Statistik4Lerneinheiten20minStand18.06.2026

Erwartungswert und Varianz, Vertiefung.

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Teil 1·Erklärung

Erklärung

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Erwartungswert und Varianz, Vertiefung, Statistik · UniProMax

Erwartungswert und Varianz, Rechenregeln

Auffrischer und Vertiefung: die Rechenregeln für E(X) und Var(X), die in jeder Stats-Klausur als Hilfsschritt gebraucht werden. Bei linearen Transformationen, Summen und Approximationen.

Was du in der Klausur können musst:

Linearität von $E$ ( $E(aX+b)$ , $E(X+Y)$ )
Varianz-Skalierung $Var(aX+b)$ und Summen-Regel bei Unabhängigkeit
Standardabweichung als Wurzel der Varianz
Klassische Verteilungen E und Var auswendig

Diskret:

$E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$

Stetig:

$E(X) = \int x \cdot f(x) \, dx$

Erwartungswert ist der gewichtete Mittelwert der möglichen Werte. Bei einem fairen Würfel:

$E(X) = 1 \cdot \tfrac{1}{6} + 2 \cdot \tfrac{1}{6} + \ldots + 6 \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{21}{6} = 3{,}5$

Definition (mit Verschiebungssatz):

$Var(X) = E\bigl[(X - E(X))^2\bigr] = E(X^2) - E(X)^2$

Die zweite Form ist in Klausuren meist bequemer.

Standardabweichung in derselben Einheit wie $X$ :

$\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$

$E(aX + b) = a \cdot E(X) + b, \qquad E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Die Summen-Regel gilt immer, auch bei abhängigen Zufallsvariablen.

Beispiel: $Y = 2X + 5$ mit $X$ = Würfel → $E(Y) = 2 \cdot 3{,}5 + 5 = 12$ .

$Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)$

Die additive Konstante $b$ verschwindet (sie verschiebt nur), $a$ kommt quadriert rein.

$Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) \quad \text{(nur bei Unabhängigkeit)}$

Bei Abhängigkeit kommt die Kovarianz dazu:

$Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y)$

Beispiel: $Y = 2X + 5$ mit $Var(X) = 35/12 \approx 2{,}917$ → $Var(Y) = 4 \cdot 2{,}917 \approx 11{,}667$ .

Verteilung	E(X)	Var(X)
Bernoulli (p)	p	p(1-p)
Binomial (n, p)	np	np(1-p)
Poisson (λ)	λ	λ
Gleichverteilung (a, b)	(a+b)/2	(b-a)²/12
Normal (μ, σ²)	μ	σ²
Geometrisch (p)	1/p	(1-p)/p²
Exponential (λ)	1/λ	1/λ²

Klausur-Klassiker:

Würfel: $E = 3{,}5$ , $Var = 35/12 \approx 2{,}92$
2 Würfel Summe: $E = 7$ , $Var = 35/6 \approx 5{,}83$ (Var addiert sich!)

$P\bigl(|X - \mu| \geq k \cdot \sigma\bigr) \leq \frac{1}{k^2}$

Heißt: mehr als $k \cdot \sigma$ vom Mittelwert weg passiert höchstens mit Wahrscheinlichkeit $1/k^2$ , gilt für jede Verteilung.

Konsequenz: mindestens 75 % der Werte liegen in $\mu \pm 2\sigma$ (für JEDE Verteilung), bei Normal sind es sogar 95 %.

X = Würfel-Augenzahl. Y = 2X − 1. Berechne E(Y) und Var(Y).

Lösung:

$E(X) = 3{,}5$ , $Var(X) = 35/12$
$E(Y) = 2 \cdot 3{,}5 - 1 = 6$
$Var(Y) = 2^2 \cdot 35/12 = 4 \cdot 35/12 = 35/3 \approx 11{,}67$
$\sigma(Y) = \sqrt{35/3} \approx 3{,}42$

E ist linear, Konstanten ziehen aus E heraus, Summen werden gespalten.

Var quadriert die Konstante, $Var(aX) = a^2 \cdot Var(X)$ , NICHT $a \cdot Var(X)$ .

+b ändert Var nicht, Verschiebungs-Konstanten haben keinen Effekt auf Streuung.

Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y) nur wenn unabhängig.

Verschiebungssatz $Var(X) = E(X^2) - E(X)^2$ wenn $E(X^2)$ bekannt.

Var(X+Y) bei Abhängigkeit. Klausur-Falle: man addiert die Varianzen, vergisst die Kovarianz. Bei abhängigen X, Y → $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y)$ .

a² statt a vergessen. $Var(2X) = 4 \cdot Var(X)$ , nicht $2 \cdot Var(X)$ . Wer das vergisst, ist 50 % daneben.

E(X)² vs. E(X²). Verschiebungssatz: $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ . Reihenfolge wichtig, erst quadrieren, dann Erwartungswert (oder umgekehrt im zweiten Term).

Stell die Slider a und b ein für die Transformation Y = aX + b. X ist der faire Würfel mit P(X=k) = 1/6 für k=1..6. Live-Berechnung von E und Var beider ZVs zeigt: E(Y) = a·E(X) + b und Var(Y) = a²·Var(X). Die Konstante b verschiebt nur den Mittelwert, ändert aber die Streuung NICHT.

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Klausur-Tipp: mit a = 0 wird Y konstant (=b). E(Y) = b, Var(Y) = 0, perfekter Plausibilitäts-Check, dass die Quadrierung von a richtig in der Var-Formel landet.

