Welche Verteilung hat E(X) = Var(X)?

Richtige Antwort: Poisson. Bei Poisson(λ) gilt E(X) = Var(X) = λ. Das ist sogar das Erkennungsmerkmal. Bei anderen Verteilungen sind sie meist verschieden.

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Statistik·11 Min Lesezeit·Fortgeschritten

Erwartungswert und Varianz — Vertiefung

Rechenregeln für E(X) und Var(X): Linearität, Skalierung mit a², Summen mit/ohne Unabhängigkeit, Verschiebungssatz, klassische E/Var je Verteilung.

Voraussetzung:Wahrscheinlichkeit

Lerneinheit 1 von 4

Erwartungswert und Varianz — Rechenregeln

Auffrischer und Vertiefung: die Rechenregeln für E(X) und Var(X), die in jeder Stats-Klausur als Hilfsschritt gebraucht werden. Bei linearen Transformationen, Summen und Approximationen.

Was du in der Klausur können musst:

Linearität von E: $E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$
Varianz-Skalierung: $Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)$
Summen: $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ immer, $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$ nur bei Unabhängigkeit
Standardabweichung: $\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$
Klassische Verteilungen: E und Var auswendig

Diskret: $E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$

Stetig: $E(X) = \int x \cdot f(x) \, dx$

Erwartungswert ist der gewichtete Mittelwert der möglichen Werte. Bei einem fairen Würfel:

$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \ldots + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5$

$Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - E(X)^2$

Verschiebungssatz: die zweite Form ist oft bequemer.

$\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$ — Standardabweichung in derselben Einheit wie X.

$E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$

Beispiel: Y = 2X + 5 mit X = Würfel. $E(Y) = 2 \cdot 3{,}5 + 5 = 12$ .

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ — gilt immer, auch bei abhängigen ZVs.

$Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)$

Beobachtung: das b verschwindet (additive Konstanten ändern Streuung nicht). Das a kommt quadriert rein.

Beispiel: Y = 2X + 5 mit X = Würfel ( $Var(X) = 35/12 \approx 2{,}917$ ). $Var(Y) = 4 \cdot 2{,}917 = 11{,}667$ .

$Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)$ — nur bei Unabhängigkeit.

Bei Abhängigkeit kommt die Kovarianz dazu: $Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y)$ .

Verteilung	E(X)	Var(X)
Bernoulli (p)	p	p(1-p)
Binomial (n, p)	np	np(1-p)
Poisson (λ)	λ	λ
Gleichverteilung (a, b)	(a+b)/2	(b-a)²/12
Normal (μ, σ²)	μ	σ²
Geometrisch (p)	1/p	(1-p)/p²
Exponential (λ)	1/λ	1/λ²

Klausur-Klassiker:

Würfel: $E = 3{,}5$ , $Var = 35/12 \approx 2{,}92$
2 Würfel Summe: $E = 7$ , $Var = 35/6 \approx 5{,}83$ (Var addiert sich!)

$P(|X - \mu| \geq k \cdot \sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Heißt: mehr als $k \cdot \sigma$ vom Mittelwert weg passiert höchstens mit Wahrscheinlichkeit $1/k^2$ .

Konsequenz: mindestens 75 % der Werte liegen in $\mu \pm 2\sigma$ (für JEDE Verteilung), bei Normal sind es sogar 95 %.

X = Würfel-Augenzahl. Y = 2X − 1. Berechne E(Y) und Var(Y).

Lösung:

$E(X) = 3{,}5$ , $Var(X) = 35/12$
$E(Y) = 2 \cdot 3{,}5 - 1 = 6$
$Var(Y) = 2^2 \cdot 35/12 = 4 \cdot 35/12 = 35/3 \approx 11{,}67$
$\sigma(Y) = \sqrt{35/3} \approx 3{,}42$

E ist linear — Konstanten ziehen aus E heraus, Summen werden gespalten.

Var quadriert die Konstante — $Var(aX) = a^2 \cdot Var(X)$ , NICHT $a \cdot Var(X)$ .

+b ändert Var nicht — Verschiebungs-Konstanten haben keinen Effekt auf Streuung.

Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y) nur wenn unabhängig.

Verschiebungssatz $Var(X) = E(X^2) - E(X)^2$ wenn $E(X^2)$ bekannt.

Var(X+Y) bei Abhängigkeit. Klausur-Falle: man addiert die Varianzen, vergisst die Kovarianz. Bei abhängigen X, Y → $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y)$ .

a² statt a vergessen. $Var(2X) = 4 \cdot Var(X)$ , nicht $2 \cdot Var(X)$ . Wer das vergisst, ist 50 % daneben.

E(X)² vs. E(X²). Verschiebungssatz: $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ . Reihenfolge wichtig — erst quadrieren, dann Erwartungswert (oder umgekehrt im zweiten Term).

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Linearität von E: $E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$
Varianz-Skalierung: $Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)$
Summen: $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ immer, $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$ nur bei Unabhängigkeit
Standardabweichung: $\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$
Klassische Verteilungen: E und Var auswendig

Diskret: $E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$

Stetig: $E(X) = \int x \cdot f(x) \, dx$

Erwartungswert ist der gewichtete Mittelwert der möglichen Werte. Bei einem fairen Würfel:

$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \ldots + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5$

$Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - E(X)^2$

Verschiebungssatz: die zweite Form ist oft bequemer.

$\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$ — Standardabweichung in derselben Einheit wie X.

$E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$

Beispiel: Y = 2X + 5 mit X = Würfel. $E(Y) = 2 \cdot 3{,}5 + 5 = 12$ .

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ — gilt immer, auch bei abhängigen ZVs.

$Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)$

Beobachtung: das b verschwindet (additive Konstanten ändern Streuung nicht). Das a kommt quadriert rein.

Beispiel: Y = 2X + 5 mit X = Würfel ( $Var(X) = 35/12 \approx 2{,}917$ ). $Var(Y) = 4 \cdot 2{,}917 = 11{,}667$ .

$Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)$ — nur bei Unabhängigkeit.

Bei Abhängigkeit kommt die Kovarianz dazu: $Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y)$ .

Verteilung	E(X)	Var(X)
Bernoulli (p)	p	p(1-p)
Binomial (n, p)	np	np(1-p)
Poisson (λ)	λ	λ
Gleichverteilung (a, b)	(a+b)/2	(b-a)²/12
Normal (μ, σ²)	μ	σ²
Geometrisch (p)	1/p	(1-p)/p²
Exponential (λ)	1/λ	1/λ²

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2 Würfel Summe: $E = 7$ , $Var = 35/6 \approx 5{,}83$ (Var addiert sich!)

$P(|X - \mu| \geq k \cdot \sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Heißt: mehr als $k \cdot \sigma$ vom Mittelwert weg passiert höchstens mit Wahrscheinlichkeit $1/k^2$ .

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X = Würfel-Augenzahl. Y = 2X − 1. Berechne E(Y) und Var(Y).

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$E(X) = 3{,}5$ , $Var(X) = 35/12$
$E(Y) = 2 \cdot 3{,}5 - 1 = 6$
$Var(Y) = 2^2 \cdot 35/12 = 4 \cdot 35/12 = 35/3 \approx 11{,}67$
$\sigma(Y) = \sqrt{35/3} \approx 3{,}42$

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