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  • Einführung
  • Die Idee
  • Die NPV-Profil-Verbindung
  • Berechnung
  • Beispiel, Lineare Interpolation
  • Entscheidungsregel
  • Schwächen, wo IRR versagt
  • Modified IRR (MIRR), Bonus
ThemenRechnungswesenInterner Zinsfuss (IRR)
Rechnungswesen·4Lerneinheiten·20min·Stand03.08.2026

Interner Zinsfuss (IRR).

IRR ist die Rendite der Investition selbst. Mathematisch: der Diskontsatz, bei dem NPV=0NPV = 0NPV=0 gilt. Wenn IRR > Hurdle Rate (Mindestrendite) → Investition vorteilhaft. Klausur-Klassiker im Pflicht-Modul Investition & Finanzierung.

Was du in der Klausur können musst:

  • IRR-Definition: NPV(r∗)=0NPV(r^*) = 0NPV(r∗)=0
  • Bestimmung iterativ (Excel SOLVER, Bisektion, lineare Interpolation)
  • Entscheidungsregel: IRR > Hurdle → annehmen, IRR = Hurdle → indifferent, IRR < Hurdle → ablehnen
  • Zusammenhang IRR ↔ NPV-Profil
  • Schwächen (multiple IRRs, ungewöhnliche Cashflow-Muster, Skalenproblem)

NPV gibt dir den Mehrwert in Euro. IRR gibt dir die Rendite als Zahl. Bei einer einzelnen konventionellen Investition (genau ein Vorzeichenwechsel: -I₀ am Anfang, dann positive Cashflows) liefern NPV und IRR meist dieselbe Annahme-/Ablehn-Entscheidung. Bei Projektvergleichen, unterschiedlichem Investitionsvolumen oder mehrfachen Vorzeichenwechseln kann IRR täuschen, dann NPV vorziehen.

IRR > Hurdle: das Projekt erwirtschaftet mehr als die geforderte Mindestrendite, annehmen. IRR < Hurdle: alternativ-Anlage zum Hurdle-Satz wäre besser, ablehnen.

Plotte NPV als Funktion von rrr. Bei r=0r = 0r=0 ist NPV einfach Σ Cashflows − I0I_0I0​ (typisch hoch positiv). Mit steigendem rrr sinkt NPV. Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist der IRR.

NPV(r)
   │
   │\
   │ \
   │  \
   │   \
   ├────●────  r-Achse
   │     ↑
   │    IRR

Es gibt keine geschlossene Formel für n>1n > 1n>1. Methoden:

  1. Excel: =IKV(cashflow_range) oder =IRR(...)
  2. Bisektion: zwei rrr-Werte mit unterschiedlichem NPV-Vorzeichen, Mitte testen, halbieren.
  3. Lineare Interpolation (Klausur): zwei Versuchs-Werte r1r_1r1​, r2r_2r2​ mit positivem und negativem NPV.

r∗≈r1+NPV1NPV1−NPV2⋅(r2−r1)r^* \approx r_1 + \dfrac{NPV_1}{NPV_1 - NPV_2} \cdot (r_2 - r_1)r∗≈r1​+NPV1​−NPV2​NPV1​​⋅(r2​−r1​)

I0=100.000I_0 = 100.000I0​=100.000 €, CF: 30k, 35k, 35k, 30k.

Bei r=8%r = 8\%r=8%: NPV ≈ +6.500 (positiv). Bei r=14%r = 14\%r=14%: NPV ≈ −4.000 (negativ).

IRR≈8+6.5006.500−(−4.000)⋅(14−8)≈8+0,619⋅6≈11,7%IRR \approx 8 + \dfrac{6.500}{6.500 - (-4.000)} \cdot (14 - 8) \approx 8 + 0,619 \cdot 6 \approx 11,7\%IRR≈8+6.500−(−4.000)6.500​⋅(14−8)≈8+0,619⋅6≈11,7%

Dieser Wert ist eine Annäherung, weil NPV nicht-linear ist. Excel würde 11,5 % berechnen, Klausur akzeptiert ±0,5 %.

VergleichEntscheidung
IRR > Hurdleannehmen
IRR = Hurdleindifferent (NPV = 0)
IRR < Hurdleablehnen

Wichtig: Hurdle = WACC oder geforderte Mindestrendite. NICHT der risikolose Zins.

