/
/
·
·
/
/
·
·
  • Einführung
  • Die Idee in einem Satz
  • Konkrete Beispiele
  • Matrix-Darstellung, der Trick
  • Test auf Linearität
  • Bild und Kern
  • Dimensionssatz (Rangsatz)
  • Injektiv, Surjektiv, Bijektiv
  • Komposition linearer Abbildungen = Matrix-Multiplikation
  • Klausur-Faustregeln
  • Häufige Stolpersteine
ThemenMathematikLineare Abbildungen
Mathematik·4Lerneinheiten·21min·Stand17.07.2026

Lineare Abbildungen.

Eine Funktion, die Vektoren auf Vektoren abbildet, aber nicht irgendeine, sondern eine, die Geraden zu Geraden macht und den Ursprung fest hält. Das ist eine lineare Abbildung. Sie ist DAS Werkzeug, mit dem Matrizen geometrisch verständlich werden: Drehung, Spiegelung, Streckung, Projektion, alles lineare Abbildungen, alles Matrizen.

Lineare Abbildung f:V→Wf: V \to Wf:V→W ist eine Funktion zwischen Vektorräumen, die zwei Eigenschaften erfüllt:

  1. Additivität: f(u⃗+v⃗)=f(u⃗)+f(v⃗)f(\vec{u} + \vec{v}) = f(\vec{u}) + f(\vec{v})f(u+v)=f(u)+f(v)
  2. Homogenität: f(c⋅v⃗)=c⋅f(v⃗)f(c \cdot \vec{v}) = c \cdot f(\vec{v})f(c⋅v)=c⋅f(v)

Zusammen heißt das: Linearität, die Funktion respektiert die Vektorraum-Struktur.

AbbildungFormelMatrix
Identitätf(v⃗)=v⃗f(\vec{v}) = \vec{v}f(v)=vI=(1 0; 0 1)I = (1\,0;\,0\,1)I=(10;01)
Streckung um Faktor cf(v⃗)=cv⃗f(\vec{v}) = c \vec{v}f(v)=cvcIcIcI
Drehung um Winkel α\alphaαsiehe unten(cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α)\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}(cosαsinα​−sinαcosα​)
Spiegelung an x-Achse(x,y)↦(x,−y)(x,y) \mapsto (x,-y)(x,y)↦(x,−y)(100−1)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}(10​0−1​)
Projektion auf x-Achse(x,y)↦(x,0)(x,y) \mapsto (x,0)(x,y)↦(x,0)(1000)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}(10​00​)
Scherung in x-Richtung(x,y)↦(x+ky,y)(x,y) \mapsto (x+ky, y)(x,y)↦(x+ky,y)(1k01)\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}(10​k1​)

Wichtigste Erkenntnis: Jede lineare Abbildung zwischen Rn\mathbb{R}^nRn und Rm\mathbb{R}^mRm kann als m×nm \times nm×n-Matrix dargestellt werden.

Wenn f:Rn→Rmf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mf:Rn→Rm linear, dann ist f(v⃗)=Av⃗f(\vec{v}) = A \vec{v}f(v)=Av mit der Matrix AAA, deren Spalten die Bilder der Standard-Basisvektoren sind:

A=(f(e1⃗) ∣ f(e2⃗) ∣ … ∣ f(en⃗))A = (f(\vec{e_1}) \, | \, f(\vec{e_2}) \, | \, \ldots \, | \, f(\vec{e_n}))A=(f(e1​​)∣f(e2​​)∣…∣f(en​​))

Beispiel: Drehung um 90° gegen Uhrzeigersinn:

  • f(e1⃗)=f((1,0))=(0,1)f(\vec{e_1}) = f((1,0)) = (0, 1)f(e1​​)=f((1,0))=(0,1)
  • f(e2⃗)=f((0,1))=(−1,0)f(\vec{e_2}) = f((0,1)) = (-1, 0)f(e2​​)=f((0,1))=(−1,0)

