Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv · Praxis-Übung · Klausur-Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur, und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).
Teil 1·Erklärung
Diese Lerneinheit wurde für typische Bachelor-Klausuren konzipiert. So prüfen wir · Fehler entdeckt? Melde ihn uns oder markiere die fragliche Stelle direkt im Text oben.
Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv · Praxis-Übung · Klausur-Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur, und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).
Zinsen sind das Entgelt für überlassenes Kapital, entweder linear (einfacher Zins) oder mit Wiederanlage der Zinsen (Zinseszins). Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathematik (BWL/WI/WiIng) und Vorstufe für Investitionsrechnung, Renten- und Tilgungsrechnung.
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren oft gefragt: "Berechne ", "Wie lange dauert die Verdoppelung?", "Welcher effektive Jahreszins ergibt sich?". Pflicht-Aufgaben.
Faustregel zum Mitnehmen: Bei kurzen Laufzeiten () ist der Unterschied zwischen einfach und Zinseszins gering. Ab wächst die Differenz exponentiell, deshalb ist Zinseszins-Effekt der Kern langfristiger Vermögensbildung. Albert Einstein soll ihn als "achtes Weltwunder" bezeichnet haben.
Anmelden, um den Fortschritt zu speichern.
Nächster Schritt
Aktives Abrufen festigt Wissen schneller als nochmal lesen.
Zinsen sind das Entgelt für überlassenes Kapital, entweder linear (einfacher Zins) oder mit Wiederanlage der Zinsen (Zinseszins). Pflicht-Stoff in Wirtschaftsmathematik (BWL/WI/WiIng) und Vorstufe für Investitionsrechnung, Renten- und Tilgungsrechnung.
Was du in der Klausur können musst:
In Klausuren oft gefragt: "Berechne K_n", "Wie lange dauert die Verdoppelung?", "Welcher effektive Jahreszins ergibt sich?". Pflicht-Aufgaben.
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
K₀ | Anfangskapital (Barwert, Present Value) |
K_n | Endkapital nach n Perioden (Future Value) |
p | Zinssatz in Prozent pro Periode (z.B. 4 %) |
i | Zinssatz als Dezimalzahl, i = p/100 |
q | Zinsfaktor, q = 1 + i = 1 + p/100 |
n | Laufzeit in Perioden (meist Jahre) |
Zinsen werden nur auf das ursprüngliche Kapital K₀ gerechnet, die Zinsen selbst werden nicht mitverzinst.
K_n = K₀ · (1 + i · n) = K₀ · (1 + (p · n)/100)
Beispiel: K₀ = 1.000 €, p = 5 %, n = 3 Jahre.
K₃ = 1.000 · (1 + 0,05 · 3) = 1.000 · 1,15 = 1.150 €
Wann einfacher Zins? Klausurkonvention für unterjährige Anlagen (n < 1 Jahr) und für vereinfachte Schulrechnungen. In der Praxis: Sparbücher mit Monatsgutschrift, kurzfristige Wechsel.
Zinsen werden am Ende jeder Periode dem Kapital gutgeschrieben und in der nächsten Periode mitverzinst.
K_n = K₀ · qⁿ = K₀ · (1 + p/100)ⁿ
Beispiel: K₀ = 1.000 €, p = 5 %, n = 3 Jahre.
K₃ = 1.000 · 1,05³ = 1.000 · 1,157625 ≈ 1.157,63 €
Vergleich für
n = 3: einfach 1.150 € vs. Zinseszins 1.157,63 €. Über 3 Jahre nur ~7 € Differenz, aber bein = 30wird der Unterschied dramatisch (1.500 € vs. 4.322 €).
Zinseszins lässt sich umkehren, entweder vorwärts (aufzinsen) oder rückwärts (abzinsen / diskontieren):
boxedAufzinsen: K_n = K₀ · qⁿ ⇔ Abzinsen: K₀ = K_n/qⁿ = K_n · q^(-n)
Der Faktor q^(-n) heißt Diskontfaktor und ist die Brücke zur Investitionsrechnung, siehe Kapitalwert-NPV.
Beispiel Abzinsen: Du bekommst in 5 Jahren 10.000 €, was sind die heute wert bei i = 4 %?
