VWL4Lerneinheiten21minStand30.05.2026

Produktionsfunktion.

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Teil 1·Erklärung

Erklärung

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Produktionsfunktion, VWL · UniProMax

Mit wie viel Arbeit und wie viel Kapital kannst du wie viel produzieren? Die Produktionsfunktion ist Mikroökonomik-Pflicht — sie beschreibt mathematisch, wie Inputs (Arbeit $L$ , Kapital $K$ ) in Output $Y$ umgewandelt werden. Klausur-Pflicht in 10/10 WInf-Mikro-Klausuren, oft mit Cobb-Douglas und Grenzprodukt.

Produktionsfunktion $Y = f(L, K)$ ist eine Regel, die jedem Input-Kombi (Arbeit, Kapital) einen maximalen Output zuordnet.

Wichtig: maximaler Output — es wird angenommen, dass das Unternehmen technisch effizient produziert (kein Verschwendung).

Die mit Abstand häufigste Funktion in Klausuren:

$Y = A \cdot L^{\alpha} \cdot K^{1-\alpha}$

Parameter:

$A$ — Technologie-Niveau (Maschinen-Effizienz, Know-How)
$\alpha \in (0, 1)$ — Arbeits-Elastizität (z.B. 0,3 = "30% der Output-Variation kommen aus L")
$1 - \alpha$ — Kapital-Elastizität

Klausur-Standardwerte: $A = 1$ , $\alpha = 0{,}5$ → $Y = \sqrt{L \cdot K}$ .

Grenzprodukt der Arbeit $MPL = \frac{\partial Y}{\partial L}$ : "Wie viel mehr Output produziert die nächste Arbeitseinheit?"

Bei Cobb-Douglas:

$MPL = \alpha \cdot A \cdot L^{\alpha - 1} \cdot K^{1-\alpha} = \alpha \cdot \frac{Y}{L}$

Ergebnis: Grenzprodukt ist proportional zum Durchschnitts-Produkt $Y/L$ — Klausur-Faktoid Nummer 1.

Wenn du eine Input-Menge fix hältst (z.B. $K$ ) und nur den anderen erhöhst ( $L$ ), wird $MPL$ irgendwann kleiner.

Bei $\alpha = 0{,}5$ : $MPL = 0{,}5 \cdot K^{0,5} / L^{0,5}$ . Je größer $L$ bei fixem $K$ , desto kleiner $MPL$ . Anschaulich: 10 Arbeiter mit 1 Maschine sind nicht 10x so produktiv wie 1 Arbeiter — sie stehen sich gegenseitig im Weg.

Was passiert, wenn du beide Inputs verdoppelst?

$f(2L, 2K) = A \cdot (2L)^{\alpha} \cdot (2K)^{1-\alpha} = 2^{\alpha + (1-\alpha)} \cdot Y = 2 \cdot Y$

Bei Cobb-Douglas mit $\alpha + (1-\alpha) = 1$ : konstante Skalenerträge. Output verdoppelt sich wenn Inputs verdoppeln.

Summe der Exponenten	Skalenertrag	Bedeutung
$< 1$	abnehmend	doppelt L, K → weniger als doppelt Y
$= 1$	konstant	doppelt L, K → genau doppelt Y
$> 1$	zunehmend	doppelt L, K → mehr als doppelt Y

Klausur-Trick: Bei $Y = A \cdot L^{\alpha} \cdot K^{\beta}$ gilt der Skalenertrag-Typ je nach $\alpha + \beta$ . Klassische Frage: "Liegt zunehmender Skalenertrag vor?"

Eine Isoquante ist eine Linie, auf der alle Input-Kombinationen liegen, die den gleichen Output $Y_0$ produzieren.

Beispiel $Y_0 = 10$ bei $Y = \sqrt{LK}$ :

L	K	$\sqrt{LK}$
10	10	10
5	20	10
20	5	10
25	4	10

Alle 4 Kombinationen liegen auf der gleichen Isoquante $Y_0 = 10$ .

