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Teil 1·Erklärung
Investition heute mit abgezinsten zukünftigen Cashflows vergleichen. NPV-Formel, Diskontfaktoren, Entscheidungsregel (NPV ≥ 0 → annehmen), Sensitivität bei Diskontsatz-Änderungen, Verbindung zu IRR. Klausur-Standard in BWL, WI, WiIng (Investition & Finanzierung).
Der Kapitalwert vergleicht die heutige Investition mit den abgezinsten zukünftigen Cashflows. Ist die Summe positiv, lohnt sich das Projekt — der Investor wird reicher als bei einer Alternativ-Anlage zum Diskontierungssatz . Klausur-Klassiker in BWL, WI und WiIng — typische Aufgabe: "Berechne den Kapitalwert einer Maschine mit Anschaffungspreis 100.000 € und 5 Jahren Cashflow."
Was du in der Klausur können musst:
In der Klausur erwartet: Cashflow-Tabelle aufstellen, jede Periode mit multiplizieren, Summe ziehen, abziehen, Entscheidung treffen.
Geld heute ist mehr wert als Geld morgen — wegen Inflation, Risiko und Opportunitätskosten (du könntest es zinsbringend anlegen). Deshalb darfst du nominal gleiche Beträge aus verschiedenen Perioden nicht einfach addieren.
Die Lösung: alle Cashflows auf den heutigen Zeitpunkt abzinsen und dann summieren. Der Diskontierungssatz ist dabei deine Kapitalkosten oder die Rendite einer risikogleichen Alternativ-Investition.
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
| Anfangsinvestition in (negative Zahl, da Auszahlung) | |
| Cashflow in Periode (typisch: Zahlungseingang minus laufende Auszahlungen) | |
| Diskontierungssatz (Kapitalkosten, oft zwischen 5 % und 12 %) | |
| Laufzeit in Perioden (meist Jahre) | |
| Diskontfaktor für Periode |
Eine Firma überlegt, eine neue Maschine zu kaufen:
Schritt 1 — Diskontfaktoren berechnen:
1 / 1,08^1 = 0,9259
1 / 1,08^2 = 0,8573
1 / 1,08^3 = 0,7938
1 / 1,08^4 = 0,7350
1 / 1,08^5 = 0,6806
Schritt 2 — Barwerte je Periode:
t=1: 25.000 · 0,9259 = 23.148 €
t=2: 30.000 · 0,8573 = 25.720 €
t=3: 35.000 · 0,7938 = 27.784 €
t=4: 30.000 · 0,7350 = 22.051 €
t=5: 25.000 · 0,6806 = 17.015 €
Summe Barwerte = 115.717 €
Schritt 3 — NPV:
Entscheidung: → Investition annehmen. Sie schafft 15.717 € Mehrwert über die geforderten 8 % Rendite hinaus.
| NPV | Bedeutung | Entscheidung |
|---|---|---|
| Projekt schafft Mehrwert über die Kapitalkosten hinaus | annehmen | |
| Projekt erreicht exakt die Mindestrendite — kein Mehrwert | indifferent | |
| Projekt rentiert sich unter — Alternative besser | ablehnen |
Pflichtsatz für die Klausur: "Die Investition ist vorteilhaft, wenn der Kapitalwert positiv ist; bei NPV = 0 indifferent."
Faustregeln für Klausur-Sensitivitätsfragen:
Bei welchem wird ? Genau bei (interner Zinsfuß) — die "Renditeschwelle" der Investition. Mehr dazu im nächsten Topic.
| Methode | Berücksichtigt Zeitwert? | Klausur-Fokus |
|---|---|---|
| Statische Investitionsrechnung (Kostenvergleich) | nein | einfache Klausuren |
| Amortisationsrechnung | nein | "wann zurückgezahlt?" |
| Kapitalwert (NPV) | ja | Standard im Bachelor |
| Interner Zinsfuß (IRR) | ja | Folgetopic |
| Annuitätenmethode | ja | Vergleich gleichwertiger Renten |
NPV ist der Goldstandard, weil er den Zeitwert berücksichtigt UND die absolute Vorteilhaftigkeit in Euro zeigt.
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Der Kapitalwert vergleicht die heutige Investition mit den abgezinsten zukünftigen Cashflows. Ist die Summe positiv, lohnt sich das Projekt — der Investor wird reicher als bei einer Alternativ-Anlage zum Diskontierungssatz r. Klausur-Klassiker in BWL, WI und WiIng — typische Aufgabe: "Berechne den Kapitalwert einer Maschine mit Anschaffungspreis 100.000 € und 5 Jahren Cashflow."
Was du in der Klausur können musst:
NPV = -I₀ + Σ_(t=1)ⁿ CF_t/((1+r)^t)1/(1+r)^t aufstellen und Barwerte berechnenNPV ≥ 0 → annehmen, NPV < 0 → ablehnenr, CF_t oder Laufzeit?NPV(r^*) = 0 ⇒ r^* = interner ZinsfußIn der Klausur erwartet: Cashflow-Tabelle aufstellen, jede Periode mit 1/(1+r)^t multiplizieren, Summe ziehen, I₀ abziehen, Entscheidung treffen.
