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Eine Funktion, die Vektoren auf Vektoren abbildet — aber nicht irgendeine, sondern eine, die Geraden zu Geraden macht und den Ursprung fest hält. Das ist eine lineare Abbildung. Sie ist DAS Werkzeug, mit dem Matrizen geometrisch verständlich werden: Drehung, Spiegelung, Streckung, Projektion — alles lineare Abbildungen, alles Matrizen.
Klausur-Tipp: Wenn die Klausur fragt "Bestimme die Matrix von Abbildung " — IMMER die Bilder der Standard-Basisvektoren und ausrechnen, das sind die Spalten der Matrix.
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Eine Funktion, die Vektoren auf Vektoren abbildet — aber nicht irgendeine, sondern eine, die Geraden zu Geraden macht und den Ursprung fest hält. Das ist eine lineare Abbildung. Sie ist DAS Werkzeug, mit dem Matrizen geometrisch verständlich werden: Drehung, Spiegelung, Streckung, Projektion — alles lineare Abbildungen, alles Matrizen.
Lineare Abbildung
f: V → Wist eine Funktion zwischen Vektorräumen, die zwei Eigenschaften erfüllt:
- Additivität:
f(u⃗ + v⃗) = f(u⃗) + f(v⃗)- Homogenität:
f(c · v⃗) = c · f(v⃗)
Zusammen heißt das: Linearität — die Funktion respektiert die Vektorraum-Struktur.
| Abbildung | Formel | Matrix |
|---|---|---|
| Identität | f(v⃗) = v⃗ | I = (1 0; 0 1) |
| Streckung um Faktor c | f(v⃗) = c v⃗ | cI |
Drehung um Winkel α | siehe unten | [[cosα, -sinα], [sinα, cosα]] |
| Spiegelung an x-Achse | (x,y) ↦ (x,-y) | [[1, 0], [0, -1]] |
| Projektion auf x-Achse | (x,y) ↦ (x,0) | [[1, 0], [0, 0]] |
| Scherung in x-Richtung | (x,y) ↦ (x+ky, y) | [[1, k], [0, 1]] |
Wichtigste Erkenntnis: Jede lineare Abbildung zwischen ℝⁿ und ℝ^m kann als m × n-Matrix dargestellt werden.
Wenn f: ℝⁿ → ℝ^m linear, dann ist f(v⃗) = A v⃗ mit der Matrix A, deren Spalten die Bilder der Standard-Basisvektoren sind:
A = (f(vec(e₁)) | f(vec(e₂)) | ... | f(vec(e_n)))
Beispiel: Drehung um 90° gegen Uhrzeigersinn:
f(vec(e₁)) = f((1,0)) = (0, 1)f(vec(e₂)) = f((0,1)) = (-1, 0)A = [[0, -1], [1, 0]]
3 Tests:
f(0⃗) = 0⃗? Wenn nein, NICHT linear (sofort raus).f(u⃗ + v⃗) = f(u⃗) + f(v⃗)? Mit zwei beliebigen Vektoren.f(c v⃗) = c · f(v⃗)? Mit beliebigem Skalar.Alle 3 müssen gelten. Test 1 ist die schnellste Disqualifikation.
Beispiel — NICHT linear: f(x, y) = (x + 1, y) (Translation um 1)
f(0, 0) = (1, 0) ≠ (0, 0) ✗ → nicht linear.Beispiel — NICHT linear: f(x, y) = (x², y)
f(2 · (1, 1)) = (4, 2), aber 2 · f(1, 1) = (2, 2). Homogenität verletzt → nicht linear.Bild (image) von f: alle Vektoren w⃗, die als f(v⃗) vorkommen
Bild(f) = \f(v⃗) : v⃗ ∈ V\ ⊆ W
Kern (kernel, Null-Raum) von f: alle Vektoren, die auf 0⃗ abgebildet werden
Kern(f) = \v⃗ ∈ V : f(v⃗) = 0⃗\ ⊆ V
Beide sind Unterräume (enthalten 0, abgeschlossen unter +, ·).
dim(V) = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f))
Praktisch: für eine m × n-Matrix A:
n = dim(Kern(A)) + Rang(A)
Klausur-Anwendung: Rang einer Matrix = Dim des Bildes. Wenn du Rang ausrechnest, weißt du sofort die Dimension des Kerns: dim(Kern) = n - Rang.
Injektiv ("eindeutig"): verschiedene Eingaben ergeben verschiedene Ausgaben
⇔ Kern(f) = \0⃗\⇔ dim(Kern(f)) = 0⇔ Rang(A) = n (für A ∈ ℝ^(m × n))Surjektiv ("auf"): jedes Element in W wird getroffen
⇔ Bild(f) = W⇔ Rang(A) = mBijektiv: beides → A ist quadratisch + invertierbar.
Wenn f(v⃗) = Av⃗ und g(w⃗) = Bw⃗, dann ist die Komposition g ° f gegeben durch:
(g ° f)(v⃗) = g(f(v⃗)) = B · A · v⃗
Reihenfolge wichtig: B · A (innere Abbildung rechts!). Beispiel: erst drehen (A), dann spiegeln (B) → Matrix-Produkt B · A.
1. f(0⃗) = 0⃗ als erstes prüfen. Schneller Linearitäts-Test (Negativtest).
