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  • Einführung
  • Folgen, Grundlagen
  • Arithmetische Folge
  • Geometrische Folge
  • Konvergenz von Folgen
  • Reihen, unendliche Summen
  • Klausur-Faustregeln
  • Wo brauchst du das?
ThemenMathematikFolgen, Reihen und Konvergenz
Mathematik·4Lerneinheiten·23min·Stand04.08.2026

Folgen, Reihen und Konvergenz.

Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen, eine Reihe ist die Summe ihrer Glieder. Klausur-Pflicht in Wirtschaftsmathe (BWL/WI/WiIng) und Analysis 1. Direkter Anschluss an Zinseszins, Renten und Investitionsrechnung, alles Beispiele für geometrische Reihen.

Was du in der Klausur können musst:

  • Folgen-Vorschriften (explizit / rekursiv) anwenden und auswerten
  • Arithmetische vs. geometrische Folgen unterscheiden + Summenformeln
  • Konvergenz / Divergenz prüfen, Grenzwert-Berechnung
  • Geometrische Reihe und ihre Konvergenzbedingung ∣q∣<1|q| < 1∣q∣<1
  • Anwendungen in Wirtschaftsmathe (ewige Rente, Zinseszins-Limit)

In Klausuren oft gefragt: "Konvergiert die Folge an=...a_n = ...an​=...?", "Wie hoch ist der Grenzwert?", "Berechne die Summe der Reihe", Pflicht-Aufgaben.

Eine Folge ist eine Funktion a:N→Ra: \mathbb{N} \to \mathbb{R}a:N→R, n↦ann \mapsto a_nn↦an​. Wir schreiben kurz (an)(a_n)(an​) oder (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}(an​)n≥1​.

Zwei Vorschriften:

VorschriftBeispielBedeutung
Explizitan=2n+1a_n = 2n + 1an​=2n+1Gibt ana_nan​ direkt aus nnn
Rekursiva1=1a_1 = 1a1​=1, an+1=an+2a_{n+1} = a_n + 2an+1​=an​+2Definiert an+1a_{n+1}an+1​ aus ana_nan​

Beide ergeben dieselbe Folge: 1,3,5,7,9,…1, 3, 5, 7, 9, \ldots1,3,5,7,9,…

Konstante Differenz ddd zwischen aufeinander folgenden Gliedern:

an+1=an+d⟺an=a1+(n−1)⋅da_{n+1} = a_n + d \quad \Longleftrightarrow \quad a_n = a_1 + (n-1) \cdot dan+1​=an​+d⟺an​=a1​+(n−1)⋅d

Beispiel: a1=5a_1 = 5a1​=5, d=3d = 3d=3 → an=5+3(n−1)=3n+2a_n = 5 + 3(n-1) = 3n + 2an​=5+3(n−1)=3n+2. Folge: 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots5,8,11,14,…

Summenformel (Gauß'sche Summe):

Sn=∑k=1nak=n2⋅(a1+an)=n2⋅(2a1+(n−1)d)S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \cdot \bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)Sn​=∑k=1n​ak​=2n​⋅(a1​+an​)=2n​⋅(2a1​+(n−1)d)

Klassisches Beispiel: 1+2+3+…+100=1002(1+100)=50501 + 2 + 3 + \ldots + 100 = \frac{100}{2}(1 + 100) = 50501+2+3+…+100=2100​(1+100)=5050 (Gauß-Trick).

Konstanter Quotient qqq zwischen aufeinander folgenden Gliedern:

an+1=an⋅q⟺an=a1⋅qn−1a_{n+1} = a_n \cdot q \quad \Longleftrightarrow \quad a_n = a_1 \cdot q^{n-1}an+1​=an​⋅q⟺an​=a1​⋅qn−1

Beispiel: a1=100a_1 = 100a1​=100, q=1,05q = 1{,}05q=1,05 → an=100⋅1,05n−1a_n = 100 \cdot 1{,}05^{n-1}an​=100⋅1,05n−1. Folge: 100,105,110,25,115,76,…100, 105, 110{,}25, 115{,}76, \ldots100,105,110,25,115,76,…, das ist Zinseszins!

