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  • Einführung
  • Die Idee
  • OLS-Formeln
  • Verbindung zur Korrelation
  • Beispiel, Hand-Rechnung
  • Residuen
  • Bestimmtheitsmaß R²
  • Annahmen des linearen Modells
  • Vorhersage vs. Erklärung
  • Klausur-Faustregeln
  • Typischer Stolperstein
ThemenStatistikLineare Regression: R², Voraussetzungen + Klausur (Statistik)
Statistik·4Lerneinheiten·21min·Stand02.08.2026

Lineare Regression: R², Voraussetzungen + Klausur (Statistik).

Lineare Regression

Die lineare Regression schätzt eine Gerade y = a + b·x, die die Punktwolke der Daten am besten beschreibt, gemessen am minimalen Quadrat-Fehler. Wichtigstes Werkzeug der Inferenz-Statistik in BWL, VWL, Psychologie, Data Science.

Was du in der Klausur können musst:

  • OLS-Formeln für Steigung b und Achsenabschnitt a
  • Bestimmtheitsmaß R² interpretieren (Anteil erklärter Varianz)
  • Residuen verstehen (Beobachtung minus Vorhersage)
  • Vorhersage ŷ für neuen x-Wert berechnen
  • Annahmen des linearen Modells nennen

In Klausuren oft gefragt: Berechne die Regressionsgerade und Wie viel Prozent der Varianz erklärt die Regression? Pflicht.

Bei einer Punktwolke (x1,y1),…,(xn,yn)(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)(x1​,y1​),…,(xn​,yn​) suchen wir die Gerade

y^=a+b⋅x\hat{y} = a + b \cdot xy^​=a+b⋅x

die die Punkte am besten beschreibt. "Am besten" heißt: Summe der quadrierten Abstände in y-Richtung (= Residuen) wird minimal.

Method of Least Squares (Gauß): minimiere ∑(yi−y^i)2\sum (y_i - \hat{y}_i)^2∑(yi​−y^​i​)2

Aus der Minimierungs-Bedingung folgen direkt:

b=∑i(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i(xi−xˉ)2b = \frac{\sum_i (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_i (x_i - \bar{x})^2}b=∑i​(xi​−xˉ)2∑i​(xi​−xˉ)(yi​−yˉ​)​

a=yˉ−b⋅xˉa = \bar{y} - b \cdot \bar{x}a=yˉ​−b⋅xˉ

Äquivalent über Kovarianz und Varianz:

b=Cov(X,Y)Var(X)b = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\text{Var}(X)}b=Var(X)Cov(X,Y)​

Beobachtung: die Regressionsgerade geht immer durch den Schwerpunkt (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y})(xˉ,yˉ​).

b=r⋅σYσXb = r \cdot \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}b=r⋅σX​σY​​

und das Bestimmtheitsmaß:

R2=r2R^2 = r^2R2=r2

bei einfacher linearer Regression. Heißt: R2=1R^2 = 1R2=1 → perfekte Anpassung, R2=0R^2 = 0R2=0 → keine erklärte Varianz.

Daten: (1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 4), (5, 6).

Schritt 1: Mittelwerte xˉ=3\bar{x} = 3xˉ=3, yˉ=4\bar{y} = 4yˉ​=4.

Schritt 2: Tabelle ausfüllen:

xyx−x̄y−ȳ(x−x̄)(y−ȳ)(x−x̄)²
12-2-244
23-1-111
350100
441001
562244
Σ =910

Schritt 3: Steigung b=9/10=0,9b = 9 / 10 = 0{,}9b=9/10=0,9.

Schritt 4: Intercept a=4−0,9⋅3=1,3a = 4 - 0{,}9 \cdot 3 = 1{,}3a=4−0,9⋅3=1,3.

Schritt 5: Regression: y^=1,3+0,9⋅x\hat{y} = 1{,}3 + 0{,}9 \cdot xy^​=1,3+0,9⋅x.

Vorhersage für x = 6: y^=1,3+0,9⋅6=6,7\hat{y} = 1{,}3 + 0{,}9 \cdot 6 = 6{,}7y^​=1,3+0,9⋅6=6,7.