Isoquanten sind:

konvex zum Ursprung (Substitution wird schwieriger an den Rändern)
fallend (mehr Arbeit braucht weniger Kapital für gleichen Output)
nicht-schneidend (jede Output-Menge hat ihre eigene Linie)

MRTS = Wie viel Kapital kannst du einsparen, wenn du eine Arbeitseinheit hinzufügst?

$MRTS = \frac{MPL}{MPK}$

Bei $Y = A \cdot L^{\alpha} \cdot K^{1-\alpha}$ :

$MRTS = \frac{\alpha}{1-\alpha} \cdot \frac{K}{L}$

Je größer das Kapital-zu-Arbeit-Verhältnis, desto mehr Kapital kannst du pro zusätzlicher Arbeitseinheit einsparen — ökonomisch logisch.

1. Cobb-Douglas: $Y = A \cdot L^{\alpha} \cdot K^{1-\alpha}$ . Mit $\alpha + (1-\alpha) = 1$ konstante Skalenerträge.

2. $MPL = \alpha \cdot Y/L$ . Grenzprodukt-Faustformel für Cobb-Douglas. Spart Ableitung.

3. Abnehmender Grenzertrag bei fixiertem anderem Input — universelles Mikro-Gesetz.

4. Skalenertrag = Summe der Exponenten. $\alpha + \beta < 1$ abnehmend, $=1$ konstant, $>1$ zunehmend.

5. MRTS = $\frac{MPL}{MPK}$ = Steigung der Isoquante an dem Punkt. Klausur-Standard: MRTS am Optimum berechnen.

1. Skalenerträge mit abnehmendem Grenzertrag verwechseln. Skalenerträge: BEIDE Inputs gleichzeitig erhöhen. Abnehmender Grenzertrag: NUR einen erhöhen. Sind zwei verschiedene Konzepte!

2. Konstante Skalenerträge bei Cobb-Douglas vergessen. Wenn die Exponenten zu 1 summieren, IMMER konstante Skalenerträge. Nicht von $A$ verwirren lassen — $A$ ist nur ein Skalierungsfaktor.

3. $MPL$ als $Y/L$ statt $\alpha \cdot Y/L$ ansetzen. Durchschnittsprodukt ( $Y/L$ ) und Grenzprodukt ( $MPL$ ) sind verwandt aber nicht gleich. Bei $\alpha = 0{,}5$ ist $MPL = 0{,}5 \cdot AP$ .

4. Isoquante als Funktion eines Inputs missverstehen. Isoquante ist eine Kurve im Input-Raum, gibt für gegebene $L$ das nötige $K$ für ein fixes $Y_0$ .

5. MRTS-Vorzeichen falsch. Bei einer fallenden Isoquante ist die Steigung negativ. MRTS wird oft als positive Zahl (Absolutwert der Steigung) angegeben — Klausuren erwarten meist die positive Form.

Schiebe die Slider und beobachte, wie sich die Cobb-Douglas-Funktion $Y = A \cdot L^{\alpha} \cdot K^{1-\alpha}$ verändert.

Y-Kurve als Funktion von $L$ bei festem $K$
Isoquante für den aktuellen Output $Y_0$
Grenzprodukt $MPL$ live berechnet

Probier: $\alpha = 0{,}5$ ergibt $\sqrt{LK}$ , $\alpha = 0{,}3$ macht $K$ wichtiger. Bei hohem $L$ sinkt $MPL$ — abnehmender Grenzertrag.

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Klausur-Tipp: Bei Cobb-Douglas-Klausuraufgaben merk dir: $MPL = \alpha \cdot Y/L$ und $MPK = (1-\alpha) \cdot Y/K$ . Diese 2 Formeln sparen die volle Ableitung und kommen in fast jeder Klausur vor.

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Mit wie viel Arbeit und wie viel Kapital kannst du wie viel produzieren? Die Produktionsfunktion ist Mikroökonomik-Pflicht — sie beschreibt mathematisch, wie Inputs (Arbeit L, Kapital K) in Output Y umgewandelt werden. Klausur-Pflicht in 10/10 WInf-Mikro-Klausuren, oft mit Cobb-Douglas und Grenzprodukt.

