/
/
·
·
/
/
·
·
  • Einführung
  • Notation
  • Einfacher Zins (lineare Verzinsung)
  • Zinseszins (exponentielle Verzinsung)
  • Aufzinsen ↔ Abzinsen
  • Umstellen nach n und i
  • Unterjährige Verzinsung
  • Effektivzins vs. Nominalzins
  • Klausur-Faustregeln
  • Wo brauchst du das?
ThemenMathematikZinsrechnung, Grundlagen
Mathematik·4Lerneinheiten·22min·Stand03.08.2026

Zinsrechnung, Grundlagen.

Zinsen sind das Entgelt für überlassenes Kapital, entweder linear (einfacher Zins) oder mit Wiederanlage der Zinsen (Zinseszins). Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathematik (BWL/WI/WiIng) und Vorstufe für Investitionsrechnung, Renten- und Tilgungsrechnung.

Was du in der Klausur können musst:

  • Einfacher Zins und Zinseszins unterscheiden und richtig anwenden
  • Endkapital, Anfangskapital, Laufzeit, Zinssatz umstellen können
  • Aufzinsen ↔ Abzinsen als Spiegel-Operationen
  • Unterjährige Verzinsung (Monats-/Tages-Zins, 360-Tage-Konvention)
  • Effektivzins vs. Nominalzins abgrenzen

In Klausuren oft gefragt: "Berechne KnK_nKn​", "Wie lange dauert die Verdoppelung?", "Welcher effektive Jahreszins ergibt sich?". Pflicht-Aufgaben.

SymbolBedeutung
K0K_0K0​Anfangskapital (Barwert, Present Value)
KnK_nKn​Endkapital nach nnn Perioden (Future Value)
pppZinssatz in Prozent pro Periode (z.B. 4 %)
iiiZinssatz als Dezimalzahl, i=p/100i = p/100i=p/100
qqqZinsfaktor, q=1+i=1+p/100q = 1 + i = 1 + p/100q=1+i=1+p/100
nnnLaufzeit in Perioden (meist Jahre)

Zinsen werden nur auf das ursprüngliche Kapital K0K_0K0​ gerechnet, die Zinsen selbst werden nicht mitverzinst.

Kn=K0⋅(1+i⋅n)=K0⋅(1+p⋅n100)K_n = K_0 \cdot \bigl(1 + i \cdot n\bigr) = K_0 \cdot \bigl(1 + \tfrac{p \cdot n}{100}\bigr)Kn​=K0​⋅(1+i⋅n)=K0​⋅(1+100p⋅n​)

Beispiel: K0=1.000K_0 = 1.000K0​=1.000 €, p=5p = 5p=5 %, n=3n = 3n=3 Jahre. K3=1.000⋅(1+0,05⋅3)=1.000⋅1,15=1.150 €K_3 = 1.000 \cdot (1 + 0{,}05 \cdot 3) = 1.000 \cdot 1{,}15 = 1.150 \text{ €}K3​=1.000⋅(1+0,05⋅3)=1.000⋅1,15=1.150 €

Wann einfacher Zins? Klausurkonvention für unterjährige Anlagen (n<1n < 1n<1 Jahr) und für vereinfachte Schulrechnungen. In der Praxis: Sparbücher mit Monatsgutschrift, kurzfristige Wechsel.

Zinsen werden am Ende jeder Periode dem Kapital gutgeschrieben und in der nächsten Periode mitverzinst.

Kn=K0⋅qn=K0⋅(1+p100)nK_n = K_0 \cdot q^n = K_0 \cdot \left(1 + \tfrac{p}{100}\right)^nKn​=K0​⋅qn=K0​⋅(1+100p​)n

Beispiel: K0=1.000K_0 = 1.000K0​=1.000 €, p=5p = 5p=5 %, n=3n = 3n=3 Jahre. K3=1.000⋅1,053=1.000⋅1,157625≈1.157,63 €K_3 = 1.000 \cdot 1{,}05^3 = 1.000 \cdot 1{,}157625 \approx 1.157{,}63 \text{ €}K3​=1.000⋅1,053=1.000⋅1,157625≈1.157,63 €

Vergleich für n=3n = 3n=3: einfach 1.150 € vs. Zinseszins 1.157,63 €. Über 3 Jahre nur ~7 € Differenz, aber bei n=30n = 30n=30 wird der Unterschied dramatisch (1.500 € vs. 4.322 €).

