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Erklärung
Korrelation, Pearson und Spearman
Die Korrelation misst den Zusammenhang zwischen zwei Variablen, Pearson für linearen Zusammenhang bei metrischen Daten, Spearman für monotonen Zusammenhang bei Rängen oder ordinalen Daten. Klausur-Pflicht in BWL, Psychologie, VWL, WI.
Was du in der Klausur können musst:
- Pearson r berechnen mit der Formel
- Werte interpretieren: -1 ≤ r ≤ 1
- Spearman ρ als Rangkorrelation abgrenzen
- Wann welche Variante (metrisch vs. ordinal, Ausreißer, Linearität)
- Korrelation ≠ Kausalität als Konzept
In Klausuren oft gefragt: Berechne r für gegebene (x,y)-Daten und Interpretiere r = 0,75. Pflicht.
Pearson-Korrelation
rmisst den linearen Zusammenhang zweier metrischer Variablen. Wichtig: Für die reine Berechnung vonrmuss keine Normalverteilung gelten, Pearson ist eine deskriptive Maßzahl. Erst für Inferenz (Signifikanztests, Konfidenzintervalle fürρ) werden Annahmen wie annähernde bivariate Normalität bzw. keine starken Ausreißer relevant.
Formel:
r = (Σ (x_i - x̄)(y_i - ȳ))/(√(Σ (x_i - x̄)² · Σ (y_i - ȳ)²)) = Cov(X,Y)/(σ_X · σ_Y)
Werte:
r = +1: perfekter positiver linearer Zusammenhang (alle Punkte auf steigender Geraden)r = -1: perfekter negativer Zusammenhang (alle Punkte auf fallender Geraden)r = 0: KEIN linearer Zusammenhang (kann trotzdem nicht-linearen geben)
Interpretations-Faustregel
|r| | Stärke |
|---|---|
| 0,0, 0,3 | schwach |
| 0,3, 0,5 | moderat |
| 0,5, 0,7 | mittel |
| 0,7, 0,9 | stark |
| 0,9, 1,0 | sehr stark |
Vorsicht: das ist nur Faustregel. In Naturwissenschaft sind oft 0,9+ erwartet, in Sozialwissenschaft sind 0,3 schon "interessant".
Bestimmtheitsmaß r²
Im einfachen linearen Regressionsmodell mit Achsenabschnitt entspricht r² dem Bestimmtheitsmaß und gibt den Anteil der Streuung der Zielvariable an, den das lineare Modell erklärt:
r = 0,8→r² = 0,64→ 64 % der Streuung im Modell erklärtr = 0,5→r² = 0,25→ 25 % der Streuung im Modell erklärt
Achtung: "erklärte Varianz" ist eine Modell-Aussage, nicht kausal.
r²misst Modell-Anpassung im Sinne kleinster Quadrate, nicht "Wirkung" einer Variable auf die andere. Bei reiner Korrelations-Frage (ohne Regression) istr²nur ein Hilfswert, der die Stärke des linearen Zusammenhangs ohne Vorzeichen wiedergibt.
Ein-Beispiel-Berechnung
Daten (x, y): (1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 4), (5, 6)
Mittelwerte: x̄ = 3, ȳ = 4.
Tabelle:
| x | y | x−x̄ | y−ȳ | (x−x̄)(y−ȳ) | (x−x̄)² | (y−ȳ)² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | -2 | -2 | 4 | 4 | 4 |
| 2 | 3 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 4 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 6 | 2 | 2 | 4 | 4 | 4 |
| Summe | 9 | 10 | 10 |
r = 9 / √(10 · 10) = 9 / 10 = 0,9 → starker positiver Zusammenhang.
Spearman-Rangkorrelation ρ
Statt mit den Werten direkt rechnet man mit ihren Rängen (Position in sortierter Reihenfolge).
Wann Spearman?
- Ordinale Daten (Schulnoten, Rangfolgen)
- Ausreißer verzerren Pearson stark, Spearman ist robuster
- Nicht-lineare, aber monotone Beziehung, z.B.
y = e^x,y = log(x)fürx > 0, odery = x²eingeschränkt aufx ≥ 0. (Auf ganzℝisty = x²nicht monoton.)
Formel (bei keinen Bindungen):
ρ = 1 - (6 Σ d_i²)/n(n² - 1)
mit d_i = Rang(x) − Rang(y) je Beobachtung.
Wertebereich: wie Pearson: -1 ≤ ρ ≤ 1.
Korrelation ≠ Kausalität
Hohe Korrelation beweist NICHT, dass die eine Variable die andere verursacht.
