Annuitäten- und Ratentilgung im Vergleich. Tilgungsplan, Restschuld nach t Jahren, Annuitäten-Faktor und Disagio. Klausur-Klassiker für Hypotheken und Konsumkredite.
Tilgung = planmäßige Rückzahlung eines Darlehens. Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathe und BWL — direkte Anwendung der Renten- und Zinseszinsrechnung auf Kredite. Klausur-Klassiker bei Annuitätendarlehen, Ratendarlehen und Restschuld-Berechnungen.
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren oft gefragt: "Wie hoch ist die Annuität?", "Restschuld nach 10 Jahren?", "Welche Tilgungsart ist günstiger?" — Pflicht-Aufgaben.
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
| Darlehensbetrag (Anfangsschuld) | |
| Restschuld am Ende von Periode | |
| Annuität — konstante Jahresleistung (Zins + Tilgung) | |
| Tilgungsanteil in Periode | |
| Zinsanteil in Periode | |
| / / | Zinssatz wie gewohnt |
| Laufzeit in Jahren |
Konstante Jahresleistung: Annuität ist jedes Jahr gleich. Anteilsweise ändert sich aber das Verhältnis: Zinsanteil sinkt, Tilgungsanteil steigt.
Annuitäten-Formel:
Der Bruch heißt Annuitäten-Faktor (Wiedergewinnungs-Faktor) — Inverse vom Rentenbarwert-Faktor.
Beispiel: €, %, Jahre.
Logik: Annuität ist die Rente, deren Barwert dem Darlehen entspricht. Brücke zur Rentenrechnung und Annuitätenmethode.
Die einzelnen Komponenten pro Jahr:
Z_t = S_(t-1) · i ← Zinsen auf Restschuld am Vorjahresende
T_t = A − Z_t ← Tilgung = Annuität minus Zinsen
S_t = S_(t-1) − T_t ← neue Restschuld
Beispiel-Plan (, %, , ):
| Jahr | Restschuld Anfang | Zinsen | Tilgung | Restschuld Ende |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 100.000,00 | 5.000,00 | 3.024,26 | 96.975,74 |
| 2 | 96.975,74 | 4.848,79 | 3.175,47 | 93.800,27 |
| 3 | 93.800,27 | 4.690,01 | 3.334,25 | 90.466,02 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 20 | 7.642,15 | 382,11 | 7.642,15 | 0,00 |
Beobachtung: Der Tilgungsanteil wächst geometrisch mit Faktor pro Jahr: . Weil dieser Anteil immer größer wird, sinkt die Restschuld anfangs nur langsam und gegen Ende deutlich schneller.
Praktische Formel ohne kompletten Tilgungsplan:
Oder äquivalent als Barwert der noch ausstehenden Annuitäten:
Beispiel: Restschuld nach 10 Jahren im Beispiel oben:
Klausur-Trick: nach der halben Laufzeit ist die Restschuld noch deutlich über 50 % — bei 5 %/20 Jahre erst ~62 %. Tilgung "beschleunigt" sich erst zum Ende.
Konstante Tilgung: jedes Jahr gleich. Annuität sinkt, weil die Zinsen mit der Restschuld abnehmen.
Vorgehen:
Beispiel (, %, ): €/Jahr.
| Jahr | Restschuld Anfang | Zinsen | Tilgung | Annuität |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 100.000 | 5.000 | 5.000 | 10.000 |
| 2 | 95.000 | 4.750 | 5.000 | 9.750 |
| 3 | 90.000 | 4.500 | 5.000 | 9.500 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 20 | 5.000 | 250 | 5.000 | 5.250 |
Vergleich: Ratentilgung zahlt am Anfang mehr (10.000 €) als Annuitätentilgung (8.024 €), spart aber insgesamt Zinsen — Restschuld sinkt schneller.
| Aspekt | Annuitätentilgung | Ratentilgung |
|---|---|---|
| Jahresleistung | konstant | sinkend |
| Liquiditäts-Planung | leicht (gleicher Betrag) | schwerer |
| Zinslast gesamt | höher | niedriger |
| Anfangsbelastung | niedriger | höher |
| Praxis | Hypotheken, Konsumkredite | Unternehmenskredite |
Wenn das Darlehen mit Abschlag ausgezahlt wird (z.B. 95 % bei 5 % Disagio), ist die Effektivverzinsung höher als der Nominalzins. Klausur-Standard:
- Erst Variante klären: Annuität oder Rate? Bei "konstante Jahresleistung" → Annuität.