Zinseszins lässt sich umkehren, entweder vorwärts (aufzinsen) oder rückwärts (abzinsen / diskontieren):

Aufzinsen: Kn=K0⋅qn⇔Abzinsen: K0=Knqn=Kn⋅q−n\boxed{\text{Aufzinsen: } K_n = K_0 \cdot q^n \quad \Leftrightarrow \quad \text{Abzinsen: } K_0 = \frac{K_n}{q^n} = K_n \cdot q^{-n}}Aufzinsen: Kn​=K0​⋅qn⇔Abzinsen: K0​=qnKn​​=Kn​⋅q−n​

Der Faktor q−nq^{-n}q−n heißt Diskontfaktor und ist die Brücke zur Investitionsrechnung, siehe Kapitalwert-NPV.

Beispiel Abzinsen: Du bekommst in 5 Jahren 10.000 €, was sind die heute wert bei i=4i = 4i=4 %? K0=10.0001,045≈10.0001,2167≈8.219,27 €K_0 = \frac{10.000}{1{,}04^5} \approx \frac{10.000}{1{,}2167} \approx 8.219{,}27 \text{ €}K0​=1,04510.000​≈1,216710.000​≈8.219,27 €

Laufzeit aus Endkapital (Logarithmus nötig):

n=log⁡(Kn/K0)log⁡qn = \frac{\log(K_n / K_0)}{\log q}n=logqlog(Kn​/K0​)​

Beispiel, Verdoppelung: wann ist Kn=2⋅K0K_n = 2 \cdot K_0Kn​=2⋅K0​ bei p=6p = 6p=6 %? n=log⁡2log⁡1,06≈0,6930,0583≈11,9 Jahren = \frac{\log 2}{\log 1{,}06} \approx \frac{0{,}693}{0{,}0583} \approx 11{,}9 \text{ Jahre}n=log1,06log2​≈0,05830,693​≈11,9 Jahre

72er-Regel als Faustformel: Verdoppelungszeit ≈72/p\approx 72 / p≈72/p Jahre. Für p=6p = 6p=6: 72/6=1272/6 = 1272/6=12 Jahre, passt gut zum exakten 11,9.

Zinssatz aus Endkapital:

q=KnK0n⇒p=(q−1)⋅100q = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} \quad \Rightarrow \quad p = \bigl(q - 1\bigr) \cdot 100q=nK0​Kn​​​⇒p=(q−1)⋅100

Wenn der Zinssatz jährlich ppp ist, aber häufiger gutgeschrieben wird (mmm-mal pro Jahr):

Kn=K0⋅(1+p100⋅m)m⋅nK_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100 \cdot m}\right)^{m \cdot n}Kn​=K0​⋅(1+100⋅mp​)m⋅n

Beispiel: K0=1.000K_0 = 1.000K0​=1.000 €, p=12p = 12p=12 % nominal, monatlich kapitalisiert (m=12m = 12m=12), n=1n = 1n=1 Jahr. K1=1.000⋅(1+0,01)12≈1.126,83 €K_1 = 1.000 \cdot (1 + 0{,}01)^{12} \approx 1.126{,}83 \text{ €}K1​=1.000⋅(1+0,01)12≈1.126,83 €

Effektiv sind das 12,68 % statt der nominalen 12 %.

Tageszins (deutsche 30/360-Konvention)

Bei klassischer Klausur-Mechanik gilt: 30 Tage pro Monat, 360 Tage pro Jahr (Z = Zinstage):

Zinsen=K0⋅p100⋅Z360\text{Zinsen} = K_0 \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{Z}{360}Zinsen=K0​⋅100p​⋅360Z​

Beispiel: 5.000 € zu 4 % vom 15.03. bis 22.07., Tage: 360−(15−1)−(12−22)=...360 - (15-1) - (12 - 22) = ...360−(15−1)−(12−22)=... in Klausur einfach 30⋅4+7=12730 \cdot 4 + 7 = 12730⋅4+7=127 Tage: Zinsen=5.000⋅0,04⋅127360≈70,56 €\text{Zinsen} = 5.000 \cdot 0{,}04 \cdot \tfrac{127}{360} \approx 70{,}56 \text{ €}Zinsen=5.000⋅0,04⋅360127​≈70,56 €

Nominalzins (inomi_{\text{nom}}inom​): der "auf dem Papier" angegebene Jahreszins.