A=(0−110)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}A=(01​−10​)

3 Tests:

  1. f(0⃗)=0⃗f(\vec{0}) = \vec{0}f(0)=0? Wenn nein, NICHT linear (sofort raus).
  2. f(u⃗+v⃗)=f(u⃗)+f(v⃗)f(\vec{u} + \vec{v}) = f(\vec{u}) + f(\vec{v})f(u+v)=f(u)+f(v)? Mit zwei beliebigen Vektoren.
  3. f(cv⃗)=c⋅f(v⃗)f(c \vec{v}) = c \cdot f(\vec{v})f(cv)=c⋅f(v)? Mit beliebigem Skalar.

Alle 3 müssen gelten. Test 1 ist die schnellste Disqualifikation.

Beispiel, NICHT linear: f(x,y)=(x+1,y)f(x, y) = (x + 1, y)f(x,y)=(x+1,y) (Translation um 1)

  • f(0,0)=(1,0)≠(0,0)f(0, 0) = (1, 0) \neq (0, 0)f(0,0)=(1,0)=(0,0) ✗ → nicht linear.

Beispiel, NICHT linear: f(x,y)=(x2,y)f(x, y) = (x^2, y)f(x,y)=(x2,y)

  • f(2⋅(1,1))=(4,2)f(2 \cdot (1, 1)) = (4, 2)f(2⋅(1,1))=(4,2), aber 2⋅f(1,1)=(2,2)2 \cdot f(1, 1) = (2, 2)2⋅f(1,1)=(2,2). Homogenität verletzt → nicht linear.

Bild (image) von fff: alle Vektoren w⃗\vec{w}w, die als f(v⃗)f(\vec{v})f(v) vorkommen Bild(f)={f(v⃗):v⃗∈V}⊆W\text{Bild}(f) = \{f(\vec{v}) : \vec{v} \in V\} \subseteq WBild(f)={f(v):v∈V}⊆W

Kern (kernel, Null-Raum) von fff: alle Vektoren, die auf 0⃗\vec{0}0 abgebildet werden Kern(f)={v⃗∈V:f(v⃗)=0⃗}⊆V\text{Kern}(f) = \{\vec{v} \in V : f(\vec{v}) = \vec{0}\} \subseteq VKern(f)={v∈V:f(v)=0}⊆V

Beide sind Unterräume (enthalten 0, abgeschlossen unter +, ⋅\cdot⋅).

dim⁡(V)=dim⁡(Kern(f))+dim⁡(Bild(f))\dim(V) = \dim(\text{Kern}(f)) + \dim(\text{Bild}(f))dim(V)=dim(Kern(f))+dim(Bild(f))

Praktisch: für eine m×nm \times nm×n-Matrix AAA: n=dim⁡(Kern(A))+Rang(A)n = \dim(\text{Kern}(A)) + \text{Rang}(A)n=dim(Kern(A))+Rang(A)

Klausur-Anwendung: Rang einer Matrix = Dim des Bildes. Wenn du Rang ausrechnest, weißt du sofort die Dimension des Kerns: dim⁡(Kern)=n−Rang\dim(\text{Kern}) = n - \text{Rang}dim(Kern)=n−Rang.

Injektiv ("eindeutig"): verschiedene Eingaben ergeben verschiedene Ausgaben

  • ⇔\Leftrightarrow⇔ Kern(f)={0⃗}\text{Kern}(f) = \{\vec{0}\}Kern(f)={0}
  • ⇔\Leftrightarrow⇔ dim⁡(Kern(f))=0\dim(\text{Kern}(f)) = 0dim(Kern(f))=0
  • ⇔\Leftrightarrow⇔ Rang(A)=n\text{Rang}(A) = nRang(A)=n (für A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}A∈Rm×n)

Surjektiv ("auf"): jedes Element in WWW wird getroffen

  • ⇔\Leftrightarrow⇔ Bild(f)=W\text{Bild}(f) = WBild(f)=W
  • ⇔\Leftrightarrow⇔ Rang(A)=m\text{Rang}(A) = mRang(A)=m

Bijektiv: beides → A ist quadratisch + invertierbar.

