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  • Einführung
  • Die Idee in einem Satz
  • Dichte und Verteilungsfunktion
  • Stetige Gleichverteilung U(a,b)
  • Exponentialverteilung \text{Exp}(\lambda)
  • Probier es aus
  • Klausur-Faustregeln
  • Häufige Stolpersteine
ThemenStatistikExponentialverteilung & Gleichverteilung (Statistik)
Statistik·4Lerneinheiten·24min·Stand18.07.2026

Exponentialverteilung & Gleichverteilung (Statistik).

Stetige Verteilungen: Exponential- und Gleichverteilung

Wie lange wartest du auf den nächsten Bus? Wie lange hält eine Glühlampe? Solche Größen sind nicht abzählbar wie ein Würfelwurf, sondern stetig: sie können jeden Wert in einem Intervall annehmen. Statt einer Wahrscheinlichkeits-Tabelle beschreibt sie eine Dichtefunktion, und die Wahrscheinlichkeit wird zur Fläche darunter.

Was du in der Klausur können musst:

  • bei stetigen Verteilungen ist Wahrscheinlichkeit eine Fläche: P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dxP(a≤X≤b)=∫ab​f(x)dx
  • die stetige Gleichverteilung U(a,b)U(a,b)U(a,b) mit ihren Kennzahlen
  • die Exponentialverteilung Exp(λ)\text{Exp}(\lambda)Exp(λ) und ihre Gedächtnislosigkeit
  • Dichte f(x)f(x)f(x) und Verteilungsfunktion F(x)=P(X≤x)F(x) = P(X \leq x)F(x)=P(X≤x) unterscheiden

Bei einer stetigen Zufallsvariable ist die Dichte f(x)f(x)f(x) selbst keine Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeit entsteht erst als Fläche unter der Dichte: P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dxP(a≤X≤b)=∫ab​f(x)dx. Ein einzelner Punkt hat Wahrscheinlichkeit null.

Für jede stetige Verteilung gilt:

  • f(x)≥0f(x) \geq 0f(x)≥0 und ∫−∞∞f(x) dx=1\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1∫−∞∞​f(x)dx=1 (Gesamtfläche eins)
  • P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dxP(a≤X≤b)=∫ab​f(x)dx (Fläche zwischen aaa und bbb)
  • P(X=x)=0P(X = x) = 0P(X=x)=0 für jeden einzelnen Punkt, daher ist P(a≤X≤b)=P(a<X<b)P(a \leq X \leq b) = P(a < X < b)P(a≤X≤b)=P(a<X<b)
  • die Verteilungsfunktion (CDF) ist F(x)=P(X≤x)=∫−∞xf(t) dtF(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dtF(x)=P(X≤x)=∫−∞x​f(t)dt, und P(X>x)=1−F(x)P(X > x) = 1 - F(x)P(X>x)=1−F(x)

Merke: f(x)f(x)f(x) ist eine Dichte, keine Wahrscheinlichkeit. Sie darf größer als 1 sein. Erst die Fläche ist eine Wahrscheinlichkeit und liegt immer zwischen 0 und 1.

Jeder Wert im Intervall [a,b][a,b][a,b] ist gleich wahrscheinlich, die Dichte ist ein Rechteck:

f(x)={1b−aa≤x≤b0sonstf(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}f(x)=⎩⎨⎧​b−a1​0​a≤x≤bsonst​

KennzahlFormel
VerteilungsfunktionF(x)=x−ab−aF(x) = \dfrac{x-a}{b-a}F(x)=b−ax−a​ für a≤x≤ba \leq x \leq ba≤x≤b
ErwartungswertE[X]=a+b2E[X] = \dfrac{a+b}{2}E[X]=2a+b​
VarianzVar(X)=(b−a)212\text{Var}(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}Var(X)=12(b−a)2​

Beispiel: Ein Bus kommt zu einer zufälligen Minute im Intervall [0,10][0, 10][0,10]. Die Wartezeit ist U(0,10)U(0,10)U(0,10): im Mittel E[X]=5E[X] = 5E[X]=5 Minuten, und P(X≤3)=310=30 %P(X \leq 3) = \frac{3}{10} = 30\,\%P(X≤3)=103​=30%.

