Wirf einen Würfel 30-mal, notiere den Mittelwert. Mach das 1000-mal. Was siehst du im Histogramm der Mittelwerte? Eine fast perfekte Glockenkurve — obwohl der Würfel selbst völlig anders verteilt ist (gleichmäßig flach). Das ist der Zentrale Grenzwertsatz (CLT, "Central Limit Theorem") in Action: Stichprobenmittelwerte Xˉn sind annähernd normalverteilt, egal aus welcher Ausgangsverteilung sie kommen — solange Stichprobengröße n groß genug ist.
Das ist der mathematische Grund, warum Stat-1 so viele Aufgaben mit Normalverteilung hat: alles, was "Mittelwert einer Stichprobe" ist (Notenschnitt, Verkaufszahl-Schnitt, mittlere Reaktionszeit), darf normalverteilt angenommen werden. Klausur-Pflicht in WInf/BWL/Informatik/Data Science/Psychologie. Ohne CLT kein t-Test, kein Konfidenzintervall für den Mittelwert, keine Stichproben-basierte Inferenz.
Wenn X1,X2,…,Xn unabhängig identisch verteilt sind mit Erwartungswert μ und endlicher Varianz σ2, dann gilt für das Stichprobenmittel Xˉn=n1∑Xi:
Xˉnn→∞N(μ,nσ2)
Lies das so: "die Stichprobenmittel Xˉn konvergieren in Verteilung gegen eine Normalverteilung mit Erwartungswert μ (= Mittelwert der Ausgangsverteilung) und Varianz σ2/n (= Varianz der Ausgangsverteilung geteilt durch n)."
Drei Punkte, die du sofort verstehen musst:
Mittelwert wandert nicht.E[Xˉn]=μ — egal wie groß n, der Erwartungswert der Stichprobenmittel ist immer μ. Das ist Linearität des Erwartungswerts.
Streuung schrumpft mit n. Die Standardabweichung des Stichprobenmittels ist σXˉ=σ/n, nichtσ. Größere Stichprobe → präziserer Mittelwert. Verdopplung der Genauigkeit braucht 4-fache Stichprobengröße — das ist die berühmte Wurzel-n-Regel.
Egal welche Ausgangsverteilung. Würfel (uniform), Exponential, sogar Bimodal — solange Varianz endlich ist, konvergiert das Stichprobenmittel gegen Normal. Magie? Nein, mathematische Gesetzmäßigkeit der Mittelwertbildung.
Klassische Daumenregel: n≥30 reicht meistens. Bei nahezu symmetrischen Ausgangsverteilungen schon n≥15, bei stark schiefen oder bimodalen Ausgangsverteilungen lieber n≥50. In Klausuren wird n=30 als Schwelle akzeptiert.
Achtung Sonderfall — wenn die Ausgangsverteilung selbst schon normal ist, ist Xˉn schon für jedesn≥1 exakt normalverteilt. Kein CLT nötig, das folgt direkt aus der Reproduktivität der Normalverteilung.
Die Größe σXˉ=σ/n heißt Standardfehler des Mittelwerts (engl. standard error of the mean, SEM). Sie ist die Streuung der Stichprobenmittel um μ und ist die Grundlage für Konfidenzintervalle und Z-Werte für Mittelwert-Tests:
Z=σ/nXˉn−μ∼N(0,1)
Wenn σ nicht bekannt ist, ersetzt du es durch die Stichproben-Standardabweichung s und nutzt die t-Verteilung (ergibt den t-Test).
Werfe einen fairen Würfel n-mal und notiere Xˉn. Die Ausgangsverteilung ist diskret und gleichverteilt: P(X=k)=1/6 für k∈{1,2,3,4,5,6}, μ=3,5, σ2=35/12≈2,92, σ≈1,71.
n
Erwartung Xˉn
Streuung σ/n
Form der Verteilung von Xˉn
1
3,5
1,71
gleichmäßig, gar nicht normal
5
3,5
0,76
glockig, leichter Knick
30
3,5
0,31
praktisch normal
100
3,5
0,17
extrem präzise
1000
3,5
0,054
quasi-konstant
Du siehst: der Mittelwert (μ=3,5) bleibt, die Streuung schrumpft mit 1/n, die Form wird normal. Das ist CLT in einer Zeile.
