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Teil 1·Erklärung
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Wie lange wartest du auf den nächsten Bus? Wie lange hält eine Glühlampe? Solche Größen sind nicht abzählbar wie ein Würfelwurf, sondern stetig: sie können jeden Wert in einem Intervall annehmen. Statt einer Wahrscheinlichkeits-Tabelle beschreibt sie eine Dichtefunktion, und die Wahrscheinlichkeit wird zur Fläche darunter.
Was du in der Klausur können musst:
Klausur-Tipp: Rechne fast immer über die Verteilungsfunktion. und . Bei der Exponentialverteilung ist besonders schnell zu merken.
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Wie lange wartest du auf den nächsten Bus? Wie lange hält eine Glühlampe? Solche Größen sind nicht abzählbar wie ein Würfelwurf, sondern stetig: sie können jeden Wert in einem Intervall annehmen. Statt einer Wahrscheinlichkeits-Tabelle beschreibt sie eine Dichtefunktion, und die Wahrscheinlichkeit wird zur Fläche darunter.
Was du in der Klausur können musst:
P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dxU(a,b) mit ihren KennzahlenExp(λ) und ihre Gedächtnislosigkeitf(x) und Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) unterscheidenBei einer stetigen Zufallsvariable ist die Dichte
f(x)selbst keine Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeit entsteht erst als Fläche unter der Dichte:P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Ein einzelner Punkt hat Wahrscheinlichkeit null.
Für jede stetige Verteilung gilt:
f(x) ≥ 0 und ∫_(-∞)^(∞) f(x) dx = 1 (Gesamtfläche eins)P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx (Fläche zwischen a und b)P(X = x) = 0 für jeden einzelnen Punkt, daher ist P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b)F(x) = P(X ≤ x) = ∫_(-∞)^(x) f(t) dt, und P(X > x) = 1 - F(x)Merke:
f(x)ist eine Dichte, keine Wahrscheinlichkeit. Sie darf größer als 1 sein. Erst die Fläche ist eine Wahrscheinlichkeit und liegt immer zwischen 0 und 1.
U(a,b)Jeder Wert im Intervall [a,b] ist gleich wahrscheinlich, die Dichte ist ein Rechteck:
f(x) = 1/(b-a) wenn a ≤ x ≤ b; 0 wenn sonst
| Kennzahl | Formel |
|---|---|
| Verteilungsfunktion | F(x) = (x-a)/(b-a) für a ≤ x ≤ b |
| Erwartungswert | E[X] = (a+b)/2 |
| Varianz | Var(X) = ((b-a)²)/12 |
Beispiel: Ein Bus kommt zu einer zufälligen Minute im Intervall [0, 10]. Die Wartezeit ist U(0,10): im Mittel E[X] = 5 Minuten, und P(X ≤ 3) = 3/10 = 30 \%.
Exp(λ)Modelliert Wartezeiten und Lebensdauern ohne Alterung, die Zeit bis zum nächsten Ereignis eines Poisson-Prozesses mit Rate λ:
f(x) = λ e^(-λ x) (x ≥ 0, λ > 0)
| Kennzahl | Formel |
|---|---|
| Verteilungsfunktion | F(x) = 1 - e^(-λ x) |
| Erwartungswert | E[X] = 1/(λ) |
| Varianz | Var(X) = 1/(λ²) |
Gedächtnislosigkeit:
P(X > s + t mid X > s) = P(X > t). Ein Bauteil, das schon 1000 Stunden lief, ist so gut wie neu. Die Exponentialverteilung ist die einzige stetige Verteilung mit dieser Eigenschaft.
Poisson-Zusammenhang: Treten Ereignisse mit Rate λ poissonverteilt auf, so ist die Anzahl in der Zeit t Poisson(λ t), die Zwischenzeit zwischen zwei Ereignissen aber Exp(λ).
Schalte unten zwischen Exponential- und Gleichverteilung um. Verschiebe λ bzw. a und b und ziehe den Schnittpunkt x: die schraffierte Fläche ist P(X ≤ x), und Erwartungswert und Varianz aktualisieren sich live.
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
1. Wahrscheinlichkeit ist Fläche. P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Die Dichte selbst ist keine Wahrscheinlichkeit.
2. Einzelpunkt hat Wahrscheinlichkeit null. P(X = x) = 0, daher sind < und ≤ bei stetigen Verteilungen austauschbar.
3. Gleichverteilung U(a,b): f(x) = 1/(b-a), E[X] = (a+b)/2, Var(X) = ((b-a)²)/12.
4. Exponential Exp(λ): f(x) = λ e^(-λ x), F(x) = 1 - e^(-λ x), E[X] = 1/(λ), Var(X) = 1/(λ²).
5. Exponential ist gedächtnislos: P(X > s+t mid X > s) = P(X > t).
6. Über die CDF rechnen: P(X ≤ x) = F(x), P(X > x) = 1 - F(x), P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a).
1. λ und E[X] verwechseln. λ ist die Rate (Ereignisse pro Zeit), der Mittelwert ist der Kehrwert E[X] = 1/λ. Bei λ = 0,5 pro Minute beträgt die mittlere Wartezeit 2 Minuten.
