Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv verstehen · Praxis-Übung · Klausur-Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur, und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).
Teil 1·Erklärung
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Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv verstehen · Praxis-Übung · Klausur-Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur, und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).
Der Kapitalwert vergleicht die heutige Investition mit den abgezinsten zukünftigen Cashflows. Ist die Summe positiv, lohnt sich das Projekt, der Investor wird reicher als bei einer Alternativ-Anlage zum Diskontierungssatz . Klausur-Klassiker in BWL, WI und WiIng, typische Aufgabe: "Berechne den Kapitalwert einer Maschine mit Anschaffungspreis 100.000 € und 5 Jahren Cashflow."
Was du in der Klausur können musst:
In der Klausur erwartet: Cashflow-Tabelle aufstellen, jede Periode mit multiplizieren, Summe ziehen, abziehen, Entscheidung treffen.
Beobachte: der Diskontierungseffekt wird über die Zeit immer stärker. In schrumpft ein nominaler Cashflow von 25.000 € bei auf nur noch ~17.000 € Barwert. Bei sogar auf ~12.430 €.
Das ist der Grund, warum Cashflows in späten Perioden weniger wertvoll sind, und warum lange Investitionen mit hohem Diskontsatz unattraktiv werden.
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Der Kapitalwert vergleicht die heutige Investition mit den abgezinsten zukünftigen Cashflows. Ist die Summe positiv, lohnt sich das Projekt, der Investor wird reicher als bei einer Alternativ-Anlage zum Diskontierungssatz r. Klausur-Klassiker in BWL, WI und WiIng, typische Aufgabe: "Berechne den Kapitalwert einer Maschine mit Anschaffungspreis 100.000 € und 5 Jahren Cashflow."
Was du in der Klausur können musst:
NPV = -I₀ + Σ_(t=1)ⁿ CF_t/((1+r)^t)1/(1+r)^t aufstellen und Barwerte berechnenNPV ≥ 0 → annehmen, NPV < 0 → ablehnenr, CF_t oder Laufzeit?NPV(r^*) = 0 ⇒ r^* = interner ZinsfußIn der Klausur erwartet: Cashflow-Tabelle aufstellen, jede Periode mit 1/(1+r)^t multiplizieren, Summe ziehen, I₀ abziehen, Entscheidung treffen.
Geld heute ist mehr wert als Geld morgen, wegen Inflation, Risiko und Opportunitätskosten (du könntest es zinsbringend anlegen). Deshalb darfst du nominal gleiche Beträge aus verschiedenen Perioden nicht einfach addieren.
Die Lösung: alle Cashflows auf den heutigen Zeitpunkt abzinsen und dann summieren. Der Diskontierungssatz r ist dabei deine Kapitalkosten oder die Rendite einer risikogleichen Alternativ-Investition.
NPV = -I₀ + Σ_(t=1)ⁿ CF_t/((1+r)^t)
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
I₀ | Anfangsinvestition in t=0 (negative Zahl, da Auszahlung) |
CF_t | Cashflow in Periode t (typisch: Zahlungseingang minus laufende Auszahlungen) |
r | Diskontierungssatz (Kapitalkosten, oft zwischen 5 % und 12 %) |
n | Laufzeit in Perioden (meist Jahre) |
1/(1+r)^t | Diskontfaktor für Periode t |
Eine Firma überlegt, eine neue Maschine zu kaufen:
t=0t=1, 30.000 € in t=2, 35.000 € in t=3, 30.000 € in t=4, 25.000 € in t=5Schritt 1, Diskontfaktoren berechnen:
1 / 1,08^1 = 0,9259
1 / 1,08^2 = 0,8573
1 / 1,08^3 = 0,7938
1 / 1,08^4 = 0,7350
1 / 1,08^5 = 0,6806
Schritt 2, Barwerte je Periode:
t=1: 25.000 · 0,9259 = 23.148 €
t=2: 30.000 · 0,8573 = 25.720 €
t=3: 35.000 · 0,7938 = 27.784 €
t=4: 30.000 · 0,7350 = 22.051 €
t=5: 25.000 · 0,6806 = 17.015 €
Summe Barwerte = 115.717 €
Schritt 3, NPV:
NPV = -100.000 + 115.717 = +15.717 €
Entscheidung: NPV > 0 → Investition annehmen. Sie schafft 15.717 € Mehrwert über die geforderten 8 % Rendite hinaus.