Effektivzins (ieffi_{\text{eff}}ieff​): der tatsächlich erzielte Jahreszins inklusive aller Kapitalisierungs-Effekte und Gebühren.

Bei mmm-facher unterjähriger Kapitalisierung:

ieff=(1+inomm)m−1i_{\text{eff}} = \left(1 + \frac{i_{\text{nom}}}{m}\right)^m - 1ieff​=(1+minom​​)m−1

Stetige Verzinsung (m→∞m \to \inftym→∞):

ieff=einom−1i_{\text{eff}} = e^{i_{\text{nom}}} - 1ieff​=einom​−1

Im Beispiel inom=12i_{\text{nom}} = 12inom​=12 %: stetig wäre e0,12−1≈12,75e^{0{,}12} - 1 \approx 12{,}75e0,12−1≈12,75 % effektiv.

  1. Faustregel zur Verfahrenswahl (Klausur-Konvention): bei unterjährigen Laufzeiten ohne explizite Kapitalisierungs-Angabe meist einfacher Zins; bei mehrjährigen Anlagen oder bei explizit ausgewiesener monatlicher/vierteljährlicher Kapitalisierung Zinseszins mit unterjährigem Faktor. Im Zweifel: was die Aufgabe vorgibt, hat Vorrang.
  2. 72er-Regel für schnelles Verdoppeln-Schätzen: n≈72/pn \approx 72/pn≈72/p.
  3. q=1+p/100q = 1 + p/100q=1+p/100, immer als Faktor schreiben, vereinfacht Umstellungen.
  4. Aufzinsen ⋅qn\cdot q^n⋅qn, Abzinsen ÷qn\div q^n÷qn, Spiegel-Operationen.
  5. Unterjährig: monatlich, vierteljährlich oder täglich, immer Effektivzins berechnen, wenn vergleichbar gemacht werden soll.
  • Investitionsrechnung, Kapitalwert-NPV, Annuitätenmethode, IRR bauen alle auf Diskontierung
  • Renten- und Tilgungsrechnung, Vor-/Nachschüssige Renten, Annuitäten-Darlehen
  • Bewertung, Bondpricing, DCF-Methode, Aktien-Discountmodelle
  • Privater Alltag, Bausparvertrag, Tagesgeld, Kreditvergleich (effektiver Jahreszins gesetzlich vorgeschrieben)

Faustregel zum Mitnehmen: Zins-Mathematik ist kompakt, drei Formeln (einfach, Zinseszins, unterjährig), ein Faktor qqq, und log⁡/ex\log/e^xlog/ex für die Umstellungen. Wer das sicher beherrscht, hat das Rückgrat für jede Finanzmathe-Klausur.

Verstelle Anfangskapital K0K_0K0​, Zinssatz ppp und Laufzeit nnn, der Plot zeigt einfachen Zins (lineare Linie) und Zinseszins (exponentielle Kurve) übereinander. Beobachte, wie sich die Schere ab Jahr ~5 zu öffnen beginnt.

Probier folgendes:

  • p=10p = 10p=10 %, n=30n = 30n=30 Jahre, Zinseszins liefert das 17-fache des Anfangskapitals, einfach nur das 4-fache
  • p=4p = 4p=4 %, n=18n = 18n=18 Jahre, Zinseszins ungefähr verdoppelt (72er-Regel: 72/4=1872/4 = 1872/4=18)
  • Die "Differenz"-Anzeige zeigt, wie viel Zinseszins gegenüber einfacher Verzinsung mehr bringt
Lade Visualisierung...

Faustregel zum Mitnehmen: Bei kurzen Laufzeiten (n<5n < 5n<5) ist der Unterschied zwischen einfach und Zinseszins gering. Ab n≥10n \geq 10n≥10 wächst die Differenz exponentiell, deshalb ist Zinseszins-Effekt der Kern langfristiger Vermögensbildung. Albert Einstein soll ihn als "achtes Weltwunder" bezeichnet haben.

Anmelden, um den Fortschritt zu speichern.

Nächster Schritt

Wenn du fertig bist: jetzt üben.

Aktives Abrufen festigt Wissen schneller als nochmal lesen.

War das hilfreich?

