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Teil 1·Erklärung
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Tilgung = planmäßige Rückzahlung eines Darlehens. Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathe und BWL, direkte Anwendung der Renten- und Zinseszinsrechnung auf Kredite. Klausur-Klassiker bei Annuitätendarlehen, Ratendarlehen und Restschuld-Berechnungen.
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren oft gefragt: "Wie hoch ist die Annuität?", "Restschuld nach 10 Jahren?", "Welche Tilgungsart ist günstiger?", Pflicht-Aufgaben.
Faustregel zum Mitnehmen: Annuitätentilgung hat konstante Jahresbelastung, bequem für die Haushaltsplanung. Ratentilgung hat sinkende Belastung und spart Gesamtzinsen, wenn du am Anfang mehr Cashflow hast. Die Restschuld bei Annuität sinkt anfangs langsam und gegen Ende deutlich schneller, weil der Tilgungsanteil geometrisch mit Faktor wächst.
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Tilgung = planmäßige Rückzahlung eines Darlehens. Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathe und BWL, direkte Anwendung der Renten- und Zinseszinsrechnung auf Kredite. Klausur-Klassiker bei Annuitätendarlehen, Ratendarlehen und Restschuld-Berechnungen.
Was du in der Klausur können musst:
t Jahren über die Restschuld-FormelIn Klausuren oft gefragt: "Wie hoch ist die Annuität?", "Restschuld nach 10 Jahren?", "Welche Tilgungsart ist günstiger?", Pflicht-Aufgaben.
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
S₀ | Darlehensbetrag (Anfangsschuld) |
S_t | Restschuld am Ende von Periode t |
A | Annuität, konstante Jahresleistung (Zins + Tilgung) |
T_t | Tilgungsanteil in Periode t |
Z_t | Zinsanteil in Periode t |
p / i / q | Zinssatz wie gewohnt |
n | Laufzeit in Jahren |
Konstante Jahresleistung: Annuität
A = T_t + Z_tist jedes Jahr gleich. Anteilsweise ändert sich aber das Verhältnis: Zinsanteil sinkt, Tilgungsanteil steigt.
Annuitäten-Formel:
A = S₀ · (qⁿ · (q - 1))/(qⁿ - 1)
Der Bruch heißt Annuitäten-Faktor (Wiedergewinnungs-Faktor), Inverse vom Rentenbarwert-Faktor.
Beispiel: S₀ = 100.000 €, p = 5 %, n = 20 Jahre.
A = 100.000 · (1,05^(20) · 0,05)/(1,05^(20) - 1) ≈ 100.000 · 0,08024 ≈ 8.024,26 €/Jahr
Logik: Annuität ist die Rente, deren Barwert dem Darlehen entspricht. Brücke zur Rentenrechnung und Annuitätenmethode.
Die einzelnen Komponenten pro Jahr:
Z_t = S_(t-1) · i ← Zinsen auf Restschuld am Vorjahresende
T_t = A − Z_t ← Tilgung = Annuität minus Zinsen
S_t = S_(t-1) − T_t ← neue Restschuld
Beispiel-Plan (S₀ = 100.000, p = 5 %, n = 20, A = 8.024,26):
Jahr t | Restschuld Anfang | Zinsen Z_t | Tilgung T_t | Restschuld Ende |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 100.000,00 | 5.000,00 | 3.024,26 | 96.975,74 |
| 2 | 96.975,74 | 4.848,79 | 3.175,47 | 93.800,27 |
| 3 | 93.800,27 | 4.690,01 | 3.334,25 | 90.466,02 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 20 | 7.642,15 | 382,11 |
Beobachtung: Der Tilgungsanteil wächst geometrisch mit Faktor
qpro Jahr:T_(t+1) = T_t · q. Weil dieser Anteil immer größer wird, sinkt die Restschuld anfangs nur langsam und gegen Ende deutlich schneller.
t JahrenPraktische Formel ohne kompletten Tilgungsplan:
S_t = S₀ · q^t - A · (q^t - 1)/(q - 1)
Oder äquivalent als Barwert der noch ausstehenden Annuitäten:
S_t = A · (q^(n-t) - 1)/(q^(n-t) · (q - 1))
Beispiel: Restschuld nach 10 Jahren im Beispiel oben:
S_(10) = 100.000 · 1,05^(10) - 8.024,26 · (1,05^(10) - 1)/(0,05) ≈ 162.889 - 100.943 ≈ 61.946 €
Klausur-Trick: nach der halben Laufzeit ist die Restschuld noch deutlich über 50 %, bei 5 %/20 Jahre erst ~62 %. Tilgung "beschleunigt" sich erst zum Ende.