Das vollständige Beweis-Argument läuft über charakteristische Funktionen und Taylor-Entwicklung — Klausur-irrelevant. Die Intuition: Wenn du viele unabhängige Zufallsvariablen summierst, mitteln sich extreme Werte heraus. Die hohe Wahrscheinlichkeitsmasse konzentriert sich um den Erwartungswert, die Verteilung "glättet" sich aus. Die Glockenform ist die einzige Verteilung, die unter Addition vieler kleiner unabhängiger Einflüsse "stabil" ist (Stichwort: stabile Verteilungen, Lévy-Theorem).
CLT-Voraussetzungen:Xi unabhängig, identisch verteilt, endliche Varianz. Bei Cauchy-Verteilung (unendliche Varianz) gilt CLT nicht. In Klausuraufgaben fast immer erfüllt.
Schwellwert n≥30: Daumenregel für CLT-Anwendbarkeit. Bei stark schiefen Verteilungen n≥50, bei symmetrischen schon n≥15.
Z-Wert für Stichprobenmittel:Z=(Xˉ−μ)/(σ/n), nichtZ=(Xˉ−μ)/σ. Wurzel-n vergessen ist der häufigste Klausur-Fehler.
Wenn σ unbekannt:s einsetzen und t-Verteilung mit n−1 Freiheitsgraden statt N(0,1) nutzen.
1. σ vs. σ/n verwechseln. Wenn du einen Z-Wert für einen einzelnen WertX berechnest, ist es Z=(X−μ)/σ. Wenn du einen Z-Wert für ein StichprobenmittelXˉn berechnest, ist es Z=(Xˉ−μ)/(σ/n). Das n ist der ganze Punkt des CLT — vergessen kostet Punkte.
2. CLT auf einzelne Beobachtungen anwenden. CLT sagt etwas über StichprobenmittelwerteXˉn, nicht über einzelne Xi. Wenn die Ausgangsverteilung exponentiell ist, sind einzelne Werte exponentialverteilt (nicht normal), auch für große n. Erst der Mittelwert wird normal.
3. "Größere Stichprobe → schmalere Ausgangsverteilung" denken. Nein. Die Ausgangsverteilung von X ändert sich nie — sie hat immer Varianz σ2. Nur die Verteilung des Stichprobenmittels Xˉn wird mit größerem n schmaler (σ2/n).
4. CLT als Voraussetzung für jede Statistik annehmen. Der CLT ist nicht universal — er braucht endliche Varianz (Cauchy-Verteilung disqualifiziert), unabhängige Stichproben (Zeitreihen mit Autokorrelation disqualifiziert ohne weitere Annahmen) und identische Verteilung (Mischverteilungen brauchen Generalisierungen). In Klausuren meist erfüllt, in Forschungs-Praxis öfter problematisch.
Wähle eine Ausgangsverteilung (Würfel, Exponential, Bimodal) und eine Stichprobengröße n. Klicke "100 Stichproben ziehen" — der Simulator zieht 100 Stichproben der Größe n, berechnet jeweils den Mittelwert und zeichnet das Histogramm der 100 Mittelwerte. Theoretische Normalverteilung (CLT-Vorhersage) wird als Überlagerung gezeigt.
Experimente, die du machen solltest:
n=1: Histogramm der Mittelwerte = Histogramm der Ausgangsverteilung selbst. Bei Würfel flach, bei Exponential schief, bei Bimodal zwei Häufungen. CLT noch nicht in Kraft.
n=5: Schon erste Annäherung an Glocke, aber bei Bimodal/Exponential noch erkennbar nicht-normal.
n=30: Klassische CLT-Schwelle. Histogramm sieht für alle drei Ausgangsverteilungen sehr normal aus. Streuung sichtbar geschrumpft auf σ/30.
n=100: Praktisch perfekte Glocke, Streuung sehr klein.
Beobachte: der Mittelwert (vertikale Linie) bleibt immer gleich, egal wie groß n. Nur die Breite des Histogramms ändert sich. Das ist die Wurzel-n-Regel im Bild.