  1. Multiple IRRs: bei "ungewöhnlichen" Cashflow-Mustern (z.B. erst positiv, dann negativ, dann positiv) gibt es mehrere Lösungen für NPV=0NPV = 0NPV=0. NPV ist hier eindeutig, IRR nicht.

  2. Skalenproblem: Projekt A hat IRR = 50 % bei I₀ = 1.000 €. Projekt B hat IRR = 20 % bei I₀ = 1 Mio €. Welches besser? Absolut betrachtet B (NPV viel höher). IRR-Vergleich täuscht.

  3. Wiederanlage-Annahme: IRR unterstellt, dass alle Cashflows zum IRR-Satz wieder angelegt werden, unrealistisch hoch.

Klausur-Trick: wenn die Frage "welches Projekt?" bei unterschiedlichem I₀ stellt → NPV nehmen, nicht IRR.

Behebt die Wiederanlage-Annahme: Cashflows werden zum WACC angelegt, nicht zum IRR. Praxisnaher. Klausur fragt selten, aber im Master-Investitionsmodul relevant.

Stell I₀, 4 Cashflows und die Hurdle Rate ein. Der NPV-Profil-Plot zeigt NPV als Funktion von r. Der IRR-Punkt ist der schwarze Marker (Schnittpunkt mit y=0). Hurdle ist als gestrichelte Linie eingezeichnet.

Wenn IRR rechts von Hurdle liegt → annehmen (IRR > Hurdle, NPV bei Hurdle ist positiv).

Lade Visualisierung...

Tipp: Lade "Hohe IRR (20 %)", du siehst, der NPV-Profil schneidet die Null erst weit rechts. Bei "Niedrige IRR (5 %)" liegt der Schnittpunkt knapp über Null.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

IRR ist die Rendite der Investition selbst. Mathematisch: der Diskontsatz, bei dem NPV = 0 gilt. Wenn IRR > Hurdle Rate (Mindestrendite) → Investition vorteilhaft. Klausur-Klassiker im Pflicht-Modul Investition & Finanzierung.

Was du in der Klausur können musst:

  • IRR-Definition: NPV(r^*) = 0
  • Bestimmung iterativ (Excel SOLVER, Bisektion, lineare Interpolation)
  • Entscheidungsregel: IRR > Hurdle → annehmen, IRR = Hurdle → indifferent, IRR < Hurdle → ablehnen
  • Zusammenhang IRR ↔ NPV-Profil
  • Schwächen (multiple IRRs, ungewöhnliche Cashflow-Muster, Skalenproblem)

Die Idee

NPV gibt dir den Mehrwert in Euro. IRR gibt dir die Rendite als Zahl. Bei einer einzelnen konventionellen Investition (genau ein Vorzeichenwechsel: -I₀ am Anfang, dann positive Cashflows) liefern NPV und IRR meist dieselbe Annahme-/Ablehn-Entscheidung. Bei Projektvergleichen, unterschiedlichem Investitionsvolumen oder mehrfachen Vorzeichenwechseln kann IRR täuschen, dann NPV vorziehen.

IRR > Hurdle: das Projekt erwirtschaftet mehr als die geforderte Mindestrendite, annehmen. IRR < Hurdle: alternativ-Anlage zum Hurdle-Satz wäre besser, ablehnen.

Die NPV-Profil-Verbindung

Plotte NPV als Funktion von r. Bei r = 0 ist NPV einfach Σ Cashflows − I₀ (typisch hoch positiv). Mit steigendem r sinkt NPV. Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist der IRR.

NPV(r)
   │
   │\
   │ \
   │  \
   │   \
   ├────●────  r-Achse
   │     ↑
   │    IRR

Berechnung

Es gibt keine geschlossene Formel für n > 1. Methoden:

  1. Excel: =IKV(cashflow_range) oder =IRR(...)
  2. Bisektion: zwei r-Werte mit unterschiedlichem NPV-Vorzeichen, Mitte testen, halbieren.
  3. Lineare Interpolation (Klausur): zwei Versuchs-Werte r₁, r₂ mit positivem und negativem NPV.

r^* ≈ r₁ + NPV₁/(NPV₁ - NPV₂) · (r₂ - r₁)

Beispiel, Lineare Interpolation

I₀ = 100.000 €, CF: 30k, 35k, 35k, 30k.

