld und Vergleichs-Logik.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Was ist die Annuität bei einem Annuitätendarlehen?

Antwort: Die konstante Jahresleistung aus Zins + Tilgung

Erklärung: Annuität = konstante Jahresleistung (Zinsen + Tilgung). Bleibt über die Laufzeit gleich, aber das Verhältnis Zins/Tilgung verschiebt sich: Zinsanteil sinkt, Tilgungsanteil steigt. Annuitäten-Faktor: q^n(q−1)/(q^n−1).

F2.Annuität: S₀ = 50.000 €, p = 6 %, n = 15 Jahre. Wie hoch ist der Tilgungsanteil im ersten Jahr? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 2148.94 € (Toleranz ±1)

Erklärung: Annuität A = 50.000 · 1,06^15 · 0,06 / (1,06^15 − 1) = 50.000 · 0,10296 ≈ 5.148,94 €. Z_1 = 50.000 · 0,06 = 3.000 €. T_1 = A − Z_1 ≈ 2.148,94 €. Anfangs dominieren die Zinsen.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Ratentilgung: S₀ = 80.000 €, p = 5 %, n = 8 Jahre. Wie hoch ist die Annuität im fünften Jahr? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 12000 € (Toleranz ±1)

Erklärung: Tilgung T = 80.000 / 8 = 10.000 €/Jahr. Restschuld vor Jahr 5 = 80.000 − 4·10.000 = 40.000 €. Zinsen Jahr 5: Z_5 = 40.000 · 0,05 = 2.000 €. Annuität Jahr 5: A_5 = T + Z_5 = 10.000 + 2.000 = 12.000 €. Annuität sinkt jedes Jahr um T·i = 500 €.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Welche Aussage zur Restschuld bei Annuitätentilgung ist korrekt?

Antwort: Sie sinkt zu Beginn langsam, gegen Ende schneller, weil der Tilgungsanteil geometrisch mit `q` wächst

Erklärung: Bei Annuitätentilgung ist der Tilgungsanteil zu Beginn klein (viel Zins). Mit jeder Periode wächst er um Faktor q (geometrisch). Daher sinkt die Restschuld anfangs nur langsam, gegen Ende deutlich schneller. Bei 5 % / 20 Jahre: nach Jahr 10 noch ~62 % der Schuld.

F5.Bei Annuität ist T_(t+1) = T_t · {{1}}. Bei Rate ist T_t = {{2}} (konstant). Restschuld nach t Jahren bei Annuität: S_t = S₀ · q^t - {{3}}.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: q / (1 + i) / 1+i
  • {{2}}: S_0 / n / S0/n / Anfangsschuld / Laufzeit
  • {{3}}: A · (q^t − 1) / (q − 1) / A · (q^t-1)/(q-1) / A · (q^t-1) / (q-1)

Erklärung: Tilgungs-Wachstum bei Annuität: T_(t+1) = T_t · q (geometrisch). Ratentilgung: T = S_0/n konstant. Restschuld-Formel: S_t = S_0·q^t − A·(q^t−1)/(q−1) = aufgezinste Anfangsschuld minus aufgezinste bisherige Annuitäten.

Typ: Lückentext

F6.Annuität: S₀ = 150.000 €, p = 3,5 %, n = 30 Jahre. Wie hoch ist die jährliche Annuität? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 8167.36 € (Toleranz ±5)

Erklärung: A = 150.000 · 1,035^30 · 0,035 / (1,035^30 − 1) = 150.000 · 2,80679 · 0,035 / 1,80679 = 150.000 · 0,054446 ≈ 8.167,36 €. Annuitäten-Faktor ≈ 0,05445. Über 30 Jahre summiert sich die Gesamtleistung auf ~245.000 €, davon ~95.000 € Zinsen.

Typ: Zahlen-Eingabe

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