Datenbasierte Entscheidung über Behauptungen zur Population. Hypothesen H₀/H₁, einseitig vs. zweiseitig, z-Test, p-Wert, Fehler 1. und 2. Art — Klausur-Pflicht.
Ein Hypothesentest entscheidet datenbasiert, ob eine Behauptung über die Population (Nullhypothese) verworfen wird oder nicht. Klausur-Pflicht in BWL, Psychologie, VWL, WI und allen empirischen Fächern.
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren oft gefragt: Teste die Hypothese H₀: μ = X gegen H₁ bei α = 5 % und Entscheide auf Basis des p-Werts. Pflicht.
Nullhypothese H₀: "Es gibt keinen Effekt / kein Unterschied / der Wert ist X." Steht standardmäßig — wird nur verworfen wenn Daten stark dagegen sprechen.
Alternativhypothese H₁: "Es gibt einen Effekt / Unterschied / der Wert ist anders." Wird angenommen wenn H₀ verworfen wird.
Wichtig: H₀ wird nie "bewiesen" — nur "nicht abgelehnt". Das Verfahren ist einseitig: starkes Evidenz gegen H₀ → ablehnen, schwaches Evidenz → beibehalten.
Zweiseitiger Test (H₁: μ ≠ μ₀):
Einseitiger Test (H₁: μ > μ₀ oder μ < μ₀):
| α | Zweiseitig | Einseitig |
|---|---|---|
| 5 % | ±1,96 | 1,645 |
| 1 % | ±2,576 | 2,326 |
Beispiel: "Erfüllt die Maschine die Sollfüllmenge von 500 ml?"
α = P(H₀ ablehnen, obwohl wahr) = Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit.
Standardwerte:
Bei bekanntem σ und Mittelwert-Test:
Bestandteile:
Aus α und Test-Typ:
| Test-Typ | Ablehnung wenn |
|---|---|
| Zweiseitig | |
| Rechtseitig | |
| Linksseitig |
Vergleich der berechneten Teststatistik mit dem kritischen Wert:
Maschine soll 500 ml abfüllen. Stichprobe: n = 25, = 497, σ = 8. Teste bei α = 5 % zweiseitig.
Schritt 1: : μ = 500 vs. : μ ≠ 500.
Schritt 2: α = 0,05 (zweiseitig → α/2 = 0,025).
Schritt 3: .
Schritt 4: Kritischer Wert .
Schritt 5: → H₀ wird NICHT abgelehnt. Die Daten reichen nicht aus, um signifikante Abweichung zu belegen.
Statt mit kritischem Wert zu vergleichen, kann man den p-Wert berechnen:
p-Wert = Wahrscheinlichkeit, einen so extremen (oder extremeren) Wert zu beobachten, wenn H₀ wahr ist.
Entscheidungs-Regel:
Beispiel oben: z = -1,875 → p-Wert (zweiseitig) = 2 · Φ(-1,875) ≈ 2 · 0,0303 = 0,0606. Da 0,0606 > 0,05 → H₀ nicht ablehnen.
Faustregel: "klein-p verwirft H₀". Kleiner p → mehr Evidenz gegen H₀.
| Realität \ Entscheidung | H₀ ablehnen | H₀ beibehalten |
|---|---|---|
| H₀ ist wahr | Fehler 1. Art (α) | Korrekt ✓ |
| H₀ ist falsch | Korrekt ✓ | Fehler 2. Art (β) |
Trade-off: kleineres α (z.B. 0,01 statt 0,05) → größeres β. Zur Reduktion beider braucht man größere Stichprobe.
- z-Wert auswendig: 1,96 (95 % zweiseitig), 1,645 (95 % einseitig), 2,576 (99 % zweiseitig).
- Vor Berechnung: ein- oder zweiseitig? Klausur-Hauptfehler.
- |z| > kritisch → H₀ ablehnen (zweiseitig). Bei einseitig nur die richtige Seite.
- p-Wert ≤ α → H₀ ablehnen.
- H₀ wird nie bewiesen — nur "nicht abgelehnt". Korrekte Sprache wichtig.
Test-Typ verwechselt. Wenn die Aufgabe sagt "größer als" oder "kleiner als" → einseitig. "Anders als" oder "verschieden" → zweiseitig. Bei Unsicherheit: zweiseitig wählen (konservativer).
z-Wert vorzeichen verwechselt. Bei zweiseitigem Test ist |z| relevant. Bei einseitig links: z muss kleiner als −z_α sein. Bei einseitig rechts: z > z_α.
"H₀ ist bewiesen" ist falsch. Korrekt: "H₀ wird nicht abgelehnt" oder "Daten reichen nicht für H₁".
p-Wert ≠ Wahrscheinlichkeit dass H₀ wahr ist. Häufiger Konzept-Fehler. p-Wert = P(Daten | H₀), nicht P(H₀ | Daten).
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Klausur-Pflicht in BWL, Psychologie, VWL, WI und allen empirischen Fächern.
