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  • Einführung
  • Die Idee in einem Satz
  • 4 Standard-Techniken
  • 1. Direkter Beweis
  • 2. Widerspruchsbeweis (reductio ad absurdum)
  • 3. Vollständige Induktion
  • 4. Kontraposition
  • Gegenbeispiel
  • Klausur-Strategie
  • Schreibstil
  • Klausur-Faustregeln
  • Häufige Stolpersteine
ThemenMathematikBeweistechniken
Mathematik·4Lerneinheiten·21min·Stand17.07.2026

Beweistechniken.

Mathematik ist die Sprache des sicheren Wissens, und ein Beweis ist deine Garantie, dass eine Aussage WIRKLICH wahr ist. In der Klausur kommen 3–4 Standard-Techniken vor, die man auswendig kennen sollte: direkter Beweis, Widerspruchsbeweis, vollständige Induktion, Kontraposition. Klausur-Pflicht in 8/16 WInf-Mathe-1-Klausuren.

Beweis: Eine lückenlose Argumentationskette aus bekannten wahren Aussagen, die eine neue Aussage als wahr nachweist.

TechnikWannWie
Direkt"Wenn A, dann B"A annehmen, Schritt für Schritt zu B argumentieren
Widerspruchunsichere BehauptungAnnehmen NICHT B, Widerspruch herleiten
Induktion"für alle n ∈ ℕ"Basis n=1 + Schritt n→n+1
Kontraposition"Wenn A, dann B" wenn schwerBeweise stattdessen "Wenn NICHT B, dann NICHT A"

Beispiel: "Wenn nnn gerade ist, dann ist n2n^2n2 gerade."

Beweis:

  • Sei nnn gerade. Dann gibt es k∈Zk \in \mathbb{Z}k∈Z mit n=2kn = 2kn=2k.
  • n2=(2k)2=4k2=2(2k2)n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)n2=(2k)2=4k2=2(2k2).
  • Da 2k2∈Z2k^2 \in \mathbb{Z}2k2∈Z, ist n2=2⋅mn^2 = 2 \cdot mn2=2⋅m mit m∈Zm \in \mathbb{Z}m∈Z.
  • Also ist n2n^2n2 gerade. ∎

Faustregel: Direkter Beweis ist die natürliche Wahl, wenn die Behauptung in "Wenn A, dann B"-Form vorliegt und die Folgerung sich algebraisch aus A ergibt.

Idee: Nimm das Gegenteil der Behauptung an und führe es zu einem Widerspruch. Dann muss die ursprüngliche Behauptung wahr sein.

Beispiel: "2\sqrt{2}2​ ist irrational."

Beweis (klassisch):

  • Annahme: 2\sqrt{2}2​ ist rational, also 2=p/q\sqrt{2} = p/q2​=p/q mit p,q∈Zp, q \in \mathbb{Z}p,q∈Z, q≠0q \neq 0q=0, ggT(p,q)=1(p,q) = 1(p,q)=1 (vollständig gekürzt).
  • Quadrieren: 2=p2/q2⇒p2=2q22 = p^2/q^2 \Rightarrow p^2 = 2q^22=p2/q2⇒p2=2q2. Also ist p2p^2p2 gerade → ppp gerade.
  • p=2kp = 2kp=2k für ein k∈Zk \in \mathbb{Z}k∈Z. Einsetzen: (2k)2=2q2⇒4k2=2q2⇒q2=2k2(2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2(2k)2=2q2⇒4k2=2q2⇒q2=2k2.
  • Also ist q2q^2q2 gerade → qqq gerade.
  • Aber dann sind ppp UND qqq gerade → ggT(p,q)≥2(p,q) \geq 2(p,q)≥2 → Widerspruch zu ggT = 1!
  • Annahme falsch, also ist 2\sqrt{2}2​ irrational. ∎

Faustregel: Widerspruch nutzen, wenn direkte Argumentation schwer ist. Klassisch für "es existiert keine..."-Beweise.