Für jede Beobachtung iii ist das Residuum:

εi=yi−y^i=yi−(a+b⋅xi)\varepsilon_i = y_i - \hat{y}_i = y_i - (a + b \cdot x_i)εi​=yi​−y^​i​=yi​−(a+b⋅xi​)

Wenn die Regression gut passt, sind Residuen klein und um 0 verteilt. Bei systematischen Mustern (z.B. U-Form) ist das Modell nicht linear → komplexere Modelle nötig.

Notations-Warnung: in der Statistik-Literatur sind SSRSSRSSR und SSESSESSE nicht eindeutig belegt, manche Bücher meinen mit SSRSSRSSR "Residual", andere "Regression". Wir nutzen daher die eindeutigen Begriffe:

TSS=ESS+RSS\boxed{TSS = ESS + RSS}TSS=ESS+RSS​

mit:

TSS=∑i(yi−yˉ)2(Total)TSS = \sum_i (y_i - \bar{y})^2 \quad \text{(Total)}TSS=∑i​(yi​−yˉ​)2(Total)

ESS=∑i(y^i−yˉ)2(Explained / durch Regression erkla¨rt)ESS = \sum_i (\hat{y}_i - \bar{y})^2 \quad \text{(Explained / durch Regression erklärt)}ESS=∑i​(y^​i​−yˉ​)2(Explained / durch Regression erkla¨rt)

RSS=∑i(yi−y^i)2(Residual)RSS = \sum_i (y_i - \hat{y}_i)^2 \quad \text{(Residual)}RSS=∑i​(yi​−y^​i​)2(Residual)

Bestimmtheitsmaß:

R2=1−RSSTSS=ESSTSSR^2 = 1 - \frac{RSS}{TSS} = \frac{ESS}{TSS}R2=1−TSSRSS​=TSSESS​

Interpretation: R2=0,75R^2 = 0{,}75R2=0,75 → das Modell erklärt 75 % der Streuung in yyy (im Sinne kleinster Quadrate). Die restlichen 25 % gehen als unerklärte Residuen ein. Achtung: "erklärt" heißt hier rein modell-mäßig, nicht kausal.

Für korrekte Inferenz (Standardfehler, Hypothesentests, kausale Interpretation) müssen folgende Annahmen erfüllt sein:

  1. Linearität: yyy hängt linear von xxx ab
  2. Exogenität (zentral!): der Fehlerterm hat bedingt auf XXX den Erwartungswert null: E(ε∣X)=0E(\varepsilon \mid X) = 0E(ε∣X)=0 Ohne diese Annahme ist OLS im strukturellen/kausalen Sinn verzerrt, der geschätzte Koeffizient picked auch Confounder-Effekte mit auf.
  3. Unabhängigkeit: Beobachtungen unabhängig
  4. Homoskedastizität: konstante Varianz der Residuen über alle xxx-Werte
  5. Normalverteilung der Residuen (für klassische t-/F-Tests; bei großem nnn über CLT abschwächbar)

In Klausur-Aufgaben werden oft nur Linearität, Homoskedastizität und Normalität abgefragt, Exogenität ist die fortgeschrittene Annahme, die den Sprung von Korrelation zu kausaler Aussage erlaubt.

Vorhersage, zwei verschiedene Intervalle, die in Klausuren oft verwechselt werden:

  • Konfidenzintervall (für den bedingten Erwartungswert E[Y∣X=x0]E[Y \mid X = x_0]E[Y∣X=x0​]): wo liegt der mittlere yyy-Wert für x0x_0x0​? Schmaler.
  • Prognoseintervall (für eine einzelne neue Beobachtung yneuy_{neu}yneu​ bei X=x0X = x_0X=x0​): wo liegt diese eine Beobachtung? Breiter, weil die individuelle Streuung zusätzlich rein muss.

Erklärung, bbb als Effekt: "wenn xxx um 1 Einheit steigt, steigt yyy im Mittel um bbb Einheiten".