Summenformel (nur für q≠1q \neq 1q=1):

Sn=∑k=1nak=a1⋅qn−1q−1S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}Sn​=∑k=1n​ak​=a1​⋅q−1qn−1​

Bei q=1q = 1q=1 ist ak=a1a_k = a_1ak​=a1​ konstant → Sn=n⋅a1S_n = n \cdot a_1Sn​=n⋅a1​ (linear, keine Bruchformel).

Brücke zur Rentenrechnung: Endwert einer nachschüssigen Rente Rn=R⋅qn−1q−1R_n = R \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}Rn​=R⋅q−1qn−1​ ist genau die geometrische Summe (siehe Rentenrechnung).

Eine Folge (an)(a_n)(an​) konvergiert gegen LLL, wenn für jedes ε>0\varepsilon > 0ε>0 ein NNN existiert mit ∣an−L∣<ε|a_n - L| < \varepsilon∣an​−L∣<ε für alle n≥Nn \geq Nn≥N.

Schreibweise: lim⁡n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = Llimn→∞​an​=L oder an→La_n \to Lan​→L.

Sonst: divergent (kein endlicher Grenzwert) oder bestimmt divergent gegen ±∞\pm\infty±∞.

Wichtige Grenzwerte (Klausur-Pflicht)

FolgeGrenzwertBemerkung
an=1/na_n = 1/nan​=1/n000klassische Nullfolge
an=(1+1/n)na_n = (1 + 1/n)^nan​=(1+1/n)ne≈2,718e \approx 2{,}718e≈2,718Euler-Zahl
an=qna_n = q^nan​=qn, ∥q∥<1\|q\| < 1∥q∥<1000geometrische Nullfolge
an=qna_n = q^nan​=qn, q=1q = 1q=1111konstante Folge
an=qna_n = q^nan​=qn, q=−1q = -1q=−1divergentoszilliert: −1,1,−1,1,…-1, 1, -1, 1, \ldots−1,1,−1,1,…
an=qna_n = q^nan​=qn, ∥q∥>1\|q\| > 1∥q∥>1divergentwächst betragsmäßig
an=nka_n = n^kan​=nk (k>0k > 0k>0)∞\infty∞bestimmt divergent
an=nna_n = \sqrt[n]{n}an​=nn​111wichtiger Spezialfall

Rechenregeln für Grenzwerte

Wenn an→Aa_n \to Aan​→A und bn→Bb_n \to Bbn​→B:

  • an+bn→A+Ba_n + b_n \to A + Ban​+bn​→A+B
  • an⋅bn→A⋅Ba_n \cdot b_n \to A \cdot Ban​⋅bn​→A⋅B
  • an/bn→A/Ba_n / b_n \to A / Ban​/bn​→A/B (falls B≠0B \neq 0B=0)

Eine Reihe ist die Folge der Partialsummen einer Folge:

Sn=a1+a2+…+an=∑k=1nakS_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_kSn​=a1​+a2​+…+an​=∑k=1n​ak​

Eine Reihe konvergiert, wenn die Partialsummen-Folge (Sn)(S_n)(Sn​) konvergiert. Der Grenzwert heißt Wert der unendlichen Reihe:

∑k=1∞ak=lim⁡n→∞Sn\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} S_n∑k=1∞​ak​=limn→∞​Sn​

Geometrische Reihe (wichtigste Reihe der Wirtschaftsmathe!)

∑k=0∞qk=1+q+q2+q3+…\sum_{k=0}^{\infty} q^k = 1 + q + q^2 + q^3 + \ldots∑k=0∞​qk=1+q+q2+q3+…

Konvergiert genau dann, wenn ∣q∣<1|q| < 1∣q∣<1, und zwar gegen:

∑k=0∞qk=11−qfu¨r ∣q∣<1\boxed{\sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1 - q} \quad \text{für } |q| < 1}k=0∑∞​qk=1−q1​fu¨r ∣q∣<1​

Beispiel: q=1/2q = 1/2q=1/2: 1+1/2+1/4+1/8+…=1/(1−1/2)=21 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots = 1/(1-1/2) = 21+1/2+1/4+1/8+…=1/(1−1/2)=2.

