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Teil 1·Erklärung
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Maximiere Nutzen unter Budget-Restriktion. Minimiere Kosten unter Produktions-Vorgabe. Diese Klausur-Klassiker lösen Lagrange-Multiplikatoren — die Standardmethode für Optimierung mit Nebenbedingungen. Klausur-Pflicht in 14/16 WInf-Mathe-2-Klausuren.
Klausur-Tipp: Bei Lagrange-Aufgaben IMMER die 3 partiellen Ableitungen (bei 2 Variablen + 1 NB) explizit aufschreiben. Erst dann zusammensetzen. Spart Fehler.
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Maximiere Nutzen unter Budget-Restriktion. Minimiere Kosten unter Produktions-Vorgabe. Diese Klausur-Klassiker lösen Lagrange-Multiplikatoren — die Standardmethode für Optimierung mit Nebenbedingungen. Klausur-Pflicht in 14/16 WInf-Mathe-2-Klausuren.
Lagrange-Multiplikator-Methode: Wandle ein restringiertes Optimierungsproblem (mit Nebenbedingung) in ein unbeschränktes durch Einführung eines neuen Parameters
λ(Lagrange-Multiplikator).
Standard-Form:
max f(x, y) u.d.N. g(x, y) = c
(oder min statt max, oder mehrere Variablen)
Beispiel: max U(x, y) = x · y u.d.N. p_x x + p_y y = m (Budget).
L(x, y, λ) = f(x, y) - λ · [g(x, y) - c]
Wichtig: λ ist eine NEUE Variable, kein bekannter Wert!
Setze alle partiellen Ableitungen = 0:
(∂ L)/(∂ x) = 0, (∂ L)/(∂ y) = 0, (∂ L)/(∂ λ) = 0
Die dritte Gleichung gibt immer die ursprüngliche Nebenbedingung zurück:
(∂ L)/(∂ λ) = -[g(x, y) - c] = 0 ⇔ g(x, y) = c
Problem: max U(x, y) = x · y u.d.N. 2x + 4y = 100.
Schritt 1 — Lagrange-Funktion aufstellen:
L(x, y, λ) = x · y - λ(2x + 4y - 100)
Schritt 2 — Partielle Ableitungen = 0:
(∂ L)/(∂ x) = y - 2λ = 0 ⇒ y = 2λ
(∂ L)/(∂ y) = x - 4λ = 0 ⇒ x = 4λ
(∂ L)/(∂ λ) = -(2x + 4y - 100) = 0 ⇒ 2x + 4y = 100
Schritt 3 — Lösen: Aus y = 2λ und x = 4λ: x = 2y.
Einsetzen: 2(2y) + 4y = 100 ⇒ 8y = 100 ⇒ y = 12.5, x = 25.
λ = y / 2 = 6.25.
Lösung: (x^*, y^*) = (25, 12.5), U^* = 312.5.
λ (Schattenpreis)Der Multiplikator λ hat eine wichtige Interpretation:
λ= Veränderung des optimalen Zielfunktionswerts pro Einheit Lockerung der Nebenbedingung.
Im Beispiel: λ = 6.25 bedeutet: ein zusätzlicher Euro Budget erhöht den Nutzen um ca. 6.25 Einheiten.
In Mikroökonomie heißt λ auch Grenznutzen des Einkommens, in der Produktion Schattenpreis.
Im Optimum sind die Gradienten von f und g parallel:
∇ f = λ ∇ g
Geometrisch: die Höhenlinie von f tangiert die Restriktionskurve g = c.
Höhenlinien von f:
↗ ↗ ↗
. . . g = c (Restriktion)
. ☆ . ☆ = Optimum (Tangentialpunkt)
. . .
. . .
Bei k Nebenbedingungen g₁, g₂, ..., g_k:
L = f - Σ_(i=1)^k λ_i (g_i - c_i)
Jeder λ_i ist eigener Multiplikator.
Notwendige Bedingung allein gibt nur "kritischen Punkt" — Max, Min oder Sattelpunkt? Klärt der geränderte Hesse-Test (Bordered Hessian).
Klausur-Hinweis: In Bachelor-Klausuren wird oft nur die notwendige Bedingung verlangt + ökonomisches Argument für Maximum/Minimum.
Bei Ungleichungs-Nebenbedingungen (g(x) ≤ c) statt Gleichungen → Karush-Kuhn-Tucker (KKT) Bedingungen, Erweiterung von Lagrange.
1. Lagrange-Funktion: L = f - λ(g - c). Vorzeichen +/− egal, Konvention.
2. 3 Bedingungen für 2 Variablen + 1 NB: ∂ L / ∂ x = 0, ∂ L / ∂ y = 0, ∂ L / ∂ λ = 0.
3. λ = Schattenpreis = Sensitivität des Optimums gegenüber Lockerung der Nebenbedingung.
