Beim Lotto 6 aus 49 — welcher Fall der Kombinatorik?

Richtige Antwort: Kombination ohne Wiederholung. Reihenfolge der gezogenen Zahlen ist egal (Tipp 4-7-12 = Tipp 12-7-4) → Kombination. Kugeln werden nicht zurückgelegt → ohne Wiederholung. Also C(49, 6) = 13.983.816.

Was ist der Wert von 0!?

Richtige Antwort: 1. 0! = 1 per Definition. Das ist kein Tippfehler — die Konvention ist nötig damit Formeln wie n!/(n-k)! für k=n korrekt funktionieren (Ergebnis: n!).

Wieviele 4-stellige PINs mit 10 möglichen Ziffern (0-9) gibt es, wenn Wiederholung erlaubt ist?

Richtige Antwort: 10⁴ = 10.000. Reihenfolge wichtig (1234 ≠ 4321), Wiederholung erlaubt (1111 OK) → Variation mit Wdh = n^k = 10⁴ = 10.000.

Wieviele Möglichkeiten gibt es, 2 Karten aus einem 32-Karten-Skat-Deck zu ziehen, wenn Reihenfolge egal ist?

Richtige Antwort: C(32, 2) = 496. Reihenfolge egal, ohne Wiederholung → Kombination ohne Wdh: C(32, 2) = 32!/(2!·30!) = (32·31)/(2·1) = 496. Antwort C wäre Variation ohne Wdh (Reihenfolge wichtig).

Eine Eisdiele bietet 5 Sorten. Du nimmst 3 Kugeln, gleiche Sorten sind erlaubt, Reihenfolge egal. Wieviele Becher sind möglich?

Richtige Antwort: C(7, 3) = 35. Reihenfolge egal (Schoko-Vanille-Erdbeere = Erdbeere-Schoko-Vanille), Wiederholung erlaubt (3× Schoko OK) → Kombination mit Wdh: C(n+k-1, k) = C(5+3-1, 3) = C(7, 3) = 35.

Welche Symmetrie gilt für Binomialkoeffizienten?

Richtige Antwort: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$. C(n, k) = C(n, n-k). Klausur-Trick: C(49, 43) ist viel mühsamer zu rechnen als C(49, 6) — aber beide ergeben dasselbe (13.983.816). Bei k > n/2 immer die Symmetrie nutzen.

Wie unterscheidest du Variation/Permutation von Kombination in einer Aufgabe?

Richtige Antwort: Variation: Reihenfolge wichtig. Kombination: Reihenfolge egal. Die Reihenfolge ist das Unterscheidungsmerkmal. (A,B) = (B,A) bei Kombination, (A,B) ≠ (B,A) bei Variation (oder Permutation aller bei k=n). Wiederholung ist eine zweite, unabhängige Frage — gibt jeweils 'mit' und 'ohne' Variante.

UniProMax/Mathematik/kombinatorik

Mathematik·14 Min Lesezeit·Einsteiger·Zuletzt reviewed 01.05.2026

Kombinatorik

Die Mathematik des Zählens: Variation, Permutation und Kombination — mit oder ohne Wiederholung. Lotto (Kombination), PIN (Variation mit Wdh), 5 Bücher anordnen (Permutation). Mit Entscheidungstabelle und Explorer für n und k.

Lerneinheit 1 von 3

Kombinatorik

Kombinatorik zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, Objekte anzuordnen oder auszuwählen. Die Antwort hängt von zwei Fragen ab: wird die Reihenfolge berücksichtigt, und sind Wiederholungen erlaubt? Aus den $2 \times 2$ Antworten ergeben sich vier Standardformeln für die typischen Klausuraufgaben.

Die vier Fälle die du in der Klausur kennen musst — sortiert nach den zwei Schlüsselfragen:

Variation ohne Wiederholung (mit Reihenfolge, ohne Wdh): $\frac{n!}{(n-k)!}$ — k aus n geordnet ziehen, z.B. 3 Bücher aus 10 anordnen
Variation mit Wiederholung (mit Reihenfolge, mit Wdh): $n^k$ — z.B. 4-stellige PIN aus 10 Ziffern: $10^4 = 10\,000$
Kombination ohne Wiederholung (ohne Reihenfolge, ohne Wdh): $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — z.B. Lotto 6 aus 49
Kombination mit Wiederholung (ohne Reihenfolge, mit Wdh): $\binom{n+k-1}{k}$ — z.B. 3 Eiskugeln aus 4 Sorten

Spezialfall: bei Variation ohne Wdh mit $k = n$ entsteht $n!$ — die klassische Permutation aller Elemente (z.B. alle 5 Bücher anordnen: $5! = 120$ ).