Vorsicht: Korrelation ≠\neq= Kausalität. Ein Regressions-Koeffizient bedeutet Assoziation, nicht zwingend Wirkung, kausal interpretierbar erst unter der Exogenitätsannahme oder einem identifizierenden Design (Experiment, IV, DiD, RDD).

  1. Steigung b zuerst (mit Cov(X,Y) / Var(X)), dann Intercept a = ȳ − b·x̄.
  2. Gerade geht durch (x̄, ȳ), wertvoller Plausibilitäts-Check.
  3. R² = r² bei einfacher Regression.
  4. Residuen-Plot in der Klausur erwähnen wenn nach Modell-Güte gefragt.
  5. Vorhersage außerhalb des Datenbereichs ist riskant (Extrapolation).

Cov(X,Y) und Var(X) verwechseln. Die Steigungs-Formel hat Cov im Zähler und Var(X) (NICHT Var(Y)) im Nenner. Bei Verwechslung wird die Skala falsch.

Intercept-Formel vergessen. a=yˉ−b⋅xˉa = \bar{y} - b \cdot \bar{x}a=yˉ​−b⋅xˉ, die Reihenfolge ist wichtig. Erst b berechnen, dann a aus dem Schwerpunkt.

R² mit r verwechseln. R2R^2R2 ist immer ≥ 0 (kann nicht negativ sein bei OLS). rrr kann negativ sein (Vorzeichen der Steigung).

Verschiebe die Punkte, die OLS-Gerade passt sich live an. Toggle die Residuen ein, um die Vorhersage-Fehler als vertikale Striche zu sehen. Beobachte: ein einzelner Outlier kann die Gerade kippen, visualisiert direkt warum man Residuen-Plots in der Praxis macht.

Lade Visualisierung...

Klausur-Tipp: beachte dass die Gerade IMMER durch den Schwerpunkt (x̄, ȳ) geht, wenn du ihn dir markierst und an einer Stelle siehst dass die Linie nicht durchgeht, hast du dich verrechnet.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Lineare Regression

Die lineare Regression schätzt eine Gerade y = a + b·x, die die Punktwolke der Daten am besten beschreibt, gemessen am minimalen Quadrat-Fehler. Wichtigstes Werkzeug der Inferenz-Statistik in BWL, VWL, Psychologie, Data Science.

Was du in der Klausur können musst:

  • OLS-Formeln für Steigung b und Achsenabschnitt a
  • Bestimmtheitsmaß R² interpretieren (Anteil erklärter Varianz)
  • Residuen verstehen (Beobachtung minus Vorhersage)
  • Vorhersage ŷ für neuen x-Wert berechnen
  • Annahmen des linearen Modells nennen

In Klausuren oft gefragt: Berechne die Regressionsgerade und Wie viel Prozent der Varianz erklärt die Regression? Pflicht.

Die Idee

Bei einer Punktwolke (x₁, y₁), ..., (x_n, y_n) suchen wir die Gerade

ŷ = a + b · x

die die Punkte am besten beschreibt. "Am besten" heißt: Summe der quadrierten Abstände in y-Richtung (= Residuen) wird minimal.

Method of Least Squares (Gauß): minimiere Σ (y_i - ŷ_i)²

OLS-Formeln

Aus der Minimierungs-Bedingung folgen direkt:

b = (Σ_i (x_i - x̄)(y_i - ȳ))/(Σ_i (x_i - x̄)²)

a = ȳ - b · x̄

Äquivalent über Kovarianz und Varianz:

b = Cov(X, Y)/Var(X)

Beobachtung: die Regressionsgerade geht immer durch den Schwerpunkt (x̄, ȳ).

Verbindung zur Korrelation

b = r · (σ_Y)/(σ_X)

und das Bestimmtheitsmaß:

R² = r²

bei einfacher linearer Regression. Heißt: R² = 1 → perfekte Anpassung, R² = 0 → keine erklärte Varianz.

Beispiel, Hand-Rechnung

Daten: (1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 4), (5, 6).

Schritt 1: Mittelwerte x̄ = 3, ȳ = 4.

