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  • Einführung
  • Die zwei Hypothesen
  • Einseitig vs. Zweiseitig
  • Das 5-Schritt-Schema
  • Beispiel, komplette Aufgabe
  • p-Wert, der moderne Weg
  • Fehler 1. und 2. Art
  • Klausur-Faustregeln
  • Typischer Stolperstein
ThemenStatistikHypothesentest, Grundlagen
Statistik·4Lerneinheiten·22min·Stand02.08.2026

Hypothesentest, Grundlagen.

Ein Hypothesentest entscheidet datenbasiert, ob eine Behauptung über die Population (Nullhypothese) verworfen wird oder nicht. Klausur-Pflicht in BWL, Psychologie, VWL, WI und allen empirischen Fächern.

Was du in der Klausur können musst:

  • Hypothesen formulieren (H₀ vs. H₁), ein- vs. zweiseitig
  • Schema in 5 Schritten durchziehen
  • Teststatistik z berechnen und mit kritischem Wert vergleichen
  • p-Wert verstehen und mit α vergleichen
  • Fehler 1. und 2. Art abgrenzen

In Klausuren oft gefragt: Teste die Hypothese H₀: μ = X gegen H₁ bei α = 5 % und Entscheide auf Basis des p-Werts. Pflicht.

Nullhypothese H₀: "Es gibt keinen Effekt / kein Unterschied / der Wert ist X." Steht standardmäßig, wird nur verworfen wenn Daten stark dagegen sprechen.

Alternativhypothese H₁: "Es gibt einen Effekt / Unterschied / der Wert ist anders." Wird angenommen wenn H₀ verworfen wird.

Wichtig: H₀ wird nie "bewiesen", nur "nicht abgelehnt". Das Verfahren ist einseitig: starkes Evidenz gegen H₀ → ablehnen, schwaches Evidenz → beibehalten.

Zweiseitiger Test (H₁: μ ≠ μ₀):

  • Verwirf H₀ wenn x̄ deutlich größer ODER kleiner als μ₀
  • Ablehnungsbereich: beide Tails der Glocke (α/2 je Seite)
  • Kritischer Wert: z_{α/2}

Einseitiger Test (H₁: μ > μ₀ oder μ < μ₀):

  • Verwirf H₀ nur wenn x̄ deutlich in EINE Richtung
  • Ablehnungsbereich: nur ein Tail (α gesamt)
  • Kritischer Wert: z_α
αZweiseitigEinseitig
5 %±1,961,645
1 %±2,5762,326

1. Hypothesen formulieren

Beispiel: "Erfüllt die Maschine die Sollfüllmenge von 500 ml?"

  • H0H_0H0​: μ = 500 ml
  • H1H_1H1​: μ ≠ 500 ml (zweiseitig, "anders" ist relevant in beide Richtungen)

2. Signifikanzniveau α festlegen

α\alphaα ist die maximal akzeptierte Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit unter der Annahme, dass H0H_0H0​ wahr ist:

α=P(H0 verwerfen∣H0 wahr)\alpha = P(H_0 \text{ verwerfen} \mid H_0 \text{ wahr})α=P(H0​ verwerfen∣H0​ wahr)

Wichtig: α=0,05\alpha = 0{,}05α=0,05 heißt nicht "95 % Sicherheit, dass H0H_0H0​ wahr ist", sondern: "wenn H0H_0H0​ wahr ist, akzeptieren wir ein 5 %-Risiko, sie fälschlich zu verwerfen".

Standardwerte:

  • α=0,05\alpha = 0{,}05α=0,05, BWL/Wirtschaft (5 %-Fehler-1.-Art-Risiko)
  • α=0,01\alpha = 0{,}01α=0,01, medizinische Tests (strenger, weil Fehlentscheidungen teurer)

3. Teststatistik berechnen

Bei bekanntem σ und Mittelwert-Test:

z=xˉ−μ0σ/nz = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}z=σ/n​xˉ−μ0​​

Bestandteile:

  • xˉ\bar{x}xˉ, beobachteter Stichprobenmittelwert
  • μ0\mu_0μ0​, hypothetischer Wert aus H₀
  • σ/n\sigma / \sqrt{n}σ/n​, Standardfehler