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Klausur-Tipp: Wenn dich eine Aufgabe nach der Verteilung eines Stichprobenmittels Xˉn fragt und n ausreichend groß ist (in der Klausur typischerweise n≥30), darfst du auch ohne Information über die Ausgangsverteilung Normalverteilung annehmen. Mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ/n — Punkte schreiben, Z-Wert ausrechnen, fertig.
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Teil 1·Erklärung
Erklärung
Wirf einen Würfel 30-mal, notiere den Mittelwert. Mach das 1000-mal. Was siehst du im Histogramm der Mittelwerte? Eine fast perfekte Glockenkurve — obwohl der Würfel selbst völlig anders verteilt ist (gleichmäßig flach). Das ist der Zentrale Grenzwertsatz (CLT, "Central Limit Theorem") in Action: Stichprobenmittelwerte X̄_n sind annähernd normalverteilt, egal aus welcher Ausgangsverteilung sie kommen — solange Stichprobengröße n groß genug ist.
Das ist der mathematische Grund, warum Stat-1 so viele Aufgaben mit Normalverteilung hat: alles, was "Mittelwert einer Stichprobe" ist (Notenschnitt, Verkaufszahl-Schnitt, mittlere Reaktionszeit), darf normalverteilt angenommen werden. Klausur-Pflicht in WInf/BWL/Informatik/Data Science/Psychologie. Ohne CLT kein t-Test, kein Konfidenzintervall für den Mittelwert, keine Stichproben-basierte Inferenz.
Die Aussage in einer Zeile
Wenn X₁, X₂, ..., X_n unabhängig identisch verteilt sind mit Erwartungswert μ und endlicher Varianz σ², dann gilt für das Stichprobenmittel X̄_n = 1/n Σ X_i:
X̄_n xrightarrow n → ∞ N (μ, (σ²)/n)
Lies das so: "die Stichprobenmittel X̄_n konvergieren in Verteilung gegen eine Normalverteilung mit Erwartungswert (= Mittelwert der Ausgangsverteilung) und Varianz (= Varianz der Ausgangsverteilung geteilt durch )."
Teil 2·Visualisierung / Interaktiv
Interaktiv simulieren
CLT-Simulator
Wähle eine Ausgangsverteilung (Würfel, Exponential, Bimodal) und eine Stichprobengröße n. Klicke "100 Stichproben ziehen" — der Simulator zieht 100 Stichproben der Größe n, berechnet jeweils den Mittelwert und zeichnet das Histogramm der 100 Mittelwerte. Theoretische Normalverteilung (CLT-Vorhersage) wird als Überlagerung gezeigt.
Experimente, die du machen solltest:
n = 1: Histogramm der Mittelwerte = Histogramm der Ausgangsverteilung selbst. Bei Würfel flach, bei Exponential schief, bei Bimodal zwei Häufungen. CLT noch nicht in Kraft.
n = 5: Schon erste Annäherung an Glocke, aber bei Bimodal/Exponential noch erkennbar nicht-normal.
n = 30: Klassische CLT-Schwelle. Histogramm sieht für alle drei Ausgangsverteilungen sehr normal aus. Streuung sichtbar geschrumpft auf σ/√(30).
n = 100: Praktisch perfekte Glocke, Streuung sehr klein.
Teil 3·Quiz / Klausurfragen
Praxis-Übung
Zentraler Grenzwertsatz — Praxis-Übung
Drei Aufgaben-Typen: Standardfehler-Berechnung, Z-Wert für Stichprobenmittel, Wurzel-n-Regel anwenden.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
F1.Eine Ausgangsverteilung hat σ = 10. Wie groß ist der Standardfehler σ_(X̄) bei Stichprobengröße n = 25? (auf 2 Nachkommastellen)
Antwort: 2 (Toleranz ±0.05)
Erklärung: `σ_(X̄) = σ / √(n) = 10 / √(25) = 10 / 5 = 2`. Das ist die Wurzel-n-Regel: die Streuung des Mittelwerts ist deutlich kleiner als die der Einzelwerte.
Typ: Zahlen-Eingabe
F2.Welche Aussage über den Zentralen Grenzwertsatz ist KORREKT?