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Erwartungswert und Varianz, Rechenregeln

Auffrischer und Vertiefung: die Rechenregeln für E(X) und Var(X), die in jeder Stats-Klausur als Hilfsschritt gebraucht werden. Bei linearen Transformationen, Summen und Approximationen.

Was du in der Klausur können musst:

Linearität von E (E(aX+b), E(X+Y))
Varianz-Skalierung Var(aX+b) und Summen-Regel bei Unabhängigkeit
Standardabweichung als Wurzel der Varianz
Klassische Verteilungen E und Var auswendig

Erwartungswert

Diskret:

E(X) = Σ_i x_i · P(X = x_i)

Stetig:

E(X) = ∫ x · f(x) dx

Erwartungswert ist der gewichtete Mittelwert der möglichen Werte. Bei einem fairen Würfel:

E(X) = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + ... + 6 · 1/6 = 21/6 = 3,5

Varianz und Standardabweichung

Definition (mit Verschiebungssatz):

Var(X) = E[(X - E(X))²] = E(X²) - E(X)²

Die zweite Form ist in Klausuren meist bequemer.

Standardabweichung in derselben Einheit wie X:

σ(X) = √(Var(X))

Linearität von E

E(aX + b) = a · E(X) + b, E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Die Summen-Regel gilt immer, auch bei abhängigen Zufallsvariablen.

Beispiel: Y = 2X + 5 mit X = Würfel → E(Y) = 2 · 3,5 + 5 = 12.

Varianz-Regeln

Var(aX + b) = a² · Var(X)

Die additive Konstante b verschwindet (sie verschiebt nur), a kommt quadriert rein.

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) (nur bei Unabhängigkeit)

Bei Abhängigkeit kommt die Kovarianz dazu:

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 · Cov(X, Y)

Beispiel: Y = 2X + 5 mit Var(X) = 35/12 ≈ 2,917 → Var(Y) = 4 · 2,917 ≈ 11,667.

Wichtige E und Var auswendig

Verteilung	E(X)	Var(X)
Bernoulli (p)	p	p(1-p)
Binomial (n, p)	np	np(1-p)
Poisson (λ)	λ	λ
Gleichverteilung (a, b)	(a+b)/2	(b-a)²/12
Normal (μ, σ²)	μ	σ²
Geometrisch (p)	1/p	(1-p)/p²
Exponential (λ)	1/λ	1/λ²

Klausur-Klassiker:

Würfel: E = 3,5, Var = 35/12 ≈ 2,92
2 Würfel Summe: E = 7, Var = 35/6 ≈ 5,83 (Var addiert sich!)

Tschebyscheff-Ungleichung

P(|X - μ| ≥ k · σ) ≤ 1/k²

Heißt: mehr als k · σ vom Mittelwert weg passiert höchstens mit Wahrscheinlichkeit 1/k², gilt für jede Verteilung.

Konsequenz: mindestens 75 % der Werte liegen in μ ± 2σ (für JEDE Verteilung), bei Normal sind es sogar 95 %.

Beispiel, Klausur-Aufgabe

X = Würfel-Augenzahl. Y = 2X − 1. Berechne E(Y) und Var(Y).

Lösung:

E(X) = 3,5, Var(X) = 35/12
E(Y) = 2 · 3,5 - 1 = 6
Var(Y) = 2² · 35/12 = 4 · 35/12 = 35/3 ≈ 11,67
σ(Y) = √(35/3) ≈ 3,42

Klausur-Faustregeln

E ist linear, Konstanten ziehen aus E heraus, Summen werden gespalten.

Var quadriert die Konstante, Var(aX) = a² · Var(X), NICHT a · Var(X).

+b ändert Var nicht, Verschiebungs-Konstanten haben keinen Effekt auf Streuung.

Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y) nur wenn unabhängig.

Verschiebungssatz Var(X) = E(X²) - E(X)² wenn E(X²) bekannt.

Typischer Stolperstein

Var(X+Y) bei Abhängigkeit. Klausur-Falle: man addiert die Varianzen, vergisst die Kovarianz. Bei abhängigen X, Y → Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y).

a² statt a vergessen. Var(2X) = 4 · Var(X), nicht 2 · Var(X). Wer das vergisst, ist 50 % daneben.

E(X)² vs. E(X²). Verschiebungssatz: Var(X) = E(X²) - [E(X)]². Reihenfolge wichtig, erst quadrieren, dann Erwartungswert (oder umgekehrt im zweiten Term).

Erwartungswert und Varianz, Vertiefung.

Erklärung

Erwartungswert und Varianz, Vertiefung.

Erklärung

Erwartungswert und Varianz, Rechenregeln

Erwartungswert

Varianz und Standardabweichung

Linearität von E

Varianz-Regeln

Wichtige E und Var auswendig

Tschebyscheff-Ungleichung

Beispiel, Klausur-Aufgabe

Klausur-Faustregeln

Typischer Stolperstein

Linearitäts-Lab

Wenn du fertig bist: jetzt üben.

Erwartungswert und Varianz, Rechenregeln

Erwartungswert

Varianz und Standardabweichung

Linearität von E

Varianz-Regeln

Wichtige E und Var auswendig

Tschebyscheff-Ungleichung

Beispiel, Klausur-Aufgabe

Klausur-Faustregeln

Typischer Stolperstein

Interaktiv verstehen

Linearitäts-Lab

Praxis-Übung

E/Var-Praxis

Klausur-Quiz