Hypothesentest für Mittelwerte bei unbekanntem σ. Drei Varianten (Ein-Stichproben, Zwei-Stichproben, Gepaart), t-Verteilung mit Freiheitsgraden — Klausur-Pflicht.
Der t-Test prüft Hypothesen über Mittelwerte, wenn σ der Population unbekannt ist — was in der Praxis fast immer der Fall ist. Direkter Verwandter des z-Tests, mit der t-Verteilung als korrektur für kleine Stichproben.
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren oft gefragt: Führe einen t-Test durch und Welche Variante? gepaart oder unabhängig? Pflicht.
| Situation | Test |
|---|---|
| σ bekannt | z-Test |
| σ unbekannt, n klein (< 30) | t-Test (Pflicht) |
| σ unbekannt, n groß (≥ 30) | z-Test als Approximation reicht |
Faustregel: in der Praxis nutzt man fast immer t-Test. z-Test ist Lehrbuch-Standard für Konzept-Verständnis.
Die t-Verteilung ist symmetrisch um 0, glockenförmig — wie die Normalverteilung — aber mit schwereren Tails.
Der entscheidende Parameter ist der Freiheitsgrad df:
Faustregel: ab df ≥ 30 nutzt man oft z-Werte als Approximation.
Vergleicht Mittelwert einer Stichprobe mit einem hypothetischen Wert μ₀.
Beispiel: Erfüllt eine Maschine den Soll-Mittelwert?
Vergleicht Mittelwerte zweier unabhängiger Stichproben.
Bei gleichen Varianzen (Pooled-Variante):
mit gepoolter Standardabweichung .
Beispiel: Vergleich zweier Marketing-Kampagnen.
Zwei abhängige Messungen je Beobachtung — z.B. vor/nach Behandlung.
Schritte:
Beispiel: Wirkt ein Schlafmittel? Schlafdauer vor/nach an denselben Personen.
Dasselbe wie beim z-Test, nur t statt z:
| df | (zweiseit. 5 %) | (einseit. 5 %) |
|---|---|---|
| 1 | 12,71 | 6,31 |
| 5 | 2,57 | 2,02 |
| 10 | 2,23 | 1,81 |
| 15 | 2,13 | 1,75 |
| 20 | 2,09 | 1,72 |
| 30 | 2,04 | 1,70 |
| 60 | 2,00 | 1,67 |
| ∞ | 1,96 | 1,645 |
Beobachtung: je größer df, desto näher an z-Werten (1,96 bzw. 1,645). Bei df = 30 sind sie schon fast gleich.
Maschine soll 500 ml abfüllen. Stichprobe n = 16: = 497, s = 5 (NICHT σ). Teste H₀: μ = 500 zweiseitig, α = 5 %.
Hinweis: bei z-Test wäre das z = −2,40 mit kritischem ±1,96 — schon dort signifikant. Der t-Test ist konservativer wegen der dickeren Tails (mehr Sicherheit bei kleiner Stichprobe).
- σ bekannt → z-Test, σ unbekannt → t-Test. Klausur-Klassiker zur Verfahrens-Wahl.
- df = n − 1 (Ein-Stichproben), df = n₁ + n₂ − 2 (Zwei-Stichproben).
- t-Tabelle statt z-Tabelle nutzen, für genaue df.
- Gepaart vs. unabhängig: wenn dieselben Personen vor/nach gemessen werden → gepaart.
- n ≥ 30: t ≈ z, kann z-Werte nutzen.
Variante verwechseln. Klassische Klausur-Frage: "Wir haben 20 Patienten, jeder zweimal gemessen". Das sind NICHT 40 unabhängige Beobachtungen — das sind 20 Paare. → Gepaarter t-Test.
df vergessen. Bei df = 5 ist = 2,57 — also größer als die z-Schwelle 1,96. Wenn du die z-Schwelle nutzt, akzeptierst du H₁ zu schnell.
s² statt s. Die Formel verlangt , nicht . Wenn die Aufgabe Varianz angibt, erst Wurzel ziehen.
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Direkter Verwandter des z-Tests, mit der t-Verteilung als korrektur für kleine Stichproben.
Die wichtigste stetige Verteilung der Statistik. Glockenkurve, Standardisierung, Z-Score, 68-95-99,7-Regel und Tabellen-Lookup für Klausur-Aufgaben.
Die zwei wichtigsten diskreten Verteilungen. Binomial zählt Erfolge bei n Versuchen, Poisson zählt seltene Ereignisse pro Intervall — mit Approximations-Tricks zwischen Binomial, Poisson und Normal.
Bereich um den Stichprobenmittelwert, in dem der wahre Populationsmittelwert mit (1−α) Sicherheit liegt. Standard-Quantile, Wurzel-Gesetz, Stichprobenplanung — Klausur-Pflicht.
