Konstante periodische Zahlung. Annuitäts-Faktor (ANF), Tilgungsplan, äquivalente jährliche Annuität (EAA) für Investitionsvergleich bei unterschiedlicher Laufzeit.
Annuität ist eine konstante periodische Zahlung. In der Investitionsrechnung wandelst du einen Kapitalwert in eine gleichmäßige Jahres-Rate um. Klausur-Klassiker bei Tilgungsplänen, Leasing-Raten und Investitionsvergleichen unterschiedlicher Laufzeit.
Was du in der Klausur können musst:
Du nimmst einen Kredit über auf. Der Vertrag sieht vor: jedes Jahr eine konstante Zahlung , n Jahre lang, dann ist die Schuld weg. Das ist eine Annuität.
Der Annuitäts-Faktor (ANF) ist der Multiplikator, mit dem du in umrechnest:
Für wird's zu (linear).
Kredit € bei für Jahre.
ANF = 0,05 / (1 - 1,05^-10)
= 0,05 / (1 - 0,6139)
= 0,05 / 0,3861
= 0,1295
A = 100.000 · 0,1295 = 12.950 €/Jahr
Über 10 Jahre zahlst du also €. Davon sind 100.000 € Tilgung und 29.500 € Zinsen.
Annuität ist konstant. Aber der Zins-Anteil sinkt über die Zeit (weniger Restschuld), und der Tilgungs-Anteil steigt. Das ist der "Effekt der Anfangs-Tilgungslast".
| Jahr | Annuität | Zinsen | Tilgung | Restschuld |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 12.950 | 5.000 | 7.950 | 92.050 |
| 2 | 12.950 | 4.603 | 8.347 | 83.703 |
| 3 | 12.950 | 4.185 | 8.765 | 74.938 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 10 | 12.950 | 617 | 12.333 | 0 |
Im ersten Jahr sind 5.000 € Zinsen (5 % von 100.000), 7.950 € Tilgung. Im letzten Jahr fast nur noch Tilgung.
Annuität ist nützlich um Investitionen mit unterschiedlicher Nutzungsdauer vergleichbar zu machen.
NPV-Methode reicht nicht, wenn Anlage A 5 Jahre läuft und Anlage B 10 Jahre. Die NPV-Werte sind nicht direkt vergleichbar (B hat doppelte Cashflow-Periode).
Lösung: rechne den NPV in eine äquivalente jährliche Annuität (EAA) um.
Anlage mit höherer EAA ist besser — unabhängig von der Laufzeit.
Manchmal kennst du die Annuität und willst wissen (z.B. "wieviel Kredit bei 1.000 €/J Rate über 5 J?").
Der Faktor ist der Rentenbarwertfaktor (RBF). Beide Faktoren findest du in der Klausur-Formelsammlung als Tabelle.
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In der Investitionsrechnung wandelst du einen Kapitalwert in eine gleichmäßige Jahres-Rate um. Klausur-Klassiker bei Tilgungsplänen, Leasing-Raten und Investitionsvergleichen unterschiedlicher Laufzeit.
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Was du in der Klausur können musst:
ANF = r/(1 - (1+r)^(-n))A = K₀ · ANFDu nimmst einen Kredit über K₀ auf. Der Vertrag sieht vor: jedes Jahr eine konstante Zahlung A, n Jahre lang, dann ist die Schuld weg. Das ist eine Annuität.
Der Annuitäts-Faktor (ANF) ist der Multiplikator, mit dem du K₀ in A umrechnest:
A = K₀ · ANF mit ANF = r/(1 - (1+r)^(-n))
Für r = 0 wird's zu A = K₀ / n (linear).
Kredit K₀ = 100.000 € bei r = 5\% für n = 10 Jahre.
ANF = 0,05 / (1 - 1,05^-10)
= 0,05 / (1 - 0,6139)
= 0,05 / 0,3861
= 0,1295
A = 100.000 · 0,1295 = 12.950 €/Jahr
Über 10 Jahre zahlst du also 10 · 12.950 = 129.500 €. Davon sind 100.000 € Tilgung und 29.500 € Zinsen.
Annuität ist konstant. Aber der Zins-Anteil sinkt über die Zeit (weniger Restschuld), und der Tilgungs-Anteil steigt. Das ist der "Effekt der Anfangs-Tilgungslast".
| Jahr | Annuität | Zinsen | Tilgung | Restschuld |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 12.950 | 5.000 | 7.950 | 92.050 |
| 2 | 12.950 | 4.603 | 8.347 | 83.703 |
| 3 | 12.950 | 4.185 | 8.765 | 74.938 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 10 | 12.950 | 617 | 12.333 | 0 |
Im ersten Jahr sind 5.000 € Zinsen (5 % von 100.000), 7.950 € Tilgung. Im letzten Jahr fast nur noch Tilgung.
Annuität ist nützlich um Investitionen mit unterschiedlicher Nutzungsdauer vergleichbar zu machen.
NPV-Methode reicht nicht, wenn Anlage A 5 Jahre läuft und Anlage B 10 Jahre. Die NPV-Werte sind nicht direkt vergleichbar (B hat doppelte Cashflow-Periode).
Lösung: rechne den NPV in eine äquivalente jährliche Annuität (EAA) um.
EAA = NPV · ANF
Anlage mit höherer EAA ist besser — unabhängig von der Laufzeit.