4. Ablehnungsbereich bestimmen

Aus α und Test-Typ:

Test-TypAblehnung wenn
Zweiseitig∥z∥>zα/2\|z\| > z_{α/2}∥z∥>zα/2​
Rechtseitigz>zαz > z_αz>zα​
Linksseitigz<−zαz < -z_αz<−zα​

5. Entscheidung

Vergleich der berechneten Teststatistik mit dem kritischen Wert:

  • Liegt zzz im Ablehnungsbereich → H0H_0H0​ verwerfen zugunsten von H1H_1H1​
  • Liegt zzz außerhalb → H0H_0H0​ nicht verwerfen ("beibehalten")

Wichtig, Sprachregelung: Hypothesentests beweisen H1H_1H1​ nicht. Sie sammeln nur Evidenz gegen H0H_0H0​. Schreibe niemals "H1H_1H1​ ist wahr" oder "H0H_0H0​ ist bewiesen", sondern immer "H0H_0H0​ verworfen / nicht verworfen".

Maschine soll 500 ml abfüllen. Stichprobe: n = 25, xˉ\bar{x}xˉ = 497, σ = 8. Teste bei α = 5 % zweiseitig.

Schritt 1: H0H_0H0​: μ = 500 vs. H1H_1H1​: μ ≠ 500.

Schritt 2: α = 0,05 (zweiseitig → α/2 = 0,025).

Schritt 3: z=(497−500)/(8/√25)=−3/1,6=−1,875z = (497 - 500) / (8/√25) = -3 / 1{,}6 = -1{,}875z=(497−500)/(8/√25)=−3/1,6=−1,875.

Schritt 4: Kritischer Wert z0,025=±1,96z_{0{,}025} = ±1{,}96z0,025​=±1,96.

Schritt 5: ∣−1,875∣<1,96|−1{,}875| < 1{,}96∣−1,875∣<1,96 → H₀ wird NICHT abgelehnt. Die Daten reichen nicht aus, um signifikante Abweichung zu belegen.

Statt mit kritischem Wert zu vergleichen, kann man den p-Wert berechnen:

p-Wert = Wahrscheinlichkeit, einen so extremen (oder extremeren) Wert zu beobachten, wenn H₀ wahr ist.

Entscheidungs-Regel:

  • p-Wert ≤ α → H₀ ablehnen
  • p-Wert > α → H₀ beibehalten

Beispiel oben: z = -1,875 → p-Wert (zweiseitig) = 2 · Φ(-1,875) ≈ 2 · 0,0303 = 0,0606. Da 0,0606 > 0,05 → H₀ nicht ablehnen.

Faustregel: "klein-p verwirft H₀". Kleiner p → mehr Evidenz gegen H₀.

Realität \ EntscheidungH₀ ablehnenH₀ beibehalten
H₀ ist wahrFehler 1. Art (α)Korrekt ✓
H₀ ist falschKorrekt ✓Fehler 2. Art (β)
  • α (Signifikanzniveau): falsch-positiv, H₀ ablehnen obwohl sie wahr ist
  • β (= 1 − Power): falsch-negativ, H₀ beibehalten obwohl sie falsch ist
  • Power = 1 − β: Wahrscheinlichkeit, einen tatsächlichen Effekt zu entdecken

Trade-off: kleineres α (z.B. 0,01 statt 0,05) → größeres β. Zur Reduktion beider braucht man größere Stichprobe.

  1. z-Wert auswendig: 1,96 (95 % zweiseitig), 1,645 (95 % einseitig), 2,576 (99 % zweiseitig).
  2. Vor Berechnung: ein- oder zweiseitig? Klausur-Hauptfehler.
  3. |z| > kritisch → H₀ ablehnen (zweiseitig). Bei einseitig nur die richtige Seite.
  4. p-Wert ≤ α → H₀ ablehnen.
  5. H₀ wird nie bewiesen, nur "nicht abgelehnt". Korrekte Sprache wichtig.