Drei mögliche Erklärungen für hohe Korrelation:
- Direkter Kausalzusammenhang (X verursacht Y)
- Umgekehrte Kausalität (Y verursacht X)
- Confounder (eine dritte Variable Z verursacht beide)
- Zufall (besonders bei kleiner Stichprobe oder vielen getesteten Paaren)
Klassisches Beispiel: Eis-Verkauf und Ertrunkene korrelieren hoch, beides wird durch Sommer-Hitze verursacht (Confounder).
Effekt von Ausreißern
Pearson reagiert sehr empfindlich auf Ausreißer:
- Ein einzelner extremer Punkt kann r von 0 auf 0,8 oder von 0,8 auf 0,2 verschieben
- Spearman ist viel robuster (nutzt nur Ränge)
Klausur-Tipp: wenn ein Outlier die Daten dominiert, lohnt sich Spearman.
Klausur-Faustregeln
- r-Formel auswendig: Cov / (σ_X · σ_Y).
- r ∈ [-1, 1], bei rauskommen außerhalb hast du dich verrechnet.
- r = 0 heißt nur "kein linearer Zusammenhang", andere Beziehungen möglich.
- r² als Erklärung-Anteil für Klausur-Interpretationen.
- Korrelation ≠ Kausalität, immer ergänzen wenn nach Interpretation gefragt.
Typischer Stolperstein
Vorzeichen-Fehler. Beim Berechnen die Vorzeichen von (x_i - x̄) exakt ablesen, nicht beim Summieren falsch zusammenrechnen.
r mit Cov verwechseln. r ist standardisiert (zwischen -1 und 1), Cov hat Einheit. Wenn die Aufgabe r will, durch σ_X · σ_Y teilen.
r vs. r². r = 0,5 heißt, dass NUR 25 % der Varianz erklärt werden, viel weniger als der naive Eindruck "halb so stark wie r=1".
Interaktiv verstehen
Korrelations-Lab
Verschiebe die Punkte im Streudiagramm, der r-Wert wird live neu berechnet. Probiere besonders: einen Outlier weit nach außen ziehen → siehst du wie Pearson zusammenbricht? Wechsle dann zu Spearman: derselbe Punkt hat dort viel weniger Effekt.
Interaktive Visualisierung
Streudiagramm mit Pearson-Korrelationskoeffizient und Trendlinie.
Klausur-Tipp: wenn der r-Wert sich beim Wechsel Pearson ↔ Spearman stark unterscheidet, hast du entweder Outliers oder Nicht-Linearität in den Daten. Dann ist Spearman fairer.
Praxis-Übung
Korrelations-Praxis
Klausur-typische Aufgaben: r berechnen, interpretieren, Pearson vs. Spearman wählen, Ausreißer-Effekt einschätzen.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
- F1.Welcher Wertebereich gilt für die Pearson-Korrelation r?
Antwort: -1 ≤ r ≤ 1
Erklärung: r liegt zwischen -1 (perfekt negativ linear) und +1 (perfekt positiv linear). r = 0 bedeutet KEIN linearer Zusammenhang. Werte außerhalb deuten auf Rechenfehler hin.
- F2.Korrelation r = 0,8. Wie viel Prozent der Varianz wird erklärt? (Bestimmtheitsmaß r² in %)
Antwort: 64 % (Toleranz ±0.5)
Erklärung: r² = 0,8² = 0,64 = 64 %. Klausur-Klassiker. r=0,5 → r²=25 %, r=0,3 → r²=9 % (kaum Erklärungswert).
Typ: Zahlen-Eingabe
- F3.Eine Korrelation r = -0,9 bedeutet:
Antwort: Sehr starker negativer Zusammenhang, wenn X steigt, fällt Y stark vorhersagbar
Erklärung: |r| = 0,9 ist sehr starker Zusammenhang. Negatives Vorzeichen → wenn X steigt, fällt Y. ACHTUNG: Korrelation ≠ Kausalität! Wir wissen nichts über 'verursachen'.
- F4.Eine Korrelation von r = 0 bedeutet, dass es keinen Zusammenhang zwischen den Variablen gibt.
Antwort: Falsch
Erklärung: FALSCH. r = 0 heißt nur kein **linearer** Zusammenhang. Es kann nicht-lineare Beziehungen geben (z.B. y = x², streng symmetrisch um 0). Klausur-Klassiker zur Konzept-Frage.