4. Im Optimum: ∇ f parallel zu ∇ g (geometrisch).
5. KKT für Ungleichungs-Nebenbedingungen.
1. Nebenbedingung in Lagrange falsch aufstellen. Standard-Form: L = f - λ(g - c). Nicht L = f - λ g — der konstante Term c ist wichtig.
2. Multiplikator vergessen zu berechnen. λ ist Teil der Lösung. Klausur fragt oft nach λ^* und seiner ökonomischen Bedeutung.
3. Hinreichende Bedingungen überspringen. In Klausuren oft nicht verlangt, aber gut zu erwähnen (Hesse-Test oder ökonomisches Argument).
4. Mehrere Variablen-Substitutionen verheddern. Strategie: 2 Gleichungen aus den partiellen Ableitungen kombinieren → Verhältnis x/y finden → in NB einsetzen.
5. λ als Konstante behandeln. λ ist eine VARIABLE im Lagrange-System, kein gegebener Wert. Sie ergibt sich aus der Lösung.
Visualisiere das klassische Optimierungs-Problem:
U(x,y) = x · y als Höhenlinienp_x x + p_y y = m als rote LinieSchiebe die Budget-Slider und sieh, wie sich das Optimum verschiebt.
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Klausur-Tipp: Bei Lagrange-Aufgaben IMMER die 3 partiellen Ableitungen (bei 2 Variablen + 1 NB) explizit aufschreiben. Erst dann zusammensetzen. Spart Fehler.
6 Aufgaben zu Lagrange-Funktion, Bedingungen, Multiplikator-Bedeutung.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: `L = f - λ (g - c)`
Erklärung: Standard-Lagrange: `L = f - λ(g - c)`. Das `c` ist wichtig! Manche Konventionen schreiben +λ, mathematisch egal — Vorzeichen von λ wechselt.
Antwort: Schattenpreis: Sensitivität des Optimums gegenüber Lockerung der NB
Erklärung: `λ` = Schattenpreis = Veränderung des optimalen Zielfunktionswerts pro Einheit Lockerung der Nebenbedingung. In Mikroökonomie: Grenznutzen des Einkommens. In Produktion: Schattenpreis einer Ressource.
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. `∇ f = λ ∇ g` im Optimum. Geometrisch: Höhenlinie von `f` tangiert Restriktionskurve `g = c`. Anschauliche Interpretation der Methode.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: `x = 5, y = 5`
Erklärung: Lagrange: `L = xy - λ(x+y-10)`. `∂_x: y = λ`, `∂_y: x = λ` → `x = y`. NB: `2x = 10` → `x = y = 5`. Optimum `(5, 5)`, `U^* = 25`.
Richtige Antworten: Lagrange wandelt restringiertes in unbeschränktes Problem; `λ` ist eine Variable, kein gegebener Wert; Bei `k` Nebenbedingungen: `k` Multiplikatoren `λ₁, ..., λ_k`; `λ` heißt Schattenpreis (oder Grenznutzen); KKT für Ungleichungs-Nebenbedingungen
Erklärung: Richtig: Lagrange-Idee, λ als Variable, k NB → k λ, Schattenpreis, KKT-Erweiterung. Falsch: `∂ L = 0` liefert NOTWENDIGE Bedingungen, hinreichend braucht zusätzlich Hesse-Test (Bordered Hessian).
Typ: Multi-Select
Zuordnungen:
Erklärung: Lagrange-Vokabular. Klausur-Pflicht.
Typ: Zuordnung
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: 25 (Toleranz ±0.5)
Erklärung: Lagrange: `L = xy - λ(2x + 4y - 100)`. `∂_x: y = 2λ`, `∂_y: x = 4λ` → `x = 2y`. NB: `2(2y) + 4y = 100 → 8y = 100 → y = 12.5, x = 25`.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 6.25
Erklärung: Aus `y = 2λ` und `y = 12.5`: `λ = 6.25`. Interpretation: ein zusätzlicher Euro Budget (Lockerung der NB um 1) erhöht den Nutzen um ca. 6.25 Einheiten (Grenznutzen des Einkommens).
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. Bei `k` NB: `L = f - Σ_i λ_i (g_i - c_i)`. Jeder `λ_i` ist eigener Schattenpreis für seine Nebenbedingung.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: Ja, Vorzeichen von `λ` kann sich ändern, aber Methodik bleibt
Erklärung: Lagrange funktioniert für Max + Min identisch. Lagrange-Funktion + 3 partielle Ableitungen = 0. Nur das Vorzeichen + Interpretation von `λ` können sich ändern. Hesse-Test entscheidet zwischen Max/Min/Sattelpunkt.
Lösungen pro Lücke:
Erklärung: Lagrange-Vokabular. Multiplikator-Methode, partielle Ableitungen, Schattenpreis-Interpretation, KKT.
Typ: Lückentext
Richtige Reihenfolge:
Erklärung: Standard-Lagrange-Workflow. Klausur-Pflicht.
Typ: Reihenfolge