Verwandte Themen

  • Lineare Funktionen
  • Prädikatenlogik 1. Stufe
  • Quadratische Funktionen
  • Ableitungen
  • Integrale

Folgt

  • Rentenrechnung
  • Folgen, Reihen und Konvergenz

Tools

Bald: Karteikarten · Spaced-Repetition · Mind-Map-Export

Fachliche Qualität
Noch nicht klassifiziertZuletzt geprüft am 06.05.2026

Diese Lerneinheit wurde für typische Bachelor-Klausuren konzipiert. So prüfen wir · Fehler entdeckt? Melde ihn uns oder markiere die fragliche Stelle direkt im Text oben.

Klausur-ÜbersichtKomplette Übersicht: alle Tabs als linearer Text zum Lernen
▾

Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv · Praxis-Übung · Klausur-Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur, und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).

Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Zinsen sind das Entgelt für überlassenes Kapital, entweder linear (einfacher Zins) oder mit Wiederanlage der Zinsen (Zinseszins). Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathematik (BWL/WI/WiIng) und Vorstufe für Investitionsrechnung, Renten- und Tilgungsrechnung.

Was du in der Klausur können musst:

  • Einfacher Zins und Zinseszins unterscheiden und richtig anwenden
  • Endkapital, Anfangskapital, Laufzeit, Zinssatz umstellen können
  • Aufzinsen ↔ Abzinsen als Spiegel-Operationen
  • Unterjährige Verzinsung (Monats-/Tages-Zins, 360-Tage-Konvention)
  • Effektivzins vs. Nominalzins abgrenzen

In Klausuren oft gefragt: "Berechne K_n", "Wie lange dauert die Verdoppelung?", "Welcher effektive Jahreszins ergibt sich?". Pflicht-Aufgaben.

Notation

SymbolBedeutung
K₀Anfangskapital (Barwert, Present Value)
K_nEndkapital nach n Perioden (Future Value)
pZinssatz in Prozent pro Periode (z.B. 4 %)
iZinssatz als Dezimalzahl, i = p/100
qZinsfaktor, q = 1 + i = 1 + p/100
nLaufzeit in Perioden (meist Jahre)

Einfacher Zins (lineare Verzinsung)

Zinsen werden nur auf das ursprüngliche Kapital K₀ gerechnet, die Zinsen selbst werden nicht mitverzinst.

K_n = K₀ · (1 + i · n) = K₀ · (1 + (p · n)/100)

Beispiel: K₀ = 1.000 €, p = 5 %, n = 3 Jahre. K₃ = 1.000 · (1 + 0,05 · 3) = 1.000 · 1,15 = 1.150 €

Wann einfacher Zins? Klausurkonvention für unterjährige Anlagen (n < 1 Jahr) und für vereinfachte Schulrechnungen. In der Praxis: Sparbücher mit Monatsgutschrift, kurzfristige Wechsel.

Zinseszins (exponentielle Verzinsung)

Zinsen werden am Ende jeder Periode dem Kapital gutgeschrieben und in der nächsten Periode mitverzinst.

K_n = K₀ · qⁿ = K₀ · (1 + p/100)ⁿ

Beispiel: K₀ = 1.000 €, p = 5 %, n = 3 Jahre. K₃ = 1.000 · 1,05³ = 1.000 · 1,157625 ≈ 1.157,63 €

Vergleich für n = 3: einfach 1.150 € vs. Zinseszins 1.157,63 €. Über 3 Jahre nur ~7 € Differenz, aber bei n = 30 wird der Unterschied dramatisch (1.500 € vs. 4.322 €).

Aufzinsen ↔ Abzinsen

Zinseszins lässt sich umkehren, entweder vorwärts (aufzinsen) oder rückwärts (abzinsen / diskontieren):

boxedAufzinsen: K_n = K₀ · qⁿ ⇔ Abzinsen: K₀ = K_n/qⁿ = K_n · q^(-n)

Der Faktor q^(-n) heißt Diskontfaktor und ist die Brücke zur Investitionsrechnung, siehe Kapitalwert-NPV.