Schritt 2: Tabelle ausfüllen:

xyx−x̄y−ȳ(x−x̄)(y−ȳ)(x−x̄)²
12-2-244
23-1-111
350100
441001
562244
Σ =910

Schritt 3: Steigung b = 9 / 10 = 0,9.

Schritt 4: Intercept a = 4 - 0,9 · 3 = 1,3.

Schritt 5: Regression: ŷ = 1,3 + 0,9 · x.

Vorhersage für x = 6: ŷ = 1,3 + 0,9 · 6 = 6,7.

Residuen

Für jede Beobachtung i ist das Residuum:

ε_i = y_i - ŷ_i = y_i - (a + b · x_i)

Wenn die Regression gut passt, sind Residuen klein und um 0 verteilt. Bei systematischen Mustern (z.B. U-Form) ist das Modell nicht linear → komplexere Modelle nötig.

Bestimmtheitsmaß R²

Notations-Warnung: in der Statistik-Literatur sind SSR und SSE nicht eindeutig belegt, manche Bücher meinen mit SSR "Residual", andere "Regression". Wir nutzen daher die eindeutigen Begriffe:

boxedTSS = ESS + RSS

mit:

TSS = Σ_i (y_i - ȳ)² (Total)

ESS = Σ_i (ŷ_i - ȳ)² (Explained / durch Regression erklärt)

RSS = Σ_i (y_i - ŷ_i)² (Residual)

Bestimmtheitsmaß:

R² = 1 - RSS/TSS = ESS/TSS

Interpretation: R² = 0,75 → das Modell erklärt 75 % der Streuung in y (im Sinne kleinster Quadrate). Die restlichen 25 % gehen als unerklärte Residuen ein. Achtung: "erklärt" heißt hier rein modell-mäßig, nicht kausal.

Annahmen des linearen Modells

Für korrekte Inferenz (Standardfehler, Hypothesentests, kausale Interpretation) müssen folgende Annahmen erfüllt sein:

  1. Linearität: y hängt linear von x ab
  2. Exogenität (zentral!): der Fehlerterm hat bedingt auf X den Erwartungswert null: E(ε mid X) = 0 Ohne diese Annahme ist OLS im strukturellen/kausalen Sinn verzerrt, der geschätzte Koeffizient picked auch Confounder-Effekte mit auf.
  3. Unabhängigkeit: Beobachtungen unabhängig
  4. Homoskedastizität: konstante Varianz der Residuen über alle x-Werte
  5. Normalverteilung der Residuen (für klassische t-/F-Tests; bei großem n über CLT abschwächbar)

In Klausur-Aufgaben werden oft nur Linearität, Homoskedastizität und Normalität abgefragt, Exogenität ist die fortgeschrittene Annahme, die den Sprung von Korrelation zu kausaler Aussage erlaubt.

Vorhersage vs. Erklärung

Vorhersage, zwei verschiedene Intervalle, die in Klausuren oft verwechselt werden:

  • Konfidenzintervall (für den bedingten Erwartungswert E[Y mid X = x₀]): wo liegt der mittlere y-Wert für x₀? Schmaler.
  • Prognoseintervall (für eine einzelne neue Beobachtung y_(neu) bei X = x₀): wo liegt diese eine Beobachtung? Breiter, weil die individuelle Streuung zusätzlich rein muss.

Erklärung, b als Effekt: "wenn x um 1 Einheit steigt, steigt y im Mittel um b Einheiten".

Vorsicht: Korrelation ≠ Kausalität. Ein Regressions-Koeffizient bedeutet Assoziation, nicht zwingend Wirkung, kausal interpretierbar erst unter der Exogenitätsannahme oder einem identifizierenden Design (Experiment, IV, DiD, RDD).

Klausur-Faustregeln

  1. Steigung b zuerst (mit Cov(X,Y) / Var(X)), dann Intercept a = ȳ − b·x̄.
  2. Gerade geht durch (x̄, ȳ), wertvoller Plausibilitäts-Check.
  3. R² = r² bei einfacher Regression.
  4. Residuen-Plot in der Klausur erwähnen wenn nach Modell-Güte gefragt.
  5. Vorhersage außerhalb des Datenbereichs ist riskant (Extrapolation).

