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  • Einführung
  • Erwartungswert
  • Varianz und Standardabweichung
  • Linearität von E
  • Varianz-Regeln
  • Wichtige E und Var auswendig
  • Tschebyscheff-Ungleichung
  • Beispiel, Klausur-Aufgabe
  • Klausur-Faustregeln
  • Typischer Stolperstein
ThemenStatistikErwartungswert und Varianz, Vertiefung
Statistik·4Lerneinheiten·20min·Stand02.08.2026

Erwartungswert und Varianz, Vertiefung.

Erwartungswert und Varianz, Rechenregeln

Auffrischer und Vertiefung: die Rechenregeln für E(X) und Var(X), die in jeder Stats-Klausur als Hilfsschritt gebraucht werden. Bei linearen Transformationen, Summen und Approximationen.

Was du in der Klausur können musst:

  • Linearität von EEE (E(aX+b)E(aX+b)E(aX+b), E(X+Y)E(X+Y)E(X+Y))
  • Varianz-Skalierung Var(aX+b)Var(aX+b)Var(aX+b) und Summen-Regel bei Unabhängigkeit
  • Standardabweichung als Wurzel der Varianz
  • Klassische Verteilungen E und Var auswendig

Diskret:

E(X)=∑ixi⋅P(X=xi)E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)E(X)=∑i​xi​⋅P(X=xi​)

Stetig:

E(X)=∫x⋅f(x) dxE(X) = \int x \cdot f(x) \, dxE(X)=∫x⋅f(x)dx

Erwartungswert ist der gewichtete Mittelwert der möglichen Werte. Bei einem fairen Würfel:

E(X)=1⋅16+2⋅16+…+6⋅16=216=3,5E(X) = 1 \cdot \tfrac{1}{6} + 2 \cdot \tfrac{1}{6} + \ldots + 6 \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{21}{6} = 3{,}5E(X)=1⋅61​+2⋅61​+…+6⋅61​=621​=3,5

Definition (mit Verschiebungssatz):

Var(X)=E[(X−E(X))2]=E(X2)−E(X)2Var(X) = E\bigl[(X - E(X))^2\bigr] = E(X^2) - E(X)^2Var(X)=E[(X−E(X))2]=E(X2)−E(X)2

Die zweite Form ist in Klausuren meist bequemer.

Standardabweichung in derselben Einheit wie XXX:

σ(X)=Var(X)\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}σ(X)=Var(X)​

E(aX+b)=a⋅E(X)+b,E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(aX + b) = a \cdot E(X) + b, \qquad E(X + Y) = E(X) + E(Y)E(aX+b)=a⋅E(X)+b,E(X+Y)=E(X)+E(Y)

Die Summen-Regel gilt immer, auch bei abhängigen Zufallsvariablen.

Beispiel: Y=2X+5Y = 2X + 5Y=2X+5 mit XXX = Würfel → E(Y)=2⋅3,5+5=12E(Y) = 2 \cdot 3{,}5 + 5 = 12E(Y)=2⋅3,5+5=12.

Var(aX+b)=a2⋅Var(X)Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)Var(aX+b)=a2⋅Var(X)

Die additive Konstante bbb verschwindet (sie verschiebt nur), aaa kommt quadriert rein.

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)(nur bei Unabha¨ngigkeit)Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) \quad \text{(nur bei Unabhängigkeit)}Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)(nur bei Unabha¨ngigkeit)

Bei Abhängigkeit kommt die Kovarianz dazu:

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2⋅Cov(X,Y)Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2⋅Cov(X,Y)

Beispiel: Y=2X+5Y = 2X + 5Y=2X+5 mit Var(X)=35/12≈2,917Var(X) = 35/12 \approx 2{,}917Var(X)=35/12≈2,917 → Var(Y)=4⋅2,917≈11,667Var(Y) = 4 \cdot 2{,}917 \approx 11{,}667Var(Y)=4⋅2,917≈11,667.

VerteilungE(X)Var(X)
Bernoulli (p)pp(1-p)
Binomial (n, p)npnp(1-p)
Poisson (λ)λλ
Gleichverteilung (a, b)(a+b)/2(b-a)²/12
Normal (μ, σ²)μσ²
Geometrisch (p)1/p(1-p)/p²
Exponential (λ)1/λ1/λ²

Klausur-Klassiker:

  • Würfel: E=3,5E = 3{,}5E=3,5, Var=35/12≈2,92Var = 35/12 \approx 2{,}92Var=35/12≈2,92
  • 2 Würfel Summe: E=7E = 7E=7, Var=35/6≈5,83Var = 35/6 \approx 5{,}83Var=35/6≈5,83 (Var addiert sich!)