In Klausuren wirst du oft gefragt: wie viele Möglichkeiten gibt es?. Frage dich immer: spielt die Reihenfolge eine Rolle (z.B. Türschloss-Code: ja, Lotto-Zahlen: nein)? Sind Wiederholungen erlaubt (z.B. PIN: ja, Lotto: nein)? Daraus ergibt sich die richtige Formel.

Du sollst zählen, wieviele Möglichkeiten es gibt:

Lotto 6 aus 49 — wieviele Tipps?
4-stellige PIN — wieviele PINs?
3 Bücher aus 10 anordnen — wieviele Anordnungen?
3 Eiskugeln aus 4 Sorten (Sorten dürfen mehrfach) — wieviele Becher?

Auf den ersten Blick völlig unterschiedlich. Aber alle vier sind dieselbe Frage in verschiedenen Verkleidungen — und alle haben eine kompakte Formel.

Kombinatorik ist die Mathematik des Zählens. Statt alle Möglichkeiten aufzuschreiben (was ab 100 unmöglich wird), nutzt man Formeln.

Bei jeder Kombinatorik-Aufgabe musst du dir zwei Fragen stellen:

Frage	Antwort 1	Antwort 2
Ist die Reihenfolge wichtig?	Ja → Variation (Spezialfall $k=n$ : Permutation)	Nein → Kombination
Darf ich Items wiederholen?	Ja → mit Wiederholung	Nein → ohne Wiederholung

Zwei Fragen mit je 2 Antworten = 4 Fälle = 4 Formeln. Die musst du für die Klausur kennen.

Sei $n$ die Anzahl der verfügbaren Items (z.B. 49 Lottozahlen) und $k$ die Anzahl der gezogenen (z.B. 6 Lottozahlen).

Variation ohne Wiederholung

Reihenfolge wichtig, jedes Item höchstens einmal.

$V_{ohne}(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)$

Beispiel: 3 Bücher aus 10 ins Regal stellen, in einer Reihe. $\frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ Anordnungen.

Spezialfall: $k = n$ (du verwendest alle Items). Dann ist es einfach $n!$ — das ist die klassische Permutation. Beispiel: alle 5 Bücher anordnen → $5! = 120$ .

Variation mit Wiederholung

Reihenfolge wichtig, Items dürfen wiederholt werden.

$V_{mit}(n, k) = n^k$

Beispiel: 4-stellige PIN mit 10 Ziffern. $10^4 = 10\,000$ PINs.

Wachstum ist exponentiell. PIN mit 6 Stellen: $10^6 = 1\,000\,000$ — 100× mehr als 4 Stellen.

Kombination ohne Wiederholung

Reihenfolge egal, jedes Item höchstens einmal.

$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Sprich: "n über k" oder "Binomialkoeffizient".

Beispiel: Lotto 6 aus 49. $\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13\,983\,816 \approx 14$ Mio Tipps.

Daher Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige $= \frac{1}{13\,983\,816} \approx 7 \cdot 10^{-8}$ .

Kombination mit Wiederholung

Reihenfolge egal, Items dürfen wiederholt werden.

$C^*(n, k) = \binom{n+k-1}{k}$

Beispiel: 3 Eiskugeln aus 4 Sorten (gleiche Sorten erlaubt). $\binom{4+3-1}{3} = \binom{6}{3} = 20$ Becher.

Klausur-Falle: gleiche Sorten erlaubt heißt Multimenge, nicht Tupel — Reihenfolge egal!

Schritt 1: Lies die Aufgabe und frag dich:

Wenn ich (A, B, C) auswähle —
ist (B, A, C) das Gleiche oder etwas anderes?

→ "das Gleiche"           → Reihenfolge egal → KOMBINATION
→ "etwas anderes"         → Reihenfolge wichtig → VARIATION

Schritt 2: Frag dich:

Darf ich z.B. (A, A, A) wählen — also dasselbe Item mehrmals?

→ "ja"                    → mit Wiederholung
→ "nein"                  → ohne Wiederholung

Das gibt dir das Feld in der Entscheidungstabelle:

	Reihenfolge wichtig	Reihenfolge egal
mit Wdh	$n^k$ (PIN) — Variation mit Wdh	$\binom{n+k-1}{k}$ (Eis) — Kombination mit Wdh
ohne Wdh	$\frac{n!}{(n-k)!}$ (Bücher) — Variation ohne Wdh	$\binom{n}{k}$ (Lotto) — Kombination ohne Wdh

Spezialfall: bei $k = n$ in Variation ohne Wdh wird daraus $n!$ — die klassische Permutation aller Elemente.