Typischer Stolperstein

Cov(X,Y) und Var(X) verwechseln. Die Steigungs-Formel hat Cov im Zähler und Var(X) (NICHT Var(Y)) im Nenner. Bei Verwechslung wird die Skala falsch.

Intercept-Formel vergessen. a = ȳ - b · x̄, die Reihenfolge ist wichtig. Erst b berechnen, dann a aus dem Schwerpunkt.

R² mit r verwechseln. R² ist immer ≥ 0 (kann nicht negativ sein bei OLS). r kann negativ sein (Vorzeichen der Steigung).

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

Regressions-Lab

Verschiebe die Punkte, die OLS-Gerade passt sich live an. Toggle die Residuen ein, um die Vorhersage-Fehler als vertikale Striche zu sehen. Beobachte: ein einzelner Outlier kann die Gerade kippen, visualisiert direkt warum man Residuen-Plots in der Praxis macht.

Interaktive Visualisierung

Lineare Regression mit Residuen-Anzeige und Bestimmtheitsmaß R^2.

Klausur-Tipp: beachte dass die Gerade IMMER durch den Schwerpunkt (x̄, ȳ) geht, wenn du ihn dir markierst und an einer Stelle siehst dass die Linie nicht durchgeht, hast du dich verrechnet.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Regressions-Praxis

Klausur-typische Aufgaben: a und b berechnen, R² interpretieren, Vorhersage für neuen x-Wert, Residuen identifizieren.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Daten (x,y): (1,2), (2,3), (3,5), (4,4), (5,6). Welche Steigung b? (auf 1 Nachkommastelle)

Antwort: 0.9 (Toleranz ±0.05)

Erklärung: `x̄`=3, `ȳ`=4. Σ(x-x̄)(y-ȳ)=9. Σ(x-x̄)²=10. b = 9/10 = 0,9. Klausur-Standard: erst Tabelle, dann Division.

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.Aufbauend (b=0,9, x̄=3, ȳ=4): Berechne den Intercept a. (auf 1 Nachkommastelle)

Antwort: 1.3 (Toleranz ±0.05)

Erklärung: a = ȳ - b·x̄ = 4 - 0,9·3 = 4 - 2,7 = 1,3. Regression: ŷ = 1,3 + 0,9·x. Plausibilitäts-Check: bei x=3 ist ŷ = 1,3 + 2,7 = 4 = ȳ ✓.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Mit der Regression ŷ = 1,3 + 0,9·x: Vorhersage für x = 7. (auf 1 Nachkommastelle)

Antwort: 7.6 (Toleranz ±0.05)

Erklärung: ŷ(7) = 1,3 + 0,9·7 = 1,3 + 6,3 = 7,6. ACHTUNG: Extrapolation außerhalb der Daten (1-5) ist riskant. Die Regression ist nur im beobachteten Bereich verlässlich.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Die OLS-Regressionsgerade verläuft immer durch den Schwerpunkt (x̄, ȳ).

Antwort: Wahr

Erklärung: Korrekt. Aus der Intercept-Formel a = ȳ - b·x̄ folgt direkt: bei x = x̄ ist ŷ = a + b·x̄ = (ȳ - b·x̄) + b·x̄ = ȳ. Klausur-Plausibilitäts-Check.

Typ: Wahr/Falsch

F5.Ordne der Größe die Beschreibung zu:

Zuordnungen:

  • RSS (Σ(yi − ŷi)²) → Residual Sum of Squares, Rest, der nicht erklärt wird
  • TSS (Σ(yi − ȳ)²) → Total Sum of Squares, gesamte Streuung von y
  • ESS (Σ(ŷi − ȳ)²) → Explained Sum of Squares, durch Regression erklärt
  • R² = 1 − RSS/TSS = ESS/TSS → Anteil erklärter Streuung im Modell [0, 1]

Erklärung: Eindeutige Notation: TSS = ESS + RSS. R² ist der Anteil der erklärten Streuung. Achtung: in der Literatur sind SSR/SSE nicht eindeutig, daher RSS/ESS/TSS verwenden.