2. Exponential auch für negative Werte. Exp(λ) ist nur für x ≥ 0 definiert, Wartezeiten und Lebensdauern sind nie negativ.
3. Dichte für Wahrscheinlichkeit halten. f(x) kann größer als 1 sein (z.B. U(0; 0,5) hat f = 2). Nur die Fläche ist eine Wahrscheinlichkeit ≤ 1.
4. P(X = x) = 0 missverstehen. Ein exakter Einzelwert hat Wahrscheinlichkeit null, ein Intervall dagegen nicht. Das ist der Bruch zur diskreten Welt.
5. Varianz der Gleichverteilung falsch. Es ist ((b-a)²)/12, nicht ((b-a))/12 oder ((b-a)²)/4.
6. Gedächtnislosigkeit verallgemeinern. Nur die Exponentialverteilung ist gedächtnislos, nicht die Normal- oder Gleichverteilung.
Stelle die Verteilung und ihre Parameter ein und beobachte, wie sich Form, Fläche und Kennzahlen ändern.
λ. Die Dichte startet höher bei x=0 und fällt steiler, E[X] = 1/λ wandert nach links.[a,b]. Das Rechteck wird flacher (Gesamtfläche bleibt 1), die Varianz wächst quadratisch mit der Breite.x und lies P(X ≤ x) als schraffierte Fläche ab.Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Klausur-Tipp: Rechne fast immer über die Verteilungsfunktion. P(X > x) = 1 - F(x) und P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a). Bei der Exponentialverteilung ist P(X > x) = e^(-λ x) besonders schnell zu merken.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: `0`
Erklärung: Bei stetigen Verteilungen hat jeder einzelne Punkt Wahrscheinlichkeit null: `P(X = 5) = 0`. Wahrscheinlichkeit entsteht nur über Intervalle (Flächen). Deshalb sind `P(X ≤ 5)` und `P(X < 5)` identisch.
Antwort: `1/(λ)`
Erklärung: Für `Exp(λ)` ist `E[X] = 1/λ`. Die Rate `λ` und der Mittelwert sind Kehrwerte: hohe Rate (viele Ereignisse pro Zeit) bedeutet kurze mittlere Wartezeit. Die Varianz ist `1/λ²`.
Antwort: 0.3 (Toleranz ±0.01)
Erklärung: Bei der Gleichverteilung ist `F(x) = (x-a)/(b-a) = (3-0)/(10-0) = 0,3`. Die Fläche unter dem Dichte-Rechteck links von 3 entspricht `30 \%`.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 2 (Toleranz ±0.01)
Erklärung: `E[X] = 1/λ = 1/0,5 = 2` Minuten. Die Rate `0,5` pro Minute bedeutet im Schnitt alle 2 Minuten ein Anruf.
Typ: Zahlen-Eingabe
Zuordnungen:
Erklärung: Gleichverteilung: `E[X]=(a+b)/2`, `Var=((b-a)²)/12`. Exponential: `E[X]=1/(λ)`, `F(x)=1-e^(-λ x)`.
Typ: Zuordnung
Antwort: Wahr
Erklärung: Richtig. `f(x)` ist eine Dichte, keine Wahrscheinlichkeit. Bei `U(0; 0,5)` ist `f(x) = 1/(0,5) = 2`. Nur die Gesamtfläche muss 1 sein und jede Teilfläche `≤ 1`.
Typ: Wahr/Falsch
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: Als Fläche `∫_a^b f(x) dx` unter der Dichte
Erklärung: Bei stetigen Verteilungen ist Wahrscheinlichkeit die Fläche unter der Dichte: `P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)`. Summen gelten nur für diskrete Verteilungen.
Antwort: `f(x) = λ e^(-λ x)` für `x ≥ 0`
Erklärung: Die Exponentialverteilung hat `f(x) = λ e^(-λ x)` für `x ≥ 0` (sonst 0). Die zweite Option ist die Gleichverteilung, die dritte die (Kern der) Normalverteilung.
Antwort: 0.63 (Toleranz ±0.02)
Erklärung: `P(X ≤ 2) = F(2) = 1 - e^{-0,5 · 2} = 1 - e^(-1) = 1 - 0,368 = 0,632 ≈ 0,63`, also rund `63 \%`.
Typ: Zahlen-Eingabe
Lösungen pro Lücke:
Erklärung: Rechteck-Dichte `1/(b-a)`, Mittelwert in der Intervallmitte `(a+b)/2`, Varianz `((b-a)²)/12`.
Typ: Lückentext
Antwort: 3 (Toleranz ±0.1)
Erklärung: `Var(X) = ((b-a)²)/12 = ((8-2)²)/12 = 36/12 = 3`.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: 0.14 (Toleranz ±0.02)
Erklärung: `P(X > 4) = 1 - F(4) = e^(-λ x) = e^{-0,5 · 4} = e^(-2) = 0,135 ≈ 0,14`, also rund `14 \%`. Wegen der Gedächtnislosigkeit gilt das unabhängig davon, wie lange schon gewartet wurde.
Typ: Zahlen-Eingabe