Antwort: Er sagt, dass Stichprobenmittel `X̄_n` für große `n` annähernd normalverteilt sind
Erklärung: CLT-Kernaussage: das Stichprobenmittel `X̄_n` ist annähernd normalverteilt, unabhängig von der Ausgangsverteilung (solange endliche Varianz). Falsch: gilt für jede Verteilung mit endlicher Varianz, sagt nichts über einzelne `X_i`, gilt auch für diskrete Verteilungen (Würfel-Beispiel!).
F3.Eine Klausur hat Notendurchschnitt μ = 2,8 mit Standardabweichung σ = 0,9. Eine Tutoriumsgruppe von n = 16 Studierenden hat Schnitt X̄ = 2,4. Wie hoch ist der zugehörige Z-Wert (auf 2 Nachkommastellen)?
Teil 4·Quiz / Klausurfragen
Klausur-Quiz
Klausurfragen mit Lösungen (6)
F1.Reaktionszeiten sind exponentialverteilt mit Mittelwert μ = 200 ms und σ = 200 ms (bei Exponential gilt μ = σ). Du misst eine Stichprobe von n = 64 Reaktionen. Welcher Standardfehler σ_(X̄) ergibt sich? (in ms)
Antwort: 25 (Toleranz ±0.5)
Erklärung: `σ_(X̄) = σ / √(n) = 200 / 8 = 25` ms. Egal dass die Ausgangsverteilung Exponential ist (nicht normal): bei `n = 64` ist CLT klar in Kraft, das Stichprobenmittel ist annähernd `N(200, 25²)`.
Typ: Zahlen-Eingabe
F2.Eine Stichprobe von n = 100 Klausuren ergibt Schnitt X̄ = 2,65, bei μ = 2,80 und σ = 0,90. Wie wahrscheinlich ist es, einen Schnitt ≤ 2,65 zu erhalten? (in %, auf 1 Nachkommastelle, normalverteilungs-Approx)
Antwort: 4.8 (Toleranz ±0.3)
Erklärung: `Z = (2,65 - 2,80) / (0,9/√(100)) = -0,15 / 0,09 ≈ -1,67`. `Φ(-1,67) ≈ 0,0475 = 4,75 \%`. Aussage: Schnitt `≤ 2,65` tritt mit knapp 5 % Wahrscheinlichkeit allein durch Zufall auf — entspricht in etwa `α = 5 \%` Signifikanz-Schwelle (einseitig).
Typ: Zahlen-Eingabe
F3.Wann wird in der Praxis statt des Z-Werts der t-Wert verwendet?
Antwort: Wenn `σ` unbekannt ist und durch die Stichprobenvarianz `s` ersetzt werden muss
Mittelwert wandert nicht.𝔼[X̄_n] = μ — egal wie groß n, der Erwartungswert der Stichprobenmittel ist immer μ. Das ist Linearität des Erwartungswerts.
Streuung schrumpft mit √(n). Die Standardabweichung des Stichprobenmittels ist σ_(X̄) = σ / √(n), nichtσ. Größere Stichprobe → präziserer Mittelwert. Verdopplung der Genauigkeit braucht 4-fache Stichprobengröße — das ist die berühmte Wurzel-n-Regel.
Egal welche Ausgangsverteilung. Würfel (uniform), Exponential, sogar Bimodal — solange Varianz endlich ist, konvergiert das Stichprobenmittel gegen Normal. Magie? Nein, mathematische Gesetzmäßigkeit der Mittelwertbildung.
Faustregel — wann ist n "groß genug"?
Klassische Daumenregel: n ≥ 30 reicht meistens. Bei nahezu symmetrischen Ausgangsverteilungen schon n ≥ 15, bei stark schiefen oder bimodalen Ausgangsverteilungen lieber n ≥ 50. In Klausuren wird n = 30 als Schwelle akzeptiert.
Achtung Sonderfall — wenn die Ausgangsverteilung selbst schon normal ist, ist X̄_n schon für jedesn ≥ 1 exakt normalverteilt. Kein CLT nötig, das folgt direkt aus der Reproduktivität der Normalverteilung.