K₀ = (10.000)/(1,04⁵) ≈ (10.000)/(1,2167) ≈ 8.219,27 €
n und iLaufzeit aus Endkapital (Logarithmus nötig):
n = (log(K_n / K₀))/(log q)
Beispiel, Verdoppelung: wann ist K_n = 2 · K₀ bei p = 6 %?
n = (log 2)/(log 1,06) ≈ (0,693)/(0,0583) ≈ 11,9 Jahre
72er-Regel als Faustformel: Verdoppelungszeit
≈ 72 / pJahre. Fürp = 6:72/6 = 12Jahre, passt gut zum exakten 11,9.
Zinssatz aus Endkapital:
q = __SQRTN_n__(K_n/K₀) ⇒ p = (q - 1) · 100
Wenn der Zinssatz jährlich p ist, aber häufiger gutgeschrieben wird (m-mal pro Jahr):
K_n = K₀ · (1 + p/(100 · m))^(m · n)
Beispiel: K₀ = 1.000 €, p = 12 % nominal, monatlich kapitalisiert (m = 12), n = 1 Jahr.
K₁ = 1.000 · (1 + 0,01)^(12) ≈ 1.126,83 €
Effektiv sind das 12,68 % statt der nominalen 12 %.
Bei klassischer Klausur-Mechanik gilt: 30 Tage pro Monat, 360 Tage pro Jahr (Z = Zinstage):
Zinsen = K₀ · p/100 · Z/360
Beispiel: 5.000 € zu 4 % vom 15.03. bis 22.07., Tage: 360 - (15-1) - (12 - 22) = ... in Klausur einfach 30 · 4 + 7 = 127 Tage:
Zinsen = 5.000 · 0,04 · 127/360 ≈ 70,56 €
Nominalzins (
i_(nom)): der "auf dem Papier" angegebene Jahreszins.Effektivzins (
i_(eff)): der tatsächlich erzielte Jahreszins inklusive aller Kapitalisierungs-Effekte und Gebühren.
Bei m-facher unterjähriger Kapitalisierung:
i_(eff) = (1 + (i_(nom))/m)^m - 1
Stetige Verzinsung (m → ∞):
i_(eff) = e^i_(nom) - 1
Im Beispiel i_(nom) = 12 %: stetig wäre e^{0,12} - 1 ≈ 12,75 % effektiv.
- Faustregel zur Verfahrenswahl (Klausur-Konvention): bei unterjährigen Laufzeiten ohne explizite Kapitalisierungs-Angabe meist einfacher Zins; bei mehrjährigen Anlagen oder bei explizit ausgewiesener monatlicher/vierteljährlicher Kapitalisierung Zinseszins mit unterjährigem Faktor. Im Zweifel: was die Aufgabe vorgibt, hat Vorrang.
- 72er-Regel für schnelles Verdoppeln-Schätzen:
n ≈ 72/p.q = 1 + p/100, immer als Faktor schreiben, vereinfacht Umstellungen.- Aufzinsen
· qⁿ, Abzinsen÷ qⁿ, Spiegel-Operationen.- Unterjährig: monatlich, vierteljährlich oder täglich, immer Effektivzins berechnen, wenn vergleichbar gemacht werden soll.
Faustregel zum Mitnehmen: Zins-Mathematik ist kompakt, drei Formeln (einfach, Zinseszins, unterjährig), ein Faktor
q, undlog/e^xfür die Umstellungen. Wer das sicher beherrscht, hat das Rückgrat für jede Finanzmathe-Klausur.
Verstelle Anfangskapital K₀, Zinssatz p und Laufzeit n, der Plot zeigt einfachen Zins (lineare Linie) und Zinseszins (exponentielle Kurve) übereinander. Beobachte, wie sich die Schere ab Jahr ~5 zu öffnen beginnt.
Probier folgendes:
p = 10 %, n = 30 Jahre, Zinseszins liefert das 17-fache des Anfangskapitals, einfach nur das 4-fachep = 4 %, n = 18 Jahre, Zinseszins ungefähr verdoppelt (72er-Regel: 72/4 = 18)Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Faustregel zum Mitnehmen: Bei kurzen Laufzeiten (n < 5) ist der Unterschied zwischen einfach und Zinseszins gering. Ab n ≥ 10 wächst die Differenz exponentiell, deshalb ist Zinseszins-Effekt der Kern langfristiger Vermögensbildung. Albert Einstein soll ihn als "achtes Weltwunder" bezeichnet haben.