Beispiel Abzinsen: Du bekommst in 5 Jahren 10.000 €, was sind die heute wert bei i = 4 %? K₀ = (10.000)/(1,04⁵) ≈ (10.000)/(1,2167) ≈ 8.219,27 €

Umstellen nach n und i

Laufzeit aus Endkapital (Logarithmus nötig):

n = (log(K_n / K₀))/(log q)

Beispiel, Verdoppelung: wann ist K_n = 2 · K₀ bei p = 6 %? n = (log 2)/(log 1,06) ≈ (0,693)/(0,0583) ≈ 11,9 Jahre

72er-Regel als Faustformel: Verdoppelungszeit ≈ 72 / p Jahre. Für p = 6: 72/6 = 12 Jahre, passt gut zum exakten 11,9.

Zinssatz aus Endkapital:

q = __SQRTN_n__(K_n/K₀) ⇒ p = (q - 1) · 100

Unterjährige Verzinsung

Wenn der Zinssatz jährlich p ist, aber häufiger gutgeschrieben wird (m-mal pro Jahr):

K_n = K₀ · (1 + p/(100 · m))^(m · n)

Beispiel: K₀ = 1.000 €, p = 12 % nominal, monatlich kapitalisiert (m = 12), n = 1 Jahr. K₁ = 1.000 · (1 + 0,01)^(12) ≈ 1.126,83 €

Effektiv sind das 12,68 % statt der nominalen 12 %.

Tageszins (deutsche 30/360-Konvention)

Bei klassischer Klausur-Mechanik gilt: 30 Tage pro Monat, 360 Tage pro Jahr (Z = Zinstage):

Zinsen = K₀ · p/100 · Z/360

Beispiel: 5.000 € zu 4 % vom 15.03. bis 22.07., Tage: 360 - (15-1) - (12 - 22) = ... in Klausur einfach 30 · 4 + 7 = 127 Tage: Zinsen = 5.000 · 0,04 · 127/360 ≈ 70,56 €

Effektivzins vs. Nominalzins

Nominalzins (i_(nom)): der "auf dem Papier" angegebene Jahreszins.

Effektivzins (i_(eff)): der tatsächlich erzielte Jahreszins inklusive aller Kapitalisierungs-Effekte und Gebühren.

Bei m-facher unterjähriger Kapitalisierung:

i_(eff) = (1 + (i_(nom))/m)^m - 1

Stetige Verzinsung (m → ∞):

i_(eff) = e^i_(nom) - 1

Im Beispiel i_(nom) = 12 %: stetig wäre e^{0,12} - 1 ≈ 12,75 % effektiv.

Klausur-Faustregeln

  1. Faustregel zur Verfahrenswahl (Klausur-Konvention): bei unterjährigen Laufzeiten ohne explizite Kapitalisierungs-Angabe meist einfacher Zins; bei mehrjährigen Anlagen oder bei explizit ausgewiesener monatlicher/vierteljährlicher Kapitalisierung Zinseszins mit unterjährigem Faktor. Im Zweifel: was die Aufgabe vorgibt, hat Vorrang.
  2. 72er-Regel für schnelles Verdoppeln-Schätzen: n ≈ 72/p.
  3. q = 1 + p/100, immer als Faktor schreiben, vereinfacht Umstellungen.
  4. Aufzinsen · qⁿ, Abzinsen ÷ qⁿ, Spiegel-Operationen.
  5. Unterjährig: monatlich, vierteljährlich oder täglich, immer Effektivzins berechnen, wenn vergleichbar gemacht werden soll.

Wo brauchst du das?

  • Investitionsrechnung, Kapitalwert-NPV, Annuitätenmethode, IRR bauen alle auf Diskontierung
  • Renten- und Tilgungsrechnung, Vor-/Nachschüssige Renten, Annuitäten-Darlehen
  • Bewertung, Bondpricing, DCF-Methode, Aktien-Discountmodelle
  • Privater Alltag, Bausparvertrag, Tagesgeld, Kreditvergleich (effektiver Jahreszins gesetzlich vorgeschrieben)

Faustregel zum Mitnehmen: Zins-Mathematik ist kompakt, drei Formeln (einfach, Zinseszins, unterjährig), ein Faktor q, und log/e^x für die Umstellungen. Wer das sicher beherrscht, hat das Rückgrat für jede Finanzmathe-Klausur.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv

Kapital-Wachstums-Plot

Verstelle Anfangskapital K₀, Zinssatz p und Laufzeit n, der Plot zeigt einfachen Zins (lineare Linie) und Zinseszins (exponentielle Kurve) übereinander. Beobachte, wie sich die Schere ab Jahr ~5 zu öffnen beginnt.