Modelliert Wartezeiten und Lebensdauern ohne Alterung, die Zeit bis zum nächsten Ereignis eines Poisson-Prozesses mit Rate λ\lambdaλ:

f(x)=λe−λx(x≥0,  λ>0)f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \geq 0,\; \lambda > 0)f(x)=λe−λx(x≥0,λ>0)

KennzahlFormel
VerteilungsfunktionF(x)=1−e−λxF(x) = 1 - e^{-\lambda x}F(x)=1−e−λx
ErwartungswertE[X]=1λE[X] = \dfrac{1}{\lambda}E[X]=λ1​
VarianzVar(X)=1λ2\text{Var}(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}Var(X)=λ21​

Gedächtnislosigkeit: P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)P(X>s+t∣X>s)=P(X>t). Ein Bauteil, das schon 1000 Stunden lief, ist so gut wie neu. Die Exponentialverteilung ist die einzige stetige Verteilung mit dieser Eigenschaft.

Poisson-Zusammenhang: Treten Ereignisse mit Rate λ\lambdaλ poissonverteilt auf, so ist die Anzahl in der Zeit ttt Poisson(λt)\text{Poisson}(\lambda t)Poisson(λt), die Zwischenzeit zwischen zwei Ereignissen aber Exp(λ)\text{Exp}(\lambda)Exp(λ).

Schalte unten zwischen Exponential- und Gleichverteilung um. Verschiebe λ\lambdaλ bzw. aaa und bbb und ziehe den Schnittpunkt xxx: die schraffierte Fläche ist P(X≤x)P(X \leq x)P(X≤x), und Erwartungswert und Varianz aktualisieren sich live.

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1. Wahrscheinlichkeit ist Fläche. P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dxP(a≤X≤b)=∫ab​f(x)dx. Die Dichte selbst ist keine Wahrscheinlichkeit.

2. Einzelpunkt hat Wahrscheinlichkeit null. P(X=x)=0P(X = x) = 0P(X=x)=0, daher sind <<< und ≤\leq≤ bei stetigen Verteilungen austauschbar.

3. Gleichverteilung U(a,b)U(a,b)U(a,b): f(x)=1b−af(x) = \frac{1}{b-a}f(x)=b−a1​, E[X]=a+b2E[X] = \frac{a+b}{2}E[X]=2a+b​, Var(X)=(b−a)212\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}Var(X)=12(b−a)2​.

4. Exponential Exp(λ)\text{Exp}(\lambda)Exp(λ): f(x)=λe−λxf(x) = \lambda e^{-\lambda x}f(x)=λe−λx, F(x)=1−e−λxF(x) = 1 - e^{-\lambda x}F(x)=1−e−λx, E[X]=1λE[X] = \frac{1}{\lambda}E[X]=λ1​, Var(X)=1λ2\text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}Var(X)=λ21​.

5. Exponential ist gedächtnislos: P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)P(X>s+t∣X>s)=P(X>t).

6. Über die CDF rechnen: P(X≤x)=F(x)P(X \leq x) = F(x)P(X≤x)=F(x), P(X>x)=1−F(x)P(X > x) = 1 - F(x)P(X>x)=1−F(x), P(a≤X≤b)=F(b)−F(a)P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)P(a≤X≤b)=F(b)−F(a).

1. λ\lambdaλ und E[X]E[X]E[X] verwechseln. λ\lambdaλ ist die Rate (Ereignisse pro Zeit), der Mittelwert ist der Kehrwert E[X]=1/λE[X] = 1/\lambdaE[X]=1/λ. Bei λ=0,5\lambda = 0{,}5λ=0,5 pro Minute beträgt die mittlere Wartezeit 222 Minuten.

2. Exponential auch für negative Werte. Exp(λ)\text{Exp}(\lambda)Exp(λ) ist nur für x≥0x \geq 0x≥0 definiert, Wartezeiten und Lebensdauern sind nie negativ.

3. Dichte für Wahrscheinlichkeit halten. f(x)f(x)f(x) kann größer als 1 sein (z.B. U(0;0,5)U(0; 0{,}5)U(0;0,5) hat f=2f = 2f=2). Nur die Fläche ist eine Wahrscheinlichkeit ≤1\leq 1≤1.

4. P(X=x)=0P(X = x) = 0P(X=x)=0 missverstehen. Ein exakter Einzelwert hat Wahrscheinlichkeit null, ein Intervall dagegen nicht. Das ist der Bruch zur diskreten Welt.

5. Varianz der Gleichverteilung falsch. Es ist (b−a)212\frac{(b-a)^2}{12}12(b−a)2​, nicht (b−a)12\frac{(b-a)}{12}12(b−a)​ oder (b−a)24\frac{(b-a)^2}{4}4(b−a)2​.

6. Gedächtnislosigkeit verallgemeinern. Nur die Exponentialverteilung ist gedächtnislos, nicht die Normal- oder Gleichverteilung.

Stelle die Verteilung und ihre Parameter ein und beobachte, wie sich Form, Fläche und Kennzahlen ändern.