Wann: Aussage soll für ALLE n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N (oder n≥n0n \geq n_0n≥n0​) gelten.

Schritte:

  1. Induktionsanfang (Basis): Zeige A(1)A(1)A(1) (oder A(n0)A(n_0)A(n0​)).
  2. Induktionsvoraussetzung (IV): Nimm an, A(n)A(n)A(n) gilt für ein beliebiges nnn.
  3. Induktionsschritt: Zeige, dass aus A(n)A(n)A(n) folgt A(n+1)A(n+1)A(n+1).

Beispiel: 1+2+…+n=n(n+1)21 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}1+2+…+n=2n(n+1)​.

Beweis:

  • Basis (n=1n=1n=1): Linke Seite = 1. Rechte Seite = 1⋅22=1\frac{1 \cdot 2}{2} = 121⋅2​=1. ✓
  • IV: Für nnn gelte 1+2+…+n=n(n+1)21 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}1+2+…+n=2n(n+1)​.
  • Schritt (n→n+1n \to n+1n→n+1): 1+2+…+n+(n+1)=IVn(n+1)2+(n+1)=n(n+1)+2(n+1)2=(n+1)(n+2)21 + 2 + \ldots + n + (n+1) \stackrel{IV}{=} \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}1+2+…+n+(n+1)=IV2n(n+1)​+(n+1)=2n(n+1)+2(n+1)​=2(n+1)(n+2)​
  • Das ist die Behauptung für n+1n+1n+1. ∎

Klausur-Klassiker: "Beweise per Induktion: ∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}∑i=1n​i2=6n(n+1)(2n+1)​" oder ähnlich.

Logisch: "Wenn AAA, dann BBB" ist äquivalent zu "Wenn ¬B\neg B¬B, dann ¬A\neg A¬A".

Beispiel: "Wenn n2n^2n2 ungerade, dann ist nnn ungerade."

Direkt schwierig. Kontraposition: "Wenn nnn gerade, dann ist n2n^2n2 gerade" (siehe Direkter Beweis oben). Da das gilt, gilt auch die kontrapositive Aussage.

Faustregel: Wenn das Gegenteil von B leichter zu manipulieren ist (z.B. "gerade" statt "ungerade").

Bei "Für alle..."-Aussagen reicht EIN Gegenbeispiel zur Widerlegung.

Beispiel: "Für alle Primzahlen ppp ist ppp ungerade."

Widerlegung: p=2p = 2p=2 ist Primzahl, aber gerade. ∎

Achtung: Gegenbeispiel WIDERLEGT, beweist NIE.

BehauptungStrategie
"∀n∈N:…\forall n \in \mathbb{N}: \ldots∀n∈N:…"Vollständige Induktion
"Wenn AAA, dann BBB"Direkt; bei Schwierigkeit Kontraposition
"es existiert KEIN..."Widerspruchsbeweis
"2,π,e\sqrt{2}, \pi, e2​,π,e irrational"Widerspruch (Klassiker)
"Aussage ist falsch"Gegenbeispiel

Ein guter Beweis hat:

  • Klare Markierungen der Voraussetzungen (z.B. "Sei nnn gerade")
  • Vollständige Argumentationsschritte (kein "trivial" oder "offensichtlich" für nicht-triviale Schritte)
  • Saubere Notation (Variablen einführen, Quantoren explizit)
  • Abschluss-Symbol □\square□ oder ■\blacksquare■ oder ∎

1. Induktion: 3 Schritte, Basis, IV, Schritt. Immer alle 3 angeben, sonst Punktabzug.

2. Widerspruch: nimm Gegenteil an, führe es ad absurdum. Klassisch für irrationalitäts-Beweise.

3. Direktbeweis: A⇒BA \Rightarrow BA⇒B. Erste Wahl, am häufigsten.

4. Kontraposition: ¬B⇒¬A\neg B \Rightarrow \neg A¬B⇒¬A. Wenn Direktbeweis schwer ist.

5. Gegenbeispiel widerlegt, beweist nicht. Falsche Behauptungen mit EINEM Gegenbeispiel widerlegen.

1. Bei Induktion den Schritt vergessen. Basis allein reicht nicht, der Schritt n→n+1n \to n+1n→n+1 ist das Herzstück. Wer nur die Basis zeigt, hat nichts bewiesen.

