Renditeschwelle: r-Wert bei dem NPV = 0. NPV-Profil-Plot, lineare Interpolation, Vergleich zu Hurdle Rate. Verbindung NPV ↔ IRR. Klausur-Pflicht.
IRR ist die Rendite der Investition selbst. Mathematisch: der Diskontsatz, bei dem gilt. Wenn IRR > Hurdle Rate (Mindestrendite) → Investition vorteilhaft. Klausur-Klassiker im Pflicht-Modul Investition & Finanzierung.
Was du in der Klausur können musst:
NPV gibt dir den Mehrwert in Euro. IRR gibt dir die Rendite als Zahl. Bei einer einzelnen konventionellen Investition (genau ein Vorzeichenwechsel: -I₀ am Anfang, dann positive Cashflows) liefern NPV und IRR meist dieselbe Annahme-/Ablehn-Entscheidung. Bei Projektvergleichen, unterschiedlichem Investitionsvolumen oder mehrfachen Vorzeichenwechseln kann IRR täuschen — dann NPV vorziehen.
IRR > Hurdle: das Projekt erwirtschaftet mehr als die geforderte Mindestrendite — annehmen. IRR < Hurdle: alternativ-Anlage zum Hurdle-Satz wäre besser — ablehnen.
Plotte NPV als Funktion von . Bei ist NPV einfach Σ Cashflows − (typisch hoch positiv). Mit steigendem sinkt NPV. Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist der IRR.
NPV(r)
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├────●──── r-Achse
│ ↑
│ IRR
Es gibt keine geschlossene Formel für . Methoden:
=IKV(cashflow_range) oder =IRR(...)€, CF: 30k, 35k, 35k, 30k.
Bei : NPV ≈ +6.500 (positiv). Bei : NPV ≈ −4.000 (negativ).
Dieser Wert ist eine Annäherung, weil NPV nicht-linear ist. Excel würde 11,5 % berechnen — Klausur akzeptiert ±0,5 %.
| Vergleich | Entscheidung |
|---|---|
| IRR > Hurdle | annehmen |
| IRR = Hurdle | indifferent (NPV = 0) |
| IRR < Hurdle | ablehnen |
Wichtig: Hurdle = WACC oder geforderte Mindestrendite. NICHT der risikolose Zins.
Multiple IRRs: bei "ungewöhnlichen" Cashflow-Mustern (z.B. erst positiv, dann negativ, dann positiv) gibt es mehrere Lösungen für . NPV ist hier eindeutig, IRR nicht.
Skalenproblem: Projekt A hat IRR = 50 % bei I₀ = 1.000 €. Projekt B hat IRR = 20 % bei I₀ = 1 Mio €. Welches besser? Absolut betrachtet B (NPV viel höher). IRR-Vergleich täuscht.
Wiederanlage-Annahme: IRR unterstellt, dass alle Cashflows zum IRR-Satz wieder angelegt werden — unrealistisch hoch.
Klausur-Trick: wenn die Frage "welches Projekt?" bei unterschiedlichem I₀ stellt → NPV nehmen, nicht IRR.
Behebt die Wiederanlage-Annahme: Cashflows werden zum WACC angelegt, nicht zum IRR. Praxisnaher. Klausur fragt selten, aber im Master-Investitionsmodul relevant.
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Mathematisch: der Diskontsatz, bei dem gilt. Wenn IRR > Hurdle Rate (Mindestrendite) → Investition vorteilhaft. Klausur-Klassiker im Pflicht-Modul Investition & Finanzierung.
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NPV = 0Was du in der Klausur können musst:
NPV(r^*) = 0NPV gibt dir den Mehrwert in Euro. IRR gibt dir die Rendite als Zahl. Bei einer einzelnen konventionellen Investition (genau ein Vorzeichenwechsel: -I₀ am Anfang, dann positive Cashflows) liefern NPV und IRR meist dieselbe Annahme-/Ablehn-Entscheidung. Bei Projektvergleichen, unterschiedlichem Investitionsvolumen oder mehrfachen Vorzeichenwechseln kann IRR täuschen — dann NPV vorziehen.