Wenn f(v⃗)=Av⃗f(\vec{v}) = A\vec{v}f(v)=Av und g(w⃗)=Bw⃗g(\vec{w}) = B\vec{w}g(w)=Bw, dann ist die Komposition g∘fg \circ fg∘f gegeben durch: (g∘f)(v⃗)=g(f(v⃗))=B⋅A⋅v⃗(g \circ f)(\vec{v}) = g(f(\vec{v})) = B \cdot A \cdot \vec{v}(g∘f)(v)=g(f(v))=B⋅A⋅v

Reihenfolge wichtig: B⋅AB \cdot AB⋅A (innere Abbildung rechts!). Beispiel: erst drehen (AAA), dann spiegeln (BBB) → Matrix-Produkt B⋅AB \cdot AB⋅A.

1. f(0⃗)=0⃗f(\vec{0}) = \vec{0}f(0)=0 als erstes prüfen. Schneller Linearitäts-Test (Negativtest).

2. Matrix-Darstellung: Spalten = Bilder der Basisvektoren. f(e1⃗)f(\vec{e_1})f(e1​​) wird zur 1. Spalte, f(e2⃗)f(\vec{e_2})f(e2​​) zur 2., etc.

3. Dim-Satz: n=dim⁡(Kern)+Rangn = \dim(\text{Kern}) + \text{Rang}n=dim(Kern)+Rang. Brücke zwischen Kern-Dimension und Rang.

4. Komposition = Matrix-Multiplikation in umgekehrter Reihenfolge. g∘f↔B⋅Ag \circ f \leftrightarrow B \cdot Ag∘f↔B⋅A.

5. Bijektiv = invertierbar = det⁡≠0\det \neq 0det=0 = Rang=n\text{Rang} = nRang=n. Alles äquivalent für quadratische Matrizen.

1. Translation als linear ansehen. f(x,y)=(x+1,y)f(x,y) = (x+1, y)f(x,y)=(x+1,y) ist AFFIN, nicht linear. f(0⃗)=(1,0)≠0⃗f(\vec{0}) = (1,0) \neq \vec{0}f(0)=(1,0)=0.

2. Quadratische Terme als linear ansehen. f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 ist nicht linear. f(2x)=4x2≠2⋅x2f(2x) = 4x^2 \neq 2 \cdot x^2f(2x)=4x2=2⋅x2.

3. Reihenfolge bei Komposition vergessen. "Erst fff, dann ggg" heißt g∘fg \circ fg∘f, in Matrizen B⋅AB \cdot AB⋅A. NICHT A⋅BA \cdot BA⋅B.

4. Kern und Bild verwechseln. Kern = Urbild von 0 (Quelle-Seite). Bild = was rauskommt (Ziel-Seite). Klar trennen.

5. Injektiv nur auf 0⃗\vec{0}0-Kern reduzieren bei nicht-linearen Funktionen. Für lineare Abbildungen IST das Kern-Kriterium korrekt. Bei nicht-linearen Funktionen funktioniert es nicht.

Wähle eine lineare Abbildung (Drehung / Spiegelung / Streckung / Scherung) und sieh:

  • Wie das Einheitsquadrat transformiert wird
  • Wie die Standard-Basisvektoren auf die neuen Spalten der Matrix abgebildet werden
  • Die Matrix-Darstellung der Abbildung (live)

So entwickelst du Intuition für die Verbindung Matrix ↔ geometrische Transformation.

Lade Visualisierung...