Klausur-typische Berechnungen: Endkapital, Anfangskapital, Laufzeit, Zinssatz.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: 2400 € (Toleranz ±0.5)
Erklärung: K_n = K_0 · (1 + i·n) = 2.000 · (1 + 0,04·5) = 2.000 · 1,20 = 2.400 €. Bei einfachem Zins werden nur die Zinsen auf K_0 berechnet, nicht auf zwischenzeitlich gutgeschriebene Zinsen.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 2433.31 € (Toleranz ±0.05)
Erklärung: K_n = K_0 · q^n = 2.000 · 1,04^5 = 2.000 · 1,2166529… ≈ 2.433,31 €. Differenz zu einfachem Zins: ~33 €, die Zinsen wurden mitverzinst.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 4113.51 € (Toleranz ±0.05)
Erklärung: K_0 = K_n / q^n = 5.000 / 1,05^4 = 5.000 / 1,2155… ≈ 4.113,51 €. Klausur-Standard: bei zukünftigen Zahlungen immer abzinsen, um den heutigen Vergleichswert zu bekommen. Brücke zur NPV-Rechnung.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 9.01 Jahre (Toleranz ±0.05)
Erklärung: n = log(2) / log(1,08) = 0,6931 / 0,0770 ≈ 9,006 Jahre. Die 72er-Regel schätzt 72/8 = 9 Jahre, passt fast perfekt. Verdoppelungszeit ist eine der häufigsten Klausur-Aufgaben.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 100 € (Toleranz ±0.5)
Erklärung: Z = K_0 · p/100 · Z/360 = 8.000 · 0,05 · 90/360 = 8.000 · 0,05 · 0,25 = 100 €. Die deutsche 30/360-Konvention ist Klausur-Standard: 30 Tage pro Monat, 360 Tage pro Jahr.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Falsch
Erklärung: FALSCH. Klausurkonvention: für unterjährige Anlagen (n < 1 Jahr) wird der einfache Zins genutzt, meist als Tageszins mit 30/360-Konvention. Zinseszins kommt erst bei mehrjährigen Anlagen oder bei explizit ausgewiesener unterjähriger Kapitalisierung.
Typ: Wahr/Falsch
Sechs Aufgaben rund um Auf-/Abzinsen, Effektivzins und Verfahrenswahl.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: Zinsen werden am Ende jeder Periode dem Kapital gutgeschrieben und mitverzinst
Erklärung: Zinseszins = Wiederanlage der Zinsen. Am Ende jeder Periode wird das Kapital um die Zinsen erhöht, in der nächsten Periode wird auf den höheren Betrag verzinst. Mathematisch: K_n = K_0 · q^n. Bei langer Laufzeit deutlich größer als einfacher Zins.
Antwort: 10616.78 € (Toleranz ±0.1)
Erklärung: K_n = K_0 · (1 + p_nom/(100·m))^(m·n) = 10.000 · (1 + 0,06/12)^12 = 10.000 · 1,005^12 ≈ 10.616,78 €. Effektivzins: ~6,17 % statt 6 % nominal.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 8.24 % (Toleranz ±0.05)
Erklärung: i_eff = (1 + 0,08/4)^4 − 1 = 1,02^4 − 1 = 1,0824 − 1 = 0,0824 = 8,24 %. Je häufiger die Kapitalisierung, desto höher der Effektivzins. Ab täglich oder stetig konvergiert es gegen e^0,08 − 1 ≈ 8,33 %.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: `n ≈ 72 / p`, 72er-Regel
Erklärung: 72er-Regel: Verdoppelungszeit n ≈ 72 / p (mit p als ganze Zinsprozent). Bei p = 6 %: 72/6 = 12 Jahre (exakt: 11,9). Bei p = 8 %: 72/8 = 9 Jahre (exakt: 9,006). Klausur-Schnellschätzung, exakt rechnet man via Logarithmus.
Lösungen pro Lücke:
Erklärung: Aufzinsen: K_n = K_0 · q^n (vorwärts). Abzinsen: K_0 = K_n / q^n = K_n · q^-n (rückwärts). Der Faktor q^-n heißt Diskontfaktor und ist der Kern jeder Investitionsrechnung, Brücke zu NPV, IRR, Annuität.
Typ: Lückentext
Antwort: `p ≈ 4,99` %
Erklärung: q = (K_n / K_0)^(1/n) = (6.500 / 4.000)^(1/10) = 1,625^0,1 ≈ 1,0499. Daraus p = (q − 1) · 100 ≈ 4,99 %. Klausur-Standard: Zinssatz aus Endkapital → n-te Wurzel ziehen, dann minus 1, mal 100.