Die Idee in einem Satz

Produktionsfunktion Y = f(L, K) ist eine Regel, die jedem Input-Kombi (Arbeit, Kapital) einen maximalen Output zuordnet.

Wichtig: maximaler Output — es wird angenommen, dass das Unternehmen technisch effizient produziert (kein Verschwendung).

Cobb-Douglas: die Star-Funktion

Die mit Abstand häufigste Funktion in Klausuren:

Y = A · L^(α) · K^(1-α)

Parameter:

A — Technologie-Niveau (Maschinen-Effizienz, Know-How)
α ∈ (0, 1) — Arbeits-Elastizität (z.B. 0,3 = "30% der Output-Variation kommen aus L")
1 - α — Kapital-Elastizität

Klausur-Standardwerte: A = 1, α = 0,5 → Y = √(L · K).

Grenzprodukt — die wichtigste Ableitung

Grenzprodukt der Arbeit MPL = (∂ Y)/(∂ L): "Wie viel mehr Output produziert die nächste Arbeitseinheit?"

Bei Cobb-Douglas:

MPL = α · A · L^(α - 1) · K^(1-α) = α · Y/L

Ergebnis: Grenzprodukt ist proportional zum Durchschnitts-Produkt Y/L — Klausur-Faktoid Nummer 1.

Gesetz vom abnehmenden Grenzertrag

Wenn du eine Input-Menge fix hältst (z.B. K) und nur den anderen erhöhst (L), wird MPL irgendwann kleiner.

Bei α = 0,5: MPL = 0,5 · K^(0,5) / L^(0,5). Je größer L bei fixem K, desto kleiner MPL. Anschaulich: 10 Arbeiter mit 1 Maschine sind nicht 10x so produktiv wie 1 Arbeiter — sie stehen sich gegenseitig im Weg.

Skalenerträge

Was passiert, wenn du beide Inputs verdoppelst?

f(2L, 2K) = A · (2L)^(α) · (2K)^(1-α) = 2^(α + (1-α)) · Y = 2 · Y

Bei Cobb-Douglas mit α + (1-α) = 1: konstante Skalenerträge. Output verdoppelt sich wenn Inputs verdoppeln.

Summe der Exponenten	Skalenertrag	Bedeutung
`< 1`	abnehmend	doppelt L, K → weniger als doppelt Y
`= 1`	konstant	doppelt L, K → genau doppelt Y
`> 1`	zunehmend	doppelt L, K → mehr als doppelt Y

Klausur-Trick: Bei Y = A · L^(α) · K^(β) gilt der Skalenertrag-Typ je nach α + β. Klassische Frage: "Liegt zunehmender Skalenertrag vor?"

Isoquanten

Eine Isoquante ist eine Linie, auf der alle Input-Kombinationen liegen, die den gleichen Output Y₀ produzieren.

Beispiel Y₀ = 10 bei Y = √(LK):

L	K	`√(LK)`
10	10	10
5	20	10
20	5	10
25	4	10

Alle 4 Kombinationen liegen auf der gleichen Isoquante Y₀ = 10.

Isoquanten sind:

konvex zum Ursprung (Substitution wird schwieriger an den Rändern)
fallend (mehr Arbeit braucht weniger Kapital für gleichen Output)
nicht-schneidend (jede Output-Menge hat ihre eigene Linie)

Grenzrate der Substitution (MRTS)

MRTS = Wie viel Kapital kannst du einsparen, wenn du eine Arbeitseinheit hinzufügst?

MRTS = MPL/MPK

Bei Y = A · L^(α) · K^(1-α):

MRTS = (α)/(1-α) · K/L

Je größer das Kapital-zu-Arbeit-Verhältnis, desto mehr Kapital kannst du pro zusätzlicher Arbeitseinheit einsparen — ökonomisch logisch.