Klausur-Tipp: Wenn die Klausur fragt "Bestimme die Matrix von Abbildung fff", IMMER die Bilder der Standard-Basisvektoren f(e1⃗)f(\vec{e_1})f(e1​​) und f(e2⃗)f(\vec{e_2})f(e2​​) ausrechnen, das sind die Spalten der Matrix.

Anmelden, um den Fortschritt zu speichern.

Nächster Schritt

Wenn du fertig bist: jetzt üben.

Aktives Abrufen festigt Wissen schneller als nochmal lesen.

War das hilfreich?

Verwandte Themen

  • Lineare Funktionen
  • Prädikatenlogik 1. Stufe
  • Quadratische Funktionen
  • Ableitungen
  • Integrale

Tools

Bald: Karteikarten · Spaced-Repetition · Mind-Map-Export

Fachliche Qualität
Noch nicht klassifiziertNoch nicht geprüft.

Diese Lerneinheit wurde für typische Bachelor-Klausuren konzipiert. So prüfen wir · Fehler entdeckt? Melde ihn uns oder markiere die fragliche Stelle direkt im Text oben.

Klausur-ÜbersichtKomplette Übersicht: alle Tabs als linearer Text zum Lernen
▾

Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv verstehen · Praxis-Übung · Klausur-Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur, und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).

Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Eine Funktion, die Vektoren auf Vektoren abbildet, aber nicht irgendeine, sondern eine, die Geraden zu Geraden macht und den Ursprung fest hält. Das ist eine lineare Abbildung. Sie ist DAS Werkzeug, mit dem Matrizen geometrisch verständlich werden: Drehung, Spiegelung, Streckung, Projektion, alles lineare Abbildungen, alles Matrizen.

Die Idee in einem Satz

Lineare Abbildung f: V → W ist eine Funktion zwischen Vektorräumen, die zwei Eigenschaften erfüllt:

  1. Additivität: f(u⃗ + v⃗) = f(u⃗) + f(v⃗)
  2. Homogenität: f(c · v⃗) = c · f(v⃗)

Zusammen heißt das: Linearität, die Funktion respektiert die Vektorraum-Struktur.

Konkrete Beispiele

AbbildungFormelMatrix
Identitätf(v⃗) = v⃗I = (1 0; 0 1)
Streckung um Faktor cf(v⃗) = c v⃗cI
Drehung um Winkel αsiehe unten[[cosα, -sinα], [sinα, cosα]]
Spiegelung an x-Achse(x,y) ↦ (x,-y)[[1, 0], [0, -1]]
Projektion auf x-Achse(x,y) ↦ (x,0)[[1, 0], [0, 0]]
Scherung in x-Richtung(x,y) ↦ (x+ky, y)[[1, k], [0, 1]]

Wichtigste Erkenntnis: Jede lineare Abbildung zwischen ℝⁿ und ℝ^m kann als m × n-Matrix dargestellt werden.

Matrix-Darstellung, der Trick

Wenn f: ℝⁿ → ℝ^m linear, dann ist f(v⃗) = A v⃗ mit der Matrix A, deren Spalten die Bilder der Standard-Basisvektoren sind:

A = (f(vec(e₁)) | f(vec(e₂)) | ... | f(vec(e_n)))

Beispiel: Drehung um 90° gegen Uhrzeigersinn:

  • f(vec(e₁)) = f((1,0)) = (0, 1)
  • f(vec(e₂)) = f((0,1)) = (-1, 0)

A = [[0, -1], [1, 0]]

Test auf Linearität

3 Tests:

  1. f(0⃗) = 0⃗? Wenn nein, NICHT linear (sofort raus).
  2. f(u⃗ + v⃗) = f(u⃗) + f(v⃗)? Mit zwei beliebigen Vektoren.
  3. f(c v⃗) = c · f(v⃗)? Mit beliebigem Skalar.

Alle 3 müssen gelten. Test 1 ist die schnellste Disqualifikation.

Beispiel, NICHT linear: f(x, y) = (x + 1, y) (Translation um 1)

  • f(0, 0) = (1, 0) ≠ (0, 0) ✗ → nicht linear.

