Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv verstehen · Praxis-Übung · Klausur-Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur, und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).
Teil 1·Erklärung
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Drei Unbekannte, drei Gleichungen. Wie löst du das systematisch? Das Gauß-Verfahren ist DAS Standard-Werkzeug der linearen Algebra: jede 3×3- oder 4×4-LGS-Klausuraufgabe wird damit gelöst. Klausur-Pflicht in 16/16 WInf-Mathe-1-Klausuren.
Klausur-Tipp: Beim Üben IMMER die Operation schriftlich notieren (z.B. ""). In Klausuren gibt's Teilpunkte für nachvollziehbare Rechenwege, auch wenn das Endergebnis falsch ist.
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Drei Unbekannte, drei Gleichungen. Wie löst du das systematisch? Das Gauß-Verfahren ist DAS Standard-Werkzeug der linearen Algebra: jede 3×3- oder 4×4-LGS-Klausuraufgabe wird damit gelöst. Klausur-Pflicht in 16/16 WInf-Mathe-1-Klausuren.
Gauß-Verfahren: Forme das LGS in eine Dreiecksform um (Stufenform). Dann liest du die Lösung von unten nach oben ab — Rückwärts-Einsetzen.
x + y + z = 6; 2x + 3y + z = 11; x + 2y + 2z = 9
In Matrix-Form (erweiterte Koeffizienten-Matrix):
[[1, 1, 1, |, 6], [2, 3, 1, |, 11], [1, 2, 2, |, 9]]
Schritt 1 — Zeile 2 minus 2·Zeile 1, Zeile 3 minus Zeile 1:
[[1, 1, 1, |, 6], [0, 1, -1, |, -1], [0, 1, 1, |, 3]]
Schritt 2 — Zeile 3 minus Zeile 2:
[[1, 1, 1, |, 6], [0, 1, -1, |, -1], [0, 0, 2, |, 4]]
Dreiecksform erreicht! Jetzt rückwärts einsetzen:
2z = 4 ⇒ z = 2y - z = -1 ⇒ y = -1 + 2 = 1x + y + z = 6 ⇒ x = 6 - 1 - 2 = 3Lösung: (x, y, z) = (3, 1, 2).
Diese Operationen ändern die Lösungsmenge NICHT:
Z_i ↔ Z_j)Z_i → c · Z_i)Z_i → Z_i + c · Z_j)Mit diesen drei Operationen formst du die Matrix in Stufenform um.
Eine Matrix ist in Stufenform, wenn:
Die reduzierte Stufenform geht weiter: jeder Pivot ist 1, und über jedem Pivot stehen Nullen → Lösung direkt ablesbar (Gauß-Jordan).
Nach Gauß sieht man am Ende sofort den Lösungstyp:
| End-Form | Anzahl Lösungen | Bedeutung |
|---|---|---|
| Eindeutig (Dreieck mit n Pivots) | 1 Lösung | Konsistent + voller Rang |
| 0 = 0 in letzter Zeile | ∞ viele | Freie Variablen, parametrisiert |
| 0 = c mit c ≠ 0 | 0 | Widerspruch, keine Lösung |
Klausur-Standard: "Bestimme die Anzahl der Lösungen". Antwort durch Gauß sofort sichtbar.
Rang(A) = Anzahl der Pivot-Zeilen in Stufenform = Anzahl linear unabhängiger Zeilen.
Klausur-Kriterium (Rouché-Capelli):
| Bedingung | Lösungstyp |
|---|---|
| `Rang(A) = Rang(A | b)` = Anzahl Variablen |
| `Rang(A) = Rang(A | b)` < Anzahl Variablen |
| `Rang(A) ≠ Rang(A | b)` |
[[1, 2, 3, |, 1], [2, 4, 6, |, 2], [1, 1, 1, |, 1]] → [[1, 2, 3, |, 1], [0, 0, 0, |, 0], [0, -1, -2, |, 0]]
Die zweite Zeile ist Null → eine Gleichung weniger. 2 Pivot-Zeilen, 3 Variablen → ∞ viele Lösungen. Eine Variable wird frei wählbar (z = t), die anderen ergeben sich:
-y - 2z = 0 ⇒ y = -2tx + 2y + 3z = 1 ⇒ x = 1 - 2(-2t) - 3t = 1 + tLösung: (x, y, z) = (1 + t, -2t, t) für alle t ∈ ℝ.
[[1, 1, |, 2], [2, 2, |, 5]] → [[1, 1, |, 2], [0, 0, |, 1]]
Letzte Zeile: 0 = 1 → Widerspruch, keine Lösung. Rang(A) = 1 ≠ Rang(A|b) = 2.
Für A x⃗ = b⃗ kannst du theoretisch x⃗ = A^(-1) b⃗ rechnen — aber:
Klausur-Tipp: Wenn nur EINE Lösung gefragt, IMMER Gauß. Inverse nur wenn du dieselbe Matrix für VIELE rechte Seiten brauchst.
1. Zielform = Dreieck (Stufenform). Erst dann rückwärts einsetzen.
2. Erste Spalte zuerst. Mit Zeile 1 als Pivot die anderen Zeilen ihrer ersten Einträge berauben. Dann Zeile 2 als Pivot für Spalte 2, usw.