- Annuitäten-Faktor auswendig: . Inverse vom Rentenbarwert.
- Restschuld-Formel spart das komplette Tabellen-Aufstellen — direkter Sprung zu beliebigem Jahr.
- bei Annuität — Tilgung wächst geometrisch.
- Σ Annuitäten ≠ Σ Tilgung — die Differenz sind die gezahlten Zinsen über die gesamte Laufzeit.
Faustregel zum Mitnehmen: Annuität = konstante Jahresleistung mit wechselndem Zins-/Tilgungsanteil. Rate = konstante Tilgung mit sinkender Zinsbelastung. Die Annuitäten-Formel ist der Kern, alles andere folgt aus dem Tilgungsplan-Schema.
Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv · Praxis-Übung · Klausur-Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur — und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).
Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathe und BWL — direkte Anwendung der Renten- und Zinseszinsrechnung auf Kredite. Klausur-Klassiker bei Annuitätendarlehen, Ratendarlehen und Restschuld-Berechnungen.
y = mx + b verstehen, Graph zeichnen, Werte berechnen. Die Grundlage für Algorithmus-Laufzeit, Kostenmodelle und einfache Regression.
f(x) = ax² + bx + c. Parabeln verstehen, Scheitelpunkt finden, Nullstellen berechnen mit pq- und abc-Formel. Drei Darstellungsformen und wann welche.
Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten: Tangentensteigung als Grenzwert der Sekantensteigungen. Grundregeln (Potenz, Faktor, Summe, Differenz) und erweiterte Regeln (Produkt, Quotient, Kette). Extremwerte über die notwendige Bedingung f'(x) = 0 und hinreichende Bedingung mit f''.
Was du in der Klausur können musst:
t Jahren über die Restschuld-FormelIn Klausuren oft gefragt: "Wie hoch ist die Annuität?", "Restschuld nach 10 Jahren?", "Welche Tilgungsart ist günstiger?" — Pflicht-Aufgaben.
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
S₀ | Darlehensbetrag (Anfangsschuld) |
S_t | Restschuld am Ende von Periode t |
A | Annuität — konstante Jahresleistung (Zins + Tilgung) |
T_t | Tilgungsanteil in Periode t |
Z_t | Zinsanteil in Periode t |
p / i / q | Zinssatz wie gewohnt |
n | Laufzeit in Jahren |
Konstante Jahresleistung: Annuität
A = T_t + Z_tist jedes Jahr gleich. Anteilsweise ändert sich aber das Verhältnis: Zinsanteil sinkt, Tilgungsanteil steigt.
Annuitäten-Formel:
A = S₀ · (qⁿ · (q - 1))/(qⁿ - 1)
Der Bruch heißt Annuitäten-Faktor (Wiedergewinnungs-Faktor) — Inverse vom Rentenbarwert-Faktor.
Beispiel: S₀ = 100.000 €, p = 5 %, n = 20 Jahre.
A = 100.000 · (1,05^(20) · 0,05)/(1,05^(20) - 1) ≈ 100.000 · 0,08024 ≈ 8.024,26 €/Jahr
Logik: Annuität ist die Rente, deren Barwert dem Darlehen entspricht. Brücke zur Rentenrechnung und Annuitätenmethode.
Die einzelnen Komponenten pro Jahr:
Z_t = S_(t-1) · i ← Zinsen auf Restschuld am Vorjahresende
T_t = A − Z_t ← Tilgung = Annuität minus Zinsen
S_t = S_(t-1) − T_t ← neue Restschuld
Beispiel-Plan (S₀ = 100.000, p = 5 %, n = 20, A = 8.024,26):
Jahr t | Restschuld Anfang | Zinsen Z_t | Tilgung T_t | Restschuld Ende |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 100.000,00 | 5.000,00 | 3.024,26 | 96.975,74 |
| 2 | 96.975,74 | 4.848,79 | 3.175,47 | 93.800,27 |
| 3 | 93.800,27 | 4.690,01 | 3.334,25 | 90.466,02 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 20 | 7.642,15 | 382,11 | 7.642,15 | 0,00 |
Beobachtung: Der Tilgungsanteil wächst geometrisch mit Faktor
qpro Jahr:T_(t+1) = T_t · q. Weil dieser Anteil immer größer wird, sinkt die Restschuld anfangs nur langsam und gegen Ende deutlich schneller.
t JahrenPraktische Formel ohne kompletten Tilgungsplan:
S_t = S₀ · q^t - A · (q^t - 1)/(q - 1)
Oder äquivalent als Barwert der noch ausstehenden Annuitäten:
S_t = A · (q^(n-t) - 1)/(q^(n-t) · (q - 1))
Beispiel: Restschuld nach 10 Jahren im Beispiel oben:
S_(10) = 100.000 · 1,05^(10) - 8.024,26 · (1,05^(10) - 1)/(0,05) ≈ 162.889 - 100.943 ≈ 61.946 €
Klausur-Trick: nach der halben Laufzeit ist die Restschuld noch deutlich über 50 % — bei 5 %/20 Jahre erst ~62 %. Tilgung "beschleunigt" sich erst zum Ende.