Probier folgendes:

  • p = 10 %, n = 30 Jahre, Zinseszins liefert das 17-fache des Anfangskapitals, einfach nur das 4-fache
  • p = 4 %, n = 18 Jahre, Zinseszins ungefähr verdoppelt (72er-Regel: 72/4 = 18)
  • Die "Differenz"-Anzeige zeigt, wie viel Zinseszins gegenüber einfacher Verzinsung mehr bringt

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Faustregel zum Mitnehmen: Bei kurzen Laufzeiten (n < 5) ist der Unterschied zwischen einfach und Zinseszins gering. Ab n ≥ 10 wächst die Differenz exponentiell, deshalb ist Zinseszins-Effekt der Kern langfristiger Vermögensbildung. Albert Einstein soll ihn als "achtes Weltwunder" bezeichnet haben.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Praxis-Übung, Zins-Rechnung

Klausur-typische Berechnungen: Endkapital, Anfangskapital, Laufzeit, Zinssatz.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.K₀ = 2.000 €, p = 4 %, n = 5 Jahre. Wie hoch ist das Endkapital bei einfachem Zins?

Antwort: 2400 € (Toleranz ±0.5)

Erklärung: K_n = K_0 · (1 + i·n) = 2.000 · (1 + 0,04·5) = 2.000 · 1,20 = 2.400 €. Bei einfachem Zins werden nur die Zinsen auf K_0 berechnet, nicht auf zwischenzeitlich gutgeschriebene Zinsen.

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.K₀ = 2.000 €, p = 4 %, n = 5 Jahre. Wie hoch ist das Endkapital bei Zinseszins? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 2433.31 € (Toleranz ±0.05)

Erklärung: K_n = K_0 · q^n = 2.000 · 1,04^5 = 2.000 · 1,2166529… ≈ 2.433,31 €. Differenz zu einfachem Zins: ~33 €, die Zinsen wurden mitverzinst.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Du bekommst in 4 Jahren 5.000 € ausgezahlt. Bei i = 5 %: was sind die heute wert (Barwert/Abzinsen, auf 2 Nachkommastellen)?

Antwort: 4113.51 € (Toleranz ±0.05)

Erklärung: K_0 = K_n / q^n = 5.000 / 1,05^4 = 5.000 / 1,2155… ≈ 4.113,51 €. Klausur-Standard: bei zukünftigen Zahlungen immer abzinsen, um den heutigen Vergleichswert zu bekommen. Brücke zur NPV-Rechnung.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Wann verdoppelt sich ein Kapital bei p = 8 % Zinseszins? (auf 2 Nachkommastellen Jahre)

Antwort: 9.01 Jahre (Toleranz ±0.05)

Erklärung: n = log(2) / log(1,08) = 0,6931 / 0,0770 ≈ 9,006 Jahre. Die 72er-Regel schätzt 72/8 = 9 Jahre, passt fast perfekt. Verdoppelungszeit ist eine der häufigsten Klausur-Aufgaben.

Typ: Zahlen-Eingabe

F5.Tageszins (30/360-Konvention): 8.000 € zu 5 % p.a. für 90 Tage. Wie hoch sind die Zinsen?

Antwort: 100 € (Toleranz ±0.5)

Erklärung: Z = K_0 · p/100 · Z/360 = 8.000 · 0,05 · 90/360 = 8.000 · 0,05 · 0,25 = 100 €. Die deutsche 30/360-Konvention ist Klausur-Standard: 30 Tage pro Monat, 360 Tage pro Jahr.

Typ: Zahlen-Eingabe

F6.Bei einer Laufzeit von n = 3 Monaten innerhalb eines Jahres rechnet man in Klausuren typischerweise mit Zinseszins und nicht mit einfachem Zins.

Antwort: Falsch

Erklärung: FALSCH. Klausurkonvention: für unterjährige Anlagen (n < 1 Jahr) wird der einfache Zins genutzt, meist als Tageszins mit 30/360-Konvention. Zinseszins kommt erst bei mehrjährigen Anlagen oder bei explizit ausgewiesener unterjähriger Kapitalisierung.

Typ: Wahr/Falsch

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausur-Quiz, Zins-Rechnung

Sechs Aufgaben rund um Auf-/Abzinsen, Effektivzins und Verfahrenswahl.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Welche Aussage zum Zinseszins ist korrekt?