Standardfehler — der kleine Bruder von σ
Die Größe σ_(X̄) = σ / √(n) heißt Standardfehler des Mittelwerts (engl. standard error of the mean, SEM). Sie ist die Streuung der Stichprobenmittel um μ und ist die Grundlage für Konfidenzintervalle und Z-Werte für Mittelwert-Tests:
Z = (X̄_n - μ)/(σ / √(n)) ∼ N(0, 1)
Wenn σ nicht bekannt ist, ersetzt du es durch die Stichproben-Standardabweichung s und nutzt die t-Verteilung (ergibt den t-Test).
Anschauungs-Beispiel — Würfel-Mittelwerte
Werfe einen fairen Würfel n-mal und notiere X̄_n. Die Ausgangsverteilung ist diskret und gleichverteilt: ℙ(X = k) = 1/6 für k ∈ \1,2,3,4,5,6\, μ = 3,5, σ² = 35/12 ≈ 2,92, σ ≈ 1,71.
n
Erwartung X̄_n
Streuung σ / √(n)
Form der Verteilung von X̄_n
1
3,5
1,71
gleichmäßig, gar nicht normal
5
3,5
0,76
glockig, leichter Knick
30
3,5
0,31
praktisch normal
100
3,5
0,17
extrem präzise
1000
3,5
0,054
quasi-konstant
Du siehst: der Mittelwert (μ = 3,5) bleibt, die Streuung schrumpft mit 1/√(n), die Form wird normal. Das ist CLT in einer Zeile.
Warum funktioniert das? (Kurzes Motiv-Argument)
Das vollständige Beweis-Argument läuft über charakteristische Funktionen und Taylor-Entwicklung — Klausur-irrelevant. Die Intuition: Wenn du viele unabhängige Zufallsvariablen summierst, mitteln sich extreme Werte heraus. Die hohe Wahrscheinlichkeitsmasse konzentriert sich um den Erwartungswert, die Verteilung "glättet" sich aus. Die Glockenform ist die einzige Verteilung, die unter Addition vieler kleiner unabhängiger Einflüsse "stabil" ist (Stichwort: stabile Verteilungen, Lévy-Theorem).
Klausur-Faustregeln
CLT-Voraussetzungen:X_i unabhängig, identisch verteilt, endliche Varianz. Bei Cauchy-Verteilung (unendliche Varianz) gilt CLT nicht. In Klausuraufgaben fast immer erfüllt.
Schwellwert n ≥ 30: Daumenregel für CLT-Anwendbarkeit. Bei stark schiefen Verteilungen n ≥ 50, bei symmetrischen schon n ≥ 15.
Z-Wert für Stichprobenmittel:Z = (X̄ - μ) / (σ / √(n)), nichtZ = (X̄ - μ) / σ. Wurzel-n vergessen ist der häufigste Klausur-Fehler.
Wenn σ unbekannt:s einsetzen und t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden statt N(0,1) nutzen.
Typische Stolpersteine
1. σ vs. σ / √(n) verwechseln. Wenn du einen Z-Wert für einen einzelnen WertX berechnest, ist es Z = (X - μ) / σ. Wenn du einen Z-Wert für ein StichprobenmittelX̄_n berechnest, ist es Z = (X̄ - μ) / (σ / √(n)). Das √(n) ist der ganze Punkt des CLT — vergessen kostet Punkte.
2. CLT auf einzelne Beobachtungen anwenden. CLT sagt etwas über StichprobenmittelwerteX̄_n, nicht über einzelne X_i. Wenn die Ausgangsverteilung exponentiell ist, sind einzelne Werte exponentialverteilt (nicht normal), auch für große n. Erst der Mittelwert wird normal.
3. "Größere Stichprobe → schmalere Ausgangsverteilung" denken. Nein. Die Ausgangsverteilung von X ändert sich nie — sie hat immer Varianz σ². Nur die Verteilung des Stichprobenmittels X̄_n wird mit größerem n schmaler (σ²/n).
4. CLT als Voraussetzung für jede Statistik annehmen. Der CLT ist nicht universal — er braucht endliche Varianz (Cauchy-Verteilung disqualifiziert), unabhängige Stichproben (Zeitreihen mit Autokorrelation disqualifiziert ohne weitere Annahmen) und identische Verteilung (Mischverteilungen brauchen Generalisierungen). In Klausuren meist erfüllt, in Forschungs-Praxis öfter problematisch.