| NPV | Bedeutung | Entscheidung |
|---|---|---|
> 0 | Projekt schafft Mehrwert über die Kapitalkosten hinaus | annehmen |
= 0 | Projekt erreicht exakt die Mindestrendite, kein Mehrwert | indifferent |
< 0 | Projekt rentiert sich unter r, Alternative besser | ablehnen |
Pflichtsatz für die Klausur: "Die Investition ist vorteilhaft, wenn der Kapitalwert positiv ist; bei NPV = 0 indifferent."
Faustregeln für Klausur-Sensitivitätsfragen:
r wird NPV negativ.t=0).Bei welchem r wird NPV = 0? Genau bei r = IRR (interner Zinsfuß), die "Renditeschwelle" der Investition. Mehr dazu im nächsten Topic.
| Methode | Berücksichtigt Zeitwert? | Klausur-Fokus |
|---|---|---|
| Statische Investitionsrechnung (Kostenvergleich) | nein | einfache Klausuren |
| Amortisationsrechnung | nein | "wann zurückgezahlt?" |
| Kapitalwert (NPV) | ja | Standard im Bachelor |
| Interner Zinsfuß (IRR) | ja | Folgetopic |
| Annuitätenmethode | ja | Vergleich gleichwertiger Renten |
NPV ist der Goldstandard, weil er den Zeitwert berücksichtigt UND die absolute Vorteilhaftigkeit in Euro zeigt.
I₀ in t=0 NICHT diskontiert; erste CF in t=1 mit 1/(1+r)¹.r = 0,08, nicht 8.n Jahren noch verkauft werden kann, gehört der Restwert in den letzten Cashflow.Setz die Grundinvestition, gib pro Periode den Cashflow ein und schieb den Diskontierungssatz. Der Visualizer zeigt:
Tipp: schieb den Zinssatz hoch und beobachte wie die diskontierten Balken (orange) gegenüber den nominalen (grau) schrumpfen. Bei genug hohem r kippt der NPV ins Negative, das ist genau der IRR.
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Beobachte: der Diskontierungseffekt wird über die Zeit immer stärker. In t=5 schrumpft ein nominaler Cashflow von 25.000 € bei r=8\% auf nur noch ~17.000 € Barwert. Bei r=15\% sogar auf ~12.430 €.
Das ist der Grund, warum Cashflows in späten Perioden weniger wertvoll sind, und warum lange Investitionen mit hohem Diskontsatz unattraktiv werden.
Sechs typische Klausur-Konstellationen. Diskontfaktor pro Periode aufstellen, Summe der Barwerte ziehen, I₀ abziehen, Entscheidung.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: -2102 € (Toleranz ±50)
Erklärung: Rentenbarwert-Formel: BWF(5; 8 %) = (1,08^5 − 1) / (0,08 · 1,08^5) ≈ 3,9927. Σ Barwerte = 12.000 · 3,9927 ≈ 47.912. NPV = 47.912 − 50.000 ≈ −2.088 €. Antwort: NPV negativ → Investition ablehnen.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 0.7513 (Toleranz ±0.001)
Erklärung: DF(3; 10 %) = 1 / (1,10)³ = 1 / 1,331 = 0,7513. Faustregel für Klausur: bei 10 % Zins ist der Wert in 3 Jahren etwa 75 % heutigen Werts.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: -2104 € (Toleranz ±30)
Erklärung: Barwerte: 30.000/1,1 = 27.273; 40.000/1,21 = 33.058; 50.000/1,331 = 37.566. Summe ≈ 97.897. NPV = 97.897 − 100.000 = −2.103 €. Bei 10 % Diskont reichen die Cashflows nicht.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Wahr
Erklärung: Richtig. Höheres r → Diskontfaktoren schrumpfen → Barwerte sinken → NPV sinkt. Klassische Sensitivität: ab einem bestimmten r wird der NPV negativ, dieses r ist genau der IRR.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: 32773 € (Toleranz ±200)
Erklärung: Cashflows: t=1..4 je 25.000, t=5 = 25.000 + 10.000 = 35.000. BWF(5; 6 %) ≈ 4,2124 für 25.000-Annuität → 25.000 · 4,2124 ≈ 105.310. Restwert-Barwert: 10.000/1,06^5 ≈ 7.473. Summe ≈ 112.783. NPV = 112.783 − 80.000 ≈ +32.783 € (positiv → annehmen).