Die zwei wichtigsten diskreten Verteilungen. Binomial zählt Erfolge bei n Versuchen, Poisson zählt seltene Ereignisse pro Intervall — mit Approximations-Tricks zwischen Binomial, Poisson und Normal.
Misst Zusammenhänge zwischen zwei Variablen. Pearson für linearen Zusammenhang, Spearman für ordinale oder Ausreißer-behaftete Daten. Wertebereich −1 bis +1, plus Bestimmtheitsmaß r².
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren oft gefragt: Teste die Hypothese H₀: μ = X gegen H₁ bei α = 5 % und Entscheide auf Basis des p-Werts. Pflicht.
Nullhypothese H₀: "Es gibt keinen Effekt / kein Unterschied / der Wert ist X." Steht standardmäßig — wird nur verworfen wenn Daten stark dagegen sprechen.
Alternativhypothese H₁: "Es gibt einen Effekt / Unterschied / der Wert ist anders." Wird angenommen wenn H₀ verworfen wird.
Wichtig: H₀ wird nie "bewiesen" — nur "nicht abgelehnt". Das Verfahren ist einseitig: starkes Evidenz gegen H₀ → ablehnen, schwaches Evidenz → beibehalten.
Zweiseitiger Test (H₁: μ ≠ μ₀):
Einseitiger Test (H₁: μ > μ₀ oder μ < μ₀):
| α | Zweiseitig | Einseitig |
|---|---|---|
| 5 % | ±1,96 | 1,645 |
| 1 % | ±2,576 | 2,326 |
Beispiel: "Erfüllt die Maschine die Sollfüllmenge von 500 ml?"
H₀: μ = 500 mlH₁: μ ≠ 500 ml (zweiseitig — "anders" ist relevant in beide Richtungen)α = P(H₀ ablehnen, obwohl wahr) = Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit.
Standardwerte:
Bei bekanntem σ und Mittelwert-Test:
z = (x̄ - μ₀)/(σ / √(n))
Bestandteile:
x̄ — beobachteter Stichprobenmittelwertμ₀ — hypothetischer Wert aus H₀σ / √(n) — StandardfehlerAus α und Test-Typ:
| Test-Typ | Ablehnung wenn |
|---|---|
| Zweiseitig | |z| > z_(α/2) |
| Rechtseitig | z > z_α |
| Linksseitig | z < -z_α |
Vergleich der berechneten Teststatistik mit dem kritischen Wert:
Maschine soll 500 ml abfüllen. Stichprobe: n = 25,
x̄= 497, σ = 8. Teste bei α = 5 % zweiseitig.
Schritt 1: H₀: μ = 500 vs. H₁: μ ≠ 500.
Schritt 2: α = 0,05 (zweiseitig → α/2 = 0,025).
Schritt 3: z = (497 - 500) / (8/√25) = -3 / 1,6 = -1,875.
Schritt 4: Kritischer Wert z_{0,025} = ±1,96.
Schritt 5: |−1,875| < 1,96 → H₀ wird NICHT abgelehnt. Die Daten reichen nicht aus, um signifikante Abweichung zu belegen.
Statt mit kritischem Wert zu vergleichen, kann man den p-Wert berechnen:
p-Wert = Wahrscheinlichkeit, einen so extremen (oder extremeren) Wert zu beobachten, wenn H₀ wahr ist.
Entscheidungs-Regel:
Beispiel oben: z = -1,875 → p-Wert (zweiseitig) = 2 · Φ(-1,875) ≈ 2 · 0,0303 = 0,0606. Da 0,0606 > 0,05 → H₀ nicht ablehnen.
Faustregel: "klein-p verwirft H₀". Kleiner p → mehr Evidenz gegen H₀.
| Realität \ Entscheidung | H₀ ablehnen | H₀ beibehalten |
|---|---|---|
| H₀ ist wahr | Fehler 1. Art (α) | Korrekt ✓ |
| H₀ ist falsch | Korrekt ✓ | Fehler 2. Art (β) |
Trade-off: kleineres α (z.B. 0,01 statt 0,05) → größeres β. Zur Reduktion beider braucht man größere Stichprobe.
- z-Wert auswendig: 1,96 (95 % zweiseitig), 1,645 (95 % einseitig), 2,576 (99 % zweiseitig).
- Vor Berechnung: ein- oder zweiseitig? Klausur-Hauptfehler.
- |z| > kritisch → H₀ ablehnen (zweiseitig). Bei einseitig nur die richtige Seite.
- p-Wert ≤ α → H₀ ablehnen.
- H₀ wird nie bewiesen — nur "nicht abgelehnt". Korrekte Sprache wichtig.
Test-Typ verwechselt. Wenn die Aufgabe sagt "größer als" oder "kleiner als" → einseitig. "Anders als" oder "verschieden" → zweiseitig. Bei Unsicherheit: zweiseitig wählen (konservativer).
z-Wert vorzeichen verwechselt. Bei zweiseitigem Test ist |z| relevant. Bei einseitig links: z muss kleiner als −z_α sein. Bei einseitig rechts: z > z_α.