2. Induktion mit Beispielen verwechseln. "Es gilt für n=1,2,3,4n=1, 2, 3, 4n=1,2,3,4" ist KEIN Beweis. Du brauchst den allgemeinen Schritt.

3. Widerspruch nicht klar markieren. Im Widerspruchsbeweis MUSS man explizit den Widerspruch benennen, z.B. "Das ist ein Widerspruch zu Annahme X." Sonst ist nicht klar, was du gezeigt hast.

4. Voraussetzungen vergessen. Wenn die Behauptung "Für n∈N,n≥5n \in \mathbb{N}, n \geq 5n∈N,n≥5..." lautet, MUSS du die Basis bei n=5n=5n=5 machen, nicht bei n=1n=1n=1.

5. Symbole und Notation inkonsistent. Wenn du kkk einführst, halte dich daran, wechsele nicht zwischen kkk und mmm für dasselbe Konzept.

Wähle einen Beweis (direkter / Widerspruch / Induktion / Kontraposition) und gehe Schritt für Schritt durch die Argumentation. Du siehst:

  • Den Originaltext der Behauptung
  • Die gewählte Strategie
  • Jeden Beweis-Schritt mit Erklärung
  • Die abschließende ∎
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Klausur-Tipp: Beim Aufschreiben eines Beweises IMMER die Strategie nennen ("Beweis durch vollständige Induktion"). Dann Schritt für Schritt mit klaren Markierungen (Basis, IV, Schritt). Spart Verwirrung und gibt Teilpunkte auch bei kleinen Rechenfehlern.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Mathematik ist die Sprache des sicheren Wissens, und ein Beweis ist deine Garantie, dass eine Aussage WIRKLICH wahr ist. In der Klausur kommen 3–4 Standard-Techniken vor, die man auswendig kennen sollte: direkter Beweis, Widerspruchsbeweis, vollständige Induktion, Kontraposition. Klausur-Pflicht in 8/16 WInf-Mathe-1-Klausuren.

Die Idee in einem Satz

Beweis: Eine lückenlose Argumentationskette aus bekannten wahren Aussagen, die eine neue Aussage als wahr nachweist.

4 Standard-Techniken

TechnikWannWie
Direkt"Wenn A, dann B"A annehmen, Schritt für Schritt zu B argumentieren
Widerspruchunsichere BehauptungAnnehmen NICHT B, Widerspruch herleiten
Induktion"für alle n ∈ ℕ"Basis n=1 + Schritt n→n+1
Kontraposition"Wenn A, dann B" wenn schwerBeweise stattdessen "Wenn NICHT B, dann NICHT A"

1. Direkter Beweis

Beispiel: "Wenn n gerade ist, dann ist n² gerade."

Beweis:

  • Sei n gerade. Dann gibt es k ∈ ℤ mit n = 2k.
  • n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).
  • Da 2k² ∈ ℤ, ist n² = 2 · m mit m ∈ ℤ.
  • Also ist n² gerade. ∎

Faustregel: Direkter Beweis ist die natürliche Wahl, wenn die Behauptung in "Wenn A, dann B"-Form vorliegt und die Folgerung sich algebraisch aus A ergibt.

2. Widerspruchsbeweis (reductio ad absurdum)

Idee: Nimm das Gegenteil der Behauptung an und führe es zu einem Widerspruch. Dann muss die ursprüngliche Behauptung wahr sein.

Beispiel: "√(2) ist irrational."

