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  • Einführung
  • Die Idee in einem Satz
  • Primal-Dual-Übergang
  • Konstruktions-Regeln
  • Beispiel: Produktions-Problem
  • Die 3 Dualitäts-Theoreme
  • Was sind Schattenpreise?
  • Dualität bei verschiedenen Primal-Formen
  • Sensitivitäts-Analyse
  • Klausur-Faustregeln
  • Häufige Stolpersteine
ThemenBusiness AnalyticsDualität in der linearen Optimierung
Business Analytics·4Lerneinheiten·22min·Stand17.07.2026

Dualität in der linearen Optimierung.

Jedes LP hat einen Zwilling, und der ist Gold wert. Dualität ist eine der mächtigsten Konzepte in der mathematischen Optimierung, Klausurpflicht in 5/8 OR-Programmen, oft mit Schattenpreis-Aufgaben.

Dualität: Zu jedem LP (Primal) gibt es ein zweites LP (Dual), dessen Lösung den gleichen Optimalwert hat, und dessen Variablen die Schattenpreise der Ressourcen sind.

Gegeben Primal-Problem in Standardform:

max⁡  z=cTxs.t.  Ax≤b,  x≥0\max\;z = c^T x \quad \text{s.t.}\; A x \le b, \; x \ge 0maxz=cTxs.t.Ax≤b,x≥0

Dann ist das Dual-Problem:

min⁡  w=bTys.t.  ATy≥c,  y≥0\min\;w = b^T y \quad \text{s.t.}\; A^T y \ge c, \; y \ge 0minw=bTys.t.ATy≥c,y≥0
Primal (max)Dual (min)
Zielfunktion: max⁡cTx\max c^T xmaxcTxZielfunktion: min⁡bTy\min b^T yminbTy
Ax≤bA x \le bAx≤bATy≥cA^T y \ge cATy≥c
x≥0x \ge 0x≥0y≥0y \ge 0y≥0
mmm Restriktionenmmm Variablen
nnn Variablennnn Restriktionen

Eselsbrücke "Vertauschen":

  • Zielfunktion-Koeffizienten ccc ↔ RHS bbb
  • Matrix AAA wird transponiert: A→ATA \to A^TA→AT
  • max ↔ min
  • ≤\le≤ ↔ ≥\ge≥
  • Anzahl Variablen ↔ Anzahl Restriktionen

Primal (Produktions-Sicht):

max⁡  z=3x1+5x2\max\;z = 3 x_1 + 5 x_2maxz=3x1​+5x2​

unter:

2x1+1x2≤81x1+3x2≤12x1,x2≥0\begin{aligned} 2 x_1 + 1 x_2 &\le 8 \\ 1 x_1 + 3 x_2 &\le 12 \\ x_1, x_2 &\ge 0 \end{aligned}2x1​+1x2​1x1​+3x2​x1​,x2​​≤8≤12≥0​

Dual (Ressourcen-Bewertungs-Sicht):

min⁡  w=8y1+12y2\min\;w = 8 y_1 + 12 y_2minw=8y1​+12y2​

unter:

2y1+1y2≥31y1+3y2≥5y1,y2≥0\begin{aligned} 2 y_1 + 1 y_2 &\ge 3 \\ 1 y_1 + 3 y_2 &\ge 5 \\ y_1, y_2 &\ge 0 \end{aligned}2y1​+1y2​1y1​+3y2​y1​,y2​​≥3≥5≥0​

Interpretation:

  • y1,y2y_1, y_2y1​,y2​ = Schattenpreise der Ressourcen
  • Dual minimiert die Gesamt-Ressourcen-Kosten (RHS × Schattenpreis)
  • Restriktion "2 y_1 + 1 y_2 ≥ 3" sagt: die Ressourcen-Kosten für Produkt 1 müssen mindestens dem Verkaufspreis (3) entsprechen, sonst lohnt es sich.

1. Schwache Dualität (Weak Duality)

Für JEDE zulässige Primal-Lösung xxx und Dual-Lösung yyy gilt:

cTx≤bTyc^T x \le b^T ycTx≤bTy

(bei max-min-Paar)

Bedeutung: Jede Dual-Lösung gibt eine obere Schranke für das Primal-Optimum.

2. Starke Dualität (Strong Duality)

Wenn beide Probleme zulässig und beschränkt sind, gilt im Optimum:

cTx∗=bTy∗c^T x^* = b^T y^*cTx∗=bTy∗

z = w**. Beide Probleme haben denselben Optimalwert.