  • Exponential: Erhöhe λ\lambdaλ. Die Dichte startet höher bei x=0x=0x=0 und fällt steiler, E[X]=1/λE[X] = 1/\lambdaE[X]=1/λ wandert nach links.
  • Gleichverteilung: Verbreitere [a,b][a,b][a,b]. Das Rechteck wird flacher (Gesamtfläche bleibt 1), die Varianz wächst quadratisch mit der Breite.
  • Ziehe xxx und lies P(X≤x)P(X \leq x)P(X≤x) als schraffierte Fläche ab.
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Klausur-Tipp: Rechne fast immer über die Verteilungsfunktion. P(X>x)=1−F(x)P(X > x) = 1 - F(x)P(X>x)=1−F(x) und P(a≤X≤b)=F(b)−F(a)P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)P(a≤X≤b)=F(b)−F(a). Bei der Exponentialverteilung ist P(X>x)=e−λxP(X > x) = e^{-\lambda x}P(X>x)=e−λx besonders schnell zu merken.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Stetige Verteilungen: Exponential- und Gleichverteilung

Wie lange wartest du auf den nächsten Bus? Wie lange hält eine Glühlampe? Solche Größen sind nicht abzählbar wie ein Würfelwurf, sondern stetig: sie können jeden Wert in einem Intervall annehmen. Statt einer Wahrscheinlichkeits-Tabelle beschreibt sie eine Dichtefunktion, und die Wahrscheinlichkeit wird zur Fläche darunter.

Was du in der Klausur können musst:

  • bei stetigen Verteilungen ist Wahrscheinlichkeit eine Fläche: P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx
  • die stetige Gleichverteilung U(a,b) mit ihren Kennzahlen
  • die Exponentialverteilung Exp(λ) und ihre Gedächtnislosigkeit
  • Dichte f(x) und Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) unterscheiden

Die Idee in einem Satz

Bei einer stetigen Zufallsvariable ist die Dichte f(x) selbst keine Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeit entsteht erst als Fläche unter der Dichte: P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Ein einzelner Punkt hat Wahrscheinlichkeit null.

Dichte und Verteilungsfunktion

Für jede stetige Verteilung gilt:

  • f(x) ≥ 0 und ∫_(-∞)^(∞) f(x) dx = 1 (Gesamtfläche eins)
  • P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx (Fläche zwischen a und b)
  • P(X = x) = 0 für jeden einzelnen Punkt, daher ist P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b)
  • die Verteilungsfunktion (CDF) ist F(x) = P(X ≤ x) = ∫_(-∞)^(x) f(t) dt, und P(X > x) = 1 - F(x)

Merke: f(x) ist eine Dichte, keine Wahrscheinlichkeit. Sie darf größer als 1 sein. Erst die Fläche ist eine Wahrscheinlichkeit und liegt immer zwischen 0 und 1.

Stetige Gleichverteilung U(a,b)

Jeder Wert im Intervall [a,b] ist gleich wahrscheinlich, die Dichte ist ein Rechteck:

f(x) = 1/(b-a) wenn a ≤ x ≤ b; 0 wenn sonst

KennzahlFormel
VerteilungsfunktionF(x) = (x-a)/(b-a) für a ≤ x ≤ b
ErwartungswertE[X] = (a+b)/2
VarianzVar(X) = ((b-a)²)/12

Beispiel: Ein Bus kommt zu einer zufälligen Minute im Intervall [0, 10]. Die Wartezeit ist U(0,10): im Mittel E[X] = 5 Minuten, und P(X ≤ 3) = 3/10 = 30 \%.

Exponentialverteilung Exp(λ)

Modelliert Wartezeiten und Lebensdauern ohne Alterung, die Zeit bis zum nächsten Ereignis eines Poisson-Prozesses mit Rate λ:

f(x) = λ e^(-λ x) (x ≥ 0, λ > 0)

KennzahlFormel
VerteilungsfunktionF(x) = 1 - e^(-λ x)
ErwartungswertE[X] = 1/(λ)
VarianzVar(X) = 1/(λ²)

Gedächtnislosigkeit: P(X > s + t mid X > s) = P(X > t). Ein Bauteil, das schon 1000 Stunden lief, ist so gut wie neu. Die Exponentialverteilung ist die einzige stetige Verteilung mit dieser Eigenschaft.

Poisson-Zusammenhang: Treten Ereignisse mit Rate λ poissonverteilt auf, so ist die Anzahl in der Zeit t Poisson(λ t), die Zwischenzeit zwischen zwei Ereignissen aber Exp(λ).