Beweis (klassisch):

  • Annahme: √(2) ist rational, also √(2) = p/q mit p, q ∈ ℤ, q ≠ 0, ggT(p,q) = 1 (vollständig gekürzt).
  • Quadrieren: 2 = p²/q² ⇒ p² = 2q². Also ist p² gerade → p gerade.
  • p = 2k für ein k ∈ ℤ. Einsetzen: (2k)² = 2q² ⇒ 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k².
  • Also ist q² gerade → q gerade.
  • Aber dann sind p UND q gerade → ggT(p,q) ≥ 2 → Widerspruch zu ggT = 1!
  • Annahme falsch, also ist √(2) irrational. ∎

Faustregel: Widerspruch nutzen, wenn direkte Argumentation schwer ist. Klassisch für "es existiert keine..."-Beweise.

3. Vollständige Induktion

Wann: Aussage soll für ALLE n ∈ ℕ (oder n ≥ n₀) gelten.

Schritte:

  1. Induktionsanfang (Basis): Zeige A(1) (oder A(n₀)).
  2. Induktionsvoraussetzung (IV): Nimm an, A(n) gilt für ein beliebiges n.
  3. Induktionsschritt: Zeige, dass aus A(n) folgt A(n+1).

Beispiel: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.

Beweis:

  • Basis (n=1): Linke Seite = 1. Rechte Seite = (1 · 2)/2 = 1. ✓
  • IV: Für n gelte 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.
  • Schritt (n → n+1): 1 + 2 + ... + n + (n+1) stackrelIV= n(n+1)/2 + (n+1) = (n(n+1) + 2(n+1))/2 = ((n+1)(n+2))/2
  • Das ist die Behauptung für n+1. ∎

Klausur-Klassiker: "Beweise per Induktion: Σ_(i=1)ⁿ i² = (n(n+1)(2n+1))/6" oder ähnlich.

4. Kontraposition

Logisch: "Wenn A, dann B" ist äquivalent zu "Wenn neg B, dann neg A".

Beispiel: "Wenn n² ungerade, dann ist n ungerade."

Direkt schwierig. Kontraposition: "Wenn n gerade, dann ist n² gerade" (siehe Direkter Beweis oben). Da das gilt, gilt auch die kontrapositive Aussage.

Faustregel: Wenn das Gegenteil von B leichter zu manipulieren ist (z.B. "gerade" statt "ungerade").

Gegenbeispiel

Bei "Für alle..."-Aussagen reicht EIN Gegenbeispiel zur Widerlegung.

Beispiel: "Für alle Primzahlen p ist p ungerade."

Widerlegung: p = 2 ist Primzahl, aber gerade. ∎

Achtung: Gegenbeispiel WIDERLEGT, beweist NIE.

Klausur-Strategie

BehauptungStrategie
"∀ n ∈ ℕ: ..."Vollständige Induktion
"Wenn A, dann B"Direkt; bei Schwierigkeit Kontraposition
"es existiert KEIN..."Widerspruchsbeweis
"√(2), π, e irrational"Widerspruch (Klassiker)
"Aussage ist falsch"Gegenbeispiel

Schreibstil

Ein guter Beweis hat:

  • Klare Markierungen der Voraussetzungen (z.B. "Sei n gerade")
  • Vollständige Argumentationsschritte (kein "trivial" oder "offensichtlich" für nicht-triviale Schritte)
  • Saubere Notation (Variablen einführen, Quantoren explizit)
  • Abschluss-Symbol square oder blacksquare oder ∎

Klausur-Faustregeln

1. Induktion: 3 Schritte, Basis, IV, Schritt. Immer alle 3 angeben, sonst Punktabzug.

2. Widerspruch: nimm Gegenteil an, führe es ad absurdum. Klassisch für irrationalitäts-Beweise.

3. Direktbeweis: A ⇒ B. Erste Wahl, am häufigsten.

4. Kontraposition: neg B ⇒ neg A. Wenn Direktbeweis schwer ist.

5. Gegenbeispiel widerlegt, beweist nicht. Falsche Behauptungen mit EINEM Gegenbeispiel widerlegen.

Häufige Stolpersteine

1. Bei Induktion den Schritt vergessen. Basis allein reicht nicht, der Schritt n → n+1 ist das Herzstück. Wer nur die Basis zeigt, hat nichts bewiesen.

