Mathematik4Lerneinheiten23minStand20.06.2026

Folgen, Reihen und Konvergenz.

Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen, eine Reihe ist die Summe ihrer Glieder. Klausur-Pflicht in Wirtschaftsmathe (BWL/WI/WiIng) und Analysis 1. Direkter Anschluss an Zinseszins, Renten und Investitionsrechnung, alles Beispiele für geometrische Reihen.

Was du in der Klausur können musst:

Folgen-Vorschriften (explizit / rekursiv) anwenden und auswerten
Arithmetische vs. geometrische Folgen unterscheiden + Summenformeln
Konvergenz / Divergenz prüfen, Grenzwert-Berechnung
Geometrische Reihe und ihre Konvergenzbedingung $|q| < 1$
Anwendungen in Wirtschaftsmathe (ewige Rente, Zinseszins-Limit)

In Klausuren oft gefragt: "Konvergiert die Folge $a_n = ...$ ?", "Wie hoch ist der Grenzwert?", "Berechne die Summe der Reihe", Pflicht-Aufgaben.

Eine Folge ist eine Funktion $a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ , $n \mapsto a_n$ . Wir schreiben kurz $(a_n)$ oder $(a_n)_{n \geq 1}$ .

Zwei Vorschriften:

Vorschrift	Beispiel	Bedeutung
Explizit	$a_n = 2n + 1$	Gibt $a_n$ direkt aus $n$
Rekursiv	$a_1 = 1$ , $a_{n+1} = a_n + 2$	Definiert $a_{n+1}$ aus $a_n$

Beide ergeben dieselbe Folge: $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$

Konstante Differenz $d$ zwischen aufeinander folgenden Gliedern:

$a_{n+1} = a_n + d \quad \Longleftrightarrow \quad a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$

Beispiel: $a_1 = 5$ , $d = 3$ → $a_n = 5 + 3(n-1) = 3n + 2$ . Folge: $5, 8, 11, 14, \ldots$

Summenformel (Gauß'sche Summe):

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \cdot \bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)$

Klassisches Beispiel: $1 + 2 + 3 + \ldots + 100 = \frac{100}{2}(1 + 100) = 5050$ (Gauß-Trick).

Konstanter Quotient $q$ zwischen aufeinander folgenden Gliedern:

$a_{n+1} = a_n \cdot q \quad \Longleftrightarrow \quad a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Beispiel: $a_1 = 100$ , $q = 1{,}05$ → $a_n = 100 \cdot 1{,}05^{n-1}$ . Folge: $100, 105, 110{,}25, 115{,}76, \ldots$ , das ist Zinseszins!

Summenformel (nur für $q \neq 1$ ):

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Bei $q = 1$ ist $a_k = a_1$ konstant → $S_n = n \cdot a_1$ (linear, keine Bruchformel).

Brücke zur Rentenrechnung: Endwert einer nachschüssigen Rente $R_n = R \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ist genau die geometrische Summe (siehe Rentenrechnung).

Eine Folge $(a_n)$ konvergiert gegen $L$ , wenn für jedes $\varepsilon > 0$ ein $N$ existiert mit $|a_n - L| < \varepsilon$ für alle $n \geq N$ .

Schreibweise: $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ oder $a_n \to L$ .

Sonst: divergent (kein endlicher Grenzwert) oder bestimmt divergent gegen $\pm\infty$ .

Wichtige Grenzwerte (Klausur-Pflicht)

Folge	Grenzwert	Bemerkung
$a_n = 1/n$	$0$	klassische Nullfolge
$a_n = (1 + 1/n)^n$	$e \approx 2{,}718$	Euler-Zahl
$a_n = q^n$ , $\\|q\\| < 1$	$0$	geometrische Nullfolge
$a_n = q^n$ , $q = 1$	$1$	konstante Folge
$a_n = q^n$ , $q = -1$	divergent	oszilliert: $-1, 1, -1, 1, \ldots$
$a_n = q^n$ , $\\|q\\| > 1$	divergent	wächst betragsmäßig
$a_n = n^k$ ( $k > 0$ )	$\infty$	bestimmt divergent
$a_n = \sqrt[n]{n}$	$1$	wichtiger Spezialfall

Rechenregeln für Grenzwerte

Wenn $a_n \to A$ und $b_n \to B$ :

$a_n + b_n \to A + B$
$a_n \cdot b_n \to A \cdot B$
$a_n / b_n \to A / B$ (falls $B \neq 0$ )

Eine Reihe ist die Folge der Partialsummen einer Folge:

$S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$

Eine Reihe konvergiert, wenn die Partialsummen-Folge $(S_n)$ konvergiert. Der Grenzwert heißt Wert der unendlichen Reihe:

$\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} S_n$

Geometrische Reihe (wichtigste Reihe der Wirtschaftsmathe!)