1. Lotto 6 aus 49 — Kombination ohne Wdh

Reihenfolge egal (4-7-12 = 12-7-4)
Ohne Wiederholung (Kugeln werden nicht zurückgelegt)
→ $\binom{49}{6} = 13\,983\,816$

2. 4-stellige PIN aus 10 Ziffern — Variation mit Wdh

Reihenfolge wichtig (1234 ≠ 4321)
Mit Wiederholung (1111 erlaubt)
→ $10^4 = 10\,000$

3. 5 Bücher anordnen — Permutation (Spezialfall Variation ohne Wdh, $k = n$ )

Reihenfolge wichtig
Ohne Wiederholung (jedes Buch genau einmal)
→ $5! = 120$

4. 3 Eiskugeln aus 4 Sorten (Sorten mehrfach) — Kombination mit Wdh

Reihenfolge egal (Schoko-Vanille = Vanille-Schoko)
Mit Wiederholung (3× Schoko OK)
→ $\binom{4+3-1}{3} = \binom{6}{3} = 20$

5. Bonus: 3 Bücher aus 10 in einer Reihe ins Regal — Variation ohne Wdh

Reihenfolge wichtig (welches Buch links, welches rechts)
Ohne Wiederholung (jedes Buch nur einmal)
→ $\frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$

$n!$ heißt n-Fakultät und ist das Produkt aller natürlichen Zahlen bis $n$ :

$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1$

Wichtig: $0! = 1$ per Definition (kein Tippfehler). Sonst würden viele Formeln nicht klappen.

0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5\,040
8! = 40\,320
9! = 362\,880
10! = 3\,628\,800

Fakultäten wachsen schnell. $20! > 10^{18}$ . Bei großen Zahlen: vereinfachen, kürzen, nicht ausrechnen.

Faktor-Vereinfachung (häufig in Klausuren): $\frac{10!}{8!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot \cancel{8!}}{\cancel{8!}} = 10 \cdot 9 = 90$

Nie $10!$ vollständig ausschreiben — kürzen!

$\binom{n}{k}$ wird in der Schule oft auch "Pascal-Dreieck-Zahl" genannt. Eigenschaften:

binom(n, 0)   = 1                 (eine leere Auswahl)
binom(n, n)   = 1                 (alles auswählen)
binom(n, 1)   = n                 (eine aus n)
binom(n, k)   = binom(n, n-k)     (Symmetrie!)

Die Symmetrie ist Klausur-Trick: $\binom{49}{43} = \binom{49}{6}$ — viel leichter!

Pascal-Dreieck:

              1
            1   1
          1   2   1
        1   3   3   1
      1   4   6   4   1
    1   5  10  10   5   1
  1   6  15  20  15   6   1

Jede Zahl ist Summe der zwei darüber. Zeile $n$ enthält $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, ..., \binom{n}{n}$ .

Trick 1 — Frage-Pipeline: Bei jeder Aufgabe genau zwei Fragen stellen:

Reihenfolge wichtig? (Variation/Permutation vs. Kombination)
Wiederholung erlaubt? (mit vs. ohne)

Beide Antworten geben dir die Formel. Nie raten.

Trick 2 — "alle anordnen" = Variation ohne Wdh mit $k=n$ = $n!$ (klassische Permutation).

Trick 3 — "k aus n ziehen, ohne Reihenfolge" = Lotto-Formel = $\binom{n}{k}$ .

Trick 4 — Symmetrie ausnutzen: $\binom{49}{43}$ ist gleich $\binom{49}{6}$ — viel kleinere Rechnung.

Trick 5 — Faktoren kürzen, NIE Fakultäten vollständig ausrechnen:

10! / 7!   →   10 · 9 · 8     (nicht 3.628.800 / 5.040)

Trick 6 — Verbundene Aufgaben: "Wie viele 4-stellige PINs ohne 0?" → $9^4 = 6\,561$ (statt 10 Ziffern jetzt 9). Anpassung von $n$ — der Rest bleibt.

Trick 7 — Ergänzungs-Trick: "Wie viele Lotto-Tipps mit mindestens einer Zahl unter 10?" → über Gegenereignis: alle Tipps − Tipps ohne Zahl unter 10 = $\binom{49}{6} - \binom{40}{6}$ .

Trick 8 — Bei Code/Passwörtern: Anzahl Stellen = $k$ , verschiedene Zeichen = $n$ , Wiederholung meist erlaubt → $n^k$ .