Test-Typ verwechselt. Wenn die Aufgabe sagt "größer als" oder "kleiner als" → einseitig. "Anders als" oder "verschieden" → zweiseitig. Bei Unsicherheit: zweiseitig wählen (konservativer).

z-Wert vorzeichen verwechselt. Bei zweiseitigem Test ist |z| relevant. Bei einseitig links: z muss kleiner als −z_α sein. Bei einseitig rechts: z > z_α.

"H₀ ist bewiesen" ist falsch. Korrekt: "H₀ wird nicht abgelehnt" oder "Daten reichen nicht für H₁".

p-Wert ≠ Wahrscheinlichkeit dass H₀ wahr ist. Häufiger Konzept-Fehler. p-Wert = P(Daten | H₀), nicht P(H₀ | Daten).

Stell H₀ (μ₀), Stichprobenwerte (x̄, σ, n) und Test-Typ ein. Die Plattform zeichnet die Glocke der Stichprobenverteilung unter H₀, schraffiert den Ablehnungsbereich und markiert deine Teststatistik. Live: Entscheidung, H₀ ablehnen oder beibehalten.

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Klausur-Tipp: beobachte den Unterschied zwischen einseitig und zweiseitig. Bei α = 5 % ist der einseitige kritische Wert 1,645, der zweiseitige ±1,96, also einseitig ist "schärfer" auf der Seite, die du testest.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Ein Hypothesentest entscheidet datenbasiert, ob eine Behauptung über die Population (Nullhypothese) verworfen wird oder nicht. Klausur-Pflicht in BWL, Psychologie, VWL, WI und allen empirischen Fächern.

Was du in der Klausur können musst:

  • Hypothesen formulieren (H₀ vs. H₁), ein- vs. zweiseitig
  • Schema in 5 Schritten durchziehen
  • Teststatistik z berechnen und mit kritischem Wert vergleichen
  • p-Wert verstehen und mit α vergleichen
  • Fehler 1. und 2. Art abgrenzen

In Klausuren oft gefragt: Teste die Hypothese H₀: μ = X gegen H₁ bei α = 5 % und Entscheide auf Basis des p-Werts. Pflicht.

Die zwei Hypothesen

Nullhypothese H₀: "Es gibt keinen Effekt / kein Unterschied / der Wert ist X." Steht standardmäßig, wird nur verworfen wenn Daten stark dagegen sprechen.

Alternativhypothese H₁: "Es gibt einen Effekt / Unterschied / der Wert ist anders." Wird angenommen wenn H₀ verworfen wird.

Wichtig: H₀ wird nie "bewiesen", nur "nicht abgelehnt". Das Verfahren ist einseitig: starkes Evidenz gegen H₀ → ablehnen, schwaches Evidenz → beibehalten.

Einseitig vs. Zweiseitig

Zweiseitiger Test (H₁: μ ≠ μ₀):

  • Verwirf H₀ wenn x̄ deutlich größer ODER kleiner als μ₀
  • Ablehnungsbereich: beide Tails der Glocke (α/2 je Seite)
  • Kritischer Wert: z_{α/2}

Einseitiger Test (H₁: μ > μ₀ oder μ < μ₀):

  • Verwirf H₀ nur wenn x̄ deutlich in EINE Richtung
  • Ablehnungsbereich: nur ein Tail (α gesamt)
  • Kritischer Wert: z_α
αZweiseitigEinseitig
5 %±1,961,645
1 %±2,5762,326

Das 5-Schritt-Schema

1. Hypothesen formulieren

Beispiel: "Erfüllt die Maschine die Sollfüllmenge von 500 ml?"

  • H₀: μ = 500 ml
  • H₁: μ ≠ 500 ml (zweiseitig, "anders" ist relevant in beide Richtungen)
2. Signifikanzniveau α festlegen

α ist die maximal akzeptierte Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit unter der Annahme, dass H₀ wahr ist:

α = P(H₀ verwerfen mid H₀ wahr)

Wichtig: α = 0,05 heißt nicht "95 % Sicherheit, dass H₀ wahr ist", sondern: "wenn H₀ wahr ist, akzeptieren wir ein 5 %-Risiko, sie fälschlich zu verwerfen".