$\sum_{k=0}^{\infty} q^k = 1 + q + q^2 + q^3 + \ldots$

Konvergiert genau dann, wenn $|q| < 1$ , und zwar gegen:

$\boxed{\sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1 - q} \quad \text{für } |q| < 1}$

Beispiel: $q = 1/2$ : $1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots = 1/(1-1/2) = 2$ .

Anwendung, ewige Rente: Barwert einer ewigen Rente nachschüssig: $R_0 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{R}{q^k} = R \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{q^k} = R \cdot \frac{1/q}{1 - 1/q} = \frac{R}{q - 1} = \frac{R}{i}$

Notwendiges Kriterium

Wenn $\sum a_k$ konvergiert, dann muss $a_k \to 0$ gelten. Umkehrung gilt nicht! $a_k \to 0$ ist notwendig, aber nicht hinreichend.

Klassisches Gegenbeispiel, Harmonische Reihe: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots = \infty$

Glieder gehen gegen 0, aber die Summe wächst unbeschränkt (bestimmt divergent).

Hinreichende Kriterien (Auswahl)

Quotientenkriterium: Sei $L = \lim_{k \to \infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$ . Dann:

$L < 1$ → Reihe konvergiert (sogar absolut)
$L > 1$ → Reihe divergiert
$L = 1$ → keine Aussage möglich

→ erste Wahl bei Fakultäten und Potenzen.

Wurzelkriterium: Sei $L = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|}$ . Dann:

$L < 1$ → konvergent
$L > 1$ → divergent
$L = 1$ → keine Aussage

→ stärker als Quotientenkriterium, aber rechnerisch oft umständlicher.

Leibniz-Kriterium (für alternierende Reihen): wenn $\sum (-1)^k a_k$ mit $a_k > 0$ und $a_k$ monoton fallend gegen $0$ , dann konvergiert die Reihe. Beispiel: $\sum (-1)^k / k$ konvergiert ( $\to \ln 2$ ).

Majorantenkriterium: wenn $|a_k| \leq b_k$ für alle $k$ und $\sum b_k$ konvergiert, dann konvergiert auch $\sum a_k$ . Vergleich mit bekannten Reihen ( $\sum 1/k^2$ , geometrisch).

Folge ≠ Reihe. Folge = Liste, Reihe = Summe der Glieder.

Geometrische Reihe $\sum q^k$ konvergiert ⟺ $|q| < 1$ , dann $1/(1-q)$ . Pflicht-Wissen.

$a_k \to 0$ ist notwendig, nicht hinreichend (harmonische Reihe!).

Quotientenkriterium zuerst probieren, funktioniert für 80 % der Klausur-Aufgaben.

Anwendungen erkennen: ewige Rente = geometrische Reihe, Zinseszins = geometrische Folge.

Wirtschaftsmathe, Renten ( $\sum$ verzinster Raten), ewige Rente ( $\sum_\infty$ )
Investitionsrechnung, diskontierte Cashflows, NPV als Reihe
Analysis, Taylorreihen ( $e^x = \sum x^k/k!$ ), Fourier-Reihen
Wahrscheinlichkeitstheorie, Erwartungswerte als Reihen
Numerik, Konvergenz iterativer Verfahren, Fehlerschranken
Informatik / Algorithmen, Laufzeitanalyse mit geometrischen Summen (z.B. amortisiert)

Faustregel zum Mitnehmen: Folgen sind die Bausteine, Reihen die Summen. Geometrische Folgen + Reihen sind das Rückgrat der Wirtschaftsmathe, Zinseszins, Renten, NPV, ewige Rente sind alles Beispiele. Konvergenzkriterien sind Werkzeug, der Schlüssel ist die richtige Wahl: Quotient zuerst, dann Wurzel, dann Vergleich.