P(∣X−μ∣≥k⋅σ)≤1k2P\bigl(|X - \mu| \geq k \cdot \sigma\bigr) \leq \frac{1}{k^2}P(∣X−μ∣≥k⋅σ)≤k21​

Heißt: mehr als k⋅σk \cdot \sigmak⋅σ vom Mittelwert weg passiert höchstens mit Wahrscheinlichkeit 1/k21/k^21/k2, gilt für jede Verteilung.

Konsequenz: mindestens 75 % der Werte liegen in μ±2σ\mu \pm 2\sigmaμ±2σ (für JEDE Verteilung), bei Normal sind es sogar 95 %.

X = Würfel-Augenzahl. Y = 2X − 1. Berechne E(Y) und Var(Y).

Lösung:

  1. E(X)=3,5E(X) = 3{,}5E(X)=3,5, Var(X)=35/12Var(X) = 35/12Var(X)=35/12
  2. E(Y)=2⋅3,5−1=6E(Y) = 2 \cdot 3{,}5 - 1 = 6E(Y)=2⋅3,5−1=6
  3. Var(Y)=22⋅35/12=4⋅35/12=35/3≈11,67Var(Y) = 2^2 \cdot 35/12 = 4 \cdot 35/12 = 35/3 \approx 11{,}67Var(Y)=22⋅35/12=4⋅35/12=35/3≈11,67
  4. σ(Y)=35/3≈3,42\sigma(Y) = \sqrt{35/3} \approx 3{,}42σ(Y)=35/3​≈3,42
  1. E ist linear, Konstanten ziehen aus E heraus, Summen werden gespalten.
  2. Var quadriert die Konstante, Var(aX)=a2⋅Var(X)Var(aX) = a^2 \cdot Var(X)Var(aX)=a2⋅Var(X), NICHT a⋅Var(X)a \cdot Var(X)a⋅Var(X).
  3. +b ändert Var nicht, Verschiebungs-Konstanten haben keinen Effekt auf Streuung.
  4. Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y) nur wenn unabhängig.
  5. Verschiebungssatz Var(X)=E(X2)−E(X)2Var(X) = E(X^2) - E(X)^2Var(X)=E(X2)−E(X)2 wenn E(X2)E(X^2)E(X2) bekannt.

Var(X+Y) bei Abhängigkeit. Klausur-Falle: man addiert die Varianzen, vergisst die Kovarianz. Bei abhängigen X, Y → Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y).

a² statt a vergessen. Var(2X)=4⋅Var(X)Var(2X) = 4 \cdot Var(X)Var(2X)=4⋅Var(X), nicht 2⋅Var(X)2 \cdot Var(X)2⋅Var(X). Wer das vergisst, ist 50 % daneben.

E(X)² vs. E(X²). Verschiebungssatz: Var(X)=E(X2)−[E(X)]2Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2Var(X)=E(X2)−[E(X)]2. Reihenfolge wichtig, erst quadrieren, dann Erwartungswert (oder umgekehrt im zweiten Term).

Stell die Slider a und b ein für die Transformation Y = aX + b. X ist der faire Würfel mit P(X=k) = 1/6 für k=1..6. Live-Berechnung von E und Var beider ZVs zeigt: E(Y) = a·E(X) + b und Var(Y) = a²·Var(X). Die Konstante b verschiebt nur den Mittelwert, ändert aber die Streuung NICHT.

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Klausur-Tipp: mit a = 0 wird Y konstant (=b). E(Y) = b, Var(Y) = 0, perfekter Plausibilitäts-Check, dass die Quadrierung von a richtig in der Var-Formel landet.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Erwartungswert und Varianz, Rechenregeln

Auffrischer und Vertiefung: die Rechenregeln für E(X) und Var(X), die in jeder Stats-Klausur als Hilfsschritt gebraucht werden. Bei linearen Transformationen, Summen und Approximationen.

Was du in der Klausur können musst:

  • Linearität von E (E(aX+b), E(X+Y))
  • Varianz-Skalierung Var(aX+b) und Summen-Regel bei Unabhängigkeit
  • Standardabweichung als Wurzel der Varianz
  • Klassische Verteilungen E und Var auswendig

Erwartungswert

Diskret:

E(X) = Σ_i x_i · P(X = x_i)

Stetig:

E(X) = ∫ x · f(x) dx

Erwartungswert ist der gewichtete Mittelwert der möglichen Werte. Bei einem fairen Würfel:

E(X) = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + ... + 6 · 1/6 = 21/6 = 3,5

Varianz und Standardabweichung

Definition (mit Verschiebungssatz):

Var(X) = E[(X - E(X))²] = E(X²) - E(X)²

Die zweite Form ist in Klausuren meist bequemer.