IRR > Hurdle: das Projekt erwirtschaftet mehr als die geforderte Mindestrendite — annehmen. IRR < Hurdle: alternativ-Anlage zum Hurdle-Satz wäre besser — ablehnen.
Plotte NPV als Funktion von r. Bei r = 0 ist NPV einfach Σ Cashflows − I₀ (typisch hoch positiv). Mit steigendem r sinkt NPV. Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist der IRR.
NPV(r)
│
│\
│ \
│ \
│ \
├────●──── r-Achse
│ ↑
│ IRR
Es gibt keine geschlossene Formel für n > 1. Methoden:
=IKV(cashflow_range) oder =IRR(...)r-Werte mit unterschiedlichem NPV-Vorzeichen, Mitte testen, halbieren.r₁, r₂ mit positivem und negativem NPV.r^* ≈ r₁ + NPV₁/(NPV₁ - NPV₂) · (r₂ - r₁)
I₀ = 100.000 €, CF: 30k, 35k, 35k, 30k.
Bei r = 8\%: NPV ≈ +6.500 (positiv).
Bei r = 14\%: NPV ≈ −4.000 (negativ).
IRR ≈ 8 + (6.500)/(6.500 - (-4.000)) · (14 - 8) ≈ 8 + 0,619 · 6 ≈ 11,7\%
Dieser Wert ist eine Annäherung, weil NPV nicht-linear ist. Excel würde 11,5 % berechnen — Klausur akzeptiert ±0,5 %.
| Vergleich | Entscheidung |
|---|---|
| IRR > Hurdle | annehmen |
| IRR = Hurdle | indifferent (NPV = 0) |
| IRR < Hurdle | ablehnen |
Wichtig: Hurdle = WACC oder geforderte Mindestrendite. NICHT der risikolose Zins.
Multiple IRRs: bei "ungewöhnlichen" Cashflow-Mustern (z.B. erst positiv, dann negativ, dann positiv) gibt es mehrere Lösungen für NPV = 0. NPV ist hier eindeutig, IRR nicht.
Skalenproblem: Projekt A hat IRR = 50 % bei I₀ = 1.000 €. Projekt B hat IRR = 20 % bei I₀ = 1 Mio €. Welches besser? Absolut betrachtet B (NPV viel höher). IRR-Vergleich täuscht.
Wiederanlage-Annahme: IRR unterstellt, dass alle Cashflows zum IRR-Satz wieder angelegt werden — unrealistisch hoch.
Klausur-Trick: wenn die Frage "welches Projekt?" bei unterschiedlichem I₀ stellt → NPV nehmen, nicht IRR.
Behebt die Wiederanlage-Annahme: Cashflows werden zum WACC angelegt, nicht zum IRR. Praxisnaher. Klausur fragt selten, aber im Master-Investitionsmodul relevant.
Stell I₀, 4 Cashflows und die Hurdle Rate ein. Der NPV-Profil-Plot zeigt NPV als Funktion von r. Der IRR-Punkt ist der schwarze Marker (Schnittpunkt mit y=0). Hurdle ist als gestrichelte Linie eingezeichnet.
Wenn IRR rechts von Hurdle liegt → annehmen (IRR > Hurdle, NPV bei Hurdle ist positiv).