Bei r = 8\%: NPV ≈ +6.500 (positiv). Bei r = 14\%: NPV ≈ −4.000 (negativ).

IRR ≈ 8 + (6.500)/(6.500 - (-4.000)) · (14 - 8) ≈ 8 + 0,619 · 6 ≈ 11,7\%

Dieser Wert ist eine Annäherung, weil NPV nicht-linear ist. Excel würde 11,5 % berechnen, Klausur akzeptiert ±0,5 %.

Entscheidungsregel

VergleichEntscheidung
IRR > Hurdleannehmen
IRR = Hurdleindifferent (NPV = 0)
IRR < Hurdleablehnen

Wichtig: Hurdle = WACC oder geforderte Mindestrendite. NICHT der risikolose Zins.

Schwächen, wo IRR versagt

  1. Multiple IRRs: bei "ungewöhnlichen" Cashflow-Mustern (z.B. erst positiv, dann negativ, dann positiv) gibt es mehrere Lösungen für NPV = 0. NPV ist hier eindeutig, IRR nicht.

  2. Skalenproblem: Projekt A hat IRR = 50 % bei I₀ = 1.000 €. Projekt B hat IRR = 20 % bei I₀ = 1 Mio €. Welches besser? Absolut betrachtet B (NPV viel höher). IRR-Vergleich täuscht.

  3. Wiederanlage-Annahme: IRR unterstellt, dass alle Cashflows zum IRR-Satz wieder angelegt werden, unrealistisch hoch.

Klausur-Trick: wenn die Frage "welches Projekt?" bei unterschiedlichem I₀ stellt → NPV nehmen, nicht IRR.

Modified IRR (MIRR), Bonus

Behebt die Wiederanlage-Annahme: Cashflows werden zum WACC angelegt, nicht zum IRR. Praxisnaher. Klausur fragt selten, aber im Master-Investitionsmodul relevant.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

Live durchspielen

Stell I₀, 4 Cashflows und die Hurdle Rate ein. Der NPV-Profil-Plot zeigt NPV als Funktion von r. Der IRR-Punkt ist der schwarze Marker (Schnittpunkt mit y=0). Hurdle ist als gestrichelte Linie eingezeichnet.

Wenn IRR rechts von Hurdle liegt → annehmen (IRR > Hurdle, NPV bei Hurdle ist positiv).

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Tipp: Lade "Hohe IRR (20 %)", du siehst, der NPV-Profil schneidet die Null erst weit rechts. Bei "Niedrige IRR (5 %)" liegt der Schnittpunkt knapp über Null.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Praxis-Übung, IRR rechnen

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.I₀ = 100, CF in t=1: 110. Berechne den IRR (in %).

Antwort: 10 % (Toleranz ±0.5)

Erklärung: Einperiodisch: NPV = 0 ⇒ −100 + 110/(1+r) = 0 ⇒ 1+r = 1,10 ⇒ r = 10 %. Trivialer Fall.

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.I₀ = 100, einziger CF in t=2: 121. IRR?

Antwort: 10 % (Toleranz ±0.5)

Erklärung: (1+r)² = 121/100 = 1,21 ⇒ 1+r = √1,21 = 1,10 ⇒ r = 10 %. Wenn die Wurzel ganz ist, schnell im Kopf rechenbar.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Bei NPV(8 %) = +5.000 und NPV(12 %) = −3.000, schätze den IRR durch lineare Interpolation (in %).

Antwort: 10.5 % (Toleranz ±0.3)

Erklärung: IRR ≈ 8 + 5.000/(5.000 − (−3.000)) · (12 − 8) = 8 + 5.000/8.000 · 4 = 8 + 2,5 = 10,5 %. Standard-Klausur-Methode bei IRR-Aufgaben.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Wenn der IRR größer als der Diskontierungssatz r ist, dann ist der NPV bei diesem r positiv.

Antwort: Wahr

Erklärung: Korrekt. NPV-Profil ist (typischerweise) monoton fallend in r. IRR ist der r-Wert wo NPV=0. Bei r < IRR ist NPV > 0, bei r > IRR ist NPV < 0. Beide Methoden geben dieselbe Empfehlung.

Typ: Wahr/Falsch

F5.Eine Investition hat IRR = 14 %. Die Hurdle Rate beträgt 10 %. Wie ist die Empfehlung?