Anwendung, ewige Rente: Barwert einer ewigen Rente nachschüssig: R0=∑k=1∞Rqk=R⋅∑k=1∞1qk=R⋅1/q1−1/q=Rq−1=RiR_0 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{R}{q^k} = R \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{q^k} = R \cdot \frac{1/q}{1 - 1/q} = \frac{R}{q - 1} = \frac{R}{i}R0​=∑k=1∞​qkR​=R⋅∑k=1∞​qk1​=R⋅1−1/q1/q​=q−1R​=iR​

Notwendiges Kriterium

Wenn ∑ak\sum a_k∑ak​ konvergiert, dann muss ak→0a_k \to 0ak​→0 gelten. Umkehrung gilt nicht! ak→0a_k \to 0ak​→0 ist notwendig, aber nicht hinreichend.

Klassisches Gegenbeispiel, Harmonische Reihe: ∑k=1∞1k=1+12+13+14+…=∞\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots = \infty∑k=1∞​k1​=1+21​+31​+41​+…=∞

Glieder gehen gegen 0, aber die Summe wächst unbeschränkt (bestimmt divergent).

Hinreichende Kriterien (Auswahl)

Quotientenkriterium: Sei L=lim⁡k→∞∣ak+1ak∣L = \lim_{k \to \infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|L=limk→∞​​ak​ak+1​​​. Dann:

  • L<1L < 1L<1 → Reihe konvergiert (sogar absolut)
  • L>1L > 1L>1 → Reihe divergiert
  • L=1L = 1L=1 → keine Aussage möglich

→ erste Wahl bei Fakultäten und Potenzen.

Wurzelkriterium: Sei L=lim sup⁡k→∞∣ak∣kL = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|}L=limsupk→∞​k∣ak​∣​. Dann:

  • L<1L < 1L<1 → konvergent
  • L>1L > 1L>1 → divergent
  • L=1L = 1L=1 → keine Aussage

→ stärker als Quotientenkriterium, aber rechnerisch oft umständlicher.

Leibniz-Kriterium (für alternierende Reihen): wenn ∑(−1)kak\sum (-1)^k a_k∑(−1)kak​ mit ak>0a_k > 0ak​>0 und aka_kak​ monoton fallend gegen 000, dann konvergiert die Reihe. Beispiel: ∑(−1)k/k\sum (-1)^k / k∑(−1)k/k konvergiert (→ln⁡2\to \ln 2→ln2).

Majorantenkriterium: wenn ∣ak∣≤bk|a_k| \leq b_k∣ak​∣≤bk​ für alle kkk und ∑bk\sum b_k∑bk​ konvergiert, dann konvergiert auch ∑ak\sum a_k∑ak​. Vergleich mit bekannten Reihen (∑1/k2\sum 1/k^2∑1/k2, geometrisch).

  1. Folge ≠ Reihe. Folge = Liste, Reihe = Summe der Glieder.
  2. Geometrische Reihe ∑qk\sum q^k∑qk konvergiert ⟺ ∣q∣<1|q| < 1∣q∣<1, dann 1/(1−q)1/(1-q)1/(1−q). Pflicht-Wissen.
  3. ak→0a_k \to 0ak​→0 ist notwendig, nicht hinreichend (harmonische Reihe!).
  4. Quotientenkriterium zuerst probieren, funktioniert für 80 % der Klausur-Aufgaben.
  5. Anwendungen erkennen: ewige Rente = geometrische Reihe, Zinseszins = geometrische Folge.
  • Wirtschaftsmathe, Renten (∑\sum∑ verzinster Raten), ewige Rente (∑∞\sum_\infty∑∞​)
  • Investitionsrechnung, diskontierte Cashflows, NPV als Reihe
  • Analysis, Taylorreihen (ex=∑xk/k!e^x = \sum x^k/k!ex=∑xk/k!), Fourier-Reihen
  • Wahrscheinlichkeitstheorie, Erwartungswerte als Reihen
  • Numerik, Konvergenz iterativer Verfahren, Fehlerschranken
  • Informatik / Algorithmen, Laufzeitanalyse mit geometrischen Summen (z.B. amortisiert)

Faustregel zum Mitnehmen: Folgen sind die Bausteine, Reihen die Summen. Geometrische Folgen + Reihen sind das Rückgrat der Wirtschaftsmathe, Zinseszins, Renten, NPV, ewige Rente sind alles Beispiele. Konvergenzkriterien sind Werkzeug, der Schlüssel ist die richtige Wahl: Quotient zuerst, dann Wurzel, dann Vergleich.