Probier es aus

Schalte unten zwischen Exponential- und Gleichverteilung um. Verschiebe λ bzw. a und b und ziehe den Schnittpunkt x: die schraffierte Fläche ist P(X ≤ x), und Erwartungswert und Varianz aktualisieren sich live.

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Klausur-Faustregeln

1. Wahrscheinlichkeit ist Fläche. P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Die Dichte selbst ist keine Wahrscheinlichkeit.

2. Einzelpunkt hat Wahrscheinlichkeit null. P(X = x) = 0, daher sind < und ≤ bei stetigen Verteilungen austauschbar.

3. Gleichverteilung U(a,b): f(x) = 1/(b-a), E[X] = (a+b)/2, Var(X) = ((b-a)²)/12.

4. Exponential Exp(λ): f(x) = λ e^(-λ x), F(x) = 1 - e^(-λ x), E[X] = 1/(λ), Var(X) = 1/(λ²).

5. Exponential ist gedächtnislos: P(X > s+t mid X > s) = P(X > t).

6. Über die CDF rechnen: P(X ≤ x) = F(x), P(X > x) = 1 - F(x), P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a).

Häufige Stolpersteine

1. λ und E[X] verwechseln. λ ist die Rate (Ereignisse pro Zeit), der Mittelwert ist der Kehrwert E[X] = 1/λ. Bei λ = 0,5 pro Minute beträgt die mittlere Wartezeit 2 Minuten.

2. Exponential auch für negative Werte. Exp(λ) ist nur für x ≥ 0 definiert, Wartezeiten und Lebensdauern sind nie negativ.

3. Dichte für Wahrscheinlichkeit halten. f(x) kann größer als 1 sein (z.B. U(0; 0,5) hat f = 2). Nur die Fläche ist eine Wahrscheinlichkeit ≤ 1.

4. P(X = x) = 0 missverstehen. Ein exakter Einzelwert hat Wahrscheinlichkeit null, ein Intervall dagegen nicht. Das ist der Bruch zur diskreten Welt.

5. Varianz der Gleichverteilung falsch. Es ist ((b-a)²)/12, nicht ((b-a))/12 oder ((b-a)²)/4.

6. Gedächtnislosigkeit verallgemeinern. Nur die Exponentialverteilung ist gedächtnislos, nicht die Normal- oder Gleichverteilung.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

Dichte, Fläche und Kennzahlen erleben

Stelle die Verteilung und ihre Parameter ein und beobachte, wie sich Form, Fläche und Kennzahlen ändern.

  • Exponential: Erhöhe λ. Die Dichte startet höher bei x=0 und fällt steiler, E[X] = 1/λ wandert nach links.
  • Gleichverteilung: Verbreitere [a,b]. Das Rechteck wird flacher (Gesamtfläche bleibt 1), die Varianz wächst quadratisch mit der Breite.
  • Ziehe x und lies P(X ≤ x) als schraffierte Fläche ab.

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Klausur-Tipp: Rechne fast immer über die Verteilungsfunktion. P(X > x) = 1 - F(x) und P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a). Bei der Exponentialverteilung ist P(X > x) = e^(-λ x) besonders schnell zu merken.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.X ist stetig verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X exakt den Wert 5 annimmt, also P(X = 5)?

Antwort: `0`

Erklärung: Bei stetigen Verteilungen hat jeder einzelne Punkt Wahrscheinlichkeit null: `P(X = 5) = 0`. Wahrscheinlichkeit entsteht nur über Intervalle (Flächen). Deshalb sind `P(X ≤ 5)` und `P(X < 5)` identisch.

F2.Wie groß ist der Erwartungswert einer exponentialverteilten Zufallsvariable mit Rate λ?

Antwort: `1/(λ)`

Erklärung: Für `Exp(λ)` ist `E[X] = 1/λ`. Die Rate `λ` und der Mittelwert sind Kehrwerte: hohe Rate (viele Ereignisse pro Zeit) bedeutet kurze mittlere Wartezeit. Die Varianz ist `1/λ²`.

F3.Ein Bus kommt zu einer zufälligen Minute im Intervall [0, 10], die Wartezeit ist also U(0,10). Wie groß ist P(X ≤ 3)? (als Dezimalzahl, 2 Nachkommastellen)

Antwort: 0.3 (Toleranz ±0.01)

Erklärung: Bei der Gleichverteilung ist `F(x) = (x-a)/(b-a) = (3-0)/(10-0) = 0,3`. Die Fläche unter dem Dichte-Rechteck links von 3 entspricht `30 \%`.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Eine Hotline erhält Anrufe mit Rate λ = 0,5 pro Minute, die Wartezeit bis zum nächsten Anruf ist Exp(0,5). Wie groß ist die mittlere Wartezeit E[X] in Minuten?