2. Induktion mit Beispielen verwechseln. "Es gilt für n=1, 2, 3, 4" ist KEIN Beweis. Du brauchst den allgemeinen Schritt.

3. Widerspruch nicht klar markieren. Im Widerspruchsbeweis MUSS man explizit den Widerspruch benennen, z.B. "Das ist ein Widerspruch zu Annahme X." Sonst ist nicht klar, was du gezeigt hast.

4. Voraussetzungen vergessen. Wenn die Behauptung "Für n ∈ ℕ, n ≥ 5..." lautet, MUSS du die Basis bei n=5 machen, nicht bei n=1.

5. Symbole und Notation inkonsistent. Wenn du k einführst, halte dich daran, wechsele nicht zwischen k und m für dasselbe Konzept.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

Beweis-Stepper

Wähle einen Beweis (direkter / Widerspruch / Induktion / Kontraposition) und gehe Schritt für Schritt durch die Argumentation. Du siehst:

  • Den Originaltext der Behauptung
  • Die gewählte Strategie
  • Jeden Beweis-Schritt mit Erklärung
  • Die abschließende ∎

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Klausur-Tipp: Beim Aufschreiben eines Beweises IMMER die Strategie nennen ("Beweis durch vollständige Induktion"). Dann Schritt für Schritt mit klaren Markierungen (Basis, IV, Schritt). Spart Verwirrung und gibt Teilpunkte auch bei kleinen Rechenfehlern.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Beweistechniken, Praxis-Übung

6 Aufgaben zur Wahl der richtigen Technik und Beweis-Schritten.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Behauptung: 'Für alle n ∈ ℕ gilt 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n².' Welche Beweistechnik ist Standard?

Antwort: Vollständige Induktion

Erklärung: Bei 'für alle n ∈ ℕ'-Aussagen ist vollständige Induktion DER Standardansatz. Basis n=1, Induktionsvoraussetzung, Schritt n→n+1.

F2.Behauptung: '√(2) ist irrational.' Welche Beweistechnik ist Klassiker?

Antwort: Widerspruchsbeweis

Erklärung: Widerspruchsbeweis: nimm an √2 = p/q (rational, gekürzt), folgere dass beide p und q gerade sein müssen → Widerspruch zu 'gekürzt'. Klassische Beweis-Aufgabe.

F3.Ein einziges Gegenbeispiel reicht aus, um eine 'Für alle...'-Aussage zu WIDERLEGEN.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. 'Für alle' heißt es muss IMMER stimmen. Ein Gegenbeispiel zeigt, dass es NICHT immer stimmt → widerlegt. Aber: Gegenbeispiel beweist NIE eine Behauptung, sondern widerlegt nur.

Typ: Wahr/Falsch

F4.Bei vollständiger Induktion: was sind die 3 Schritte?

Antwort: Basis, Induktionsvoraussetzung, Induktionsschritt

Erklärung: Drei Pflicht-Schritte: (1) Basis (z.B. n=1 zeigen), (2) Induktionsvoraussetzung (annehmen, gilt für n), (3) Schritt (zeigen, gilt für n+1). Ohne einen davon: nicht voll-gültig.

F5.Welche Aussagen über Beweistechniken sind RICHTIG?

Richtige Antworten: Kontraposition: 'A→B' wird zu 'NICHT B → NICHT A'; Widerspruchsbeweis nimmt das Gegenteil der Behauptung an; Vollständige Induktion funktioniert nur für ℕ; Induktion braucht Basis, IV und Schritt; Gegenbeispiele widerlegen

Erklärung: Richtig: Kontraposition-Logik, Widerspruchs-Annahme, ℕ-Beschränkung (es gibt auch starke + transfinite Induktion, aber Standard ist ℕ), 3 Schritte, Gegenbeispiel widerlegt. Falsch: ein Beispiel beweist NICHTS bei 'für alle', Induktion oder direkter Beweis nötig.