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 25 % (Toleranz ±0.5)
Erklärung: Kapitalwertindex (Profitability Index): A = 5.000/20.000 = 0,25 = 25,0 %. B = 7.000/50.000 = 0,14 = 14,0 %. Bei Kapitalknappheit ist A relativ besser, obwohl absolut B höher liegt. Klausur-Klassiker: 'welche Methode bei begrenzten Kapital?' → Index, nicht NPV absolut.
Typ: Zahlen-Eingabe
Sieben Fragen zu Theorie + Anwendung. Mix aus MC, Numeric, True/False.
Klausurfragen mit Lösungen (7)
Antwort: Net Present Value, Kapitalwert (Summe aller diskontierten Cashflows minus Anfangsinvestition)
Erklärung: NPV = Net Present Value = Kapitalwert. Es ist die Summe aller auf t=0 abgezinsten Cashflows abzüglich der Anfangsinvestition I₀.
Antwort: Investition annehmen, wenn NPV ≥ 0
Erklärung: NPV ≥ 0 → Investition vorteilhaft. Bei NPV = 0 rentiert sich das Projekt genau zum Diskontsatz (= IRR), das ist der Grenzfall. NPV < 0 → ablehnen, weil Alternativ-Anlage zum Satz r besser wäre.
Antwort: Wahr
Erklärung: Korrekt. I₀ fällt in t=0 an, also heute. Diskontfaktor ist 1/(1+r)^0 = 1. Erst ab t=1 setzt die Diskontierung ein.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: NPV sinkt
Erklärung: Bei steigendem r schrumpfen die Diskontfaktoren 1/(1+r)^t, also werden die Barwerte kleiner. Da I₀ nicht diskontiert wird (in t=0), sinkt der NPV. Bei genug hohem r kippt er ins Negative, das ist der IRR.
Antwort: 8227 € (Toleranz ±5)
Erklärung: Barwert = 10.000 / (1,05)^4 = 10.000 / 1,2155 ≈ 8.227 €. Klausur-Trick: 1,05^4 ≈ 1,2155 (auf zwei Nachkommastellen), solche Werte sollte man im Kopf grob abschätzen können.
Typ: Zahlen-Eingabe
Richtige Antworten: NPV berücksichtigt den Zeitwert des Geldes durch Diskontierung; NPV ist eine absolute Größe in Euro; Bei NPV = 0 ist der Diskontierungssatz gleich dem internen Zinsfuß (IRR)
Erklärung: 0/1/2 stimmen: NPV diskontiert, ist absolut in €, und bei NPV=0 gilt r=IRR. Falsch: 3 (r ≠ Inflation; r = Kapitalkosten oder Mindestrendite, oft WACC). Falsch: 4 (NPV berücksichtigt explizit den Zeitpunkt durch den Faktor t in 1/(1+r)^t).
Typ: Multi-Select
Antwort: 7.5 % (Toleranz ±0.3)
Erklärung: NPV = 0 ⇒ 80.000 / (1+r)^4 = 60.000 ⇒ (1+r)^4 = 80.000/60.000 = 1,3333 ⇒ 1+r = 1,3333^(1/4) ≈ 1,0746 ⇒ r ≈ 7,46 % ≈ 7,5 %. Bei 7,5 % rentiert sich die Investition gerade exakt, das ist der IRR.
Typ: Zahlen-Eingabe