Typ: Zuordnung

F6.Wenn r = 0,7 (Pearson-Korrelation): wie groß ist R²? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 0.49 (Toleranz ±0.005)

Erklärung: Bei einfacher linearer Regression gilt R² = r² = 0,7² = 0,49. Heißt: 49 % der Varianz von y wird durch x erklärt. Faustregel-Erinnerung: r=0,7 wirkt 'gut', erklärt aber nur knapp die Hälfte.

Typ: Zahlen-Eingabe

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Sortiere die Schritte zur OLS-Regression von Daten (xi, yi):

Richtige Reihenfolge:

  1. Mittelwerte $\bar{x}$ und $\bar{y}$ berechnen
  2. Abweichungen $(x_i - \bar{x})$ und $(y_i - \bar{y})$ pro Punkt
  3. Steigung b = Σ(x-x̄)(y-ȳ) / Σ(x-x̄)²
  4. Intercept a = ȳ − b·x̄
  5. Regressionsgleichung ŷ = a + b·x notieren

Erklärung: Standard-Workflow: Mittelwerte → Abweichungen → b berechnen → a aus Schwerpunkt → fertige Gleichung. Reihenfolge zwingend, da a von b abhängt.

Typ: Reihenfolge

F2.Eine Studie ergibt R² = 0,04. Wie ist das zu interpretieren?

Antwort: Sehr schwache Anpassung, nur 4 % der Varianz erklärt

Erklärung: R² = 0,04 = 4 % der Varianz erklärt. Sehr schwacher Zusammenhang. R² ist immer nicht-negativ. Klausur-Klassiker zur Modell-Güte-Bewertung.

F3.Welche Aussagen über die OLS-Regression sind RICHTIG?

Richtige Antworten: Minimiert Σ(yi - ŷi)²; Geht durch (x̄, ȳ); R² ist immer ≥ 0; R² = r² bei einfacher Regression; Annahme: Linearität, Unabhängigkeit, Homoskedastizität, Normalität der Residuen

Erklärung: Korrekt: minimiert Quadrat-Fehler, durch Schwerpunkt, R² ≥ 0, R²=r², 4 Annahmen. Falsch: b kann positiv ODER negativ sein, abhängig vom Vorzeichen von Cov(X,Y).

Typ: Multi-Select

F4.Daten (1,3), (2,5), (3,4), (4,6), (5,8). Berechne die Steigung b auf 2 Nachkommastellen.

Antwort: 1.1 (Toleranz ±0.05)

Erklärung: `x̄`=3, `ȳ`=5,2. (x-x̄)·(y-ȳ): -2·(-2,2)=4,4; -1·(-0,2)=0,2; 0·(-1,2)=0; 1·0,8=0,8; 2·2,8=5,6. Σ=11. (x-x̄)²: 4+1+0+1+4=10. b = 11/10 = 1,1.

Typ: Zahlen-Eingabe

F5.Bei der OLS-Regression können Residuen (yi - ŷi) sowohl positiv als auch negativ sein, und ihre Summe ist immer null.

Antwort: Wahr

Erklärung: Korrekt. Aus der Minimierungs-Bedingung folgt: Σ(yi - ŷi) = 0. Positive und negative Residuen heben sich exakt auf. Deshalb wird das QUADRAT der Residuen minimiert, sonst würde das Vorzeichen tricks erlauben.

Typ: Wahr/Falsch

F6.Bei einfacher linearer Regression gilt: b = r · ({{1}} / {{2}}), und R² = {{3}}.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: σ_Y / σY / sigma_y / sigma Y
  • {{2}}: σ_X / σX / sigma_x / sigma X
  • {{3}}: r² / r^2 / r2

Erklärung: b = r · (σ_Y / σ_X) verknüpft Korrelation mit Regression, die Steigung skaliert mit dem Verhältnis der Streuungen. R² = r² bei einfacher Regression (mit nur einer x-Variable).

Typ: Lückentext

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