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  • Einführung
  • Wann t-Test, wann z-Test?
  • Die t-Verteilung
  • Drei t-Test-Varianten
  • Test-Schema (5 Schritte)
  • Klassische t-Werte (Tabelle)
  • Beispiel, Ein-Stichproben
  • Klausur-Faustregeln
  • Typischer Stolperstein
ThemenStatistikt-Test
Statistik·4Lerneinheiten·21min·Stand02.08.2026

t-Test.

Der t-Test prüft Hypothesen über Mittelwerte, wenn σ der Population unbekannt ist, was in der Praxis fast immer der Fall ist. Direkter Verwandter des z-Tests, mit der t-Verteilung als korrektur für kleine Stichproben.

Was du in der Klausur können musst:

  • Wann t- statt z-Test: σ unbekannt → s aus Stichprobe → t-Verteilung
  • Drei Varianten unterscheiden: Ein-Stichproben, Zwei-Stichproben, Gepaart
  • Freiheitsgrade df = n − 1 (Ein-Stichproben) oder n₁ + n₂ − 2 (Zwei-Stichproben)
  • t-Statistik berechnen je nach Variante
  • Kritischer t-Wert aus Tabelle ablesen

In Klausuren oft gefragt: Führe einen t-Test durch und Welche Variante? gepaart oder unabhängig? Pflicht.

SituationTest
σ bekanntz-Test
σ unbekannt, n klein (< 30)t-Test (Pflicht)
σ unbekannt, n groß (≥ 30)formell t-Test, numerisch praktisch identisch mit z

Faustregel: in der Praxis nutzt man fast immer t-Test. z-Test ist Lehrbuch-Standard für Konzept-Verständnis.

Die t-Verteilung ist symmetrisch um 0, glockenförmig, wie die Normalverteilung, aber mit schwereren Tails.

Der entscheidende Parameter ist der Freiheitsgrad df:

  • df = 1: sehr breite Verteilung, dicke Tails (Cauchy)
  • df = 10: schon recht ähnlich Normal
  • df → ∞: konvergiert exakt zu Standardnormal

Faustregel: ab df ≥ 30 nutzt man oft z-Werte als Approximation.

1. Ein-Stichproben-t-Test

Vergleicht Mittelwert einer Stichprobe mit einem hypothetischen Wert μ₀.

t=xˉ−μ0s/n,df=n−1t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}, \quad df = n - 1t=s/n​xˉ−μ0​​,df=n−1

Beispiel: Erfüllt eine Maschine den Soll-Mittelwert?

2. Zwei-Stichproben-t-Test (unabhängig)

Vergleicht Mittelwerte zweier unabhängiger Stichproben. Achtung: zwei Varianten, abhängig davon, ob die Varianzen in beiden Gruppen als gleich angenommen werden.

Variante a) Gepoolt (gleiche Varianzen):

t=xˉ1−xˉ2sp⋅1n1+1n2,df=n1+n2−2t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \cdot \sqrt{\tfrac{1}{n_1} + \tfrac{1}{n_2}}}, \quad df = n_1 + n_2 - 2t=sp​⋅n1​1​+n2​1​​xˉ1​−xˉ2​​,df=n1​+n2​−2

mit gepoolter Standardabweichung sp=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2s_p = \sqrt{\frac{(n_1-1) s_1^2 + (n_2-1) s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}sp​=n1​+n2​−2(n1​−1)s12​+(n2​−1)s22​​​.