Konstante Tilgung:
T_t = S₀ / njedes Jahr gleich. Annuität sinkt, weil die Zinsen mit der Restschuld abnehmen.
Vorgehen:
T = S₀ / nZ_t = S_(t-1) · i (sinkt)A_t = T + Z_t (sinkt)Beispiel (S₀ = 100.000, p = 5 %, n = 20): T = 5.000 €/Jahr.
| Jahr | Restschuld Anfang | Zinsen | Tilgung | Annuität |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 100.000 | 5.000 | 5.000 | 10.000 |
| 2 | 95.000 | 4.750 | 5.000 | 9.750 |
| 3 | 90.000 | 4.500 | 5.000 | 9.500 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 20 | 5.000 | 250 | 5.000 | 5.250 |
Vergleich: Ratentilgung zahlt am Anfang mehr (10.000 €) als Annuitätentilgung (8.024 €), spart aber insgesamt Zinsen, Restschuld sinkt schneller.
| Aspekt | Annuitätentilgung | Ratentilgung |
|---|---|---|
| Jahresleistung | konstant | sinkend |
| Liquiditäts-Planung | leicht (gleicher Betrag) | schwerer |
| Zinslast gesamt | höher | niedriger |
| Anfangsbelastung | niedriger | höher |
| Praxis | Hypotheken, Konsumkredite | Unternehmenskredite |
Wenn das Darlehen mit Abschlag ausgezahlt wird (z.B. 95 % bei 5 % Disagio), ist die Effektivverzinsung höher als der Nominalzins. Klausur-Standard:
· (1 − Disagio)
- Erst Variante klären: Annuität oder Rate? Bei "konstante Jahresleistung" → Annuität.
- Annuitäten-Faktor auswendig:
qⁿ(q-1)/(qⁿ-1). Inverse vom Rentenbarwert.- Restschuld-Formel spart das komplette Tabellen-Aufstellen, direkter Sprung zu beliebigem Jahr.
T_(t+1) = T_t · qbei Annuität, Tilgung wächst geometrisch.- Σ Annuitäten ≠ Σ Tilgung, die Differenz sind die gezahlten Zinsen über die gesamte Laufzeit.
Faustregel zum Mitnehmen: Annuität = konstante Jahresleistung mit wechselndem Zins-/Tilgungsanteil. Rate = konstante Tilgung mit sinkender Zinsbelastung. Die Annuitäten-Formel
A = S₀ · qⁿ(q-1)/(qⁿ-1)ist der Kern, alles andere folgt aus dem Tilgungsplan-Schema.
Verstelle Darlehensbetrag S₀, Zinssatz p, Laufzeit n und wähle Tilgungs-Modus. Der Plot zeigt Restschuld im Zeitverlauf für beide Varianten, Annuitätentilgung (konvex fallend) vs. Ratentilgung (linear fallend).
Probier folgendes:
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Faustregel zum Mitnehmen: Annuitätentilgung hat konstante Jahresbelastung, bequem für die Haushaltsplanung. Ratentilgung hat sinkende Belastung und spart Gesamtzinsen, wenn du am Anfang mehr Cashflow hast. Die Restschuld bei Annuität sinkt anfangs langsam und gegen Ende deutlich schneller, weil der Tilgungsanteil geometrisch mit Faktor q wächst.