Antwort: Zinsen werden am Ende jeder Periode dem Kapital gutgeschrieben und mitverzinst

Erklärung: Zinseszins = Wiederanlage der Zinsen. Am Ende jeder Periode wird das Kapital um die Zinsen erhöht, in der nächsten Periode wird auf den höheren Betrag verzinst. Mathematisch: K_n = K_0 · q^n. Bei langer Laufzeit deutlich größer als einfacher Zins.

F2.K₀ = 10.000 €, monatliche Kapitalisierung mit nominalem Jahreszins p_(nom) = 6 %, Laufzeit 1 Jahr. Wie hoch ist das Endkapital? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 10616.78 € (Toleranz ±0.1)

Erklärung: K_n = K_0 · (1 + p_nom/(100·m))^(m·n) = 10.000 · (1 + 0,06/12)^12 = 10.000 · 1,005^12 ≈ 10.616,78 €. Effektivzins: ~6,17 % statt 6 % nominal.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Effektivzins bei 8 % nominal mit vierteljährlicher Kapitalisierung? (in Prozent, auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 8.24 % (Toleranz ±0.05)

Erklärung: i_eff = (1 + 0,08/4)^4 − 1 = 1,02^4 − 1 = 1,0824 − 1 = 0,0824 = 8,24 %. Je häufiger die Kapitalisierung, desto höher der Effektivzins. Ab täglich oder stetig konvergiert es gegen e^0,08 − 1 ≈ 8,33 %.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Welche Faustregel schätzt die Verdoppelungszeit bei Zinseszins?

Antwort: `n ≈ 72 / p`, 72er-Regel

Erklärung: 72er-Regel: Verdoppelungszeit n ≈ 72 / p (mit p als ganze Zinsprozent). Bei p = 6 %: 72/6 = 12 Jahre (exakt: 11,9). Bei p = 8 %: 72/8 = 9 Jahre (exakt: 9,006). Klausur-Schnellschätzung, exakt rechnet man via Logarithmus.

F5.Aufzinsen multipliziert mit {{1}}, Abzinsen dividiert durch {{1}} oder multipliziert mit {{2}}.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: q^n / (1+i)^n / q hoch n
  • {{2}}: q^-n / q^(-n) / 1/q^n / q hoch -n

Erklärung: Aufzinsen: K_n = K_0 · q^n (vorwärts). Abzinsen: K_0 = K_n / q^n = K_n · q^-n (rückwärts). Der Faktor q^-n heißt Diskontfaktor und ist der Kern jeder Investitionsrechnung, Brücke zu NPV, IRR, Annuität.

Typ: Lückentext

F6.Welcher Zinssatz p ist nötig, damit sich 4.000 € in 10 Jahren auf 6.500 € vermehren (Zinseszins)?

Antwort: `p ≈ 4,99` %

Erklärung: q = (K_n / K_0)^(1/n) = (6.500 / 4.000)^(1/10) = 1,625^0,1 ≈ 1,0499. Daraus p = (q − 1) · 100 ≈ 4,99 %. Klausur-Standard: Zinssatz aus Endkapital → n-te Wurzel ziehen, dann minus 1, mal 100.

Zur KategorieMathematik.Mehr Themen entdeckenZum Themen-Hub.

UniProMax ist eine themenbasierte Lernplattform für Studierende an deutschen Unis.

Wir glauben, dass Verstehen besser ist als Auswendiglernen. Wir bauen Lerneinheiten die zeigen statt erzählen. Code, Visualisierung, Quiz. Auf Deutsch.

Marke

UniProMaxUniProMax

Themenbasiert, visuell, interaktiv.

Inhalte

  • Alle Themen (Hub)
  • Programmiergrundlagen
  • Algorithmen
  • Mathematik
  • Statistik
  • Datenbanken
  • Rechnungswesen
  • VWL

Studiengang-Filter

  • Informatik
  • Wirtschaftsinformatik
  • BWL
  • Data Science
  • VWL
  • Wirtschaftsingenieurwesen
  • Mathe
  • Psychologie
  • weitere Studiengänge folgen

Plattform

  • Mein Fortschritt
  • Impressum
  • Datenschutz
© 2026 UniProMaxAlle Systeme onlinev0.2 / Sommersemester 2026
UniProMaxUniProMaxUniProMaxUniProMax