Variante b) Welch-t-Test (ungleiche Varianzen): verwendet keine gepoolte Varianz, die Freiheitsgrade werden über die Welch-Satterthwaite-Approximation geschätzt:

t=xˉ1−xˉ2s12n1+s22n2,df≈(s12/n1+s22/n2)2(s12/n1)2n1−1+(s22/n2)2n2−1t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\tfrac{s_1^2}{n_1} + \tfrac{s_2^2}{n_2}}}, \quad df \approx \frac{\bigl(s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2\bigr)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}t=n1​s12​​+n2​s22​​​xˉ1​−xˉ2​​,df≈n1​−1(s12​/n1​)2​+n2​−1(s22​/n2​)2​(s12​/n1​+s22​/n2​)2​

Klausur-Praxis: Wird gleiche Varianz angenommen oder via F-Test/Levene-Test geprüft → gepooled. Bei Zweifel oder ungleichen Stichproben-Varianzen → Welch (ist robuster und in Software wie R/Python Default). Die Formel df=n1+n2−2df = n_1 + n_2 - 2df=n1​+n2​−2 ist nur für die gepoolte Variante korrekt.

Beispiel: Vergleich zweier Marketing-Kampagnen.

3. Gepaarter t-Test (Paired)

Zwei abhängige Messungen je Beobachtung, z.B. vor/nach Behandlung.

Schritte:

  1. Differenzen di=xinach−xivord_i = x_i^{\text{nach}} - x_i^{\text{vor}}di​=xinach​−xivor​ bilden
  2. Auf did_idi​ einen Ein-Stichproben-t-Test gegen μ₀ = 0 anwenden

t=dˉsd/n,df=n−1t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}, \quad df = n - 1t=sd​/n​dˉ​,df=n−1

Beispiel: Wirkt ein Schlafmittel? Schlafdauer vor/nach an denselben Personen.

Dasselbe wie beim z-Test, nur t statt z:

  1. Hypothesen formulieren (H₀ und H₁, ein- oder zweiseitig)
  2. Signifikanzniveau α festlegen
  3. t-Statistik mit der passenden Formel berechnen
  4. Kritischen t-Wert aus Tabelle bei df, α: tα/2, dft_{α/2, \, df}tα/2,df​
  5. Entscheidung: ∣t∣>tkrit|t| > t_{krit}∣t∣>tkrit​ → H₀ ablehnen
dft0,025t_{0{,}025}t0,025​ (zweiseit. 5 %)t0,05t_{0{,}05}t0,05​ (einseit. 5 %)
112,716,31
52,572,02
102,231,81
152,131,75
202,091,72
302,041,70
602,001,67
∞1,961,645

Beobachtung: je größer df, desto näher an z-Werten (1,96 bzw. 1,645). Bei df = 30 sind sie schon fast gleich.

Maschine soll 500 ml abfüllen. Stichprobe n = 16: xˉ\bar{x}xˉ = 497, s = 5 (NICHT σ). Teste H₀: μ = 500 zweiseitig, α = 5 %.

  1. H₀: μ = 500 vs. H₁: μ ≠ 500
  2. α = 0,05
  3. t=(497−500)/(5/√16)=−3/1,25=−2,40t = (497-500) / (5/√16) = -3 / 1{,}25 = -2{,}40t=(497−500)/(5/√16)=−3/1,25=−2,40
  4. df = 15, t0,025;15=2,13t_{0{,}025; 15} = 2{,}13t0,025;15​=2,13
  5. ∣−2,40∣>2,13|−2{,}40| > 2{,}13∣−2,40∣>2,13 → H₀ ablehnen

Hinweis: bei z-Test wäre das z = −2,40 mit kritischem ±1,96, schon dort signifikant. Der t-Test ist konservativer wegen der dickeren Tails (mehr Sicherheit bei kleiner Stichprobe).

  1. σ bekannt → z-Test, σ unbekannt → t-Test. Klausur-Klassiker zur Verfahrens-Wahl. Bei sehr großem nnn wird t≈zt \approx zt≈z, numerisch fast identisch.
  2. df = n − 1 (Ein-Stichproben), df = n1+n2−2n_1 + n_2 - 2n1​+n2​−2 nur beim gepoolten Zwei-Stichproben-Test. Beim Welch-t-Test über Welch-Satterthwaite approximiert.
  3. t-Tabelle statt z-Tabelle nutzen, für genaue df.
  4. Gepaart vs. unabhängig: wenn dieselben Personen vor/nach gemessen werden → gepaart.
  5. n ≥ 30: t-Quantile fast gleich z-Quantilen.