Antwort: 2 (Toleranz ±0.01)

Erklärung: `E[X] = 1/λ = 1/0,5 = 2` Minuten. Die Rate `0,5` pro Minute bedeutet im Schnitt alle 2 Minuten ein Anruf.

Typ: Zahlen-Eingabe

F5.Ordne jeder Verteilung die richtige Kennzahl-Formel zu.

Zuordnungen:

  • $U(a,b)$: Erwartungswert → $\frac{a+b}{2}$
  • $U(a,b)$: Varianz → $\frac{(b-a)^2}{12}$
  • $\text{Exp}(\lambda)$: Erwartungswert → $\frac{1}{\lambda}$
  • $\text{Exp}(\lambda)$: Verteilungsfunktion → $1 - e^{-\lambda x}$

Erklärung: Gleichverteilung: `E[X]=(a+b)/2`, `Var=((b-a)²)/12`. Exponential: `E[X]=1/(λ)`, `F(x)=1-e^(-λ x)`.

Typ: Zuordnung

F6.Eine Dichtefunktion f(x) darf Werte größer als 1 annehmen.

Antwort: Wahr

Erklärung: Richtig. `f(x)` ist eine Dichte, keine Wahrscheinlichkeit. Bei `U(0; 0,5)` ist `f(x) = 1/(0,5) = 2`. Nur die Gesamtfläche muss 1 sein und jede Teilfläche `≤ 1`.

Typ: Wahr/Falsch

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Wie berechnet man bei einer stetigen Zufallsvariable die Wahrscheinlichkeit P(a ≤ X ≤ b)?

Antwort: Als Fläche `∫_a^b f(x) dx` unter der Dichte

Erklärung: Bei stetigen Verteilungen ist Wahrscheinlichkeit die Fläche unter der Dichte: `P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)`. Summen gelten nur für diskrete Verteilungen.

F2.Wie lautet die Dichtefunktion der Exponentialverteilung mit Rate λ?

Antwort: `f(x) = λ e^(-λ x)` für `x ≥ 0`

Erklärung: Die Exponentialverteilung hat `f(x) = λ e^(-λ x)` für `x ≥ 0` (sonst 0). Die zweite Option ist die Gleichverteilung, die dritte die (Kern der) Normalverteilung.

F3.Eine Wartezeit ist Exp(0,5)-verteilt. Wie groß ist P(X ≤ 2)? (als Dezimalzahl, 2 Nachkommastellen)

Antwort: 0.63 (Toleranz ±0.02)

Erklärung: `P(X ≤ 2) = F(2) = 1 - e^{-0,5 · 2} = 1 - e^(-1) = 1 - 0,368 = 0,632 ≈ 0,63`, also rund `63 \%`.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Für die stetige Gleichverteilung U(a,b) gilt: f(x) ={{1}},E[X] = {2} und Var(X) ={{3}}$.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: 1/(b-a) / \frac{1}{b-a} / 1/(b−a)
  • {{2}}: (a+b)/2 / \frac{a+b}{2}
  • {{3}}: (b-a)^2/12 / (b-a)²/12 / \frac{(b-a)^2}{12}

Erklärung: Rechteck-Dichte `1/(b-a)`, Mittelwert in der Intervallmitte `(a+b)/2`, Varianz `((b-a)²)/12`.

Typ: Lückentext

F5.Eine Zufallszahl ist U(2, 8)-verteilt. Wie groß ist die Varianz Var(X)? (1 Nachkommastelle)

Antwort: 3 (Toleranz ±0.1)

Erklärung: `Var(X) = ((b-a)²)/12 = ((8-2)²)/12 = 36/12 = 3`.

Typ: Zahlen-Eingabe

F6.Anrufe folgen einem Poisson-Prozess mit Rate λ = 0,5 pro Minute, die Wartezeit bis zum nächsten Anruf ist Exp(0,5). Wie wahrscheinlich ist es, länger als 4 Minuten zu warten, P(X > 4)? (2 Nachkommastellen)

Antwort: 0.14 (Toleranz ±0.02)

Erklärung: `P(X > 4) = 1 - F(4) = e^(-λ x) = e^{-0,5 · 4} = e^(-2) = 0,135 ≈ 0,14`, also rund `14 \%`. Wegen der Gedächtnislosigkeit gilt das unabhängig davon, wie lange schon gewartet wurde.

Typ: Zahlen-Eingabe

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