Mathematik4Lerneinheiten21minStand30.05.2026

Lineare Abbildungen.

Fachliche Qualität

Noch nicht klassifiziertNoch nicht geprüft.

Diese Lerneinheit wurde für typische Bachelor-Klausuren konzipiert. So prüfen wir · Fehler entdeckt? Melde ihn uns oder markiere die fragliche Stelle direkt im Text oben.

Klausur-ÜbersichtKomplette Übersicht: alle Tabs als linearer Text zum Lernen

Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv verstehen · Praxis-Übung · Klausur-Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur, und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).

Teil 1·Erklärung

Erklärung

Zur KategorieMathematik.Mehr Themen entdeckenZum Themen-Hub.

Lineare Abbildungen, Mathematik · UniProMax

Eine Funktion, die Vektoren auf Vektoren abbildet — aber nicht irgendeine, sondern eine, die Geraden zu Geraden macht und den Ursprung fest hält. Das ist eine lineare Abbildung. Sie ist DAS Werkzeug, mit dem Matrizen geometrisch verständlich werden: Drehung, Spiegelung, Streckung, Projektion — alles lineare Abbildungen, alles Matrizen.

Lineare Abbildung $f: V \to W$ ist eine Funktion zwischen Vektorräumen, die zwei Eigenschaften erfüllt:

Additivität: $f(\vec{u} + \vec{v}) = f(\vec{u}) + f(\vec{v})$

Homogenität: $f(c \cdot \vec{v}) = c \cdot f(\vec{v})$

Zusammen heißt das: Linearität — die Funktion respektiert die Vektorraum-Struktur.

Abbildung	Formel	Matrix
Identität	$f(\vec{v}) = \vec{v}$	$I = (1\,0;\,0\,1)$
Streckung um Faktor c	$f(\vec{v}) = c \vec{v}$	$cI$
Drehung um Winkel $\alpha$	siehe unten	$\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$
Spiegelung an x-Achse	$(x,y) \mapsto (x,-y)$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Projektion auf x-Achse	$(x,y) \mapsto (x,0)$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
Scherung in x-Richtung	$(x,y) \mapsto (x+ky, y)$	$\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Wichtigste Erkenntnis: Jede lineare Abbildung zwischen $\mathbb{R}^n$ und $\mathbb{R}^m$ kann als $m \times n$ -Matrix dargestellt werden.

Wenn $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ linear, dann ist $f(\vec{v}) = A \vec{v}$ mit der Matrix $A$ , deren Spalten die Bilder der Standard-Basisvektoren sind:

$A = (f(\vec{e_1}) \, | \, f(\vec{e_2}) \, | \, \ldots \, | \, f(\vec{e_n}))$

Beispiel: Drehung um 90° gegen Uhrzeigersinn:

$f(\vec{e_1}) = f((1,0)) = (0, 1)$
$f(\vec{e_2}) = f((0,1)) = (-1, 0)$

$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

3 Tests:

$f(\vec{0}) = \vec{0}$ ? Wenn nein, NICHT linear (sofort raus).
$f(\vec{u} + \vec{v}) = f(\vec{u}) + f(\vec{v})$ ? Mit zwei beliebigen Vektoren.
$f(c \vec{v}) = c \cdot f(\vec{v})$ ? Mit beliebigem Skalar.

Alle 3 müssen gelten. Test 1 ist die schnellste Disqualifikation.

Beispiel — NICHT linear: $f(x, y) = (x + 1, y)$ (Translation um 1)

$f(0, 0) = (1, 0) \neq (0, 0)$ ✗ → nicht linear.

Beispiel — NICHT linear: $f(x, y) = (x^2, y)$

$f(2 \cdot (1, 1)) = (4, 2)$ , aber $2 \cdot f(1, 1) = (2, 2)$ . Homogenität verletzt → nicht linear.

Bild (image) von $f$ : alle Vektoren $\vec{w}$ , die als $f(\vec{v})$ vorkommen $\text{Bild}(f) = \{f(\vec{v}) : \vec{v} \in V\} \subseteq W$

Kern (kernel, Null-Raum) von $f$ : alle Vektoren, die auf $\vec{0}$ abgebildet werden $\text{Kern}(f) = \{\vec{v} \in V : f(\vec{v}) = \vec{0}\} \subseteq V$

Beide sind Unterräume (enthalten 0, abgeschlossen unter +, $\cdot$ ).