Variante verwechseln. Klassische Klausur-Frage: "Wir haben 20 Patienten, jeder zweimal gemessen". Das sind NICHT 40 unabhängige Beobachtungen, das sind 20 Paare. → Gepaarter t-Test.

df vergessen. Bei df = 5 ist tkritt_{krit}tkrit​ = 2,57, also größer als die z-Schwelle 1,96. Wenn du die z-Schwelle nutzt, akzeptierst du H₁ zu schnell.

s² statt s. Die Formel verlangt sss, nicht s2s^2s2. Wenn die Aufgabe Varianz angibt, erst Wurzel ziehen.

Stell die Stichprobenwerte und df ein, die Plattform zeichnet die t-Verteilung mit dem aktuellen Freiheitsgrad. Vergleiche live mit der Standardnormalverteilung (z) als Overlay. Bei kleinem df siehst du wie viel breiter die Tails sind, daher der konservativere kritische Wert.

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Klausur-Tipp: beobachte was passiert wenn n von 5 auf 50 steigt. Der df steigt von 4 auf 49, die t-Verteilung nähert sich der Standardnormalverteilung. Ab df ≥ 30 ist der Unterschied vernachlässigbar, z-Test ist dann ok.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Der t-Test prüft Hypothesen über Mittelwerte, wenn σ der Population unbekannt ist, was in der Praxis fast immer der Fall ist. Direkter Verwandter des z-Tests, mit der t-Verteilung als korrektur für kleine Stichproben.

Was du in der Klausur können musst:

  • Wann t- statt z-Test: σ unbekannt → s aus Stichprobe → t-Verteilung
  • Drei Varianten unterscheiden: Ein-Stichproben, Zwei-Stichproben, Gepaart
  • Freiheitsgrade df = n − 1 (Ein-Stichproben) oder n₁ + n₂ − 2 (Zwei-Stichproben)
  • t-Statistik berechnen je nach Variante
  • Kritischer t-Wert aus Tabelle ablesen

In Klausuren oft gefragt: Führe einen t-Test durch und Welche Variante? gepaart oder unabhängig? Pflicht.

Wann t-Test, wann z-Test?

SituationTest
σ bekanntz-Test
σ unbekannt, n klein (< 30)t-Test (Pflicht)
σ unbekannt, n groß (≥ 30)formell t-Test, numerisch praktisch identisch mit z

Faustregel: in der Praxis nutzt man fast immer t-Test. z-Test ist Lehrbuch-Standard für Konzept-Verständnis.

Die t-Verteilung

Die t-Verteilung ist symmetrisch um 0, glockenförmig, wie die Normalverteilung, aber mit schwereren Tails.

Der entscheidende Parameter ist der Freiheitsgrad df:

  • df = 1: sehr breite Verteilung, dicke Tails (Cauchy)
  • df = 10: schon recht ähnlich Normal
  • df → ∞: konvergiert exakt zu Standardnormal

Faustregel: ab df ≥ 30 nutzt man oft z-Werte als Approximation.

Drei t-Test-Varianten

1. Ein-Stichproben-t-Test

Vergleicht Mittelwert einer Stichprobe mit einem hypothetischen Wert μ₀.

t = (x̄ - μ₀)/(s / √(n)), df = n - 1

Beispiel: Erfüllt eine Maschine den Soll-Mittelwert?

2. Zwei-Stichproben-t-Test (unabhängig)

Vergleicht Mittelwerte zweier unabhängiger Stichproben. Achtung: zwei Varianten, abhängig davon, ob die Varianzen in beiden Gruppen als gleich angenommen werden.

Variante a) Gepoolt (gleiche Varianzen):

t = (x̄₁ - x̄₂)/(s_p · √(1/n₁ + 1/n₂)), df = n₁ + n₂ - 2

mit gepoolter Standardabweichung s_p = √(((n₁-1) s₁² + (n₂-1) s₂²)/(n₁ + n₂ - 2)).