Beobachte: der Mittelwert (vertikale Linie) bleibt immer gleich, egal wie groß n. Nur die Breite des Histogramms ändert sich. Das ist die Wurzel-n-Regel im Bild.
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Klausur-Tipp: Wenn dich eine Aufgabe nach der Verteilung eines Stichprobenmittels X̄_n fragt und n ausreichend groß ist (in der Klausur typischerweise n ≥ 30), darfst du auch ohne Information über die Ausgangsverteilung Normalverteilung annehmen. Mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ/√(n) — Punkte schreiben, Z-Wert ausrechnen, fertig.
Antwort: -1.78 (Toleranz ±0.02)
Erklärung: `Z = (X̄ - μ) / (σ / √(n)) = (2,4 - 2,8) / (0,9 / 4) = -0,4 / 0,225 ≈ -1,78`. WICHTIG: Stichprobenmittel → Wurzel-n im Nenner! Nicht `-0,4/0,9 = -0,44` — das wäre der Z-Wert für einen einzelnen Studierenden.
Typ: Zahlen-Eingabe
F4.Verdopplung der Stichprobengröße halbiert den Standardfehler.
Antwort: Falsch
Erklärung: FALSCH. Standardfehler ist `σ / √(n)`, nicht `σ / n`. Bei Verdopplung von `n` wird der Nenner um Faktor `√(2) ≈ 1,41` größer, der Standardfehler also nur um Faktor `1/√(2) ≈ 0,71` kleiner (nicht halbiert). Für **Halbierung** des Standardfehlers brauchst du **4-fache** Stichprobe.
Typ: Wahr/Falsch
F5.Aktueller Standardfehler σ_(X̄) = 2 bei n = 25. Wie groß muss n werden, um den Standardfehler auf 1 zu halbieren?
Antwort: 100
Erklärung: Standardfehler halbieren = Wurzel verdoppeln = `n` vervierfachen. `4 · 25 = 100`. Allgemein: für SE-Reduktion um Faktor `k` brauchst du `k²`-fache Stichprobe. Das ist die teure Seite der Wurzel-n-Regel.
Typ: Zahlen-Eingabe
F6.Welche Voraussetzungen braucht der CLT in seiner klassischen Form?
Erklärung: iid + endliche Varianz + großes `n`. Die Ausgangsverteilung muss WEDER normal NOCH diskret sein — das ist genau der Witz des CLT. Bei Cauchy-Verteilung (unendliche Varianz) versagt der klassische CLT.
Typ: Multi-Select
Erklärung: Hauptgrund für t-Verteilung: `σ` unbekannt → `s` als Schätzer einsetzen → zusätzliche Unsicherheit → schwerere Tails → t-Verteilung mit `n-1` Freiheitsgraden. Bei großem `n` konvergiert `t` gegen `N(0,1)` — der Unterschied wird klein. Die häufige Aussage "t bei kleinem n" ist ungenau: der eigentliche Grund ist immer das unbekannte `σ`.
F4.Ordne die Größe der korrekten Formel zu:
Zuordnungen:
Erwartungswert von $\bar{X}_n$ → $\mu$
Varianz von $\bar{X}_n$ → $\sigma^2 / n$
Standardfehler von $\bar{X}_n$ → $\sigma / \sqrt{n}$
Erklärung: Standard-Workflow für CLT-basierte Stichprobenmittel-Aufgaben. Der häufigste Klausur-Fehler liegt zwischen Schritt 2 und 3: Standardfehler vergessen und stattdessen `σ` direkt benutzen.
Typ: Reihenfolge
F6.Der CLT gilt auch für die Cauchy-Verteilung — Stichprobenmittel von Cauchy-Verteilungen sind annähernd normalverteilt für großes n.
Antwort: Falsch
Erklärung: FALSCH. Die Cauchy-Verteilung hat **keine endliche Varianz** (eigentlich nicht mal endlichen Erwartungswert) — eine zentrale CLT-Voraussetzung. Tatsächlich ist das Stichprobenmittel von Cauchy-Verteilungen wieder Cauchy-verteilt (Reproduktivität), unabhängig von `n`. Klassisches Gegenbeispiel zum CLT.