3. Komplementärer Schlupf (Complementary Slackness)

Im Optimum gilt für alle i,ji, ji,j:

yi∗⋅(bi−aiTx∗)=0undxj∗⋅(ajTy∗−cj)=0y_i^* \cdot (b_i - a_i^T x^*) = 0 \quad \text{und} \quad x_j^* \cdot (a^T_j y^* - c_j) = 0yi∗​⋅(bi​−aiT​x∗)=0undxj∗​⋅(ajT​y∗−cj​)=0

Bedeutung:

  • Aktive Restriktion (aiTx∗=bia_i^T x^* = b_iaiT​x∗=bi​) → entsprechende Dual-Variable kann > 0 sein
  • Inaktive Restriktion (aiTx∗<bia_i^T x^* < b_iaiT​x∗<bi​) → entsprechende Dual-Variable ist = 0

Das ist die wichtigste Konsequenz der Dualität: Schattenpreis einer Ressource im Überfluss ist 0.

Schattenpreis yi∗y_i^*yi∗​ = Wert einer zusätzlichen Einheit der Ressource iii.

Konkret: Wenn man bib_ibi​ um 1 erhöht, steigt z∗z^*z∗ um yi∗y_i^*yi∗​ (innerhalb des Sensitivitäts-Bereichs).

Anwendung:

  • "Lohnt es sich, eine Stunde Lackierung mehr zu kaufen?" → Wenn Schattenpreis > Beschaffungskosten, ja.
  • "Wo investieren?" → In die Ressource mit dem höchsten Schattenpreis.
  • "Welche Ressource ist Engpass?" → Aktive Restriktion mit Schattenpreis > 0.
Primal (max)Dual (min)
aiTx≤bia_i^T x \le b_iaiT​x≤bi​yi≥0y_i \ge 0yi​≥0
aiTx≥bia_i^T x \ge b_iaiT​x≥bi​yi≤0y_i \le 0yi​≤0
aiTx=bia_i^T x = b_iaiT​x=bi​yiy_iyi​ frei
xj≥0x_j \ge 0xj​≥0ajTy≥cja_j^T y \ge c_jajT​y≥cj​
xj≤0x_j \le 0xj​≤0ajTy≤cja_j^T y \le c_jajT​y≤cj​
xjx_jxj​ freiajTy=cja_j^T y = c_jajT​y=cj​

Symmetrie: Dual des Duals = Primal. Daher: man kann zwischen Sichten beliebig wechseln.

Was passiert mit z∗z^*z∗, wenn man die Daten ändert?

Änderung der RHS (bib_ibi​)

In gewissem Bereich ändert sich z∗z^*z∗ linear:

Δz∗=yi∗⋅Δbi\Delta z^* = y_i^* \cdot \Delta b_iΔz∗=yi∗​⋅Δbi​

Außerhalb des Bereichs werden andere Restriktionen aktiv, Schattenpreis ändert sich.

Änderung der Zielfunktions-Koeffizienten (cjc_jcj​)

In gewissem Bereich bleibt die Basis-Lösung optimal, z∗z^*z∗ ändert sich linear:

Δz∗=xj∗⋅Δcj\Delta z^* = x_j^* \cdot \Delta c_jΔz∗=xj∗​⋅Δcj​

1. Konstruktions-Regel: A→ATA \to A^TA→AT, c↔bc \leftrightarrow bc↔b, max⁡→min⁡\max \to \minmax→min, ≤→≥\le \to \ge≤→≥.

2. Starke Dualität: z∗=w∗z^* = w^*z∗=w∗. Beide Probleme haben denselben Optimalwert.

3. Komplementärer Schlupf: Aktive Restriktion → yi∗>0y_i^* > 0yi∗​>0 möglich. Inaktive Restriktion → yi∗=0y_i^* = 0yi∗​=0.

4. Schattenpreis = Wert pro Einheit der Ressource. Antwort auf "Wieviel sind 1 zusätzliche h Maschine wert?"

5. Dual des Duals = Primal. Daher beliebige Sicht-Wechsel möglich.

6. Anzahl Variablen ↔ Anzahl Restriktionen. Primal nnn Variablen + mmm Restriktionen → Dual mmm Variablen + nnn Restriktionen.