Variante b) Welch-t-Test (ungleiche Varianzen): verwendet keine gepoolte Varianz, die Freiheitsgrade werden über die Welch-Satterthwaite-Approximation geschätzt:

t = (x̄₁ - x̄₂)/(√(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)), df ≈ ((s₁²/n₁ + s₂²/n₂)²)/(((s₁²/n₁)²)/(n₁-1) + ((s₂²/n₂)²)/(n₂-1))

Klausur-Praxis: Wird gleiche Varianz angenommen oder via F-Test/Levene-Test geprüft → gepooled. Bei Zweifel oder ungleichen Stichproben-Varianzen → Welch (ist robuster und in Software wie R/Python Default). Die Formel df = n₁ + n₂ - 2 ist nur für die gepoolte Variante korrekt.

Beispiel: Vergleich zweier Marketing-Kampagnen.

3. Gepaarter t-Test (Paired)

Zwei abhängige Messungen je Beobachtung, z.B. vor/nach Behandlung.

Schritte:

  1. Differenzen d_i = x_i^(nach) - x_i^(vor) bilden
  2. Auf d_i einen Ein-Stichproben-t-Test gegen μ₀ = 0 anwenden

t = (d̄)/(s_d / √(n)), df = n - 1

Beispiel: Wirkt ein Schlafmittel? Schlafdauer vor/nach an denselben Personen.

Test-Schema (5 Schritte)

Dasselbe wie beim z-Test, nur t statt z:

  1. Hypothesen formulieren (H₀ und H₁, ein- oder zweiseitig)
  2. Signifikanzniveau α festlegen
  3. t-Statistik mit der passenden Formel berechnen
  4. Kritischen t-Wert aus Tabelle bei df, α: t_(α/2, df)
  5. Entscheidung: |t| > t_(krit) → H₀ ablehnen

Klassische t-Werte (Tabelle)

dft_{0,025} (zweiseit. 5 %)t_{0,05} (einseit. 5 %)
112,716,31
52,572,02
102,231,81
152,131,75
202,091,72
302,041,70
602,001,67
∞1,961,645

Beobachtung: je größer df, desto näher an z-Werten (1,96 bzw. 1,645). Bei df = 30 sind sie schon fast gleich.

Beispiel, Ein-Stichproben

Maschine soll 500 ml abfüllen. Stichprobe n = 16: x̄ = 497, s = 5 (NICHT σ). Teste H₀: μ = 500 zweiseitig, α = 5 %.

  1. H₀: μ = 500 vs. H₁: μ ≠ 500
  2. α = 0,05
  3. t = (497-500) / (5/√16) = -3 / 1,25 = -2,40
  4. df = 15, t_{0,025; 15} = 2,13
  5. |−2,40| > 2,13 → H₀ ablehnen

Hinweis: bei z-Test wäre das z = −2,40 mit kritischem ±1,96, schon dort signifikant. Der t-Test ist konservativer wegen der dickeren Tails (mehr Sicherheit bei kleiner Stichprobe).

Klausur-Faustregeln

  1. σ bekannt → z-Test, σ unbekannt → t-Test. Klausur-Klassiker zur Verfahrens-Wahl. Bei sehr großem n wird t ≈ z, numerisch fast identisch.
  2. df = n − 1 (Ein-Stichproben), df = n₁ + n₂ - 2 nur beim gepoolten Zwei-Stichproben-Test. Beim Welch-t-Test über Welch-Satterthwaite approximiert.
  3. t-Tabelle statt z-Tabelle nutzen, für genaue df.
  4. Gepaart vs. unabhängig: wenn dieselben Personen vor/nach gemessen werden → gepaart.
  5. n ≥ 30: t-Quantile fast gleich z-Quantilen.

