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Teil 1·Erklärung
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Mathematik ist die Sprache des sicheren Wissens — und ein Beweis ist deine Garantie, dass eine Aussage WIRKLICH wahr ist. In der Klausur kommen 3–4 Standard-Techniken vor, die man auswendig kennen sollte: direkter Beweis, Widerspruchsbeweis, vollständige Induktion, Kontraposition. Klausur-Pflicht in 8/16 WInf-Mathe-1-Klausuren.
Klausur-Tipp: Beim Aufschreiben eines Beweises IMMER die Strategie nennen ("Beweis durch vollständige Induktion"). Dann Schritt für Schritt mit klaren Markierungen (Basis, IV, Schritt). Spart Verwirrung und gibt Teilpunkte auch bei kleinen Rechenfehlern.
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Mathematik ist die Sprache des sicheren Wissens — und ein Beweis ist deine Garantie, dass eine Aussage WIRKLICH wahr ist. In der Klausur kommen 3–4 Standard-Techniken vor, die man auswendig kennen sollte: direkter Beweis, Widerspruchsbeweis, vollständige Induktion, Kontraposition. Klausur-Pflicht in 8/16 WInf-Mathe-1-Klausuren.
Beweis: Eine lückenlose Argumentationskette aus bekannten wahren Aussagen, die eine neue Aussage als wahr nachweist.
| Technik | Wann | Wie |
|---|---|---|
| Direkt | "Wenn A, dann B" | A annehmen, Schritt für Schritt zu B argumentieren |
| Widerspruch | unsichere Behauptung | Annehmen NICHT B, Widerspruch herleiten |
| Induktion | "für alle n ∈ ℕ" | Basis n=1 + Schritt n→n+1 |
| Kontraposition | "Wenn A, dann B" wenn schwer | Beweise stattdessen "Wenn NICHT B, dann NICHT A" |
Beispiel: "Wenn n gerade ist, dann ist n² gerade."
Beweis:
n gerade. Dann gibt es k ∈ ℤ mit n = 2k.n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).2k² ∈ ℤ, ist n² = 2 · m mit m ∈ ℤ.n² gerade. ∎Faustregel: Direkter Beweis ist die natürliche Wahl, wenn die Behauptung in "Wenn A, dann B"-Form vorliegt und die Folgerung sich algebraisch aus A ergibt.
Idee: Nimm das Gegenteil der Behauptung an und führe es zu einem Widerspruch. Dann muss die ursprüngliche Behauptung wahr sein.
Beispiel: "√(2) ist irrational."
Beweis (klassisch):
√(2) ist rational, also √(2) = p/q mit p, q ∈ ℤ, q ≠ 0, ggT(p,q) = 1 (vollständig gekürzt).2 = p²/q² ⇒ p² = 2q². Also ist p² gerade → p gerade.p = 2k für ein k ∈ ℤ. Einsetzen: (2k)² = 2q² ⇒ 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k².q² gerade → q gerade.p UND q gerade → ggT(p,q) ≥ 2 → Widerspruch zu ggT = 1!√(2) irrational. ∎Faustregel: Widerspruch nutzen, wenn direkte Argumentation schwer ist. Klassisch für "es existiert keine..."-Beweise.
Wann: Aussage soll für ALLE n ∈ ℕ (oder n ≥ n₀) gelten.
Schritte:
A(1) (oder A(n₀)).A(n) gilt für ein beliebiges n.A(n) folgt A(n+1).Beispiel: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.
Beweis:
n=1): Linke Seite = 1. Rechte Seite = (1 · 2)/2 = 1. ✓n gelte 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.n → n+1):
1 + 2 + ... + n + (n+1) stackrelIV= n(n+1)/2 + (n+1) = (n(n+1) + 2(n+1))/2 = ((n+1)(n+2))/2n+1. ∎Klausur-Klassiker: "Beweise per Induktion: Σ_(i=1)ⁿ i² = (n(n+1)(2n+1))/6" oder ähnlich.
Logisch: "Wenn A, dann B" ist äquivalent zu "Wenn neg B, dann neg A".
Beispiel: "Wenn n² ungerade, dann ist n ungerade."
Direkt schwierig. Kontraposition: "Wenn n gerade, dann ist n² gerade" (siehe Direkter Beweis oben). Da das gilt, gilt auch die kontrapositive Aussage.
Faustregel: Wenn das Gegenteil von B leichter zu manipulieren ist (z.B. "gerade" statt "ungerade").
Bei "Für alle..."-Aussagen reicht EIN Gegenbeispiel zur Widerlegung.
Beispiel: "Für alle Primzahlen p ist p ungerade."
Widerlegung: p = 2 ist Primzahl, aber gerade. ∎
Achtung: Gegenbeispiel WIDERLEGT, beweist NIE.
| Behauptung | Strategie |
|---|---|
"∀ n ∈ ℕ: ..." | Vollständige Induktion |
"Wenn A, dann B" | Direkt; bei Schwierigkeit Kontraposition |
| "es existiert KEIN..." | Widerspruchsbeweis |
"√(2), π, e irrational" | Widerspruch (Klassiker) |
| "Aussage ist falsch" | Gegenbeispiel |
Ein guter Beweis hat:
n gerade")square oder blacksquare oder ∎1. Induktion: 3 Schritte — Basis, IV, Schritt. Immer alle 3 angeben, sonst Punktabzug.