Klausur-Faustregeln

1. Cobb-Douglas: Y = A · L^(α) · K^(1-α). Mit α + (1-α) = 1 konstante Skalenerträge.

2. MPL = α · Y/L. Grenzprodukt-Faustformel für Cobb-Douglas. Spart Ableitung.

3. Abnehmender Grenzertrag bei fixiertem anderem Input — universelles Mikro-Gesetz.

4. Skalenertrag = Summe der Exponenten. α + β < 1 abnehmend, =1 konstant, >1 zunehmend.

5. MRTS = MPL/MPK = Steigung der Isoquante an dem Punkt. Klausur-Standard: MRTS am Optimum berechnen.

Häufige Stolpersteine

1. Skalenerträge mit abnehmendem Grenzertrag verwechseln. Skalenerträge: BEIDE Inputs gleichzeitig erhöhen. Abnehmender Grenzertrag: NUR einen erhöhen. Sind zwei verschiedene Konzepte!

2. Konstante Skalenerträge bei Cobb-Douglas vergessen. Wenn die Exponenten zu 1 summieren, IMMER konstante Skalenerträge. Nicht von A verwirren lassen — A ist nur ein Skalierungsfaktor.

3. MPL als Y/L statt α · Y/L ansetzen. Durchschnittsprodukt (Y/L) und Grenzprodukt (MPL) sind verwandt aber nicht gleich. Bei α = 0,5 ist MPL = 0,5 · AP.

4. Isoquante als Funktion eines Inputs missverstehen. Isoquante ist eine Kurve im Input-Raum, gibt für gegebene L das nötige K für ein fixes Y₀.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Produktionsfunktion — Praxis-Übung

6 Aufgaben zu Cobb-Douglas, Grenzprodukt, Skalenerträgen, Isoquanten.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Was bedeutet Y = A · L^(α) · K^(1-α) in der Mikroökonomik?

Antwort: Eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

Erklärung: Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: A = Technologie, L = Arbeit, K = Kapital, α/(1-α) = Output-Elastizitäten. Star-Beispiel der Mikro-Klausur.

F2.Bei Y = 2 · L^(0,5) · K^(0,5) und L = 16, K = 4: wie groß ist Y?

Antwort: 16

Erklärung: Y = 2 · √16 · √4 = 2 · 4 · 2 = 16. Bei Cobb-Douglas mit α=0,5 ist Y = A · √(L·K) = 2 · √64 = 2·8 = 16.

F3.Bei Y = L^(0,4) · K^(0,4) liegen abnehmende Skalenerträge vor.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Summe der Exponenten = 0,4 + 0,4 = 0,8 < 1. Verdoppelung beider Inputs ergibt nur 2^0,8 ≈ 1,74-fachen Output, also weniger als das Doppelte. Abnehmende Skalenerträge.

Typ: Wahr/Falsch

F4.Welche Faustformel gilt für das Grenzprodukt der Arbeit bei Cobb-Douglas Y = A · L^(α) · K^(1-α)?

Antwort: `MPL = α · Y / L`

Erklärung: MPL = α · Y/L ist die magische Faustformel. Folgt aus `∂ Y/∂ L = α · A · L^(α-1) · K^(1-α) = α · Y/L`. Spart die Ableitung in jeder Klausur.

F5.Welche Aussagen über Isoquanten sind RICHTIG?

Richtige Antworten: Isoquanten verbinden Input-Kombis mit gleichem Output; Isoquanten sind konvex zum Ursprung; Höhere Isoquanten = höhere Outputs; Die Steigung der Isoquante ist `-MRTS`

Erklärung: Richtig: gleicher Output, konvex (Substitution wird teurer), höher = mehr Output, Steigung = -MRTS. Falsch: Isoquanten schneiden sich NIE (jede Output-Höhe hat eigene), und sie sind FALLEND (mehr L → weniger K für gleichen Output).