$\dim(V) = \dim(\text{Kern}(f)) + \dim(\text{Bild}(f))$

Praktisch: für eine $m \times n$ -Matrix $A$ : $n = \dim(\text{Kern}(A)) + \text{Rang}(A)$

Klausur-Anwendung: Rang einer Matrix = Dim des Bildes. Wenn du Rang ausrechnest, weißt du sofort die Dimension des Kerns: $\dim(\text{Kern}) = n - \text{Rang}$ .

Injektiv ("eindeutig"): verschiedene Eingaben ergeben verschiedene Ausgaben

$\Leftrightarrow$ $\text{Kern}(f) = \{\vec{0}\}$
$\Leftrightarrow$ $\dim(\text{Kern}(f)) = 0$
$\Leftrightarrow$ $\text{Rang}(A) = n$ (für $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ )

Surjektiv ("auf"): jedes Element in $W$ wird getroffen

$\Leftrightarrow$ $\text{Bild}(f) = W$
$\Leftrightarrow$ $\text{Rang}(A) = m$

Bijektiv: beides → A ist quadratisch + invertierbar.

Wenn $f(\vec{v}) = A\vec{v}$ und $g(\vec{w}) = B\vec{w}$ , dann ist die Komposition $g \circ f$ gegeben durch: $(g \circ f)(\vec{v}) = g(f(\vec{v})) = B \cdot A \cdot \vec{v}$

Reihenfolge wichtig: $B \cdot A$ (innere Abbildung rechts!). Beispiel: erst drehen ( $A$ ), dann spiegeln ( $B$ ) → Matrix-Produkt $B \cdot A$ .

1. $f(\vec{0}) = \vec{0}$ als erstes prüfen. Schneller Linearitäts-Test (Negativtest).

2. Matrix-Darstellung: Spalten = Bilder der Basisvektoren. $f(\vec{e_1})$ wird zur 1. Spalte, $f(\vec{e_2})$ zur 2., etc.

3. Dim-Satz: $n = \dim(\text{Kern}) + \text{Rang}$ . Brücke zwischen Kern-Dimension und Rang.

4. Komposition = Matrix-Multiplikation in umgekehrter Reihenfolge. $g \circ f \leftrightarrow B \cdot A$ .

5. Bijektiv = invertierbar = $\det \neq 0$ = $\text{Rang} = n$ . Alles äquivalent für quadratische Matrizen.

1. Translation als linear ansehen. $f(x,y) = (x+1, y)$ ist AFFIN, nicht linear. $f(\vec{0}) = (1,0) \neq \vec{0}$ .

2. Quadratische Terme als linear ansehen. $f(x) = x^2$ ist nicht linear. $f(2x) = 4x^2 \neq 2 \cdot x^2$ .

3. Reihenfolge bei Komposition vergessen. "Erst $f$ , dann $g$ " heißt $g \circ f$ , in Matrizen $B \cdot A$ . NICHT $A \cdot B$ .

4. Kern und Bild verwechseln. Kern = Urbild von 0 (Quelle-Seite). Bild = was rauskommt (Ziel-Seite). Klar trennen.

5. Injektiv nur auf $\vec{0}$ -Kern reduzieren bei nicht-linearen Funktionen. Für lineare Abbildungen IST das Kern-Kriterium korrekt. Bei nicht-linearen Funktionen funktioniert es nicht.

Wähle eine lineare Abbildung (Drehung / Spiegelung / Streckung / Scherung) und sieh:

Wie das Einheitsquadrat transformiert wird
Wie die Standard-Basisvektoren auf die neuen Spalten der Matrix abgebildet werden
Die Matrix-Darstellung der Abbildung (live)

So entwickelst du Intuition für die Verbindung Matrix ↔ geometrische Transformation.

Lade Visualisierung...

Klausur-Tipp: Wenn die Klausur fragt "Bestimme die Matrix von Abbildung $f$ " — IMMER die Bilder der Standard-Basisvektoren $f(\vec{e_1})$ und $f(\vec{e_2})$ ausrechnen, das sind die Spalten der Matrix.

Anmelden, um den Fortschritt zu speichern.

Nächster Schritt

Wenn du fertig bist: jetzt üben.

Aktives Abrufen festigt Wissen schneller als nochmal lesen.