"H₀ ist bewiesen" ist falsch. Korrekt: "H₀ wird nicht abgelehnt" oder "Daten reichen nicht für H₁".
p-Wert ≠ Wahrscheinlichkeit dass H₀ wahr ist. Häufiger Konzept-Fehler. p-Wert = P(Daten | H₀), nicht P(H₀ | Daten).
Stell H₀ (μ₀), Stichprobenwerte (x̄, σ, n) und Test-Typ ein. Die Plattform zeichnet die Glocke der Stichprobenverteilung unter H₀, schraffiert den Ablehnungsbereich und markiert deine Teststatistik. Live: Entscheidung — H₀ ablehnen oder beibehalten.
Interaktive Visualisierung
Hypothesentest mit Ablehnungsbereich, p-Wert und Fehler 1./2. Art.
Klausur-Tipp: beobachte den Unterschied zwischen einseitig und zweiseitig. Bei α = 5 % ist der einseitige kritische Wert 1,645, der zweiseitige ±1,96 — also einseitig ist "schärfer" auf der Seite, die du testest.
Klausur-typische Aufgaben: Hypothesen formulieren, z-Wert berechnen, kritischen Wert finden, Entscheidung.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: H₀ (Nullhypothese)
Erklärung: H₀ wird beibehalten, solange die Daten nicht stark dagegen sprechen. H₁ wird nur akzeptiert wenn Evidenz das Niveau α überschreitet. Konservatives Verfahren.
Antwort: 1.96 (Toleranz ±0.01)
Erklärung: Zweiseitig α = 5 % → α/2 = 0,025 in jedem Tail → z_{0,025} = 1,96. Klausur-Klassiker. Bei einseitig wäre es 1,645.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 1 (Toleranz ±0.05)
Erklärung: z = (`x̄` - μ₀) / (σ/√n) = (102-100) / (10/√25) = 2 / 2 = 1,0. Bei α = 5 % zweiseitig: |1,0| < 1,96 → H₀ NICHT ablehnen.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Wahr
Erklärung: Korrekt. p ≤ α → ablehnen. p > α → nicht ablehnen. Klausur-Standard. Kleiner p = stärkere Evidenz gegen H₀.
Typ: Wahr/Falsch
Zuordnungen:
Erklärung: Klausur-Pflicht-Stoff. α = falsch-positiv (false alarm), β = falsch-negativ (miss). Beide gleichzeitig nur durch größere Stichprobe reduzierbar.
Typ: Zuordnung
Lösungen pro Lücke:
Erklärung: Einseitig α=5 % → kritischer Wert 1,645 (im einen Tail). Zweiseitig α=5 % → ±1,96 (α/2=0,025 je Seite). Verwechseln ist Klausur-Klassiker.
Typ: Lückentext
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Richtige Reihenfolge:
Erklärung: Standard-Workflow: zuerst Hypothesen + Niveau (Setup vor Daten!), dann Teststatistik, dann Ablehnungsbereich, dann Entscheidung. Reihenfolge ist Klausur-Pflicht.
Typ: Reihenfolge
Richtige Antworten: p-Wert ≤ α führt zur Ablehnung von H₀; α ist die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art; Power ist 1 − β; Einseitig α = 5 %: kritischer Wert 1,645
Erklärung: Korrekt: p ≤ α → ablehnen, α = Fehler 1. Art, Power = 1−β, einseitig 1,645. Falsch: H₀ wird nie 'bewiesen' (nur nicht abgelehnt); zweiseitig wäre ±1,96, nicht ±1,645.
Typ: Multi-Select
Antwort: -1 (Toleranz ±0.05)
Erklärung: z = (78-80) / (12/√36) = -2 / 2 = -1,0. Bei α = 5 % zweiseitig: |-1,0| < 1,96 → H₀ NICHT ablehnen. Negative z-Werte sind möglich und Klausur-Klassiker.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: H₀ ablehnen, denn z < −2,326 (kritischer Wert für einseitig 1 %)
Erklärung: Linksseitig α = 1 % → kritischer Wert −2,326 (= −z_{0,01}). z = −2,5 < −2,326 → H₀ ablehnen. ACHTUNG: bei einseitigen Tests nicht den zweiseitigen Wert (±2,576) nehmen — Klausur-Falle.
Antwort: Wahr
Erklärung: Korrekt. p = 0,03 < α = 0,05 → H₀ ablehnen → Ergebnis statistisch signifikant zum 5-%-Niveau. Wäre p = 0,03 und α = 0,01, wäre es NICHT signifikant zum 1-%-Niveau.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: 3.33 (Toleranz ±0.1)
Erklärung: z = (105-100) / (15/√100) = 5 / 1,5 = 3,33. Kritisch (rechtsseitig α=5 %) = 1,645. 3,33 > 1,645 → H₀ ablehnen. Hochsignifikantes Ergebnis (p ≈ 0,0004).
Typ: Zahlen-Eingabe
OLS-Schätzung der Geraden y = a + b·x für eine Punktwolke. Bestimmtheitsmaß R², Residuen, Vorhersage, klassische Annahmen — Klausur-Pflicht.