Beispiel, NICHT linear: f(x, y) = (x², y)

  • f(2 · (1, 1)) = (4, 2), aber 2 · f(1, 1) = (2, 2). Homogenität verletzt → nicht linear.

Bild und Kern

Bild (image) von f: alle Vektoren w⃗, die als f(v⃗) vorkommen Bild(f) = \f(v⃗) : v⃗ ∈ V\ ⊆ W

Kern (kernel, Null-Raum) von f: alle Vektoren, die auf 0⃗ abgebildet werden Kern(f) = \v⃗ ∈ V : f(v⃗) = 0⃗\ ⊆ V

Beide sind Unterräume (enthalten 0, abgeschlossen unter +, ·).

Dimensionssatz (Rangsatz)

dim(V) = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f))

Praktisch: für eine m × n-Matrix A: n = dim(Kern(A)) + Rang(A)

Klausur-Anwendung: Rang einer Matrix = Dim des Bildes. Wenn du Rang ausrechnest, weißt du sofort die Dimension des Kerns: dim(Kern) = n - Rang.

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Injektiv ("eindeutig"): verschiedene Eingaben ergeben verschiedene Ausgaben

  • ⇔ Kern(f) = \0⃗\
  • ⇔ dim(Kern(f)) = 0
  • ⇔ Rang(A) = n (für A ∈ ℝ^(m × n))

Surjektiv ("auf"): jedes Element in W wird getroffen

  • ⇔ Bild(f) = W
  • ⇔ Rang(A) = m

Bijektiv: beides → A ist quadratisch + invertierbar.

Komposition linearer Abbildungen = Matrix-Multiplikation

Wenn f(v⃗) = Av⃗ und g(w⃗) = Bw⃗, dann ist die Komposition g ° f gegeben durch: (g ° f)(v⃗) = g(f(v⃗)) = B · A · v⃗

Reihenfolge wichtig: B · A (innere Abbildung rechts!). Beispiel: erst drehen (A), dann spiegeln (B) → Matrix-Produkt B · A.

Klausur-Faustregeln

1. f(0⃗) = 0⃗ als erstes prüfen. Schneller Linearitäts-Test (Negativtest).

2. Matrix-Darstellung: Spalten = Bilder der Basisvektoren. f(vec(e₁)) wird zur 1. Spalte, f(vec(e₂)) zur 2., etc.

3. Dim-Satz: n = dim(Kern) + Rang. Brücke zwischen Kern-Dimension und Rang.

4. Komposition = Matrix-Multiplikation in umgekehrter Reihenfolge. g ° f ↔ B · A.

5. Bijektiv = invertierbar = det ≠ 0 = Rang = n. Alles äquivalent für quadratische Matrizen.

Häufige Stolpersteine

1. Translation als linear ansehen. f(x,y) = (x+1, y) ist AFFIN, nicht linear. f(0⃗) = (1,0) ≠ 0⃗.

2. Quadratische Terme als linear ansehen. f(x) = x² ist nicht linear. f(2x) = 4x² ≠ 2 · x².

3. Reihenfolge bei Komposition vergessen. "Erst f, dann g" heißt g ° f, in Matrizen B · A. NICHT A · B.

4. Kern und Bild verwechseln. Kern = Urbild von 0 (Quelle-Seite). Bild = was rauskommt (Ziel-Seite). Klar trennen.

5. Injektiv nur auf 0⃗-Kern reduzieren bei nicht-linearen Funktionen. Für lineare Abbildungen IST das Kern-Kriterium korrekt. Bei nicht-linearen Funktionen funktioniert es nicht.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

Lineare-Abbildungs-Lab

Wähle eine lineare Abbildung (Drehung / Spiegelung / Streckung / Scherung) und sieh:

  • Wie das Einheitsquadrat transformiert wird
  • Wie die Standard-Basisvektoren auf die neuen Spalten der Matrix abgebildet werden
  • Die Matrix-Darstellung der Abbildung (live)

So entwickelst du Intuition für die Verbindung Matrix ↔ geometrische Transformation.