Konstante Tilgung:
T_t = S₀ / njedes Jahr gleich. Annuität sinkt, weil die Zinsen mit der Restschuld abnehmen.
Vorgehen:
T = S₀ / nZ_t = S_(t-1) · i (sinkt)A_t = T + Z_t (sinkt)Beispiel (S₀ = 100.000, p = 5 %, n = 20): T = 5.000 €/Jahr.
| Jahr | Restschuld Anfang | Zinsen | Tilgung | Annuität |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 100.000 | 5.000 | 5.000 | 10.000 |
| 2 | 95.000 | 4.750 | 5.000 | 9.750 |
| 3 | 90.000 | 4.500 | 5.000 | 9.500 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 20 | 5.000 | 250 | 5.000 | 5.250 |
Vergleich: Ratentilgung zahlt am Anfang mehr (10.000 €) als Annuitätentilgung (8.024 €), spart aber insgesamt Zinsen — Restschuld sinkt schneller.
| Aspekt | Annuitätentilgung | Ratentilgung |
|---|---|---|
| Jahresleistung | konstant | sinkend |
| Liquiditäts-Planung | leicht (gleicher Betrag) | schwerer |
| Zinslast gesamt | höher | niedriger |
| Anfangsbelastung | niedriger | höher |
| Praxis | Hypotheken, Konsumkredite | Unternehmenskredite |
Wenn das Darlehen mit Abschlag ausgezahlt wird (z.B. 95 % bei 5 % Disagio), ist die Effektivverzinsung höher als der Nominalzins. Klausur-Standard:
· (1 − Disagio)
- Erst Variante klären: Annuität oder Rate? Bei "konstante Jahresleistung" → Annuität.
- Annuitäten-Faktor auswendig:
qⁿ(q-1)/(qⁿ-1). Inverse vom Rentenbarwert.- Restschuld-Formel spart das komplette Tabellen-Aufstellen — direkter Sprung zu beliebigem Jahr.
T_(t+1) = T_t · qbei Annuität — Tilgung wächst geometrisch.- Σ Annuitäten ≠ Σ Tilgung — die Differenz sind die gezahlten Zinsen über die gesamte Laufzeit.
Faustregel zum Mitnehmen: Annuität = konstante Jahresleistung mit wechselndem Zins-/Tilgungsanteil. Rate = konstante Tilgung mit sinkender Zinsbelastung. Die Annuitäten-Formel
A = S₀ · qⁿ(q-1)/(qⁿ-1)ist der Kern, alles andere folgt aus dem Tilgungsplan-Schema.
Verstelle Darlehensbetrag S₀, Zinssatz p, Laufzeit n und wähle Tilgungs-Modus. Der Plot zeigt Restschuld im Zeitverlauf für beide Varianten — Annuitätentilgung (konvex fallend) vs. Ratentilgung (linear fallend).
Probier folgendes:
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Faustregel zum Mitnehmen: Annuitätentilgung hat konstante Jahresbelastung — bequem für die Haushaltsplanung. Ratentilgung hat sinkende Belastung und spart Gesamtzinsen — wenn du am Anfang mehr Cashflow hast. Die Restschuld bei Annuität sinkt anfangs langsam und gegen Ende deutlich schneller, weil der Tilgungsanteil geometrisch mit Faktor q wächst.