Wähle Folgen-Typ (arithmetisch / geometrisch / harmonisch / alternierend) und stelle die Parameter ein. Der Plot zeigt die Folge $a_n$ und die Partialsummen $S_n$ parallel, du siehst auf einen Blick, ob die Folge gegen 0 geht und ob die Reihe konvergiert.

Probier folgendes:

Geometrisch mit $q = 0{,}5$ → Folge geht gegen 0, Reihe konvergiert gegen 2
Geometrisch mit $q = 1{,}1$ → Folge wächst, Reihe explodiert
Harmonisch ( $a_n = 1/n$ ) → Folge geht gegen 0, aber Reihe divergent (klassisches Gegenbeispiel)
Alternierend ( $a_n = (-1)^n / n$ ) → Reihe konvergiert (Leibniz)

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Faustregel zum Mitnehmen: Wenn $a_n \not\to 0$ , kann die Reihe nicht konvergieren. Aber $a_n \to 0$ allein reicht nicht, die harmonische Reihe ist das Lehrstück. Geometrische Reihen sind die einzigen, bei denen man Konvergenzbedingung und Grenzwert auswendig hinschreibt: $|q| < 1 \Rightarrow 1/(1-q)$ .

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Teil 1·Erklärung

Erklärung

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Vorschrift

Beispiel

Bedeutung

Explizit

a_n = 2n + 1

Gibt

a_n

direkt aus

n

Rekursiv

a_1 = 1

a_{n+1} = a_n + 2

Definiert

a_{n+1}

aus

a_n

Folge

Grenzwert

Bemerkung

a_n = 1/n

0

klassische Nullfolge

a_n = (1 + 1/n)^n

e \approx 2{,}718

Euler-Zahl

a_n = q^n

\|q\| < 1

0

geometrische Nullfolge

a_n = q^n

q = 1

1

konstante Folge

a_n = q^n

q = -1

divergent

oszilliert:

-1, 1, -1, 1, \ldots

a_n = q^n

\|q\| > 1

divergent

wächst betragsmäßig

a_n = n^k

(

k > 0

)

\infty

bestimmt divergent

a_n = \sqrt[n]{n}

1

wichtiger Spezialfall

Vorschrift

Beispiel

Bedeutung

Explizit

a_n = 2n + 1

Gibt a_n direkt aus n

Rekursiv

a₁ = 1, a_(n+1) = a_n + 2

Definiert a_(n+1) aus a_n

Folge

Grenzwert

Bemerkung

a_n = 1/n

0

klassische Nullfolge

a_n = (1 + 1/n)ⁿ

e ≈ 2,718

Euler-Zahl

a_n = qⁿ, |q| < 1

0

geometrische Nullfolge

a_n = qⁿ, q = 1

1

konstante Folge

a_n = qⁿ, q = -1

Folgen, Grundlagen

Arithmetische Folge

Geometrische Folge

Konvergenz von Folgen

Wichtige Grenzwerte (Klausur-Pflicht)

Rechenregeln für Grenzwerte

Reihen, unendliche Summen

Geometrische Reihe (wichtigste Reihe der Wirtschaftsmathe!)

Notwendiges Kriterium

Hinreichende Kriterien (Auswahl)

Klausur-Faustregeln

Wo brauchst du das?

Glieder- und Partialsummen-Plot

Wenn du fertig bist: jetzt üben.

Erklärung

Folgen, Grundlagen

Arithmetische Folge

Geometrische Folge

Konvergenz von Folgen

Wichtige Grenzwerte (Klausur-Pflicht)

Rechenregeln für Grenzwerte

Reihen, unendliche Summen

Geometrische Reihe (wichtigste Reihe der Wirtschaftsmathe!)

Notwendiges Kriterium

Hinreichende Kriterien (Auswahl)

Klausur-Faustregeln

Wo brauchst du das?

Glieder- und Partialsummen-Plot

Wenn du fertig bist: jetzt üben.

Erklärung

Folgen, Grundlagen

Arithmetische Folge

Geometrische Folge

Konvergenz von Folgen

Wichtige Grenzwerte (Klausur-Pflicht)

Rechenregeln für Grenzwerte

Reihen, unendliche Summen

Geometrische Reihe (wichtigste Reihe der Wirtschaftsmathe!)

Notwendiges Kriterium

Hinreichende Kriterien (Auswahl)

Klausur-Faustregeln

Wo brauchst du das?

Interaktiv

Glieder- und Partialsummen-Plot

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Klausur-Quiz

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