3. Drei Operationen sind erlaubt. Mehr nicht. Niemals Zeilen MULTIPLIZIEREN miteinander oder Spalten manipulieren.
4. 0 = 0 → freie Variable. 0 = c ≠ 0 → keine Lösung. Auswendig lernen.
5. Pivots zählen = Rang. Anzahl Pivots in Stufenform = Rang der Matrix.
1. Falsche Vorzeichen bei Subtraktion. Z₂ - 2 Z₁ heißt JEDER Eintrag in Z₂ wird einzeln um 2 · den entsprechenden Eintrag in Z₁ verringert. Inklusive der rechten Seite!
2. Pivot null vergessen. Wenn der Pivot null wird, MUSS du tauschen — sonst dividierst du durch null beim Normieren.
3. Spalten-Operationen verwenden. Spalten-Operationen ändern die Lösungsmenge (außer Spalten-Tausch mit Variablen-Tausch). Niemals in der Klausur, nur Zeilen.
4. Rang(A) ≠ Rang(A|b) übersehen. Die letzte Spalte (rechte Seite) wird MITGEZÄHLT für Rang(A|b). Wenn die letzte Zeile nur in der rechten Seite einen Eintrag hat → Widerspruch.
5. Rückwärts-Einsetzen falsch herum. Erst die unterste Variable berechnen, dann nach oben. Nicht andersrum.
Folge dem Gauß-Verfahren Schritt für Schritt. Du siehst:
Z₂ → Z₂ - 2 Z₁ etc.)Probier verschiedene Beispiele aus — eindeutige Lösung, ∞ viele Lösungen, keine Lösung.
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Klausur-Tipp: Beim Üben IMMER die Operation schriftlich notieren (z.B. "Z₂ → Z₂ - 2 Z₁"). In Klausuren gibt's Teilpunkte für nachvollziehbare Rechenwege, auch wenn das Endergebnis falsch ist.
6 Aufgaben zu Stufenform, Lösungstypen, Rang.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: Eine Zeile mit 0 multiplizieren
Erklärung: Multiplikation mit 0 ist NICHT erlaubt — würde die Zeile zerstören und Information verlieren. Die drei erlaubten Operationen: Tausch, Multiplikation mit Konstante ≠ 0, Linearkombination mit anderer Zeile.
Antwort: Unendlich viele Lösungen (mindestens eine freie Variable)
Erklärung: 0 = 0 ist immer wahr — eine Gleichung verschwindet. Das LGS hat weniger Pivot-Zeilen als Variablen → mindestens eine freie Variable → unendlich viele Lösungen.
Antwort: Keine Lösung (Widerspruch)
Erklärung: 0 = 5 ist ein Widerspruch — Rang(A) ≠ Rang(A|b). Das LGS ist inkonsistent → keine Lösung. Klausur-Klassiker: erkennen statt versuchen weiter zu rechnen.
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. Rang(A) = Rang(A|b) → lösbar. Aber Rang(A) = 2 < 3 (Anzahl Variablen) → eine Variable bleibt frei. Unendlich viele Lösungen, parametrisiert durch die freie Variable.
Typ: Wahr/Falsch
Richtige Antworten: Es liefert immer die Lösung in O(n³) Operationen; Es funktioniert auch wenn det(A) = 0; Stufenform reicht, reduzierte Stufenform ist optional; Rang lässt sich an der Stufenform direkt ablesen
Erklärung: Richtig: O(n³), funktioniert auch bei det=0 (sagt dann was über Lösbarkeit), Stufenform reicht für Rückwärts-Einsetzen, Rang = #Pivots. Falsch: Gauß-Jordan liefert die Inverse, der pure Gauß nicht; Spalten-Tausch ändert die Variablen-Reihenfolge.
Typ: Multi-Select
Zuordnungen:
Erklärung: Rouché-Capelli-Theorem in Klausur-Form. Sitzt das, sitzt jede LGS-Frage.
Typ: Zuordnung
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: 2 (Toleranz ±0.05)
Erklärung: Zeile 2 - 2·Zeile 1: y = 3. Einsetzen: x + 3 = 5 → x = 2. Lösung: (x, y) = (2, 3).
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 2
Erklärung: Rang = Anzahl Pivot-Zeilen in Stufenform = Anzahl Nicht-Null-Zeilen. Hier 2.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. Die triviale Lösung `x⃗ = 0⃗` erfüllt jedes homogene LGS. Zusätzliche Lösungen existieren nur wenn det(A) = 0 (Rang < n) → ∞ viele Lösungen.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: Genau eine Lösung
Erklärung: det(A) ≠ 0 → A ist invertierbar → Rang(A) = n. Damit Rang(A) = Rang(A|b) = n = Anzahl Variablen → eindeutige Lösung `x⃗ = A^(-1) b⃗`. Unabhängig von `b⃗`.
Lösungen pro Lücke:
Erklärung: Standard-Vokabular Gauß. Stufenform → Rückwärts-Einsetzen → Rang als #Pivots → Widerspruch=keine Lösung.
Typ: Lückentext
Richtige Reihenfolge:
Erklärung: Standard-Klausur-Workflow. Matrix → Pivots von links nach rechts → Stufenform → Rückwärts-Einsetzen → Lösung.
Typ: Reihenfolge