2. Widerspruch: nimm Gegenteil an, führe es ad absurdum. Klassisch für irrationalitäts-Beweise.
3. Direktbeweis: A ⇒ B. Erste Wahl, am häufigsten.
4. Kontraposition: neg B ⇒ neg A. Wenn Direktbeweis schwer ist.
5. Gegenbeispiel widerlegt, beweist nicht. Falsche Behauptungen mit EINEM Gegenbeispiel widerlegen.
1. Bei Induktion den Schritt vergessen. Basis allein reicht nicht — der Schritt n → n+1 ist das Herzstück. Wer nur die Basis zeigt, hat nichts bewiesen.
2. Induktion mit Beispielen verwechseln. "Es gilt für n=1, 2, 3, 4" ist KEIN Beweis. Du brauchst den allgemeinen Schritt.
3. Widerspruch nicht klar markieren. Im Widerspruchsbeweis MUSS man explizit den Widerspruch benennen — z.B. "Das ist ein Widerspruch zu Annahme X." Sonst ist nicht klar, was du gezeigt hast.
4. Voraussetzungen vergessen. Wenn die Behauptung "Für n ∈ ℕ, n ≥ 5..." lautet, MUSS du die Basis bei n=5 machen, nicht bei n=1.
5. Symbole und Notation inkonsistent. Wenn du k einführst, halte dich daran — wechsele nicht zwischen k und m für dasselbe Konzept.
Wähle einen Beweis (direkter / Widerspruch / Induktion / Kontraposition) und gehe Schritt für Schritt durch die Argumentation. Du siehst:
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Klausur-Tipp: Beim Aufschreiben eines Beweises IMMER die Strategie nennen ("Beweis durch vollständige Induktion"). Dann Schritt für Schritt mit klaren Markierungen (Basis, IV, Schritt). Spart Verwirrung und gibt Teilpunkte auch bei kleinen Rechenfehlern.
6 Aufgaben zur Wahl der richtigen Technik und Beweis-Schritten.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: Vollständige Induktion
Erklärung: Bei 'für alle n ∈ ℕ'-Aussagen ist vollständige Induktion DER Standardansatz. Basis n=1, Induktionsvoraussetzung, Schritt n→n+1.
Antwort: Widerspruchsbeweis
Erklärung: Widerspruchsbeweis: nimm an √2 = p/q (rational, gekürzt), folgere dass beide p und q gerade sein müssen → Widerspruch zu 'gekürzt'. Klassische Beweis-Aufgabe.
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. 'Für alle' heißt es muss IMMER stimmen. Ein Gegenbeispiel zeigt, dass es NICHT immer stimmt → widerlegt. Aber: Gegenbeispiel beweist NIE eine Behauptung, sondern widerlegt nur.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: Basis, Induktionsvoraussetzung, Induktionsschritt
Erklärung: Drei Pflicht-Schritte: (1) Basis (z.B. n=1 zeigen), (2) Induktionsvoraussetzung (annehmen, gilt für n), (3) Schritt (zeigen, gilt für n+1). Ohne einen davon: nicht voll-gültig.
Richtige Antworten: Kontraposition: 'A→B' wird zu 'NICHT B → NICHT A'; Widerspruchsbeweis nimmt das Gegenteil der Behauptung an; Vollständige Induktion funktioniert nur für ℕ; Induktion braucht Basis, IV und Schritt; Gegenbeispiele widerlegen
Erklärung: Richtig: Kontraposition-Logik, Widerspruchs-Annahme, ℕ-Beschränkung (es gibt auch starke + transfinite Induktion, aber Standard ist ℕ), 3 Schritte, Gegenbeispiel widerlegt. Falsch: ein Beispiel beweist NICHTS bei 'für alle' — Induktion oder direkter Beweis nötig.
Typ: Multi-Select
Zuordnungen:
Erklärung: Standard-Zuordnung. Für alle → Induktion. Implikation → direkt. Negative Existenz → Widerspruch. Widerlegung → Gegenbeispiel.
Typ: Zuordnung
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: `1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2` annehmen, `((n+1)(n+2))/2` zeigen
Erklärung: Induktionsschritt = aus IV (Formel gilt für n) folgern, dass sie auch für n+1 gilt. Bei dieser Aufgabe: aus `n(n+1)/2` + (n+1) = `((n+1)(n+2))/2` ableiten.
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. Kontraposition: 'A → B' wird zu '¬B → ¬A'. Hier A = '`n²` gerade', B = '`n` gerade'. ¬B = '`n` ungerade', ¬A = '`n²` ungerade'. Logisch äquivalent.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: Widerspruchsbeweis (Euklids Methode)
Erklärung: Widerspruchsbeweis (Euklids klassischer): nimm an, `p₁, p₂, ..., p_n` sind ALLE Primzahlen. Bilde `N = p₁ · p₂ · ... · p_n + 1`. Diese Zahl ist durch keine der `p_i` teilbar (immer Rest 1) → entweder N selbst Primzahl oder enthält eine neue Primzahl. Widerspruch.
Antwort: Direkter Beweis durch Fallunterscheidung
Erklärung: Direkter Beweis ist hier am einfachsten: für `n ≥ 1` ist `n² - n = n(n-1) ≥ 0` (Produkt von zwei nicht-negativen Zahlen), also `n² ≥ n`. Induktion würde auch funktionieren, ist aber overkill.
Lösungen pro Lücke:
Erklärung: Standard-Vokabular. Induktion: Anfang/Basis + Voraussetzung + Schritt. Widerspruchsbeweis: Gegenteil annehmen, ad absurdum führen.
Typ: Lückentext
Richtige Reihenfolge:
Erklärung: Standard-Klausur-Workflow für Induktionsbeweis. Immer alle Teile angeben für volle Punkte.
Typ: Reihenfolge