Manchmal kennst du die Annuität und willst K₀ wissen (z.B. "wieviel Kredit bei 1.000 €/J Rate über 5 J?").
K₀ = A / ANF = A · (1 - (1+r)^(-n))/r
Der Faktor 1/ANF ist der Rentenbarwertfaktor (RBF). Beide Faktoren findest du in der Klausur-Formelsammlung als Tabelle.
(1+r)^(-n), nicht (1+r)ⁿ. Häufiger Fehler.K₀.A = K₀ / n.Stell K₀, Zinssatz r und Laufzeit n ein. Annuitäts-Faktor und Jahresrate werden live berechnet, Tilgungsplan rendert die ersten 10 Jahre.
Probier: dreh r hoch — siehst du wie die Annuität steigt? Mehr Zinsen → mehr Total-Last → höhere Rate.
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Beobachte den Tilgungsplan: Zins-Spalte sinkt, Tilgungs-Spalte steigt. Im letzten Jahr ist der Zins minimal — Restschuld ist fast aufgebraucht. Genau diese Verteilung ist Klausur-Klassiker.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: 0.2374 (Toleranz ±0.001)
Erklärung: ANF = 0,06 / (1 − 1,06^-5) = 0,06 / (1 − 0,7473) = 0,06 / 0,2527 = 0,2374. Klausur-Tabelle hat solche Werte oft tabelliert.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 7735 € (Toleranz ±30)
Erklärung: ANF = 0,05/(1−1,05^-8) = 0,05/0,3232 = 0,1547. A = 50.000 · 0,1547 ≈ 7.735 €. Über 8 Jahre zahlst du 61.880 €, davon 11.880 € Zinsen.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 4000 €
Erklärung: Zins Jahr 1 = K₀ · r = 100.000 · 0,04 = 4.000 €. Im 1. Jahr ist die Restschuld noch K₀, also einfach. Annuität insgesamt: ≈12.330 €, davon 8.330 € Tilgung.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Wahr
Erklärung: Korrekt. Zinsen werden auf die Restschuld berechnet. Im 1. Jahr Restschuld = K₀ (max), danach immer weniger. Da Annuität konstant ist, steigt Tilgungsanteil entsprechend.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: 8052 € (Toleranz ±50)
Erklärung: ANF(6%, 8) = 0,06/(1−1,06^-8) = 0,06/0,3727 = 0,1610. EAA = 50.000 · 0,1610 = 8.050 €. Vergleichbar zu anderer Investition mit anderer Laufzeit über EAA.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 144072 € (Toleranz ±200)
Erklärung: Endwert-Faktor: ((1+r)^n − 1)/r = (1,04^10 − 1)/0,04 = (1,4802 − 1)/0,04 = 12,006. Endwert = 12.000 €/J · 12,006 = 144.072 €. Bei tatsächlicher monatlicher Verzinsung wäre der Endwert etwas höher (~146.000 €).
Typ: Zahlen-Eingabe
Klausurfragen mit Lösungen (7)
Antwort: Eine konstante periodische Zahlung über die Laufzeit
Erklärung: Annuität = konstante Rate je Periode (oft jährlich). Die ANF-Formel rechnet K₀ in diese konstante Rate um. Klassisch bei Krediten und Leasing.
Antwort: ANF = r / (1 − (1+r)^-n)
Erklärung: ANF = r/(1 − (1+r)^-n). Negativer Exponent ist wichtig (häufiger Fehler in der Klausur). Multipliziert man K₀ mit ANF, erhält man die Annuität.
Antwort: Wahr
Erklärung: Korrekt. Ohne Zinsen verteilt sich der Betrag gleichmäßig über die Jahre. Die ANF-Formel gibt bei r=0 mathematisch 0/0 — Sonderfall, expliziter Wert: A = K₀/n.
Typ: Wahr/Falsch
Richtige Antworten: Die Annuität ist konstant über die Laufzeit; Der Zinsanteil pro Jahr sinkt; Der Tilgungsanteil pro Jahr steigt; Die Restschuld nach n Jahren ist genau Null
Erklärung: 0–3 sind richtig. Punkt 4 ist falsch: Σ Annuitäten = K₀ + Σ Zinsen, also größer als K₀. Bei r > 0 zahlt man immer mehr zurück als der Kreditbetrag.
Typ: Multi-Select
Antwort: 9544 € (Toleranz ±50)
Erklärung: ANF = 0,06/(1−1,06^-12) = 0,06/0,5028 = 0,1193. A = 80.000 · 0,1193 = 9.544 €. Σ alle 12 Annuitäten ≈ 114.530 € → 34.530 € Zinsen über 12 Jahre.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Investitionsvergleich bei gleicher Laufzeit
Erklärung: Bei GLEICHER Laufzeit reicht NPV — Annuität nicht nötig. Bei UNTERSCHIEDLICHER Laufzeit braucht man Annuität (EAA), um vergleichbar zu machen. Tilgungsplan und Leasing sind Standard-Annuitäts-Anwendungen.
Antwort: 26210 € (Toleranz ±100)
Erklärung: Rentenbarwertfaktor (RBF) = 1/ANF = (1−(1+r)^-n)/r = (1−1,04^-6)/0,04 = 0,2096/0,04 = 5,242. K₀ = A · RBF = 5.000 · 5,242 = 26.210 €. Umkehrung der Annuitäts-Formel.
Typ: Zahlen-Eingabe