Geld heute ist mehr wert als Geld morgen — wegen Inflation, Risiko und Opportunitätskosten (du könntest es zinsbringend anlegen). Deshalb darfst du nominal gleiche Beträge aus verschiedenen Perioden nicht einfach addieren.
Die Lösung: alle Cashflows auf den heutigen Zeitpunkt abzinsen und dann summieren. Der Diskontierungssatz r ist dabei deine Kapitalkosten oder die Rendite einer risikogleichen Alternativ-Investition.
NPV = -I₀ + Σ_(t=1)ⁿ CF_t/((1+r)^t)
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
I₀ | Anfangsinvestition in t=0 (negative Zahl, da Auszahlung) |
CF_t | Cashflow in Periode t (typisch: Zahlungseingang minus laufende Auszahlungen) |
r | Diskontierungssatz (Kapitalkosten, oft zwischen 5 % und 12 %) |
n | Laufzeit in Perioden (meist Jahre) |
1/(1+r)^t | Diskontfaktor für Periode t |
Eine Firma überlegt, eine neue Maschine zu kaufen:
t=0t=1, 30.000 € in t=2, 35.000 € in t=3, 30.000 € in t=4, 25.000 € in t=5Schritt 1 — Diskontfaktoren berechnen:
1 / 1,08^1 = 0,9259
1 / 1,08^2 = 0,8573
1 / 1,08^3 = 0,7938
1 / 1,08^4 = 0,7350
1 / 1,08^5 = 0,6806
Schritt 2 — Barwerte je Periode:
t=1: 25.000 · 0,9259 = 23.148 €
t=2: 30.000 · 0,8573 = 25.720 €
t=3: 35.000 · 0,7938 = 27.784 €
t=4: 30.000 · 0,7350 = 22.051 €
t=5: 25.000 · 0,6806 = 17.015 €
Summe Barwerte = 115.717 €
Schritt 3 — NPV:
NPV = -100.000 + 115.717 = +15.717 €
Entscheidung: NPV > 0 → Investition annehmen. Sie schafft 15.717 € Mehrwert über die geforderten 8 % Rendite hinaus.
| NPV | Bedeutung | Entscheidung |
|---|---|---|
> 0 | Projekt schafft Mehrwert über die Kapitalkosten hinaus | annehmen |
= 0 | Projekt erreicht exakt die Mindestrendite — kein Mehrwert | indifferent |
< 0 | Projekt rentiert sich unter r — Alternative besser | ablehnen |
Pflichtsatz für die Klausur: "Die Investition ist vorteilhaft, wenn der Kapitalwert positiv ist; bei NPV = 0 indifferent."
Faustregeln für Klausur-Sensitivitätsfragen:
r wird NPV negativ.t=0).Bei welchem r wird NPV = 0? Genau bei r = IRR (interner Zinsfuß) — die "Renditeschwelle" der Investition. Mehr dazu im nächsten Topic.
| Methode | Berücksichtigt Zeitwert? | Klausur-Fokus |
|---|---|---|
| Statische Investitionsrechnung (Kostenvergleich) | nein | einfache Klausuren |
| Amortisationsrechnung | nein | "wann zurückgezahlt?" |
| Kapitalwert (NPV) | ja | Standard im Bachelor |
| Interner Zinsfuß (IRR) | ja | Folgetopic |
| Annuitätenmethode | ja | Vergleich gleichwertiger Renten |
NPV ist der Goldstandard, weil er den Zeitwert berücksichtigt UND die absolute Vorteilhaftigkeit in Euro zeigt.
I₀ in t=0 NICHT diskontiert; erste CF in t=1 mit 1/(1+r)¹.r = 0,08 — nicht 8.n Jahren noch verkauft werden kann, gehört der Restwert in den letzten Cashflow.Setz die Grundinvestition, gib pro Periode den Cashflow ein und schieb den Diskontierungssatz. Der Visualizer zeigt:
Tipp: schieb den Zinssatz hoch und beobachte wie die diskontierten Balken (orange) gegenüber den nominalen (grau) schrumpfen. Bei genug hohem r kippt der NPV ins Negative — das ist genau der IRR.
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Beobachte: der Diskontierungseffekt wird über die Zeit immer stärker. In t=5 schrumpft ein nominaler Cashflow von 25.000 € bei r=8\% auf nur noch ~17.000 € Barwert. Bei r=15\% sogar auf ~12.430 €.
Das ist der Grund, warum Cashflows in späten Perioden weniger wertvoll sind — und warum lange Investitionen mit hohem Diskontsatz unattraktiv werden.