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren oft gefragt: Führe einen t-Test durch und Welche Variante? gepaart oder unabhängig? Pflicht.
| Situation | Test |
|---|---|
| σ bekannt | z-Test |
| σ unbekannt, n klein (< 30) | t-Test (Pflicht) |
| σ unbekannt, n groß (≥ 30) | z-Test als Approximation reicht |
Faustregel: in der Praxis nutzt man fast immer t-Test. z-Test ist Lehrbuch-Standard für Konzept-Verständnis.
Die t-Verteilung ist symmetrisch um 0, glockenförmig — wie die Normalverteilung — aber mit schwereren Tails.
Der entscheidende Parameter ist der Freiheitsgrad df:
Faustregel: ab df ≥ 30 nutzt man oft z-Werte als Approximation.
Vergleicht Mittelwert einer Stichprobe mit einem hypothetischen Wert μ₀.
t = (x̄ - μ₀)/(s / √(n)), df = n - 1
Beispiel: Erfüllt eine Maschine den Soll-Mittelwert?
Vergleicht Mittelwerte zweier unabhängiger Stichproben.
Bei gleichen Varianzen (Pooled-Variante):
t = (x̄₁ - x̄₂)/(s_p · √(1/n₁ + 1/n₂)), df = n₁ + n₂ - 2
mit gepoolter Standardabweichung s_p = √(((n₁-1) s₁² + (n₂-1) s₂²)/(n₁ + n₂ - 2)).
Beispiel: Vergleich zweier Marketing-Kampagnen.
Zwei abhängige Messungen je Beobachtung — z.B. vor/nach Behandlung.
Schritte:
d_i = x_i^(nach) - x_i^(vor) bildend_i einen Ein-Stichproben-t-Test gegen μ₀ = 0 anwendent = (d̄)/(s_d / √(n)), df = n - 1
Beispiel: Wirkt ein Schlafmittel? Schlafdauer vor/nach an denselben Personen.
Dasselbe wie beim z-Test, nur t statt z:
t_(α/2, df)|t| > t_(krit) → H₀ ablehnen| df | t_{0,025} (zweiseit. 5 %) | t_{0,05} (einseit. 5 %) |
|---|---|---|
| 1 | 12,71 | 6,31 |
| 5 | 2,57 | 2,02 |
| 10 | 2,23 | 1,81 |
| 15 | 2,13 | 1,75 |
| 20 | 2,09 | 1,72 |
| 30 | 2,04 | 1,70 |
| 60 | 2,00 | 1,67 |
| ∞ | 1,96 | 1,645 |
Beobachtung: je größer df, desto näher an z-Werten (1,96 bzw. 1,645). Bei df = 30 sind sie schon fast gleich.
Maschine soll 500 ml abfüllen. Stichprobe n = 16:
x̄= 497, s = 5 (NICHT σ). Teste H₀: μ = 500 zweiseitig, α = 5 %.
t = (497-500) / (5/√16) = -3 / 1,25 = -2,40t_{0,025; 15} = 2,13|−2,40| > 2,13 → H₀ ablehnenHinweis: bei z-Test wäre das z = −2,40 mit kritischem ±1,96 — schon dort signifikant. Der t-Test ist konservativer wegen der dickeren Tails (mehr Sicherheit bei kleiner Stichprobe).
- σ bekannt → z-Test, σ unbekannt → t-Test. Klausur-Klassiker zur Verfahrens-Wahl.
- df = n − 1 (Ein-Stichproben), df = n₁ + n₂ − 2 (Zwei-Stichproben).
- t-Tabelle statt z-Tabelle nutzen, für genaue df.
- Gepaart vs. unabhängig: wenn dieselben Personen vor/nach gemessen werden → gepaart.
- n ≥ 30: t ≈ z, kann z-Werte nutzen.
Variante verwechseln. Klassische Klausur-Frage: "Wir haben 20 Patienten, jeder zweimal gemessen". Das sind NICHT 40 unabhängige Beobachtungen — das sind 20 Paare. → Gepaarter t-Test.
df vergessen. Bei df = 5 ist t_(krit) = 2,57 — also größer als die z-Schwelle 1,96. Wenn du die z-Schwelle nutzt, akzeptierst du H₁ zu schnell.
s² statt s. Die Formel verlangt s, nicht s². Wenn die Aufgabe Varianz angibt, erst Wurzel ziehen.
Stell die Stichprobenwerte und df ein — die Plattform zeichnet die t-Verteilung mit dem aktuellen Freiheitsgrad. Vergleiche live mit der Standardnormalverteilung (z) als Overlay. Bei kleinem df siehst du wie viel breiter die Tails sind — daher der konservativere kritische Wert.