Die Idee in einem Satz

Lineare Abbildung f: V → W ist eine Funktion zwischen Vektorräumen, die zwei Eigenschaften erfüllt:

Additivität: f(u⃗ + v⃗) = f(u⃗) + f(v⃗)

Homogenität: f(c · v⃗) = c · f(v⃗)

Zusammen heißt das: Linearität — die Funktion respektiert die Vektorraum-Struktur.

Konkrete Beispiele

Abbildung	Formel	Matrix
Identität	`f(v⃗) = v⃗`	`I = (1 0; 0 1)`
Streckung um Faktor c	`f(v⃗) = c v⃗`	`cI`
Drehung um Winkel `α`	siehe unten	`[[cosα, -sinα], [sinα, cosα]]`
Spiegelung an x-Achse	`(x,y) ↦ (x,-y)`	`[[1, 0], [0, -1]]`
Projektion auf x-Achse	`(x,y) ↦ (x,0)`	`[[1, 0], [0, 0]]`
Scherung in x-Richtung	`(x,y) ↦ (x+ky, y)`	`[[1, k], [0, 1]]`

Wichtigste Erkenntnis: Jede lineare Abbildung zwischen ℝⁿ und ℝ^m kann als m × n-Matrix dargestellt werden.

Matrix-Darstellung — der Trick

Wenn f: ℝⁿ → ℝ^m linear, dann ist f(v⃗) = A v⃗ mit der Matrix A, deren Spalten die Bilder der Standard-Basisvektoren sind:

A = (f(vec(e₁)) | f(vec(e₂)) | ... | f(vec(e_n)))

Beispiel: Drehung um 90° gegen Uhrzeigersinn:

f(vec(e₁)) = f((1,0)) = (0, 1)
f(vec(e₂)) = f((0,1)) = (-1, 0)

A = [[0, -1], [1, 0]]

Test auf Linearität

3 Tests:

f(0⃗) = 0⃗? Wenn nein, NICHT linear (sofort raus).
f(u⃗ + v⃗) = f(u⃗) + f(v⃗)? Mit zwei beliebigen Vektoren.
f(c v⃗) = c · f(v⃗)? Mit beliebigem Skalar.

Alle 3 müssen gelten. Test 1 ist die schnellste Disqualifikation.

Beispiel — NICHT linear: f(x, y) = (x + 1, y) (Translation um 1)

f(0, 0) = (1, 0) ≠ (0, 0) ✗ → nicht linear.

Beispiel — NICHT linear: f(x, y) = (x², y)

f(2 · (1, 1)) = (4, 2), aber 2 · f(1, 1) = (2, 2). Homogenität verletzt → nicht linear.

Bild und Kern

Bild (image) von f: alle Vektoren w⃗, die als f(v⃗) vorkommen Bild(f) = \f(v⃗) : v⃗ ∈ V\ ⊆ W

Kern (kernel, Null-Raum) von f: alle Vektoren, die auf 0⃗ abgebildet werden Kern(f) = \v⃗ ∈ V : f(v⃗) = 0⃗\ ⊆ V

Beide sind Unterräume (enthalten 0, abgeschlossen unter +, ·).

Dimensionssatz (Rangsatz)

dim(V) = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f))

Praktisch: für eine m × n-Matrix A: n = dim(Kern(A)) + Rang(A)

Klausur-Anwendung: Rang einer Matrix = Dim des Bildes. Wenn du Rang ausrechnest, weißt du sofort die Dimension des Kerns: dim(Kern) = n - Rang.

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Injektiv ("eindeutig"): verschiedene Eingaben ergeben verschiedene Ausgaben

⇔ Kern(f) = \0⃗\
⇔ dim(Kern(f)) = 0
⇔ Rang(A) = n (für A ∈ ℝ^(m × n))

Surjektiv ("auf"): jedes Element in W wird getroffen

⇔ Bild(f) = W
⇔ Rang(A) = m

Bijektiv: beides → A ist quadratisch + invertierbar.

Komposition linearer Abbildungen = Matrix-Multiplikation

Wenn f(v⃗) = Av⃗ und g(w⃗) = Bw⃗, dann ist die Komposition g ° f gegeben durch: (g ° f)(v⃗) = g(f(v⃗)) = B · A · v⃗

Reihenfolge wichtig: B · A (innere Abbildung rechts!). Beispiel: erst drehen (A), dann spiegeln (B) → Matrix-Produkt B · A.