Standardabweichung in derselben Einheit wie X:

σ(X) = √(Var(X))

Linearität von E

E(aX + b) = a · E(X) + b, E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Die Summen-Regel gilt immer, auch bei abhängigen Zufallsvariablen.

Beispiel: Y = 2X + 5 mit X = Würfel → E(Y) = 2 · 3,5 + 5 = 12.

Varianz-Regeln

Var(aX + b) = a² · Var(X)

Die additive Konstante b verschwindet (sie verschiebt nur), a kommt quadriert rein.

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) (nur bei Unabhängigkeit)

Bei Abhängigkeit kommt die Kovarianz dazu:

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 · Cov(X, Y)

Beispiel: Y = 2X + 5 mit Var(X) = 35/12 ≈ 2,917 → Var(Y) = 4 · 2,917 ≈ 11,667.

Wichtige E und Var auswendig

VerteilungE(X)Var(X)
Bernoulli (p)pp(1-p)
Binomial (n, p)npnp(1-p)
Poisson (λ)λλ
Gleichverteilung (a, b)(a+b)/2(b-a)²/12
Normal (μ, σ²)μσ²
Geometrisch (p)1/p(1-p)/p²
Exponential (λ)1/λ1/λ²

Klausur-Klassiker:

  • Würfel: E = 3,5, Var = 35/12 ≈ 2,92
  • 2 Würfel Summe: E = 7, Var = 35/6 ≈ 5,83 (Var addiert sich!)

Tschebyscheff-Ungleichung

P(|X - μ| ≥ k · σ) ≤ 1/k²

Heißt: mehr als k · σ vom Mittelwert weg passiert höchstens mit Wahrscheinlichkeit 1/k², gilt für jede Verteilung.

Konsequenz: mindestens 75 % der Werte liegen in μ ± 2σ (für JEDE Verteilung), bei Normal sind es sogar 95 %.

Beispiel, Klausur-Aufgabe

X = Würfel-Augenzahl. Y = 2X − 1. Berechne E(Y) und Var(Y).

Lösung:

  1. E(X) = 3,5, Var(X) = 35/12
  2. E(Y) = 2 · 3,5 - 1 = 6
  3. Var(Y) = 2² · 35/12 = 4 · 35/12 = 35/3 ≈ 11,67
  4. σ(Y) = √(35/3) ≈ 3,42

Klausur-Faustregeln

  1. E ist linear, Konstanten ziehen aus E heraus, Summen werden gespalten.
  2. Var quadriert die Konstante, Var(aX) = a² · Var(X), NICHT a · Var(X).
  3. +b ändert Var nicht, Verschiebungs-Konstanten haben keinen Effekt auf Streuung.
  4. Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y) nur wenn unabhängig.
  5. Verschiebungssatz Var(X) = E(X²) - E(X)² wenn E(X²) bekannt.

Typischer Stolperstein

Var(X+Y) bei Abhängigkeit. Klausur-Falle: man addiert die Varianzen, vergisst die Kovarianz. Bei abhängigen X, Y → Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y).

a² statt a vergessen. Var(2X) = 4 · Var(X), nicht 2 · Var(X). Wer das vergisst, ist 50 % daneben.

E(X)² vs. E(X²). Verschiebungssatz: Var(X) = E(X²) - [E(X)]². Reihenfolge wichtig, erst quadrieren, dann Erwartungswert (oder umgekehrt im zweiten Term).

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

Linearitäts-Lab

Stell die Slider a und b ein für die Transformation Y = aX + b. X ist der faire Würfel mit P(X=k) = 1/6 für k=1..6. Live-Berechnung von E und Var beider ZVs zeigt: E(Y) = a·E(X) + b und Var(Y) = a²·Var(X). Die Konstante b verschiebt nur den Mittelwert, ändert aber die Streuung NICHT.

Interaktive Visualisierung

Plottet Verteilungen von Würfelsummen und linearen Transformationen.

Klausur-Tipp: mit a = 0 wird Y konstant (=b). E(Y) = b, Var(Y) = 0, perfekter Plausibilitäts-Check, dass die Quadrierung von a richtig in der Var-Formel landet.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

E/Var-Praxis

Klausur-typische Aufgaben: E und Var von linearen Transformationen, Summen und kombinierten Größen berechnen.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.X = fairer Würfel, E(X) = 3,5. Berechne E(2X + 1).

Antwort: 8

Erklärung: E(2X+1) = 2·E(X) + 1 = 2·3,5 + 1 = 8. Linearität von E: Konstante a aus E rausziehen, Konstante b einfach addieren.

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.Var(X) = 4. Berechne Var(3X − 7).