2. Matrix-Darstellung: Spalten = Bilder der Basisvektoren. f(vec(e₁)) wird zur 1. Spalte, f(vec(e₂)) zur 2., etc.
3. Dim-Satz: n = dim(Kern) + Rang. Brücke zwischen Kern-Dimension und Rang.
4. Komposition = Matrix-Multiplikation in umgekehrter Reihenfolge. g ° f ↔ B · A.
5. Bijektiv = invertierbar = det ≠ 0 = Rang = n. Alles äquivalent für quadratische Matrizen.
1. Translation als linear ansehen. f(x,y) = (x+1, y) ist AFFIN, nicht linear. f(0⃗) = (1,0) ≠ 0⃗.
2. Quadratische Terme als linear ansehen. f(x) = x² ist nicht linear. f(2x) = 4x² ≠ 2 · x².
3. Reihenfolge bei Komposition vergessen. "Erst f, dann g" heißt g ° f, in Matrizen B · A. NICHT A · B.
4. Kern und Bild verwechseln. Kern = Urbild von 0 (Quelle-Seite). Bild = was rauskommt (Ziel-Seite). Klar trennen.
5. Injektiv nur auf 0⃗-Kern reduzieren bei nicht-linearen Funktionen. Für lineare Abbildungen IST das Kern-Kriterium korrekt. Bei nicht-linearen Funktionen funktioniert es nicht.
Wähle eine lineare Abbildung (Drehung / Spiegelung / Streckung / Scherung) und sieh:
So entwickelst du Intuition für die Verbindung Matrix ↔ geometrische Transformation.
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Klausur-Tipp: Wenn die Klausur fragt "Bestimme die Matrix von Abbildung f" — IMMER die Bilder der Standard-Basisvektoren f(vec(e₁)) und f(vec(e₂)) ausrechnen, das sind die Spalten der Matrix.
6 Aufgaben zu Linearitäts-Test, Matrix-Darstellung, Bild/Kern, Komposition.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: `f(x, y) = (2x + 3y, x - y)`
Erklärung: `(2x + 3y, x - y)` ist linear: Komponenten sind LINEARE Ausdrücke in x, y ohne Konstante. Translation ist affin (f(0) ≠ 0), x² ist nicht-linear (homogen verletzt), |x| ist nicht-linear (Additivität verletzt bei Vorzeichen-Wechsel).
Antwort: `[[3, 2], [1, 4]]`
Erklärung: Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Standard-Basisvektoren: 1. Spalte = `f(vec(e₁)) = (3, 1)^T`, 2. Spalte = `f(vec(e₂)) = (2, 4)^T`. Matrix: `[[3, 2], [1, 4]]`.
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. Aus Homogenität folgt `f(0⃗) = f(0 · v⃗) = 0 · f(v⃗) = 0⃗`. Schneller Test: wenn `f(0⃗) ≠ 0⃗`, ist `f` NICHT linear.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: Alle Vektoren in V, die auf `0⃗` abgebildet werden
Erklärung: Kern(f) = `\v⃗ ∈ V : f(v⃗) = 0⃗\`. Urbild des Nullvektors. Wenn nur `0⃗` im Kern, ist f INJEKTIV.
Richtige Antworten: Drehungen und Spiegelungen sind lineare Abbildungen; Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Standard-Basisvektoren; Komposition entspricht Matrix-Multiplikation; Dim(Kern) + Dim(Bild) = Dim(Definitionsbereich)
Erklärung: Richtig: Drehungen/Spiegelungen sind linear (Ursprung bleibt), Spalten = f(eᵢ), Komposition = Matrix-Multiplikation, Dim-Satz (Rangsatz). Falsch: Translationen halten Ursprung NICHT fest (nicht linear); Bijektivität braucht zusätzlich Quadrat-Matrix + invertierbar.
Typ: Multi-Select
Zuordnungen:
Erklärung: Standard-Beispiele für lineare Abbildungen mit Matrix-Darstellung. Spalten = Bilder der Basis-Vektoren.
Typ: Zuordnung
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: 1
Erklärung: Dim-Satz: `n = dim(Kern) + Rang`. Hier `n = 3`, Rang = 2 → `dim(Kern) = 3 - 2 = 1`.
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. det ≠ 0 ⇔ Rang = n ⇔ Kern = {0} (injektiv) ⇔ Bild = ℝⁿ (surjektiv) ⇔ bijektiv ⇔ A invertierbar. Alles äquivalent für quadratische Matrizen.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: `B · A`
Erklärung: Komposition `g ° f` heißt 'erst f, dann g'. In Matrizen: `B · A` (innere Abbildung rechts). Konvention: Matrix wirkt von links: `(g ° f)(v⃗) = g(f(v⃗)) = B(Av⃗) = (BA)v⃗`.
Antwort: f ist injektiv und damit bijektiv
Erklärung: Kern = {0} → f ist injektiv. Bei quadratischer Matrix folgt: injektiv ⇒ surjektiv ⇒ bijektiv. Auch: Rang = n - dim(Kern) = 2 - 0 = 2 → Bild = ℝ² (voller Raum).
Lösungen pro Lücke:
Erklärung: Standard-Vokabular lineare Abbildungen. Additivität + Homogenität = Linearität. Spalten = Bilder der Basisvektoren.
Typ: Lückentext
Richtige Reihenfolge:
Erklärung: Standard-Klausur-Workflow. Basisvektoren bildschauen, Bilder als Spalten der Matrix, mit Beispielvektor verifizieren.
Typ: Reihenfolge