Wähle Folgen-Typ (arithmetisch / geometrisch / harmonisch / alternierend) und stelle die Parameter ein. Der Plot zeigt die Folge ana_nan​ und die Partialsummen SnS_nSn​ parallel, du siehst auf einen Blick, ob die Folge gegen 0 geht und ob die Reihe konvergiert.

Probier folgendes:

  • Geometrisch mit q=0,5q = 0{,}5q=0,5 → Folge geht gegen 0, Reihe konvergiert gegen 2
  • Geometrisch mit q=1,1q = 1{,}1q=1,1 → Folge wächst, Reihe explodiert
  • Harmonisch (an=1/na_n = 1/nan​=1/n) → Folge geht gegen 0, aber Reihe divergent (klassisches Gegenbeispiel)
  • Alternierend (an=(−1)n/na_n = (-1)^n / nan​=(−1)n/n) → Reihe konvergiert (Leibniz)
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Faustregel zum Mitnehmen: Wenn an↛0a_n \not\to 0an​→0, kann die Reihe nicht konvergieren. Aber an→0a_n \to 0an​→0 allein reicht nicht, die harmonische Reihe ist das Lehrstück. Geometrische Reihen sind die einzigen, bei denen man Konvergenzbedingung und Grenzwert auswendig hinschreibt: ∣q∣<1⇒1/(1−q)|q| < 1 \Rightarrow 1/(1-q)∣q∣<1⇒1/(1−q).

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen, eine Reihe ist die Summe ihrer Glieder. Klausur-Pflicht in Wirtschaftsmathe (BWL/WI/WiIng) und Analysis 1. Direkter Anschluss an Zinseszins, Renten und Investitionsrechnung, alles Beispiele für geometrische Reihen.

Was du in der Klausur können musst:

  • Folgen-Vorschriften (explizit / rekursiv) anwenden und auswerten
  • Arithmetische vs. geometrische Folgen unterscheiden + Summenformeln
  • Konvergenz / Divergenz prüfen, Grenzwert-Berechnung
  • Geometrische Reihe und ihre Konvergenzbedingung |q| < 1
  • Anwendungen in Wirtschaftsmathe (ewige Rente, Zinseszins-Limit)

In Klausuren oft gefragt: "Konvergiert die Folge a_n = ...?", "Wie hoch ist der Grenzwert?", "Berechne die Summe der Reihe", Pflicht-Aufgaben.

Folgen, Grundlagen

Eine Folge ist eine Funktion a: ℕ → ℝ, n ↦ a_n. Wir schreiben kurz (a_n) oder (a_n)_(n ≥ 1).

Zwei Vorschriften:

VorschriftBeispielBedeutung
Explizita_n = 2n + 1Gibt a_n direkt aus n
Rekursiva₁ = 1, a_(n+1) = a_n + 2Definiert a_(n+1) aus a_n

Beide ergeben dieselbe Folge: 1, 3, 5, 7, 9, ...

Arithmetische Folge

Konstante Differenz d zwischen aufeinander folgenden Gliedern:

a_(n+1) = a_n + d Longleftrightarrow a_n = a₁ + (n-1) · d

Beispiel: a₁ = 5, d = 3 → a_n = 5 + 3(n-1) = 3n + 2. Folge: 5, 8, 11, 14, ...

Summenformel (Gauß'sche Summe):

S_n = Σ_(k=1)ⁿ a_k = n/2 · (a₁ + a_n) = n/2 · (2a₁ + (n-1)d)

Klassisches Beispiel: 1 + 2 + 3 + ... + 100 = 100/2(1 + 100) = 5050 (Gauß-Trick).

Geometrische Folge

Konstanter Quotient q zwischen aufeinander folgenden Gliedern:

a_(n+1) = a_n · q Longleftrightarrow a_n = a₁ · q^(n-1)

Beispiel: a₁ = 100, q = 1,05 → a_n = 100 · 1,05^(n-1). Folge: 100, 105, 110,25, 115,76, ..., das ist Zinseszins!

Summenformel (nur für q ≠ 1):

S_n = Σ_(k=1)ⁿ a_k = a₁ · (qⁿ - 1)/(q - 1)

Bei q = 1 ist a_k = a₁ konstant → S_n = n · a₁ (linear, keine Bruchformel).