Antwort: 36

Erklärung: Var(3X−7) = 3² · Var(X) = 9·4 = 36. ACHTUNG: a wird QUADRIERT, b verschwindet! Var(3X) ≠ 3·Var(X).

Typ: Zahlen-Eingabe

F3.X und Y unabhängig, Var(X) = 5, Var(Y) = 3. Var(X+Y) = ?

Antwort: 8

Erklärung: Bei Unabhängigkeit: Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) = 5+3 = 8. Klausur-Voraussetzung: 'unabhängig' MUSS in der Aufgabe stehen, sonst Cov(X,Y) ergänzen.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.E(X+Y) = E(X) + E(Y) gilt auch dann, wenn X und Y nicht unabhängig sind.

Antwort: Wahr

Erklärung: Korrekt. Linearität von E gilt IMMER. Bei Var hingegen ist Unabhängigkeit nötig (sonst Cov-Term). Klausur-Klassiker zur Unterscheidung.

Typ: Wahr/Falsch

F5.Ordne der Verteilung den Erwartungswert zu:

Zuordnungen:

  • Bernoulli (p) → p
  • Binomial (n, p) → n · p
  • Poisson (λ) → λ
  • Exponential (λ) → 1/λ

Erklärung: Klausur-Pflichtwissen. Achtung Exponential: E = 1/λ (manchmal andere Parametrisierung mit λ als Rate vs. Mittelwert). Kontextprüfen!

Typ: Zuordnung

F6.Verschiebungssatz für Varianz: Var(X) = {{1}} − {{2}}.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: E(X²) / E(X^2) / E(Xquadrat)
  • {{2}}: [E(X)]² / E(X)² / (E(X))² / E(X)^2

Erklärung: Var(X) = E(X²) − [E(X)]². Reihenfolge wichtig: erst Quadrieren dann erwarten vs. erst erwarten dann quadrieren. Klausur-Fallstrick.

Typ: Lückentext

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.X = Würfel, E(X) = 3,5, Var(X) = 35/12. Berechne Var(−4X + 2).

Antwort: 46.67 (Toleranz ±0.5)

Erklärung: Var(−4X+2) = (−4)² · Var(X) = 16 · 35/12 = 560/12 ≈ 46,67. Wichtig: das Minus-Zeichen verschwindet beim Quadrieren, Var ist immer ≥ 0.

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.Welche Verteilung hat E(X) = Var(X)?

Antwort: Poisson

Erklärung: Bei Poisson(λ) gilt E(X) = Var(X) = λ. Das ist sogar das Erkennungsmerkmal. Bei anderen Verteilungen sind sie meist verschieden.

F3.Zwei unabhängige Würfel, X und Y. Berechne Var(X + Y). (Var(X)=35/12 je Würfel, auf 2 Nachkommastellen)

Antwort: 5.83 (Toleranz ±0.05)

Erklärung: Bei Unabhängigkeit Var addiert: Var(X+Y) = 35/12 + 35/12 = 70/12 ≈ 5,83. Plus E(X+Y) = 7. Klausur-Klassiker für 2 Würfel.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Wenn Cov(X,Y) > 0, dann ist Var(X+Y) > Var(X) + Var(Y).

Antwort: Wahr

Erklärung: Korrekt. Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2·Cov(X,Y). Bei positiver Kovarianz ist die Summe streuender als unabhängige Beiträge, die ZVs bewegen sich gemeinsam in dieselbe Richtung.

Typ: Wahr/Falsch

F5.Sortiere die Berechnung von Var(Y) für Y = 2X − 3 mit X = Würfel:

Richtige Reihenfolge:

  1. E(X) = 3,5 erkennen (fairer Würfel)
  2. Var(X) = 35/12 ≈ 2,917 erkennen
  3. Skalierungsfaktor a² = 4 berechnen
  4. Var(Y) = 4 · 2,917 ≈ 11,67

Erklärung: Standard-Workflow: Verteilung erkennen → E + Var notieren → Skalierung quadrieren → Multiplizieren. Konstanten−3 hat keinen Effekt auf Var.

Typ: Reihenfolge

F6.Welche Aussagen über E und Var sind RICHTIG?

Richtige Antworten: E(aX + b) = a·E(X) + b; E(X+Y) = E(X) + E(Y) immer; Var ist immer ≥ 0; σ(X) = √Var(X)

Erklärung: Korrekt: E linear, E-Summen immer, Var≥0, σ-Definition. Falsch: Var(aX+b) = a²·Var(X), b verschwindet; Var(X+Y) Summen-Regel braucht Unabhängigkeit (sonst Cov-Term).

Typ: Multi-Select

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