Typ: Multi-Select

F6.Ordne den Begriff der Bedeutung zu:

Zuordnungen:

MPL → Output-Zuwachs bei einer zusätzlichen Arbeitseinheit
MRTS → Verhältnis MPL/MPK = Steigung der Isoquante
Skalenertrag → Reaktion von Y auf proportionale Verdopplung von L UND K
Isoquante → Kurve aller (L, K) mit gleichem Output Y

Erklärung: Kern-Vokabular Produktionsfunktion. MPL = Ableitung nach L, MRTS = Substitution L↔K, Skalenertrag = beide gleichzeitig, Isoquante = Output-Höhenlinie im Input-Raum.

Typ: Zuordnung

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Cobb-Douglas Y = L^(0,5) · K^(0,5) mit L=100, K=4. Wie groß ist Y?

Antwort: 20 (Toleranz ±0.5)

Erklärung: Y = √100 · √4 = 10 · 2 = 20. Cobb-Douglas mit α=0,5 ist einfach das geometrische Mittel der Inputs.

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.Bei Y = L^(0,6) · K^(0,5) — welcher Skalenertrag?

Antwort: zunehmend

Erklärung: Summe der Exponenten: 0,6 + 0,5 = 1,1 > 1 → zunehmender Skalenertrag. Verdoppelung beider Inputs gibt 2^1,1 ≈ 2,14-fachen Output, also mehr als das Doppelte.

F3.Cobb-Douglas Y = 2 · L^(0,3) · K^(0,7) mit L=10, K=10. Berechne MPL (Grenzprodukt der Arbeit) auf 1 Dezimale.

Antwort: 0.6 (Toleranz ±0.05)

Erklärung: Y = 2 · 10^0,3 · 10^0,7 = 2 · 10 = 20. MPL = α · Y/L = 0,3 · 20/10 = 0,6.

Typ: Zahlen-Eingabe

F4.Abnehmender Grenzertrag und abnehmender Skalenertrag sind dasselbe Konzept.

Antwort: Falsch

Erklärung: FALSCH. Abnehmender Grenzertrag: EINEN Input erhöhen bei fix gehaltenem anderem → MPL sinkt. Abnehmender Skalenertrag: BEIDE Inputs proportional erhöhen → Y wächst weniger als proportional. Verschiedene Konzepte, oft verwechselt in Klausuren.

Typ: Wahr/Falsch

F5.Die Cobb-Douglas-Funktion Y = A · L^(α) · K^(1-α) hat genau dann konstante Skalenerträge, wenn die Summe der Exponenten gleich {{1}} ist. Das Grenzprodukt der Arbeit ist MPL = α · Y / {2}. Die Grenzrate der technischen Substitution ist MRTS = MPL / {3}. Eine Linie aller (L, K) mit gleichem Output heißt {{4}}.

Lösungen pro Lücke:

{{1}}: 1 / eins
{{2}}: L
{{3}}: MPK
{{4}}: Isoquante

Erklärung: Standard-Vokabular: Σα = 1 → konstante Skalenerträge; MPL = α·Y/L; MRTS = MPL/MPK; Isoquante = Output-Höhenlinie.

Typ: Lückentext

F6.Sortiere die Schritte zur Berechnung von Y bei Cobb-Douglas Y = A · L^(α) · K^(1-α):

Richtige Reihenfolge:

Werte einsetzen: A, L, K, α
L^α berechnen
K^(1-α) berechnen
A · L^α · K^(1-α) multiplizieren
Y = Endergebnis

Erklärung: Standard-Klausur-Rechenweg. Mit α=0,5 wird's einfach: √(L·K). Bei anderen α: Potenzen einzeln, dann multiplizieren.

Typ: Reihenfolge

Produktionsfunktion.

Erklärung

Produktionsfunktion.

Erklärung

Die Idee in einem Satz

Cobb-Douglas: die Star-Funktion

Grenzprodukt — die wichtigste Ableitung

Gesetz vom abnehmenden Grenzertrag

Skalenerträge

Isoquanten

Grenzrate der Substitution (MRTS)

Klausur-Faustregeln

Häufige Stolpersteine