Interaktive Visualisierung
Plot für Ein- und Zwei-Stichproben-t-Test mit t-Statistik und Freiheitsgraden.
Klausur-Tipp: beobachte was passiert wenn n von 5 auf 50 steigt. Der df steigt von 4 auf 49, die t-Verteilung nähert sich der Standardnormalverteilung. Ab df ≥ 30 ist der Unterschied vernachlässigbar — z-Test ist dann ok.
Klausur-typische Aufgaben: Variante wählen, df bestimmen, t-Statistik berechnen, kritischen Wert finden, Entscheidung.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: Wenn σ der Population unbekannt ist und nur s aus der Stichprobe verfügbar
Erklärung: t-Test bei unbekanntem σ. Die Schätzung durch s erhöht die Unsicherheit, was die t-Verteilung mit dickeren Tails kompensiert. Bei großem n (≥ 30) wird t ≈ z.
Antwort: 24
Erklärung: df = n − 1 = 25 − 1 = 24. Bei Ein-Stichproben-t-Test verlieren wir einen Freiheitsgrad durch die Schätzung von `x̄`. Klausur-Standard.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: -2.4 (Toleranz ±0.05)
Erklärung: t = (`x̄` - μ₀) / (s/√n) = (497-500) / (5/√16) = -3 / 1,25 = -2,40. df = n-1 = 15. Bei α=5 % zweiseitig ist t_krit = 2,13 → |t| = 2,40 > 2,13 → H₀ ablehnen.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Wahr
Erklärung: Korrekt. Bei df → ∞ konvergiert t zu N(0,1). Praxisrelevant: ab df ≈ 30 sind die Werte fast identisch (1,96 vs. 2,04 für 95 % zweiseitig). Daher die n ≥ 30 Faustregel.
Typ: Wahr/Falsch
Zuordnungen:
Erklärung: Klausur-Pflicht: Variante richtig zuordnen. Gepaart = SAME Personen / Items, zwei Messungen. Unabhängig = ZWEI verschiedene Gruppen.
Typ: Zuordnung
Antwort: 24
Erklärung: df = n₁ + n₂ − 2 = 12 + 14 − 2 = 24. Bei zwei Stichproben verlieren wir 2 Freiheitsgrade — einen je geschätztem Mittelwert. Klausur-Klassiker zur df-Berechnung.
Typ: Zahlen-Eingabe
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Richtige Reihenfolge:
Erklärung: Klassisches t-Test-Schema. df-Bestimmung kommt früh, weil sie für den Tabellenwert nötig ist. t-Wert berechnen, dann mit kritischem Wert vergleichen.
Typ: Reihenfolge
Antwort: 1 (Toleranz ±0.05)
Erklärung: t = (50-48) / (6/√9) = 2 / 2 = 1,00. df = 8. Bei einseitig α=5 % ist `t_{0,05; 8}` = 1,86. 1,00 < 1,86 → H₀ NICHT ablehnen. Auch wenn `x̄` größer als μ₀, reicht es nicht für Signifikanz.
Typ: Zahlen-Eingabe
Richtige Antworten: Symmetrisch um 0; Hat dickere Tails als die Standardnormalverteilung; Konvergiert für df → ∞ zu N(0,1); Wird mit dem Freiheitsgrad df parametriert
Erklärung: Korrekt: symmetrisch um 0, dickere Tails, konvergiert zu N(0,1), df-Parameter. Falsch: nur EIN Parameter (df), nicht μ/σ; t-kritische Werte sind GRÖSSER als z (konservativer wegen Unsicherheit durch s).
Typ: Multi-Select
Antwort: Falsch
Erklärung: FALSCH. Beim gepaarten Test werden DIFFERENZEN `d_i` = `x_i^(nach)` − `x_i^(vor)` pro Beobachtung gebildet, dann ein Ein-Stichproben-t-Test auf die Differenzen. Verwechseln führt zu falschem df und falscher Entscheidung — Klausur-Falle.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: 3.58 (Toleranz ±0.05)
Erklärung: `s_p²` = ((n₁−1)·s₁² + (n₂−1)·s₂²) / (n₁+n₂−2) = (9·9 + 11·16) / 20 = (81+176)/20 = 257/20 = 12,85. `s_p` = √12,85 ≈ 3,58. Klausur-Standard für gepoolte Varianz-Schätzung.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Gepaarter t-Test — die Messungen sind verbunden
Erklärung: DIESELBEN Probanden zweimal gemessen → gepaart. Vor/Nach-Vergleich = klassischer Paired-Test. Würde man unabhängig rechnen, würde die individuelle Variation als Fehler erscheinen — Test verliert Power.