Standardwerte:

  • α = 0,05, BWL/Wirtschaft (5 %-Fehler-1.-Art-Risiko)
  • α = 0,01, medizinische Tests (strenger, weil Fehlentscheidungen teurer)
3. Teststatistik berechnen

Bei bekanntem σ und Mittelwert-Test:

z = (x̄ - μ₀)/(σ / √(n))

Bestandteile:

  • x̄, beobachteter Stichprobenmittelwert
  • μ₀, hypothetischer Wert aus H₀
  • σ / √(n), Standardfehler
4. Ablehnungsbereich bestimmen

Aus α und Test-Typ:

Test-TypAblehnung wenn
Zweiseitig|z| > z_(α/2)
Rechtseitigz > z_α
Linksseitigz < -z_α
5. Entscheidung

Vergleich der berechneten Teststatistik mit dem kritischen Wert:

  • Liegt z im Ablehnungsbereich → H₀ verwerfen zugunsten von H₁
  • Liegt z außerhalb → H₀ nicht verwerfen ("beibehalten")

Wichtig, Sprachregelung: Hypothesentests beweisen H₁ nicht. Sie sammeln nur Evidenz gegen H₀. Schreibe niemals "H₁ ist wahr" oder "H₀ ist bewiesen", sondern immer "H₀ verworfen / nicht verworfen".

Beispiel, komplette Aufgabe

Maschine soll 500 ml abfüllen. Stichprobe: n = 25, x̄ = 497, σ = 8. Teste bei α = 5 % zweiseitig.

Schritt 1: H₀: μ = 500 vs. H₁: μ ≠ 500.

Schritt 2: α = 0,05 (zweiseitig → α/2 = 0,025).

Schritt 3: z = (497 - 500) / (8/√25) = -3 / 1,6 = -1,875.

Schritt 4: Kritischer Wert z_{0,025} = ±1,96.

Schritt 5: |−1,875| < 1,96 → H₀ wird NICHT abgelehnt. Die Daten reichen nicht aus, um signifikante Abweichung zu belegen.

p-Wert, der moderne Weg

Statt mit kritischem Wert zu vergleichen, kann man den p-Wert berechnen:

p-Wert = Wahrscheinlichkeit, einen so extremen (oder extremeren) Wert zu beobachten, wenn H₀ wahr ist.

Entscheidungs-Regel:

  • p-Wert ≤ α → H₀ ablehnen
  • p-Wert > α → H₀ beibehalten

Beispiel oben: z = -1,875 → p-Wert (zweiseitig) = 2 · Φ(-1,875) ≈ 2 · 0,0303 = 0,0606. Da 0,0606 > 0,05 → H₀ nicht ablehnen.

Faustregel: "klein-p verwirft H₀". Kleiner p → mehr Evidenz gegen H₀.

Fehler 1. und 2. Art

Realität \ EntscheidungH₀ ablehnenH₀ beibehalten
H₀ ist wahrFehler 1. Art (α)Korrekt ✓
H₀ ist falschKorrekt ✓Fehler 2. Art (β)
  • α (Signifikanzniveau): falsch-positiv, H₀ ablehnen obwohl sie wahr ist
  • β (= 1 − Power): falsch-negativ, H₀ beibehalten obwohl sie falsch ist
  • Power = 1 − β: Wahrscheinlichkeit, einen tatsächlichen Effekt zu entdecken

Trade-off: kleineres α (z.B. 0,01 statt 0,05) → größeres β. Zur Reduktion beider braucht man größere Stichprobe.

Klausur-Faustregeln

  1. z-Wert auswendig: 1,96 (95 % zweiseitig), 1,645 (95 % einseitig), 2,576 (99 % zweiseitig).
  2. Vor Berechnung: ein- oder zweiseitig? Klausur-Hauptfehler.
  3. |z| > kritisch → H₀ ablehnen (zweiseitig). Bei einseitig nur die richtige Seite.
  4. p-Wert ≤ α → H₀ ablehnen.
  5. H₀ wird nie bewiesen, nur "nicht abgelehnt". Korrekte Sprache wichtig.