Brücke zur Rentenrechnung: Endwert einer nachschüssigen Rente R_n = R · (qⁿ - 1)/(q - 1) ist genau die geometrische Summe (siehe Rentenrechnung).

Konvergenz von Folgen

Eine Folge (a_n) konvergiert gegen L, wenn für jedes ε > 0 ein N existiert mit |a_n - L| < ε für alle n ≥ N.

Schreibweise: lim_(n → ∞) a_n = L oder a_n → L.

Sonst: divergent (kein endlicher Grenzwert) oder bestimmt divergent gegen ±∞.

Wichtige Grenzwerte (Klausur-Pflicht)
FolgeGrenzwertBemerkung
a_n = 1/n0klassische Nullfolge
a_n = (1 + 1/n)ⁿe ≈ 2,718Euler-Zahl
a_n = qⁿ, |q| < 10geometrische Nullfolge
a_n = qⁿ, q = 11konstante Folge
a_n = qⁿ, q = -1divergentoszilliert: -1, 1, -1, 1, ...
a_n = qⁿ, |q| > 1divergentwächst betragsmäßig
a_n = n^k (k > 0)∞bestimmt divergent
a_n = __SQRTN_n__(n)1wichtiger Spezialfall
Rechenregeln für Grenzwerte

Wenn a_n → A und b_n → B:

  • a_n + b_n → A + B
  • a_n · b_n → A · B
  • a_n / b_n → A / B (falls B ≠ 0)

Reihen, unendliche Summen

Eine Reihe ist die Folge der Partialsummen einer Folge:

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n = Σ_(k=1)ⁿ a_k

Eine Reihe konvergiert, wenn die Partialsummen-Folge (S_n) konvergiert. Der Grenzwert heißt Wert der unendlichen Reihe:

Σ_(k=1)^(∞) a_k = lim_(n → ∞) S_n

Geometrische Reihe (wichtigste Reihe der Wirtschaftsmathe!)

Σ_(k=0)^(∞) q^k = 1 + q + q² + q³ + ...

Konvergiert genau dann, wenn |q| < 1, und zwar gegen:

boxedΣ_(k=0)^(∞) q^k = 1/(1 - q) für |q| < 1

Beispiel: q = 1/2: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1/(1-1/2) = 2.

Anwendung, ewige Rente: Barwert einer ewigen Rente nachschüssig: R₀ = Σ_(k=1)^(∞) R/q^k = R · Σ_(k=1)^(∞) 1/q^k = R · (1/q)/(1 - 1/q) = R/(q - 1) = R/i

Notwendiges Kriterium

Wenn Σ a_k konvergiert, dann muss a_k → 0 gelten. Umkehrung gilt nicht! a_k → 0 ist notwendig, aber nicht hinreichend.

Klassisches Gegenbeispiel, Harmonische Reihe: Σ_(k=1)^(∞) 1/k = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = ∞

Glieder gehen gegen 0, aber die Summe wächst unbeschränkt (bestimmt divergent).

Hinreichende Kriterien (Auswahl)

Quotientenkriterium: Sei L = lim_(k → ∞) |(a_(k+1))/a_k|. Dann:

  • L < 1 → Reihe konvergiert (sogar absolut)
  • L > 1 → Reihe divergiert
  • L = 1 → keine Aussage möglich

→ erste Wahl bei Fakultäten und Potenzen.

Wurzelkriterium: Sei L = limsup_(k → ∞) __SQRTN_k__(|a_k|). Dann:

  • L < 1 → konvergent
  • L > 1 → divergent
  • L = 1 → keine Aussage

→ stärker als Quotientenkriterium, aber rechnerisch oft umständlicher.

Leibniz-Kriterium (für alternierende Reihen): wenn Σ (-1)^k a_k mit a_k > 0 und a_k monoton fallend gegen 0, dann konvergiert die Reihe. Beispiel: Σ (-1)^k / k konvergiert (→ ln 2).

Majorantenkriterium: wenn |a_k| ≤ b_k für alle k und Σ b_k konvergiert, dann konvergiert auch Σ a_k. Vergleich mit bekannten Reihen (Σ 1/k², geometrisch).