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Klausur-Tipp: Wenn die Klausur fragt "Bestimme die Matrix von Abbildung f", IMMER die Bilder der Standard-Basisvektoren f(vec(e₁)) und f(vec(e₂)) ausrechnen, das sind die Spalten der Matrix.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Lineare Abbildungen, Praxis-Übung

6 Aufgaben zu Linearitäts-Test, Matrix-Darstellung, Bild/Kern, Komposition.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Welche der folgenden Funktionen ist linear?

Antwort: `f(x, y) = (2x + 3y, x - y)`

Erklärung: `(2x + 3y, x - y)` ist linear: Komponenten sind LINEARE Ausdrücke in x, y ohne Konstante. Translation ist affin (f(0) ≠ 0), x² ist nicht-linear (homogen verletzt), |x| ist nicht-linear (Additivität verletzt bei Vorzeichen-Wechsel).

F2.Eine lineare Abbildung f: ℝ² → ℝ² erfüllt f((1,0)) = (3, 1) und f((0,1)) = (2, 4). Wie sieht die Matrix-Darstellung aus?

Antwort: `[[3, 2], [1, 4]]`

Erklärung: Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Standard-Basisvektoren: 1. Spalte = `f(vec(e₁)) = (3, 1)^T`, 2. Spalte = `f(vec(e₂)) = (2, 4)^T`. Matrix: `[[3, 2], [1, 4]]`.

F3.Eine lineare Abbildung muss den Ursprung auf den Ursprung abbilden: f(0⃗) = 0⃗.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Aus Homogenität folgt `f(0⃗) = f(0 · v⃗) = 0 · f(v⃗) = 0⃗`. Schneller Test: wenn `f(0⃗) ≠ 0⃗`, ist `f` NICHT linear.

Typ: Wahr/Falsch

F4.Was ist der Kern einer linearen Abbildung f: V → W?

Antwort: Alle Vektoren in V, die auf `0⃗` abgebildet werden

Erklärung: Kern(f) = `\v⃗ ∈ V : f(v⃗) = 0⃗\`. Urbild des Nullvektors. Wenn nur `0⃗` im Kern, ist f INJEKTIV.

F5.Welche Aussagen über lineare Abbildungen sind RICHTIG?

Richtige Antworten: Drehungen und Spiegelungen sind lineare Abbildungen; Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Standard-Basisvektoren; Komposition entspricht Matrix-Multiplikation; Dim(Kern) + Dim(Bild) = Dim(Definitionsbereich)

Erklärung: Richtig: Drehungen/Spiegelungen sind linear (Ursprung bleibt), Spalten = f(eᵢ), Komposition = Matrix-Multiplikation, Dim-Satz (Rangsatz). Falsch: Translationen halten Ursprung NICHT fest (nicht linear); Bijektivität braucht zusätzlich Quadrat-Matrix + invertierbar.

Typ: Multi-Select

F6.Ordne Abbildung der Matrix zu:

Zuordnungen:

  • Identität → $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
  • Spiegelung an x-Achse → $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
  • Drehung um 90° → $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
  • Projektion auf x-Achse → $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Erklärung: Standard-Beispiele für lineare Abbildungen mit Matrix-Darstellung. Spalten = Bilder der Basis-Vektoren.

Typ: Zuordnung

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Eine lineare Abbildung f: ℝ³ → ℝ² hat Rang 2. Was ist die Dimension des Kerns?

Antwort: 1

Erklärung: Dim-Satz: `n = dim(Kern) + Rang`. Hier `n = 3`, Rang = 2 → `dim(Kern) = 3 - 2 = 1`.