Antwort: Annehmen, IRR > Hurdle

Erklärung: IRR > Hurdle → annehmen. Bei IRR = 14 % erwirtschaftet die Investition mehr Rendite als die Mindestanforderung 10 %. Bei genau 10 % wäre NPV = 0.

F6.Bei zwei Projekten mit unterschiedlichem I₀ ist das Projekt mit höherem IRR immer absolut profitabler.

Antwort: Falsch

Erklärung: Falsch. IRR ist eine relative Größe (% Rendite). Projekt A: I₀ = 1.000, IRR = 50 % → absolut mehrwert klein. Projekt B: I₀ = 1.000.000, IRR = 15 % → absolut viel höherer NPV. Bei unterschiedlichem Maßstab → NPV vergleichen.

Typ: Wahr/Falsch

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (7)

F1.Was ist der interne Zinsfuß (IRR)?

Antwort: Der Diskontsatz, bei dem NPV = 0 ist

Erklärung: IRR ist mathematisch genau der r-Wert, bei dem die Investition NPV = 0 erreicht, sie rentiert sich also gerade genau zu diesem Zinssatz. Antwort 3 ist die Hurdle Rate, nicht IRR.

F2.Bei IRR = Hurdle Rate ist NPV genau Null.

Antwort: Wahr

Erklärung: Korrekt. NPV = 0 bei r = IRR. Wenn die Hurdle = IRR ist, liegt man genau auf dem Schnittpunkt, Investition ist indifferent.

Typ: Wahr/Falsch

F3.Welche Methode liefert die Lösung exakt analytisch?

Antwort: Es gibt keine geschlossene Formel für n > 1

Erklärung: Korrekt. Für ein Polynom n-ten Grades (mit n+1 Cashflows) gibt es i.d.R. keine Closed-Form. Excel/Bisektion lösen iterativ. Lineare Interpolation gibt eine Annäherung.

F4.Welche Aussagen über das Verhältnis NPV ↔ IRR sind richtig?

Richtige Antworten: Bei NPV > 0 ist IRR > Diskontsatz; Bei NPV < 0 ist IRR < Diskontsatz; Bei einer einzelnen konventionellen Investition liefern beide dieselbe Annahme/Ablehn-Entscheidung

Erklärung: 0/1/2 stimmen. Wichtig bei 2: 'einzelne konventionelle Investition' (genau ein Vorzeichenwechsel). Bei Projektvergleich, unterschiedlichem Volumen oder mehrfachen Vorzeichenwechseln kann IRR täuschen, dann NPV nehmen. Punkt 3 ist falsch: bei ungewöhnlichen Cashflow-Mustern gibt es multiple IRRs, z.B. bei Bergbau-Projekten mit Renaturierungs-Kosten am Ende.

Typ: Multi-Select

F5.I₀ = 100, CFs in t=1..2: 60, 60. Berechne den IRR (in %).

Antwort: 13.07 % (Toleranz ±0.5)

Erklärung: NPV = 0: −100 + 60/(1+r) + 60/(1+r)² = 0. Mit x = 1+r: 100x² = 60x + 60, also x² − 0,6x − 0,6 = 0. p-q-Formel: x = 0,3 + √(0,09 + 0,6) ≈ 0,3 + 0,8307 = 1,1307. Damit r ≈ 13,07 %. Lineare Interpolation gibt einen ähnlichen Wert (~13,2 %).

Typ: Zahlen-Eingabe

F6.Welche Schwäche der IRR-Methode ist NICHT echt?

Antwort: Sie ignoriert den Zeitwert des Geldes

Erklärung: Punkt 3 ist falsch, IRR berücksichtigt explizit Zeitwert (über Diskontierung in der NPV=0-Gleichung). Die anderen drei Schwächen sind real.

F7.I₀ = 50.000 €, CF in t=1..3: 20.000 jährlich. Schätze IRR durch lineare Interpolation. NPV(8 %) = +1.541, NPV(12 %) = −1.961. IRR (in %)?

Antwort: 9.76 % (Toleranz ±0.3)

Erklärung: IRR ≈ 8 + 1.541/(1.541 − (−1.961)) · (12 − 8) = 8 + 1.541/3.502 · 4 = 8 + 0,440 · 4 = 8 + 1,76 = 9,76 %. Excel würde ähnlich rechnen, exakt wäre etwas drunter (9,7 % je nach Iteration).

Typ: Zahlen-Eingabe

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