Klausur-Faustregeln

  1. Folge ≠ Reihe. Folge = Liste, Reihe = Summe der Glieder.
  2. Geometrische Reihe Σ q^k konvergiert ⟺ |q| < 1, dann 1/(1-q). Pflicht-Wissen.
  3. a_k → 0 ist notwendig, nicht hinreichend (harmonische Reihe!).
  4. Quotientenkriterium zuerst probieren, funktioniert für 80 % der Klausur-Aufgaben.
  5. Anwendungen erkennen: ewige Rente = geometrische Reihe, Zinseszins = geometrische Folge.

Wo brauchst du das?

  • Wirtschaftsmathe, Renten (Σ verzinster Raten), ewige Rente (Σ_∞)
  • Investitionsrechnung, diskontierte Cashflows, NPV als Reihe
  • Analysis, Taylorreihen (e^x = Σ x^k/k!), Fourier-Reihen
  • Wahrscheinlichkeitstheorie, Erwartungswerte als Reihen
  • Numerik, Konvergenz iterativer Verfahren, Fehlerschranken
  • Informatik / Algorithmen, Laufzeitanalyse mit geometrischen Summen (z.B. amortisiert)

Faustregel zum Mitnehmen: Folgen sind die Bausteine, Reihen die Summen. Geometrische Folgen + Reihen sind das Rückgrat der Wirtschaftsmathe, Zinseszins, Renten, NPV, ewige Rente sind alles Beispiele. Konvergenzkriterien sind Werkzeug, der Schlüssel ist die richtige Wahl: Quotient zuerst, dann Wurzel, dann Vergleich.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv

Glieder- und Partialsummen-Plot

Wähle Folgen-Typ (arithmetisch / geometrisch / harmonisch / alternierend) und stelle die Parameter ein. Der Plot zeigt die Folge a_n und die Partialsummen S_n parallel, du siehst auf einen Blick, ob die Folge gegen 0 geht und ob die Reihe konvergiert.

Probier folgendes:

  • Geometrisch mit q = 0,5 → Folge geht gegen 0, Reihe konvergiert gegen 2
  • Geometrisch mit q = 1,1 → Folge wächst, Reihe explodiert
  • Harmonisch (a_n = 1/n) → Folge geht gegen 0, aber Reihe divergent (klassisches Gegenbeispiel)
  • Alternierend (a_n = (-1)ⁿ / n) → Reihe konvergiert (Leibniz)

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Faustregel zum Mitnehmen: Wenn a_n not→ 0, kann die Reihe nicht konvergieren. Aber a_n → 0 allein reicht nicht, die harmonische Reihe ist das Lehrstück. Geometrische Reihen sind die einzigen, bei denen man Konvergenzbedingung und Grenzwert auswendig hinschreibt: |q| < 1 ⇒ 1/(1-q).

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Praxis-Übung, Folgen & Reihen

Klausur-typische Berechnungen: Grenzwerte, Summen, Konvergenzkriterien.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Arithmetische Folge a₁ = 4, d = 7. Wie groß ist a_(10)?

Antwort: 67

Erklärung: a_n = a_1 + (n−1)·d → a_10 = 4 + 9·7 = 67. Klausur-Klassiker zur arithmetischen Folge.

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.Summe 1 + 2 + 3 + ... + 50 =? (Gauß-Formel)

Antwort: 1275

Erklärung: S_n = n/2 · (a_1 + a_n) = 50/2 · (1 + 50) = 25 · 51 = 1.275. Gauß-Trick: erstes plus letztes Glied, mal halbe Anzahl.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Geometrische Reihe Σ_(k=0)^(∞) 0,4^k =? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 1.67 (Toleranz ±0.01)

Erklärung: S = 1/(1 − q) = 1/(1 − 0,4) = 1/0,6 ≈ 1,67. Konvergiert weil |q| = 0,4 < 1. Pflicht-Formel der Wirtschaftsmathe.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Konvergiert die harmonische Reihe Σ_(k=1)^(∞) 1/k?

Antwort: Nein, sie divergiert (geht gegen `∞`)

Erklärung: Klassisches Gegenbeispiel: a_k = 1/k → 0, aber die Reihe divergiert (S_n ≈ ln(n) → ∞). Beweis: 1/3+1/4 > 1/2, 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, etc., unendlich viele Halbe summiert sich zu ∞. Notwendiges Kriterium reicht nicht!