Typischer Stolperstein

Variante verwechseln. Klassische Klausur-Frage: "Wir haben 20 Patienten, jeder zweimal gemessen". Das sind NICHT 40 unabhängige Beobachtungen, das sind 20 Paare. → Gepaarter t-Test.

df vergessen. Bei df = 5 ist t_(krit) = 2,57, also größer als die z-Schwelle 1,96. Wenn du die z-Schwelle nutzt, akzeptierst du H₁ zu schnell.

s² statt s. Die Formel verlangt s, nicht s². Wenn die Aufgabe Varianz angibt, erst Wurzel ziehen.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

t-Test-Lab

Stell die Stichprobenwerte und df ein, die Plattform zeichnet die t-Verteilung mit dem aktuellen Freiheitsgrad. Vergleiche live mit der Standardnormalverteilung (z) als Overlay. Bei kleinem df siehst du wie viel breiter die Tails sind, daher der konservativere kritische Wert.

Interaktive Visualisierung

Plot für Ein- und Zwei-Stichproben-t-Test mit t-Statistik und Freiheitsgraden.

Klausur-Tipp: beobachte was passiert wenn n von 5 auf 50 steigt. Der df steigt von 4 auf 49, die t-Verteilung nähert sich der Standardnormalverteilung. Ab df ≥ 30 ist der Unterschied vernachlässigbar, z-Test ist dann ok.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

t-Test-Praxis

Klausur-typische Aufgaben: Variante wählen, df bestimmen, t-Statistik berechnen, kritischen Wert finden, Entscheidung.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Wann wird der t-Test statt des z-Tests verwendet?

Antwort: Wenn σ der Population unbekannt ist und nur s aus der Stichprobe verfügbar

Erklärung: t-Test bei unbekanntem σ. Die Schätzung durch s erhöht die Unsicherheit, was die t-Verteilung mit dickeren Tails kompensiert. Bei großem n (≥ 30) wird t ≈ z.

F2.Bei einem Ein-Stichproben-t-Test mit n = 25, wie viele Freiheitsgrade?

Antwort: 24

Erklärung: df = n − 1 = 25 − 1 = 24. Bei Ein-Stichproben-t-Test verlieren wir einen Freiheitsgrad durch die Schätzung von `x̄`. Klausur-Standard.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Stichprobe: x̄ = 497, s = 5, n = 16, H₀: μ = 500. Berechne die t-Statistik. (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: -2.4 (Toleranz ±0.05)

Erklärung: t = (`x̄` - μ₀) / (s/√n) = (497-500) / (5/√16) = -3 / 1,25 = -2,40. df = n-1 = 15. Bei α=5 % zweiseitig ist t_krit = 2,13 → |t| = 2,40 > 2,13 → H₀ ablehnen.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Bei df = ∞ (n sehr groß) entspricht die t-Verteilung exakt der Standardnormalverteilung.

Antwort: Wahr

Erklärung: Korrekt. Bei df → ∞ konvergiert t zu N(0,1). Praxisrelevant: ab df ≈ 30 sind die Werte fast identisch (1,96 vs. 2,04 für 95 % zweiseitig). Daher die n ≥ 30 Faustregel.

Typ: Wahr/Falsch

F5.Ordne der Aufgabenstellung den passenden t-Test zu:

Zuordnungen:

  • Erfüllt 1 Maschine den Soll-Wert? → Ein-Stichproben-t-Test
  • Vergleich zweier verschiedener Marketing-Kampagnen → Zwei-Stichproben (unabhängig)
  • Schlafdauer derselben Patienten vor/nach Behandlung → Gepaarter t-Test
  • 1 Stichprobe, n = 1000, σ unbekannt → t-Test (z-Approximation numerisch fast identisch)

Erklärung: Klausur-Pflicht: Variante richtig zuordnen. Gepaart = SAME Personen / Items, zwei Messungen. Unabhängig = ZWEI verschiedene Gruppen. Bei σ unbekannt ist formell IMMER der t-Test korrekt, bei sehr großem n nähert sich t aber praktisch der Normalverteilung an, also ist die z-Approximation numerisch sehr nah dran.

Typ: Zuordnung

F6.Zwei-Stichproben-t-Test: n₁ = 12, n₂ = 14. Wie viele Freiheitsgrade df?