Typ: Wahr/Falsch
- F5.Ordne dem Korrelationswert die Stärke zu (Faustregel):
Zuordnungen:
- r = 0,15 → Schwach
- r = -0,40 → Moderat
- r = 0,82 → Stark
- r = -0,95 → Sehr stark
Erklärung: Faustregel: |r|<0,3 schwach, 0,3-0,5 moderat, 0,5-0,7 mittel, 0,7-0,9 stark, >0,9 sehr stark. Vorzeichen ist NICHT relevant für die Stärke, nur der Betrag.
Typ: Zuordnung
- F6.Wenn die Daten {{1}} sind oder Ausreißer enthalten, ist {{2}}-Korrelation oft besser als {{3}}.
Lösungen pro Lücke:
- {{1}}: ordinal / nicht-linear / rang / nicht linear
- {{2}}: Spearman / spearman
- {{3}}: Pearson / pearson
Erklärung: Spearman = Rangkorrelation. Bei ordinalen Daten oder Ausreißern: Spearman robuster, da Werte zu Rängen konvertiert werden, extreme Werte werden gedämpft.
Typ: Lückentext
Klausur-Quiz
Klausurfragen mit Lösungen (6)
- F1.Daten (x,y): (1,2), (2,3), (3,5), (4,4), (5,6). Berechne die Pearson-Korrelation r. (auf 2 Nachkommastellen)
Antwort: 0.9 (Toleranz ±0.02)
Erklärung: `x̄`=3, `ȳ`=4. Σ(xi-x̄)(yi-ȳ)=4+1+0+0+4=9. Σ(xi-x̄)²=10. Σ(yi-ȳ)²=10. r=9/√(10·10)=9/10=0,90. Starker positiver Zusammenhang.
Typ: Zahlen-Eingabe
- F2.Aussage 'Eis-Verkauf und Ertrinkungs-Unfälle korrelieren stark positiv'. Was ist die wahrscheinlichste Erklärung?
Antwort: Confounder: beide werden durch Sommer-Hitze beeinflusst
Erklärung: Klassisches Beispiel für Confounder. Sommer-Hitze treibt beides, Eis-Konsum UND Schwimm-Aktivität → Ertrinkungs-Unfälle. Zeigt warum 'Korrelation ≠ Kausalität'. Pflicht-Beispiel in Klausur-Aufgaben zur Interpretation.
- F3.Sortiere die Schritte zur Pearson-r-Berechnung:
Richtige Reihenfolge:
- Mittelwerte $\bar{x}$ und $\bar{y}$ berechnen
- Abweichungen $(x_i - \bar{x})$ und $(y_i - \bar{y})$ pro Datenpunkt
- Produkte $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ aufsummieren (Zähler)
- Quadrate $(x_i - \bar{x})^2$ und $(y_i - \bar{y})^2$ aufsummieren
- r = Zähler / √(Σ(x-x̄)² · Σ(y-ȳ)²) bilden
Erklärung: Standard-Workflow: Mittelwerte → Abweichungen → Produkte (Zähler) → Quadrate (Nenner) → Division. Die Reihenfolge ist deterministisch, eine Tabelle ausfüllen ist Klausur-Standard.
Typ: Reihenfolge
- F4.Pearson-Korrelation ist anfälliger für Ausreißer als Spearman.
Antwort: Wahr
Erklärung: Korrekt. Pearson nutzt direkte Werte → ein Outlier weit weg von der Punktwolke kann r dramatisch verändern. Spearman nutzt nur Ränge → ein Outlier hat höchstens den Rang 1 oder n, der Effekt ist begrenzt. Klausur-Pflicht.
Typ: Wahr/Falsch
- F5.Welche Aussagen über Korrelation sind RICHTIG?
Richtige Antworten: r misst linearen Zusammenhang; r² gibt Anteil erklärter Varianz an; Spearman nutzt Ränge
Erklärung: Korrekt: r linear, r² Varianz-Anteil, Spearman auf Rängen. Falsch: r=0 → nur LINEAR keine Beziehung; r ist standardisiert ([-1,1]) während Cov beliebige Werte hat; |r|>1 ist mathematisch unmöglich (Cauchy-Schwarz).
Typ: Multi-Select
- F6.Wenn r = 0,6, wie viel Prozent der Varianz wird durch das andere Merkmal erklärt? (auf 1 Nachkommastelle in %)
Antwort: 36 % (Toleranz ±0.5)
Erklärung: r² = 0,6² = 0,36 = 36 %. Wirkt erstaunlich wenig, eine Korrelation von 0,6 wirkt 'gut', aber erklärt nur ein Drittel der Varianz. r² ist die ehrlichere Größe für 'wie stark erklärt'.
Typ: Zahlen-Eingabe