Klausur-typische Berechnungen: Annuität, Restschuld, Tilgungsplan, Vergleich.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: 12801.84 € (Toleranz ±1)
Erklärung: A = S_0 · q^n · (q − 1) / (q^n − 1) = 200.000 · 1,04^25 · 0,04 / (1,04^25 − 1) = 200.000 · 2,6658 · 0,04 / 1,6658 ≈ 12.801,84 €. Annuitäten-Faktor ≈ 0,06401.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 9000 € (Toleranz ±1)
Erklärung: Tilgung T = 60.000 / 10 = 6.000 €/Jahr. Zinsen Jahr 1: Z_1 = 60.000 · 0,05 = 3.000 €. Annuität Jahr 1: A_1 = 6.000 + 3.000 = 9.000 €. In Folgejahren sinkt A, weil die Zinslast mit der Restschuld abnimmt.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 61945.92 € (Toleranz ±5)
Erklärung: S_t = S_0 · q^t − A · (q^t − 1) / (q − 1) = 100.000 · 1,05^10 − 8.024,26 · (1,05^10 − 1) / 0,05 ≈ 162.889,46 − 100.943,53 ≈ 61.945,93 €. Nach der halben Laufzeit sind erst ~38 % getilgt — Annuitätentilgung beschleunigt sich erst zum Ende.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 1560 € (Toleranz ±0.5)
Erklärung: T_(t+1) = T_t · q = 1.500 · 1,04 = 1.560 €. Bei Annuität wächst die Tilgung geometrisch mit dem Zinsfaktor — der Zinsanteil sinkt entsprechend.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Falsch
Erklärung: FALSCH. Bei Annuitätentilgung ist die GESAMT-Annuität gleich, das VERHÄLTNIS Zins zu Tilgung ändert sich aber: Zinsanteil sinkt (weil Restschuld sinkt), Tilgungsanteil steigt entsprechend. Konstanter Tilgungsanteil ist die Ratentilgung.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: Insgesamt niedrigere Zinsbelastung über die Laufzeit
Erklärung: Ratentilgung: konstante Tilgung → Restschuld sinkt schneller → insgesamt weniger gezahlte Zinsen. Nachteil: Anfangsbelastung höher (Annuität sinkt erst über die Zeit), Liquiditäts-Planung weniger gleichmäßig. Annuitätentilgung dagegen ist bequemer (gleicher Jahresbetrag), aber zinslastiger.
Sechs Aufgaben zu Annuitäten- und Ratentilgung, Restschuld und Vergleichs-Logik.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: Die konstante Jahresleistung aus Zins + Tilgung
Erklärung: Annuität = konstante Jahresleistung (Zinsen + Tilgung). Bleibt über die Laufzeit gleich, aber das Verhältnis Zins/Tilgung verschiebt sich: Zinsanteil sinkt, Tilgungsanteil steigt. Annuitäten-Faktor: q^n(q−1)/(q^n−1).
Antwort: 2148.94 € (Toleranz ±1)
Erklärung: Annuität A = 50.000 · 1,06^15 · 0,06 / (1,06^15 − 1) = 50.000 · 0,10296 ≈ 5.148,94 €. Z_1 = 50.000 · 0,06 = 3.000 €. T_1 = A − Z_1 ≈ 2.148,94 €. Anfangs dominieren die Zinsen.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 12000 € (Toleranz ±1)
Erklärung: Tilgung T = 80.000 / 8 = 10.000 €/Jahr. Restschuld vor Jahr 5 = 80.000 − 4·10.000 = 40.000 €. Zinsen Jahr 5: Z_5 = 40.000 · 0,05 = 2.000 €. Annuität Jahr 5: A_5 = T + Z_5 = 10.000 + 2.000 = 12.000 €. Annuität sinkt jedes Jahr um T·i = 500 €.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Sie sinkt zu Beginn langsam, gegen Ende schneller — weil der Tilgungsanteil geometrisch mit `q` wächst
Erklärung: Bei Annuitätentilgung ist der Tilgungsanteil zu Beginn klein (viel Zins). Mit jeder Periode wächst er um Faktor q (geometrisch). Daher sinkt die Restschuld anfangs nur langsam, gegen Ende deutlich schneller. Bei 5 % / 20 Jahre: nach Jahr 10 noch ~62 % der Schuld.
Lösungen pro Lücke:
Erklärung: Tilgungs-Wachstum bei Annuität: T_(t+1) = T_t · q (geometrisch). Ratentilgung: T = S_0/n konstant. Restschuld-Formel: S_t = S_0·q^t − A·(q^t−1)/(q−1) = aufgezinste Anfangsschuld minus aufgezinste bisherige Annuitäten.
Typ: Lückentext
Antwort: 8167.36 € (Toleranz ±5)
Erklärung: A = 150.000 · 1,035^30 · 0,035 / (1,035^30 − 1) = 150.000 · 2,80679 · 0,035 / 1,80679 = 150.000 · 0,054446 ≈ 8.167,36 €. Annuitäten-Faktor ≈ 0,05445. Über 30 Jahre summiert sich die Gesamtleistung auf ~245.000 €, davon ~95.000 € Zinsen.
Typ: Zahlen-Eingabe