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Teil 1·Erklärung
Der t-Test prüft Hypothesen über Mittelwerte, wenn σ der Population unbekannt ist, was in der Praxis fast immer der Fall ist. Direkter Verwandter des z-Tests, mit der t-Verteilung als korrektur für kleine Stichproben.
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren oft gefragt: Führe einen t-Test durch und Welche Variante? gepaart oder unabhängig? Pflicht.
Klausur-Tipp: beobachte was passiert wenn n von 5 auf 50 steigt. Der df steigt von 4 auf 49, die t-Verteilung nähert sich der Standardnormalverteilung. Ab df ≥ 30 ist der Unterschied vernachlässigbar, z-Test ist dann ok.
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Der t-Test prüft Hypothesen über Mittelwerte, wenn σ der Population unbekannt ist, was in der Praxis fast immer der Fall ist. Direkter Verwandter des z-Tests, mit der t-Verteilung als korrektur für kleine Stichproben.
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren oft gefragt: Führe einen t-Test durch und Welche Variante? gepaart oder unabhängig? Pflicht.
| Situation | Test |
|---|---|
| σ bekannt | z-Test |
| σ unbekannt, n klein (< 30) | t-Test (Pflicht) |
| σ unbekannt, n groß (≥ 30) | formell t-Test, numerisch praktisch identisch mit z |
Faustregel: in der Praxis nutzt man fast immer t-Test. z-Test ist Lehrbuch-Standard für Konzept-Verständnis.
Die t-Verteilung ist symmetrisch um 0, glockenförmig, wie die Normalverteilung, aber mit schwereren Tails.
Der entscheidende Parameter ist der Freiheitsgrad df:
Faustregel: ab df ≥ 30 nutzt man oft z-Werte als Approximation.
Vergleicht Mittelwert einer Stichprobe mit einem hypothetischen Wert μ₀.
t = (x̄ - μ₀)/(s / √(n)), df = n - 1
Beispiel: Erfüllt eine Maschine den Soll-Mittelwert?
Vergleicht Mittelwerte zweier unabhängiger Stichproben. Achtung: zwei Varianten, abhängig davon, ob die Varianzen in beiden Gruppen als gleich angenommen werden.
Variante a) Gepoolt (gleiche Varianzen):
t = (x̄₁ - x̄₂)/(s_p · √(1/n₁ + 1/n₂)), df = n₁ + n₂ - 2
mit gepoolter Standardabweichung s_p = √(((n₁-1) s₁² + (n₂-1) s₂²)/(n₁ + n₂ - 2)).
Variante b) Welch-t-Test (ungleiche Varianzen): verwendet keine gepoolte Varianz, die Freiheitsgrade werden über die Welch-Satterthwaite-Approximation geschätzt:
t = (x̄₁ - x̄₂)/(√(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)), df ≈ ((s₁²/n₁ + s₂²/n₂)²)/(((s₁²/n₁)²)/(n₁-1) + ((s₂²/n₂)²)/(n₂-1))
Klausur-Praxis: Wird gleiche Varianz angenommen oder via F-Test/Levene-Test geprüft → gepooled. Bei Zweifel oder ungleichen Stichproben-Varianzen → Welch (ist robuster und in Software wie R/Python Default). Die Formel df = n₁ + n₂ - 2 ist nur für die gepoolte Variante korrekt.
Beispiel: Vergleich zweier Marketing-Kampagnen.
Zwei abhängige Messungen je Beobachtung, z.B. vor/nach Behandlung.
Schritte:
d_i = x_i^(nach) - x_i^(vor) bildend_i einen Ein-Stichproben-t-Test gegen μ₀ = 0 anwendent = (d̄)/(s_d / √(n)), df = n - 1
Beispiel: Wirkt ein Schlafmittel? Schlafdauer vor/nach an denselben Personen.
Dasselbe wie beim z-Test, nur t statt z:
t_(α/2, df)|t| > t_(krit) → H₀ ablehnen| df | t_{0,025} (zweiseit. 5 %) | t_{0,05} (einseit. 5 %) |
|---|---|---|
| 1 | 12,71 | 6,31 |
| 5 | 2,57 | 2,02 |
| 10 | 2,23 | 1,81 |
| 15 | 2,13 | 1,75 |
| 20 | 2,09 | 1,72 |
| 30 | 2,04 | 1,70 |
| 60 | 2,00 | 1,67 |
| ∞ | 1,96 | 1,645 |
Beobachtung: je größer df, desto näher an z-Werten (1,96 bzw. 1,645). Bei df = 30 sind sie schon fast gleich.
Maschine soll 500 ml abfüllen. Stichprobe n = 16:
x̄= 497, s = 5 (NICHT σ). Teste H₀: μ = 500 zweiseitig, α = 5 %.
t = (497-500) / (5/√16) = -3 / 1,25 = -2,40t_{0,025; 15} = 2,13|−2,40| > 2,13 → H₀ ablehnenHinweis: bei z-Test wäre das z = −2,40 mit kritischem ±1,96, schon dort signifikant. Der t-Test ist konservativer wegen der dickeren Tails (mehr Sicherheit bei kleiner Stichprobe).
- σ bekannt → z-Test, σ unbekannt → t-Test. Klausur-Klassiker zur Verfahrens-Wahl. Bei sehr großem
nwirdt ≈ z, numerisch fast identisch.- df = n − 1 (Ein-Stichproben), df =
n₁ + n₂ - 2nur beim gepoolten Zwei-Stichproben-Test. Beim Welch-t-Test über Welch-Satterthwaite approximiert.- t-Tabelle statt z-Tabelle nutzen, für genaue df.
- Gepaart vs. unabhängig: wenn dieselben Personen vor/nach gemessen werden → gepaart.