F2.Eine lineare Abbildung f: ℝⁿ → ℝⁿ ist genau dann bijektiv, wenn det(A) ≠ 0.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. det ≠ 0 ⇔ Rang = n ⇔ Kern = {0} (injektiv) ⇔ Bild = ℝⁿ (surjektiv) ⇔ bijektiv ⇔ A invertierbar. Alles äquivalent für quadratische Matrizen.

Typ: Wahr/Falsch

F3.Erst Drehung um 90° (A), dann Spiegelung an x-Achse (B). Welches Matrix-Produkt beschreibt die Komposition?

Antwort: `B · A`

Erklärung: Komposition `g ° f` heißt 'erst f, dann g'. In Matrizen: `B · A` (innere Abbildung rechts). Konvention: Matrix wirkt von links: `(g ° f)(v⃗) = g(f(v⃗)) = B(Av⃗) = (BA)v⃗`.

F4.f: ℝ² → ℝ² ist linear mit Kern = \(0,0)\. Was folgt?

Antwort: f ist injektiv und damit bijektiv

Erklärung: Kern = {0} → f ist injektiv. Bei quadratischer Matrix folgt: injektiv ⇒ surjektiv ⇒ bijektiv. Auch: Rang = n - dim(Kern) = 2 - 0 = 2 → Bild = ℝ² (voller Raum).

F5.Eine Funktion ist linear, wenn sie {{1}}- und {{2}}-Eigenschaft erfüllt. Schneller Test: f(0⃗) = {{3}}. Die {{4}} einer linearen Abbildung sind die Bilder der Standard-Basisvektoren.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: Additivität / Additivitäts / Additivitaet
  • {{2}}: Homogenität / Homogen / Homogenitaet
  • {{3}}: \vec{0} / 0 / Null
  • {{4}}: Spalten / Matrix-Spalten

Erklärung: Standard-Vokabular lineare Abbildungen. Additivität + Homogenität = Linearität. Spalten = Bilder der Basisvektoren.

Typ: Lückentext

F6.Sortiere: Matrix einer linearen Abbildung f: ℝ² → ℝ² bestimmen.

Richtige Reihenfolge:

  1. Berechne $f(\vec{e_1}) = f((1, 0))$
  2. Berechne $f(\vec{e_2}) = f((0, 1))$
  3. Schreibe $f(\vec{e_1})$ als 1. Spalte der Matrix
  4. Schreibe $f(\vec{e_2})$ als 2. Spalte der Matrix
  5. Verifizieren: $A \vec{v}$ für einen Testvektor stimmt mit $f(\vec{v})$

Erklärung: Standard-Klausur-Workflow. Basisvektoren bildschauen, Bilder als Spalten der Matrix, mit Beispielvektor verifizieren.

Typ: Reihenfolge

Zur KategorieMathematik.Mehr Themen entdeckenZum Themen-Hub.

UniProMax ist eine themenbasierte Lernplattform für Studierende an deutschen Unis.

Wir glauben, dass Verstehen besser ist als Auswendiglernen. Wir bauen Lerneinheiten die zeigen statt erzählen. Code, Visualisierung, Quiz. Auf Deutsch.

Marke

UniProMaxUniProMax

Themenbasiert, visuell, interaktiv.

Inhalte

  • Alle Themen (Hub)
  • Programmiergrundlagen
  • Algorithmen
  • Mathematik
  • Statistik
  • Datenbanken
  • Rechnungswesen
  • VWL

Studiengang-Filter

  • Informatik
  • Wirtschaftsinformatik
  • BWL
  • Data Science
  • VWL
  • Wirtschaftsingenieurwesen
  • Mathe
  • Psychologie
  • weitere Studiengänge folgen

Plattform

  • Mein Fortschritt
  • Impressum
  • Datenschutz
© 2026 UniProMaxAlle Systeme onlinev0.2 / Sommersemester 2026
UniProMaxUniProMaxUniProMaxUniProMax