Typischer Stolperstein

Test-Typ verwechselt. Wenn die Aufgabe sagt "größer als" oder "kleiner als" → einseitig. "Anders als" oder "verschieden" → zweiseitig. Bei Unsicherheit: zweiseitig wählen (konservativer).

z-Wert vorzeichen verwechselt. Bei zweiseitigem Test ist |z| relevant. Bei einseitig links: z muss kleiner als −z_α sein. Bei einseitig rechts: z > z_α.

"H₀ ist bewiesen" ist falsch. Korrekt: "H₀ wird nicht abgelehnt" oder "Daten reichen nicht für H₁".

p-Wert ≠ Wahrscheinlichkeit dass H₀ wahr ist. Häufiger Konzept-Fehler. p-Wert = P(Daten | H₀), nicht P(H₀ | Daten).

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

Hypothesentest-Lab

Stell H₀ (μ₀), Stichprobenwerte (x̄, σ, n) und Test-Typ ein. Die Plattform zeichnet die Glocke der Stichprobenverteilung unter H₀, schraffiert den Ablehnungsbereich und markiert deine Teststatistik. Live: Entscheidung, H₀ ablehnen oder beibehalten.

Interaktive Visualisierung

Hypothesentest mit Ablehnungsbereich, p-Wert und Fehler 1./2. Art.

Klausur-Tipp: beobachte den Unterschied zwischen einseitig und zweiseitig. Bei α = 5 % ist der einseitige kritische Wert 1,645, der zweiseitige ±1,96, also einseitig ist "schärfer" auf der Seite, die du testest.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Hypothesentest-Praxis

Klausur-typische Aufgaben: Hypothesen formulieren, z-Wert berechnen, kritischen Wert finden, Entscheidung.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Welche Hypothese steht standardmäßig im Vordergrund und wird nur bei starker Evidenz dagegen verworfen?

Antwort: H₀ (Nullhypothese)

Erklärung: H₀ wird beibehalten, solange die Daten nicht stark dagegen sprechen. H₁ wird nur akzeptiert wenn Evidenz das Niveau α überschreitet. Konservatives Verfahren.

F2.Welcher kritische z-Wert gilt für einen ZWEIseitigen Test bei α = 5 %? (Betrag, 2 Nachkommastellen)

Antwort: 1.96 (Toleranz ±0.01)

Erklärung: Zweiseitig α = 5 % → α/2 = 0,025 in jedem Tail → z_{0,025} = 1,96. Klausur-Klassiker. Bei einseitig wäre es 1,645.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Stichprobe: x̄ = 102, σ = 10, n = 25, H₀: μ = 100. Berechne die Teststatistik z. (auf 1 Nachkommastelle)

Antwort: 1 (Toleranz ±0.05)

Erklärung: z = (`x̄` - μ₀) / (σ/√n) = (102-100) / (10/√25) = 2 / 2 = 1,0. Bei α = 5 % zweiseitig: |1,0| < 1,96 → H₀ NICHT ablehnen.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Wenn der p-Wert kleiner als α ist, wird H₀ abgelehnt.

Antwort: Wahr

Erklärung: Korrekt. p ≤ α → ablehnen. p > α → nicht ablehnen. Klausur-Standard. Kleiner p = stärkere Evidenz gegen H₀.

Typ: Wahr/Falsch

F5.Ordne dem Fehler-Typ die richtige Beschreibung zu:

Zuordnungen:

  • Fehler 1. Art (α) → H₀ ablehnen, obwohl sie wahr ist
  • Fehler 2. Art (β) → H₀ beibehalten, obwohl sie falsch ist
  • Power (1 − β) → Wahrscheinlichkeit, einen echten Effekt zu erkennen
  • Trade-off α ↓ vs β → Kleineres α → größeres β

Erklärung: Klausur-Pflicht-Stoff. α = falsch-positiv (false alarm), β = falsch-negativ (miss). Beide gleichzeitig nur durch größere Stichprobe reduzierbar.