- n ≥ 30: t-Quantile fast gleich z-Quantilen.
Variante verwechseln. Klassische Klausur-Frage: "Wir haben 20 Patienten, jeder zweimal gemessen". Das sind NICHT 40 unabhängige Beobachtungen, das sind 20 Paare. → Gepaarter t-Test.
df vergessen. Bei df = 5 ist t_(krit) = 2,57, also größer als die z-Schwelle 1,96. Wenn du die z-Schwelle nutzt, akzeptierst du H₁ zu schnell.
s² statt s. Die Formel verlangt s, nicht s². Wenn die Aufgabe Varianz angibt, erst Wurzel ziehen.
Stell die Stichprobenwerte und df ein, die Plattform zeichnet die t-Verteilung mit dem aktuellen Freiheitsgrad. Vergleiche live mit der Standardnormalverteilung (z) als Overlay. Bei kleinem df siehst du wie viel breiter die Tails sind, daher der konservativere kritische Wert.
Interaktive Visualisierung
Plot für Ein- und Zwei-Stichproben-t-Test mit t-Statistik und Freiheitsgraden.
Klausur-Tipp: beobachte was passiert wenn n von 5 auf 50 steigt. Der df steigt von 4 auf 49, die t-Verteilung nähert sich der Standardnormalverteilung. Ab df ≥ 30 ist der Unterschied vernachlässigbar, z-Test ist dann ok.
Klausur-typische Aufgaben: Variante wählen, df bestimmen, t-Statistik berechnen, kritischen Wert finden, Entscheidung.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: Wenn σ der Population unbekannt ist und nur s aus der Stichprobe verfügbar
Erklärung: t-Test bei unbekanntem σ. Die Schätzung durch s erhöht die Unsicherheit, was die t-Verteilung mit dickeren Tails kompensiert. Bei großem n (≥ 30) wird t ≈ z.
Antwort: 24
Erklärung: df = n − 1 = 25 − 1 = 24. Bei Ein-Stichproben-t-Test verlieren wir einen Freiheitsgrad durch die Schätzung von `x̄`. Klausur-Standard.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: -2.4 (Toleranz ±0.05)
Erklärung: t = (`x̄` - μ₀) / (s/√n) = (497-500) / (5/√16) = -3 / 1,25 = -2,40. df = n-1 = 15. Bei α=5 % zweiseitig ist t_krit = 2,13 → |t| = 2,40 > 2,13 → H₀ ablehnen.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Wahr
Erklärung: Korrekt. Bei df → ∞ konvergiert t zu N(0,1). Praxisrelevant: ab df ≈ 30 sind die Werte fast identisch (1,96 vs. 2,04 für 95 % zweiseitig). Daher die n ≥ 30 Faustregel.
Typ: Wahr/Falsch
Zuordnungen:
Erklärung: Klausur-Pflicht: Variante richtig zuordnen. Gepaart = SAME Personen / Items, zwei Messungen. Unabhängig = ZWEI verschiedene Gruppen. Bei σ unbekannt ist formell IMMER der t-Test korrekt, bei sehr großem n nähert sich t aber praktisch der Normalverteilung an, also ist die z-Approximation numerisch sehr nah dran.
Typ: Zuordnung
Antwort: 24
Erklärung: df = n₁ + n₂ − 2 = 12 + 14 − 2 = 24. Bei zwei Stichproben verlieren wir 2 Freiheitsgrade, einen je geschätztem Mittelwert. Klausur-Klassiker zur df-Berechnung.
Typ: Zahlen-Eingabe
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Richtige Reihenfolge:
Erklärung: Klassisches t-Test-Schema. df-Bestimmung kommt früh, weil sie für den Tabellenwert nötig ist. t-Wert berechnen, dann mit kritischem Wert vergleichen.
Typ: Reihenfolge
Antwort: 1 (Toleranz ±0.05)
Erklärung: t = (50-48) / (6/√9) = 2 / 2 = 1,00. df = 8. Bei einseitig α=5 % ist `t_{0,05; 8}` = 1,86. 1,00 < 1,86 → H₀ NICHT ablehnen. Auch wenn `x̄` größer als μ₀, reicht es nicht für Signifikanz.
Typ: Zahlen-Eingabe
Richtige Antworten: Symmetrisch um 0; Hat dickere Tails als die Standardnormalverteilung; Konvergiert für df → ∞ zu N(0,1); Wird mit dem Freiheitsgrad df parametriert
Erklärung: Korrekt: symmetrisch um 0, dickere Tails, konvergiert zu N(0,1), df-Parameter. Falsch: nur EIN Parameter (df), nicht μ/σ; t-kritische Werte sind GRÖSSER als z (konservativer wegen Unsicherheit durch s).
Typ: Multi-Select
Antwort: Falsch
Erklärung: FALSCH. Beim gepaarten Test werden DIFFERENZEN `d_i` = `x_i^(nach)` − `x_i^(vor)` pro Beobachtung gebildet, dann ein Ein-Stichproben-t-Test auf die Differenzen. Verwechseln führt zu falschem df und falscher Entscheidung, Klausur-Falle.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: 3.58 (Toleranz ±0.05)
Erklärung: `s_p²` = ((n₁−1)·s₁² + (n₂−1)·s₂²) / (n₁+n₂−2) = (9·9 + 11·16) / 20 = (81+176)/20 = 257/20 = 12,85. `s_p` = √12,85 ≈ 3,58. Klausur-Standard für gepoolte Varianz-Schätzung.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Gepaarter t-Test, die Messungen sind verbunden
Erklärung: DIESELBEN Probanden zweimal gemessen → gepaart. Vor/Nach-Vergleich = klassischer Paired-Test. Würde man unabhängig rechnen, würde die individuelle Variation als Fehler erscheinen, Test verliert Power.