Typ: Multi-Select

F6.Ordne Behauptungs-Typ zur passenden Beweistechnik:

Zuordnungen:

  • Für alle $n \in \mathbb{N}$: ... → Vollständige Induktion
  • Wenn A, dann B (mit klaren Schritten) → Direkter Beweis
  • Es existiert kein ... → Widerspruchsbeweis
  • Behauptung ist falsch → Gegenbeispiel

Erklärung: Standard-Zuordnung. Für alle → Induktion. Implikation → direkt. Negative Existenz → Widerspruch. Widerlegung → Gegenbeispiel.

Typ: Zuordnung

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Vollständige Induktion zeigt 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2. Was ist der Induktionsschritt?

Antwort: `1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2` annehmen, `((n+1)(n+2))/2` zeigen

Erklärung: Induktionsschritt = aus IV (Formel gilt für n) folgern, dass sie auch für n+1 gilt. Bei dieser Aufgabe: aus `n(n+1)/2` + (n+1) = `((n+1)(n+2))/2` ableiten.

F2.Die Kontraposition von 'Wenn n² gerade, dann n gerade' ist 'Wenn n ungerade, dann n² ungerade'.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Kontraposition: 'A → B' wird zu '¬B → ¬A'. Hier A = '`n²` gerade', B = '`n` gerade'. ¬B = '`n` ungerade', ¬A = '`n²` ungerade'. Logisch äquivalent.

Typ: Wahr/Falsch

F3.Du sollst zeigen: 'Es gibt keine größte Primzahl.' Welche Strategie?

Antwort: Widerspruchsbeweis (Euklids Methode)

Erklärung: Widerspruchsbeweis (Euklids klassischer): nimm an, `p₁, p₂, ..., p_n` sind ALLE Primzahlen. Bilde `N = p₁ · p₂ · ... · p_n + 1`. Diese Zahl ist durch keine der `p_i` teilbar (immer Rest 1) → entweder N selbst Primzahl oder enthält eine neue Primzahl. Widerspruch.

F4.Behauptung: 'Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 ist n² ≥ n.' Welche Strategie ist am EINFACHSTEN?

Antwort: Direkter Beweis durch Fallunterscheidung

Erklärung: Direkter Beweis ist hier am einfachsten: für `n ≥ 1` ist `n² - n = n(n-1) ≥ 0` (Produkt von zwei nicht-negativen Zahlen), also `n² ≥ n`. Induktion würde auch funktionieren, ist aber overkill.

F5.Vollständige Induktion hat 3 Schritte: {{1}} (Basis), {{2}} (IV-Annahme) und {{3}} (Schritt n→n+1). Bei Widerspruchsbeweis nimmt man das {{4}} der Behauptung an und führt es ad {{5}}.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: Induktionsanfang / Anfang / Basis
  • {{2}}: Induktionsvoraussetzung / Voraussetzung
  • {{3}}: Induktionsschritt / Schritt
  • {{4}}: Gegenteil / Negation
  • {{5}}: absurdum / Absurdum

Erklärung: Standard-Vokabular. Induktion: Anfang/Basis + Voraussetzung + Schritt. Widerspruchsbeweis: Gegenteil annehmen, ad absurdum führen.

Typ: Lückentext

F6.Sortiere die Schritte eines Induktionsbeweises für Σ_(i=1)ⁿ i = n(n+1)/2.

Richtige Reihenfolge:

  1. Behauptung formulieren
  2. Basis: Zeige Aussage für n=1
  3. Induktionsvoraussetzung: Annehmen, gilt für n
  4. Schritt: aus IV folgern, gilt auch für n+1
  5. Algebra-Rechnung: $\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$
  6. Abschluss: ∎ oder Q.E.D.

Erklärung: Standard-Klausur-Workflow für Induktionsbeweis. Immer alle Teile angeben für volle Punkte.

Typ: Reihenfolge

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