Klausur-typische Berechnungen: Annuität, Restschuld, Tilgungsplan, Vergleich.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: 12801.84 € (Toleranz ±1)
Erklärung: A = S_0 · q^n · (q − 1) / (q^n − 1) = 200.000 · 1,04^25 · 0,04 / (1,04^25 − 1) = 200.000 · 2,6658 · 0,04 / 1,6658 ≈ 12.801,84 €. Annuitäten-Faktor ≈ 0,06401.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 9000 € (Toleranz ±1)
Erklärung: Tilgung T = 60.000 / 10 = 6.000 €/Jahr. Zinsen Jahr 1: Z_1 = 60.000 · 0,05 = 3.000 €. Annuität Jahr 1: A_1 = 6.000 + 3.000 = 9.000 €. In Folgejahren sinkt A, weil die Zinslast mit der Restschuld abnimmt.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 61945.92 € (Toleranz ±5)
Erklärung: S_t = S_0 · q^t − A · (q^t − 1) / (q − 1) = 100.000 · 1,05^10 − 8.024,26 · (1,05^10 − 1) / 0,05 ≈ 162.889,46 − 100.943,53 ≈ 61.945,93 €. Nach der halben Laufzeit sind erst ~38 % getilgt, Annuitätentilgung beschleunigt sich erst zum Ende.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 1560 € (Toleranz ±0.5)
Erklärung: T_(t+1) = T_t · q = 1.500 · 1,04 = 1.560 €. Bei Annuität wächst die Tilgung geometrisch mit dem Zinsfaktor, der Zinsanteil sinkt entsprechend.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Falsch
Erklärung: FALSCH. Bei Annuitätentilgung ist die GESAMT-Annuität gleich, das VERHÄLTNIS Zins zu Tilgung ändert sich aber: Zinsanteil sinkt (weil Restschuld sinkt), Tilgungsanteil steigt entsprechend. Konstanter Tilgungsanteil ist die Ratentilgung.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: Insgesamt niedrigere Zinsbelastung über die Laufzeit
Erklärung: Ratentilgung: konstante Tilgung → Restschuld sinkt schneller → insgesamt weniger gezahlte Zinsen. Nachteil: Anfangsbelastung höher (Annuität sinkt erst über die Zeit), Liquiditäts-Planung weniger gleichmäßig. Annuitätentilgung dagegen ist bequemer (gleicher Jahresbetrag), aber zinslastiger.
Sechs Aufgaben zu Annuitäten- und Ratentilgung, Restschuld und Vergleichs-Logik.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: Die konstante Jahresleistung aus Zins + Tilgung
Erklärung: Annuität = konstante Jahresleistung (Zinsen + Tilgung). Bleibt über die Laufzeit gleich, aber das Verhältnis Zins/Tilgung verschiebt sich: Zinsanteil sinkt, Tilgungsanteil steigt. Annuitäten-Faktor: q^n(q−1)/(q^n−1).
Antwort: 2148.94 € (Toleranz ±1)
Erklärung: Annuität A = 50.000 · 1,06^15 · 0,06 / (1,06^15 − 1) = 50.000 · 0,10296 ≈ 5.148,94 €. Z_1 = 50.000 · 0,06 = 3.000 €. T_1 = A − Z_1 ≈ 2.148,94 €. Anfangs dominieren die Zinsen.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 12000 € (Toleranz ±1)
Erklärung: Tilgung T = 80.000 / 8 = 10.000 €/Jahr. Restschuld vor Jahr 5 = 80.000 − 4·10.000 = 40.000 €. Zinsen Jahr 5: Z_5 = 40.000 · 0,05 = 2.000 €. Annuität Jahr 5: A_5 = T + Z_5 = 10.000 + 2.000 = 12.000 €. Annuität sinkt jedes Jahr um T·i = 500 €.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Sie sinkt zu Beginn langsam, gegen Ende schneller, weil der Tilgungsanteil geometrisch mit `q` wächst
Erklärung: Bei Annuitätentilgung ist der Tilgungsanteil zu Beginn klein (viel Zins). Mit jeder Periode wächst er um Faktor q (geometrisch). Daher sinkt die Restschuld anfangs nur langsam, gegen Ende deutlich schneller. Bei 5 % / 20 Jahre: nach Jahr 10 noch ~62 % der Schuld.
Lösungen pro Lücke:
Erklärung: Tilgungs-Wachstum bei Annuität: T_(t+1) = T_t · q (geometrisch). Ratentilgung: T = S_0/n konstant. Restschuld-Formel: S_t = S_0·q^t − A·(q^t−1)/(q−1) = aufgezinste Anfangsschuld minus aufgezinste bisherige Annuitäten.
Typ: Lückentext
Antwort: 8167.36 € (Toleranz ±5)
Erklärung: A = 150.000 · 1,035^30 · 0,035 / (1,035^30 − 1) = 150.000 · 2,80679 · 0,035 / 1,80679 = 150.000 · 0,054446 ≈ 8.167,36 €. Annuitäten-Faktor ≈ 0,05445. Über 30 Jahre summiert sich die Gesamtleistung auf ~245.000 €, davon ~95.000 € Zinsen.
Typ: Zahlen-Eingabe
| 7.642,15 |
| 0,00 |