Antwort: 24

Erklärung: df = n₁ + n₂ − 2 = 12 + 14 − 2 = 24. Bei zwei Stichproben verlieren wir 2 Freiheitsgrade, einen je geschätztem Mittelwert. Klausur-Klassiker zur df-Berechnung.

Typ: Zahlen-Eingabe

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Sortiere die Schritte für einen Ein-Stichproben-t-Test (n=16, x̄=12, s=2, H₀: μ=10):

Richtige Reihenfolge:

  1. Hypothesen formulieren: H₀: μ = 10, H₁: μ ≠ 10
  2. Freiheitsgrade df = n − 1 = 15 bestimmen
  3. t-Statistik = ($\bar{x}$ − μ₀) / (s/√n) = (12−10)/(2/4) = 4,0
  4. Kritischer Wert aus t-Tabelle: $t_{0{,}025; \, 15}$ = 2,13
  5. Entscheidung: |4,0| > 2,13 → H₀ ablehnen

Erklärung: Klassisches t-Test-Schema. df-Bestimmung kommt früh, weil sie für den Tabellenwert nötig ist. t-Wert berechnen, dann mit kritischem Wert vergleichen.

Typ: Reihenfolge

F2.n = 9, x̄ = 50, s = 6, H₀: μ = 48 (rechtsseitig). Berechne die t-Statistik. (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 1 (Toleranz ±0.05)

Erklärung: t = (50-48) / (6/√9) = 2 / 2 = 1,00. df = 8. Bei einseitig α=5 % ist `t_{0,05; 8}` = 1,86. 1,00 < 1,86 → H₀ NICHT ablehnen. Auch wenn `x̄` größer als μ₀, reicht es nicht für Signifikanz.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Welche Aussagen über die t-Verteilung sind RICHTIG?

Richtige Antworten: Symmetrisch um 0; Hat dickere Tails als die Standardnormalverteilung; Konvergiert für df → ∞ zu N(0,1); Wird mit dem Freiheitsgrad df parametriert

Erklärung: Korrekt: symmetrisch um 0, dickere Tails, konvergiert zu N(0,1), df-Parameter. Falsch: nur EIN Parameter (df), nicht μ/σ; t-kritische Werte sind GRÖSSER als z (konservativer wegen Unsicherheit durch s).

Typ: Multi-Select

F4.Beim gepaarten t-Test werden die ursprünglichen Messwerte (vor/nach) als zwei unabhängige Stichproben behandelt.

Antwort: Falsch

Erklärung: FALSCH. Beim gepaarten Test werden DIFFERENZEN `d_i` = `x_i^(nach)` − `x_i^(vor)` pro Beobachtung gebildet, dann ein Ein-Stichproben-t-Test auf die Differenzen. Verwechseln führt zu falschem df und falscher Entscheidung, Klausur-Falle.

Typ: Wahr/Falsch

F5.Bei einem Zwei-Stichproben-t-Test (gleiche Varianzen) mit n₁=10, n₂=12, s₁=3, s₂=4: berechne die gepoolte Standardabweichung s_p auf 2 Nachkommastellen.

Antwort: 3.58 (Toleranz ±0.05)

Erklärung: `s_p²` = ((n₁−1)·s₁² + (n₂−1)·s₂²) / (n₁+n₂−2) = (9·9 + 11·16) / 20 = (81+176)/20 = 257/20 = 12,85. `s_p` = √12,85 ≈ 3,58. Klausur-Standard für gepoolte Varianz-Schätzung.

Typ: Zahlen-Eingabe

F6.Eine Studie misst Reaktionszeit derselben 30 Probanden vor und nach Koffein. Welcher t-Test?

Antwort: Gepaarter t-Test, die Messungen sind verbunden

Erklärung: DIESELBEN Probanden zweimal gemessen → gepaart. Vor/Nach-Vergleich = klassischer Paired-Test. Würde man unabhängig rechnen, würde die individuelle Variation als Fehler erscheinen, Test verliert Power.

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