Klausur-Faustregeln

1. f(0⃗) = 0⃗ als erstes prüfen. Schneller Linearitäts-Test (Negativtest).

2. Matrix-Darstellung: Spalten = Bilder der Basisvektoren. f(vec(e₁)) wird zur 1. Spalte, f(vec(e₂)) zur 2., etc.

3. Dim-Satz: n = dim(Kern) + Rang. Brücke zwischen Kern-Dimension und Rang.

4. Komposition = Matrix-Multiplikation in umgekehrter Reihenfolge. g ° f ↔ B · A.

5. Bijektiv = invertierbar = det ≠ 0 = Rang = n. Alles äquivalent für quadratische Matrizen.

Häufige Stolpersteine

1. Translation als linear ansehen. f(x,y) = (x+1, y) ist AFFIN, nicht linear. f(0⃗) = (1,0) ≠ 0⃗.

2. Quadratische Terme als linear ansehen. f(x) = x² ist nicht linear. f(2x) = 4x² ≠ 2 · x².

3. Reihenfolge bei Komposition vergessen. "Erst f, dann g" heißt g ° f, in Matrizen B · A. NICHT A · B.

4. Kern und Bild verwechseln. Kern = Urbild von 0 (Quelle-Seite). Bild = was rauskommt (Ziel-Seite). Klar trennen.

5. Injektiv nur auf 0⃗-Kern reduzieren bei nicht-linearen Funktionen. Für lineare Abbildungen IST das Kern-Kriterium korrekt. Bei nicht-linearen Funktionen funktioniert es nicht.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Lineare Abbildungen — Praxis-Übung

6 Aufgaben zu Linearitäts-Test, Matrix-Darstellung, Bild/Kern, Komposition.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Welche der folgenden Funktionen ist linear?

Antwort: `f(x, y) = (2x + 3y, x - y)`

Erklärung: `(2x + 3y, x - y)` ist linear: Komponenten sind LINEARE Ausdrücke in x, y ohne Konstante. Translation ist affin (f(0) ≠ 0), x² ist nicht-linear (homogen verletzt), |x| ist nicht-linear (Additivität verletzt bei Vorzeichen-Wechsel).

F2.Eine lineare Abbildung f: ℝ² → ℝ² erfüllt f((1,0)) = (3, 1) und f((0,1)) = (2, 4). Wie sieht die Matrix-Darstellung aus?

Antwort: `[[3, 2], [1, 4]]`

Erklärung: Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Standard-Basisvektoren: 1. Spalte = `f(vec(e₁)) = (3, 1)^T`, 2. Spalte = `f(vec(e₂)) = (2, 4)^T`. Matrix: `[[3, 2], [1, 4]]`.

F3.Eine lineare Abbildung muss den Ursprung auf den Ursprung abbilden: f(0⃗) = 0⃗.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Aus Homogenität folgt `f(0⃗) = f(0 · v⃗) = 0 · f(v⃗) = 0⃗`. Schneller Test: wenn `f(0⃗) ≠ 0⃗`, ist `f` NICHT linear.

Typ: Wahr/Falsch

F4.Was ist der Kern einer linearen Abbildung f: V → W?

Antwort: Alle Vektoren in V, die auf `0⃗` abgebildet werden

Erklärung: Kern(f) = `\v⃗ ∈ V : f(v⃗) = 0⃗\`. Urbild des Nullvektors. Wenn nur `0⃗` im Kern, ist f INJEKTIV.

F5.Welche Aussagen über lineare Abbildungen sind RICHTIG?

Richtige Antworten: Drehungen und Spiegelungen sind lineare Abbildungen; Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Standard-Basisvektoren; Komposition entspricht Matrix-Multiplikation; Dim(Kern) + Dim(Bild) = Dim(Definitionsbereich)

Erklärung: Richtig: Drehungen/Spiegelungen sind linear (Ursprung bleibt), Spalten = f(eᵢ), Komposition = Matrix-Multiplikation, Dim-Satz (Rangsatz). Falsch: Translationen halten Ursprung NICHT fest (nicht linear); Bijektivität braucht zusätzlich Quadrat-Matrix + invertierbar.