F5.Geometrische Folge a₁ = 200, q = 1,05, n = 10. Endsumme S_(10)? (auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 2515.58 (Toleranz ±1)

Erklärung: S_n = a_1 · (q^n − 1) / (q − 1) = 200 · (1,05^10 − 1) / 0,05 = 200 · 0,6289/0,05 ≈ 2.515,58. Direkter Anwendungsfall: Endwert einer nachschüssigen Rente von 200 €/Jahr bei 5 % über 10 Jahre.

Typ: Zahlen-Eingabe

F6.Wenn a_n → 0 gilt, dann konvergiert die Reihe Σ a_n.

Antwort: Falsch

Erklärung: FALSCH. Das ist nur die NOTWENDIGE Bedingung. Die harmonische Reihe ist das berühmteste Gegenbeispiel: a_k = 1/k → 0, aber Σ 1/k = ∞. Notwendig ≠ hinreichend.

Typ: Wahr/Falsch

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausur-Quiz, Folgen & Reihen

Sechs Aufgaben zu Konvergenz, geometrischen Reihen und Anwendungen.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Bei welchem |q| konvergiert die geometrische Reihe Σ_(k=0)^(∞) q^k?

Antwort: `|q| < 1`

Erklärung: Geometrische Reihe konvergiert ⟺ |q| < 1, Grenzwert 1/(1−q). Bei |q| = 1: S_n = n+1 oder oszilliert → divergent. Bei |q| > 1: |a_k| → ∞ → divergent. Pflicht-Faktum der Klausur.

F2.lim_(n → ∞) (1 + 1/n)ⁿ =? (auf 4 Nachkommastellen)

Antwort: 2.7183 (Toleranz ±0.001)

Erklärung: Klassischer Grenzwert → Eulersche Zahl e ≈ 2,71828. Wichtig in stetiger Verzinsung: K_n = K_0 · e^(i·n) bei stetiger Kapitalisierung. Auch Basis von ln(x) und e^x.

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.Welche der folgenden Folgen ist eine Nullfolge?

Antwort: `a_n = 1 / n²`

Erklärung: 1/n² → 0 (sogar schneller als 1/n). a_n = (-1)^n oszilliert (kein Grenzwert), n/(n+1) → 1, 2^n → ∞. Nullfolge: lim a_n = 0.

F4.Ewige Rente: R = 5.000 €/Jahr, i = 4 %. Was ist der Barwert (geometrische Reihe rückwärts)?

Antwort: 125000 € (Toleranz ±1)

Erklärung: R_0 = R/i = 5.000/0,04 = 125.000 €. Herleitung: R_0 = Σ_(k=1)^∞ R/q^k = R · (1/q) / (1 − 1/q) = R/(q−1) = R/i. Direkte Anwendung der geometrischen Reihe in der Wirtschaftsmathe.

Typ: Zahlen-Eingabe

F5.Geometrische Reihe Σ_(k=0)^(∞) q^k konvergiert für |q| < {{1}} und ergibt {{2}}. Endliche geometrische Summe (für q ≠ 1): Σ_(k=0)^(n-1) q^k = {{3}}. (Bei q = 1 ist die Summe n.)

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: 1
  • {{2}}: 1/(1−q) / 1/(1-q)
  • {{3}}: (q^n − 1) / (q − 1) / (q^n-1)/(q-1) / (1 − q^n) / (1 − q) / (1-q^n)/(1-q)

Erklärung: Drei Fakten zur geometrischen Reihe, auswendig wissen: (1) Konvergenz ⟺ |q|<1, (2) unendlich → 1/(1−q), (3) endlich (n Glieder) → (q^n−1)/(q−1). Letztes ist das Rückgrat von Renten- und Zinseszinsrechnung.

Typ: Lückentext

F6.Welches Konvergenzkriterium eignet sich am besten für Σ_(k=0)^(∞) 2^k/k!?

Antwort: Quotientenkriterium

Erklärung: Quotientenkriterium: |a_(k+1)/a_k| = |2^(k+1)/(k+1)! · k!/2^k| = 2/(k+1) → 0 < 1 → konvergent. Tatsächlich konvergiert die Reihe gegen e^2. Quotientenkriterium ist immer erste Wahl bei Faktorialen oder Potenzen.

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