1. Konstruktion vergessen, AAA zu transponieren. ATA^TAT ist Pflicht, sonst gibt es das falsche Dual.

2. RHS und Zielfunktion-Koeffizienten verwechseln. bbb wird Zielfunktion im Dual, ccc wird RHS im Dual. Häufiges Versehen.

3. Schattenpreis aus inaktiver Restriktion berechnen. Wenn Restriktion iii inaktiv ist (aiTx∗<bia_i^T x^* < b_iaiT​x∗<bi​), dann ist yi∗=0y_i^* = 0yi∗​=0. Mehr Ressource bringt nichts.

4. Schwache vs. starke Dualität verwechseln. Schwach: cTx≤bTyc^T x \le b^T ycTx≤bTy für ALLE Paare. Stark: cTx∗=bTy∗c^T x^* = b^T y^*cTx∗=bTy∗ NUR im Optimum.

5. Sensitivitäts-Bereich ignorieren. Δz∗=yi∗⋅Δbi\Delta z^* = y_i^* \cdot \Delta b_iΔz∗=yi∗​⋅Δbi​ gilt nur in gewissem Bereich. Bei großen Änderungen muss neu gerechnet werden.

6. Dual-Variable als negative Zahl bei ≤\le≤-Restriktion. Bei max-Problem mit ≤\le≤-Restriktion: yi≥0y_i \ge 0yi​≥0. Bei ≥\ge≥: yi≤0y_i \le 0yi​≤0. Bei ===: yiy_iyi​ frei.

Sieh wie sich Primal-LP und Dual-LP verhalten, RHS-Slider verändert die Ressourcen, beide Probleme aktualisieren sich live + Schattenpreise zeigen den Effekt.

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Klausur-Tipp: Bei "Berechnen Sie die Schattenpreise" IMMER das Dual aufstellen + an aktiven Restriktionen lösen (per Komplementärem Schlupf). Schattenpreis = Wert einer zusätzlichen Einheit der Ressource. Bei inaktiver Restriktion ist Schattenpreis automatisch 0.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Jedes LP hat einen Zwilling, und der ist Gold wert. Dualität ist eine der mächtigsten Konzepte in der mathematischen Optimierung, Klausurpflicht in 5/8 OR-Programmen, oft mit Schattenpreis-Aufgaben.

Die Idee in einem Satz

Dualität: Zu jedem LP (Primal) gibt es ein zweites LP (Dual), dessen Lösung den gleichen Optimalwert hat, und dessen Variablen die Schattenpreise der Ressourcen sind.

Primal-Dual-Übergang

Gegeben Primal-Problem in Standardform:

max z = c^T x s.t. A x ≤ b, x ≥ 0

Dann ist das Dual-Problem:

min w = b^T y s.t. A^T y ≥ c, y ≥ 0

Konstruktions-Regeln

Primal (max)Dual (min)
Zielfunktion: max c^T xZielfunktion: min b^T y
A x ≤ bA^T y ≥ c
x ≥ 0y ≥ 0
m Restriktionenm Variablen
n Variablenn Restriktionen

Eselsbrücke "Vertauschen":

  • Zielfunktion-Koeffizienten c ↔ RHS b
  • Matrix A wird transponiert: A → A^T
  • max ↔ min
  • ≤ ↔ ≥
  • Anzahl Variablen ↔ Anzahl Restriktionen

Beispiel: Produktions-Problem

Primal (Produktions-Sicht):

max z = 3 x₁ + 5 x₂

unter: 2 x₁ + 1 x₂ ≤ 8; 1 x₁ + 3 x₂ ≤ 12; x₁, x₂ ≥ 0

Dual (Ressourcen-Bewertungs-Sicht):

min w = 8 y₁ + 12 y₂

unter: 2 y₁ + 1 y₂ ≥ 3; 1 y₁ + 3 y₂ ≥ 5; y₁, y₂ ≥ 0

Interpretation:

  • y₁, y₂ = Schattenpreise der Ressourcen
  • Dual minimiert die Gesamt-Ressourcen-Kosten (RHS × Schattenpreis)
  • Restriktion "2 y_1 + 1 y_2 ≥ 3" sagt: die Ressourcen-Kosten für Produkt 1 müssen mindestens dem Verkaufspreis (3) entsprechen, sonst lohnt es sich.

Die 3 Dualitäts-Theoreme

1. Schwache Dualität (Weak Duality)

Für JEDE zulässige Primal-Lösung x und Dual-Lösung y gilt:

c^T x ≤ b^T y

(bei max-min-Paar)

Bedeutung: Jede Dual-Lösung gibt eine obere Schranke für das Primal-Optimum.