Typ: Zuordnung

F6.Bei einem {{1}}-seitigen Test mit α = 0,05 wird α auf BEIDE Tails verteilt, je {{2}} pro Seite. Die kritischen z-Werte sind {{3}}.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: zwei / 2
  • {{2}}: 0,025 / 0.025 / α/2 / alpha/2
  • {{3}}: ±1,96 / ±1.96 / +/-1,96 / +/-1.96 / 1,96 / 1.96

Erklärung: Zweiseitiger Test α=5 %: α wird auf beide Tails verteilt → 0,025 pro Seite, kritische Werte ±1,96. Einseitig α=5 %: kompletter α-Bereich in einem Tail → kritischer Wert 1,645. Verwechseln ist Klausur-Klassiker.

Typ: Lückentext

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Sortiere das 5-Schritt-Schema des Hypothesentests:

Richtige Reihenfolge:

  1. Hypothesen H₀ und H₁ formulieren
  2. Signifikanzniveau α festlegen
  3. Teststatistik z aus Stichprobendaten berechnen
  4. Ablehnungsbereich / kritischen Wert bestimmen
  5. Entscheidung: H₀ ablehnen oder beibehalten

Erklärung: Standard-Workflow: zuerst Hypothesen + Niveau (Setup vor Daten!), dann Teststatistik, dann Ablehnungsbereich, dann Entscheidung. Reihenfolge ist Klausur-Pflicht.

Typ: Reihenfolge

F2.Welche Aussagen über den Hypothesentest sind RICHTIG?

Richtige Antworten: p-Wert ≤ α führt zur Ablehnung von H₀; α ist die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art; Power ist 1 − β; Einseitig α = 5 %: kritischer Wert 1,645

Erklärung: Korrekt: p ≤ α → ablehnen, α = Fehler 1. Art, Power = 1−β, einseitig 1,645. Falsch: H₀ wird nie 'bewiesen' (nur nicht abgelehnt); zweiseitig wäre ±1,96, nicht ±1,645.

Typ: Multi-Select

F3.Stichprobe: x̄ = 78, σ = 12, n = 36, H₀: μ = 80. Berechne die Teststatistik z. (auf 1 Nachkommastelle)

Antwort: -1 (Toleranz ±0.05)

Erklärung: z = (78-80) / (12/√36) = -2 / 2 = -1,0. Bei α = 5 % zweiseitig: |-1,0| < 1,96 → H₀ NICHT ablehnen. Negative z-Werte sind möglich und Klausur-Klassiker.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Eine Klausur-Aufgabe testet H₀: μ = 500 vs. H₁: μ < 500 (linksseitig) bei α = 1 %. Berechnet wurde z = −2,5. Welche Entscheidung?

Antwort: H₀ ablehnen, denn z < −2,326 (kritischer Wert für einseitig 1 %)

Erklärung: Linksseitig α = 1 % → kritischer Wert −2,326 (= −z_{0,01}). z = −2,5 < −2,326 → H₀ ablehnen. ACHTUNG: bei einseitigen Tests nicht den zweiseitigen Wert (±2,576) nehmen, Klausur-Falle.

F5.Wenn der p-Wert 0,03 ist und α = 0,05, dann ist das Ergebnis statistisch signifikant.

Antwort: Wahr

Erklärung: Korrekt. p = 0,03 < α = 0,05 → H₀ ablehnen → Ergebnis statistisch signifikant zum 5-%-Niveau. Wäre p = 0,03 und α = 0,01, wäre es NICHT signifikant zum 1-%-Niveau.

Typ: Wahr/Falsch

F6.Stichprobe: x̄ = 105, σ = 15, n = 100, H₀: μ = 100, H₁: μ > 100 (rechtsseitig). Bei α = 5 %, wie groß ist die Teststatistik z? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 3.33 (Toleranz ±0.1)

Erklärung: z = (105-100) / (15/√100) = 5 / 1,5 = 3,33. Kritisch (rechtsseitig α=5 %) = 1,645. 3,33 > 1,645 → H₀ ablehnen. Hochsignifikantes Ergebnis (p ≈ 0,0004).

Typ: Zahlen-Eingabe

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