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Tipp: Lade "Hohe IRR (20 %)" — du siehst, der NPV-Profil schneidet die Null erst weit rechts. Bei "Niedrige IRR (5 %)" liegt der Schnittpunkt knapp über Null.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: 10 % (Toleranz ±0.5)
Erklärung: Einperiodisch: NPV = 0 ⇒ −100 + 110/(1+r) = 0 ⇒ 1+r = 1,10 ⇒ r = 10 %. Trivialer Fall.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 10 % (Toleranz ±0.5)
Erklärung: (1+r)² = 121/100 = 1,21 ⇒ 1+r = √1,21 = 1,10 ⇒ r = 10 %. Wenn die Wurzel ganz ist, schnell im Kopf rechenbar.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 10.5 % (Toleranz ±0.3)
Erklärung: IRR ≈ 8 + 5.000/(5.000 − (−3.000)) · (12 − 8) = 8 + 5.000/8.000 · 4 = 8 + 2,5 = 10,5 %. Standard-Klausur-Methode bei IRR-Aufgaben.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Wahr
Erklärung: Korrekt. NPV-Profil ist (typischerweise) monoton fallend in r. IRR ist der r-Wert wo NPV=0. Bei r < IRR ist NPV > 0, bei r > IRR ist NPV < 0. Beide Methoden geben dieselbe Empfehlung.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: Annehmen — IRR > Hurdle
Erklärung: IRR > Hurdle → annehmen. Bei IRR = 14 % erwirtschaftet die Investition mehr Rendite als die Mindestanforderung 10 %. Bei genau 10 % wäre NPV = 0.
Antwort: Falsch
Erklärung: Falsch. IRR ist eine relative Größe (% Rendite). Projekt A: I₀ = 1.000, IRR = 50 % → absolut mehrwert klein. Projekt B: I₀ = 1.000.000, IRR = 15 % → absolut viel höherer NPV. Bei unterschiedlichem Maßstab → NPV vergleichen.
Typ: Wahr/Falsch
Klausurfragen mit Lösungen (7)
Antwort: Der Diskontsatz, bei dem NPV = 0 ist
Erklärung: IRR ist mathematisch genau der r-Wert, bei dem die Investition NPV = 0 erreicht — sie rentiert sich also gerade genau zu diesem Zinssatz. Antwort 3 ist die Hurdle Rate, nicht IRR.
Antwort: Wahr
Erklärung: Korrekt. NPV = 0 bei r = IRR. Wenn die Hurdle = IRR ist, liegt man genau auf dem Schnittpunkt — Investition ist indifferent.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: Es gibt keine geschlossene Formel für n > 1
Erklärung: Korrekt. Für ein Polynom n-ten Grades (mit n+1 Cashflows) gibt es i.d.R. keine Closed-Form. Excel/Bisektion lösen iterativ. Lineare Interpolation gibt eine Annäherung.
Richtige Antworten: Bei NPV > 0 ist IRR > Diskontsatz; Bei NPV < 0 ist IRR < Diskontsatz; Bei einer einzelnen konventionellen Investition liefern beide dieselbe Annahme/Ablehn-Entscheidung
Erklärung: 0/1/2 stimmen. Wichtig bei 2: 'einzelne konventionelle Investition' (genau ein Vorzeichenwechsel). Bei Projektvergleich, unterschiedlichem Volumen oder mehrfachen Vorzeichenwechseln kann IRR täuschen — dann NPV nehmen. Punkt 3 ist falsch: bei ungewöhnlichen Cashflow-Mustern gibt es multiple IRRs — z.B. bei Bergbau-Projekten mit Renaturierungs-Kosten am Ende.
Typ: Multi-Select
Antwort: 13.07 % (Toleranz ±0.5)
Erklärung: NPV = 0: −100 + 60/(1+r) + 60/(1+r)² = 0. Mit x = 1+r: 100x² = 60x + 60, also x² − 0,6x − 0,6 = 0. p-q-Formel: x = 0,3 + √(0,09 + 0,6) ≈ 0,3 + 0,8307 = 1,1307. Damit r ≈ 13,07 %. Lineare Interpolation gibt einen ähnlichen Wert (~13,2 %).
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Sie ignoriert den Zeitwert des Geldes
Erklärung: Punkt 3 ist falsch — IRR berücksichtigt explizit Zeitwert (über Diskontierung in der NPV=0-Gleichung). Die anderen drei Schwächen sind real.
Antwort: 9.76 % (Toleranz ±0.3)
Erklärung: IRR ≈ 8 + 1.541/(1.541 − (−1.961)) · (12 − 8) = 8 + 1.541/3.502 · 4 = 8 + 0,440 · 4 = 8 + 1,76 = 9,76 %. Excel würde ähnlich rechnen — exakt wäre etwas drunter (9,7 % je nach Iteration).
Typ: Zahlen-Eingabe