Typ: Multi-Select

F6.Ordne Abbildung der Matrix zu:

Zuordnungen:

Identität → $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Spiegelung an x-Achse → $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Drehung um 90° → $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Projektion auf x-Achse → $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Erklärung: Standard-Beispiele für lineare Abbildungen mit Matrix-Darstellung. Spalten = Bilder der Basis-Vektoren.

Typ: Zuordnung

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Eine lineare Abbildung f: ℝ³ → ℝ² hat Rang 2. Was ist die Dimension des Kerns?

Antwort: 1

Erklärung: Dim-Satz: `n = dim(Kern) + Rang`. Hier `n = 3`, Rang = 2 → `dim(Kern) = 3 - 2 = 1`.

F2.Eine lineare Abbildung f: ℝⁿ → ℝⁿ ist genau dann bijektiv, wenn det(A) ≠ 0.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. det ≠ 0 ⇔ Rang = n ⇔ Kern = {0} (injektiv) ⇔ Bild = ℝⁿ (surjektiv) ⇔ bijektiv ⇔ A invertierbar. Alles äquivalent für quadratische Matrizen.

Typ: Wahr/Falsch

F3.Erst Drehung um 90° (A), dann Spiegelung an x-Achse (B). Welches Matrix-Produkt beschreibt die Komposition?

Antwort: `B · A`

Erklärung: Komposition `g ° f` heißt 'erst f, dann g'. In Matrizen: `B · A` (innere Abbildung rechts). Konvention: Matrix wirkt von links: `(g ° f)(v⃗) = g(f(v⃗)) = B(Av⃗) = (BA)v⃗`.

F4.f: ℝ² → ℝ² ist linear mit Kern = \(0,0)\. Was folgt?

Antwort: f ist injektiv und damit bijektiv

Erklärung: Kern = {0} → f ist injektiv. Bei quadratischer Matrix folgt: injektiv ⇒ surjektiv ⇒ bijektiv. Auch: Rang = n - dim(Kern) = 2 - 0 = 2 → Bild = ℝ² (voller Raum).

F5.Eine Funktion ist linear, wenn sie {{1}}- und {{2}}-Eigenschaft erfüllt. Schneller Test: f(0⃗) = {{3}}. Die {{4}} einer linearen Abbildung sind die Bilder der Standard-Basisvektoren.

Lösungen pro Lücke:

{{1}}: Additivität / Additivitäts / Additivitaet
{{2}}: Homogenität / Homogen / Homogenitaet
{{3}}: \vec{0} / 0 / Null
{{4}}: Spalten / Matrix-Spalten

Erklärung: Standard-Vokabular lineare Abbildungen. Additivität + Homogenität = Linearität. Spalten = Bilder der Basisvektoren.

Typ: Lückentext

F6.Sortiere: Matrix einer linearen Abbildung f: ℝ² → ℝ² bestimmen.

Richtige Reihenfolge:

Berechne $f(\vec{e_1}) = f((1, 0))$
Berechne $f(\vec{e_2}) = f((0, 1))$
Schreibe $f(\vec{e_1})$ als 1. Spalte der Matrix
Schreibe $f(\vec{e_2})$ als 2. Spalte der Matrix
Verifizieren: $A \vec{v}$ für einen Testvektor stimmt mit $f(\vec{v})$

Erklärung: Standard-Klausur-Workflow. Basisvektoren bildschauen, Bilder als Spalten der Matrix, mit Beispielvektor verifizieren.

Typ: Reihenfolge

Lineare Abbildungen.

Erklärung

Lineare Abbildungen.

Erklärung

Die Idee in einem Satz

Konkrete Beispiele

Matrix-Darstellung — der Trick

Test auf Linearität

Bild und Kern

Dimensionssatz (Rangsatz)

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Komposition linearer Abbildungen = Matrix-Multiplikation

Klausur-Faustregeln

Häufige Stolpersteine

Lineare-Abbildungs-Lab

Wenn du fertig bist: jetzt üben.

Die Idee in einem Satz

Konkrete Beispiele

Matrix-Darstellung — der Trick

Test auf Linearität

Bild und Kern

Dimensionssatz (Rangsatz)

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Komposition linearer Abbildungen = Matrix-Multiplikation

Klausur-Faustregeln

Häufige Stolpersteine

Interaktiv verstehen

Lineare-Abbildungs-Lab

Praxis-Übung

Lineare Abbildungen — Praxis-Übung

Klausur-Quiz