Wahrscheinlichkeit: Laplace-Formel braucht Kombinatorik im Zähler und Nenner. "P(2 Asse aus 4 Karten gezogen)" = $\binom{?}{?} / \binom{?}{?}$ .
Kryptographie: wieviele Schlüssel hat ein 256-Bit-Schlüssel? $2^{256}$ .
Datenbanken / Anfrageoptimierung: wieviele Joins-Reihenfolgen bei 10 Tabellen? $10!$ .
Genetik: Anzahl möglicher Kombinationen bei Erbgang.
Game-Design: wieviele unterschiedliche Decks aus 60 Karten lassen sich aus 200 wählen? $\binom{200}{60}$ .
Logistik: Reihenfolge-Probleme (Travelling Salesman) sind Permutations-Probleme — alle $n$ Städte werden besucht, gesucht ist die Anzahl Reihenfolgen $n!$ .

Faustregel: Wenn du in der Klausur eine "Wieviele Möglichkeiten?"-Frage liest, ist es zu 95 % einer der vier Fälle. Entscheidungstabelle im Kopf, dann Formel anwenden.

Klausur-ÜbersichtKomplette Übersicht: alle Tabs als linearer Text zum Lernen

Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv · Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur — und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).

Teil 1·Erklärung

Erklärung

Kombinatorik

Kombinatorik zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, Objekte anzuordnen oder auszuwählen. Die Antwort hängt von zwei Fragen ab: wird die Reihenfolge berücksichtigt, und sind Wiederholungen erlaubt? Aus den Antworten ergeben sich vier Standardformeln für die typischen Klausuraufgaben.

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Kombinatorik

2 \times 2

Antworten ergeben sich vier Standardformeln für die typischen Klausuraufgaben.

Die vier Fälle die du in der Klausur kennen musst — sortiert nach den zwei Schlüsselfragen:

Variation ohne Wiederholung (mit Reihenfolge, ohne Wdh):

\frac{n!}{(n-k)!}

— k aus n geordnet ziehen, z.B. 3 Bücher aus 10 anordnen

Variation mit Wiederholung (mit Reihenfolge, mit Wdh):

n^k

— z.B. 4-stellige PIN aus 10 Ziffern: $10^4 = 10\,000$

Kombination ohne Wiederholung (ohne Reihenfolge, ohne Wdh):

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

— z.B. Lotto 6 aus 49

Kombination mit Wiederholung (ohne Reihenfolge, mit Wdh):

\binom{n+k-1}{k}

— z.B. 3 Eiskugeln aus 4 Sorten

Spezialfall: bei Variation ohne Wdh mit

k = n

entsteht

n!

— die klassische Permutation aller Elemente (z.B. alle 5 Bücher anordnen:

5! = 120

Frage

Antwort 1

Antwort 2

Ist die Reihenfolge wichtig?

Ja → Variation (Spezialfall

k=n

: Permutation)

Nein → Kombination

Darf ich Items wiederholen?

Ja → mit Wiederholung

Nein → ohne Wiederholung

Wenn ich (A, B, C) auswähle — ist (B, A, C) das Gleiche oder etwas anderes? → "das Gleiche" → Reihenfolge egal → KOMBINATION → "etwas anderes" → Reihenfolge wichtig → VARIATION

Reihenfolge wichtig

Reihenfolge egal

mit Wdh

n^k

(PIN) — Variation mit Wdh

\binom{n+k-1}{k}

(Eis) — Kombination mit Wdh

ohne Wdh

\frac{n!}{(n-k)!}

(Bücher) — Variation ohne Wdh

\binom{n}{k}

(Lotto) — Kombination ohne Wdh

binom(n, 0) = 1 (eine leere Auswahl) binom(n, n) = 1 (alles auswählen) binom(n, 1) = n (eine aus n) binom(n, k) = binom(n, n-k) (Symmetrie!)

Frage	Antwort 1	Antwort 2
Ist die Reihenfolge wichtig?	Ja → Variation (Spezialfall `k=n`: Permutation)	Nein → Kombination
Darf ich Items wiederholen?	Ja → mit Wiederholung	Nein → ohne Wiederholung

	Reihenfolge wichtig	Reihenfolge egal
mit Wdh	`n^k` (PIN) — Variation mit Wdh	`C(n+k-1,k)` (Eis) — Kombination mit Wdh
ohne Wdh	`n!/((n-k)!)` (Bücher) — Variation ohne Wdh	`C(n,k)` (Lotto) — Kombination ohne Wdh

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