Sechs typische Klausur-Konstellationen. Diskontfaktor pro Periode aufstellen, Summe der Barwerte ziehen, I₀ abziehen, Entscheidung.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: -2102 € (Toleranz ±50)
Erklärung: Rentenbarwert-Formel: BWF(5; 8 %) = (1,08^5 − 1) / (0,08 · 1,08^5) ≈ 3,9927. Σ Barwerte = 12.000 · 3,9927 ≈ 47.912. NPV = 47.912 − 50.000 ≈ −2.088 €. Antwort: NPV negativ → Investition ablehnen.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 0.7513 (Toleranz ±0.001)
Erklärung: DF(3; 10 %) = 1 / (1,10)³ = 1 / 1,331 = 0,7513. Faustregel für Klausur: bei 10 % Zins ist der Wert in 3 Jahren etwa 75 % heutigen Werts.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: -2104 € (Toleranz ±30)
Erklärung: Barwerte: 30.000/1,1 = 27.273; 40.000/1,21 = 33.058; 50.000/1,331 = 37.566. Summe ≈ 97.897. NPV = 97.897 − 100.000 = −2.103 €. Bei 10 % Diskont reichen die Cashflows nicht.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Wahr
Erklärung: Richtig. Höheres r → Diskontfaktoren schrumpfen → Barwerte sinken → NPV sinkt. Klassische Sensitivität: ab einem bestimmten r wird der NPV negativ — dieses r ist genau der IRR.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: 32773 € (Toleranz ±200)
Erklärung: Cashflows: t=1..4 je 25.000, t=5 = 25.000 + 10.000 = 35.000. BWF(5; 6 %) ≈ 4,2124 für 25.000-Annuität → 25.000 · 4,2124 ≈ 105.310. Restwert-Barwert: 10.000/1,06^5 ≈ 7.473. Summe ≈ 112.783. NPV = 112.783 − 80.000 ≈ +32.783 € (positiv → annehmen).
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 25 % (Toleranz ±0.5)
Erklärung: Kapitalwertindex (Profitability Index): A = 5.000/20.000 = 0,25 = 25,0 %. B = 7.000/50.000 = 0,14 = 14,0 %. Bei Kapitalknappheit ist A relativ besser, obwohl absolut B höher liegt. Klausur-Klassiker: 'welche Methode bei begrenzten Kapital?' → Index, nicht NPV absolut.
Typ: Zahlen-Eingabe
Sieben Fragen zu Theorie + Anwendung. Mix aus MC, Numeric, True/False.
Klausurfragen mit Lösungen (7)
Antwort: Net Present Value — Kapitalwert (Summe aller diskontierten Cashflows minus Anfangsinvestition)
Erklärung: NPV = Net Present Value = Kapitalwert. Es ist die Summe aller auf t=0 abgezinsten Cashflows abzüglich der Anfangsinvestition I₀.
Antwort: Investition annehmen, wenn NPV ≥ 0
Erklärung: NPV ≥ 0 → Investition vorteilhaft. Bei NPV = 0 rentiert sich das Projekt genau zum Diskontsatz (= IRR), das ist der Grenzfall. NPV < 0 → ablehnen, weil Alternativ-Anlage zum Satz r besser wäre.
Antwort: Wahr
Erklärung: Korrekt. I₀ fällt in t=0 an — also heute. Diskontfaktor ist 1/(1+r)^0 = 1. Erst ab t=1 setzt die Diskontierung ein.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: NPV sinkt
Erklärung: Bei steigendem r schrumpfen die Diskontfaktoren 1/(1+r)^t — also werden die Barwerte kleiner. Da I₀ nicht diskontiert wird (in t=0), sinkt der NPV. Bei genug hohem r kippt er ins Negative — das ist der IRR.
Antwort: 8227 € (Toleranz ±5)
Erklärung: Barwert = 10.000 / (1,05)^4 = 10.000 / 1,2155 ≈ 8.227 €. Klausur-Trick: 1,05^4 ≈ 1,2155 (auf zwei Nachkommastellen) — solche Werte sollte man im Kopf grob abschätzen können.
Typ: Zahlen-Eingabe
Richtige Antworten: NPV berücksichtigt den Zeitwert des Geldes durch Diskontierung; NPV ist eine absolute Größe in Euro; Bei NPV = 0 ist der Diskontierungssatz gleich dem internen Zinsfuß (IRR)
Erklärung: 0/1/2 stimmen: NPV diskontiert, ist absolut in €, und bei NPV=0 gilt r=IRR. Falsch: 3 (r ≠ Inflation; r = Kapitalkosten oder Mindestrendite, oft WACC). Falsch: 4 (NPV berücksichtigt explizit den Zeitpunkt durch den Faktor t in 1/(1+r)^t).
Typ: Multi-Select
Antwort: 7.5 % (Toleranz ±0.3)
Erklärung: NPV = 0 ⇒ 80.000 / (1+r)^4 = 60.000 ⇒ (1+r)^4 = 80.000/60.000 = 1,3333 ⇒ 1+r = 1,3333^(1/4) ≈ 1,0746 ⇒ r ≈ 7,46 % ≈ 7,5 %. Bei 7,5 % rentiert sich die Investition gerade exakt — das ist der IRR.
Typ: Zahlen-Eingabe