2. Starke Dualität (Strong Duality)

Wenn beide Probleme zulässig und beschränkt sind, gilt im Optimum:

c^T x^* = b^T y^*

z = w**. Beide Probleme haben denselben Optimalwert.

3. Komplementärer Schlupf (Complementary Slackness)

Im Optimum gilt für alle i, j:

y_i^* · (b_i - a_i^T x^*) = 0 und x_j^* · (a^T_j y^* - c_j) = 0

Bedeutung:

  • Aktive Restriktion (a_i^T x^* = b_i) → entsprechende Dual-Variable kann > 0 sein
  • Inaktive Restriktion (a_i^T x^* < b_i) → entsprechende Dual-Variable ist = 0

Das ist die wichtigste Konsequenz der Dualität: Schattenpreis einer Ressource im Überfluss ist 0.

Was sind Schattenpreise?

Schattenpreis y_i^* = Wert einer zusätzlichen Einheit der Ressource i.

Konkret: Wenn man b_i um 1 erhöht, steigt z^* um y_i^* (innerhalb des Sensitivitäts-Bereichs).

Anwendung:

  • "Lohnt es sich, eine Stunde Lackierung mehr zu kaufen?" → Wenn Schattenpreis > Beschaffungskosten, ja.
  • "Wo investieren?" → In die Ressource mit dem höchsten Schattenpreis.
  • "Welche Ressource ist Engpass?" → Aktive Restriktion mit Schattenpreis > 0.

Dualität bei verschiedenen Primal-Formen

Primal (max)Dual (min)
a_i^T x ≤ b_iy_i ≥ 0
a_i^T x ≥ b_iy_i ≤ 0
a_i^T x = b_iy_i frei
x_j ≥ 0a_j^T y ≥ c_j
x_j ≤ 0a_j^T y ≤ c_j
x_j freia_j^T y = c_j

Symmetrie: Dual des Duals = Primal. Daher: man kann zwischen Sichten beliebig wechseln.

Sensitivitäts-Analyse

Was passiert mit z^*, wenn man die Daten ändert?

Änderung der RHS (b_i)

In gewissem Bereich ändert sich z^* linear:

Δ z^* = y_i^* · Δ b_i

Außerhalb des Bereichs werden andere Restriktionen aktiv, Schattenpreis ändert sich.

Änderung der Zielfunktions-Koeffizienten (c_j)

In gewissem Bereich bleibt die Basis-Lösung optimal, z^* ändert sich linear:

Δ z^* = x_j^* · Δ c_j

Klausur-Faustregeln

1. Konstruktions-Regel: A → A^T, c ↔ b, max → min, ≤ → ≥.

2. Starke Dualität: z^* = w^*. Beide Probleme haben denselben Optimalwert.

3. Komplementärer Schlupf: Aktive Restriktion → y_i^* > 0 möglich. Inaktive Restriktion → y_i^* = 0.

4. Schattenpreis = Wert pro Einheit der Ressource. Antwort auf "Wieviel sind 1 zusätzliche h Maschine wert?"

5. Dual des Duals = Primal. Daher beliebige Sicht-Wechsel möglich.

6. Anzahl Variablen ↔ Anzahl Restriktionen. Primal n Variablen + m Restriktionen → Dual m Variablen + n Restriktionen.

Häufige Stolpersteine

1. Konstruktion vergessen, A zu transponieren. A^T ist Pflicht, sonst gibt es das falsche Dual.

2. RHS und Zielfunktion-Koeffizienten verwechseln. b wird Zielfunktion im Dual, c wird RHS im Dual. Häufiges Versehen.

3. Schattenpreis aus inaktiver Restriktion berechnen. Wenn Restriktion i inaktiv ist (a_i^T x^* < b_i), dann ist y_i^* = 0. Mehr Ressource bringt nichts.

4. Schwache vs. starke Dualität verwechseln. Schwach: c^T x ≤ b^T y für ALLE Paare. Stark: c^T x^* = b^T y^* NUR im Optimum.

5. Sensitivitäts-Bereich ignorieren. Δ z^* = y_i^* · Δ b_i gilt nur in gewissem Bereich. Bei großen Änderungen muss neu gerechnet werden.

6. Dual-Variable als negative Zahl bei ≤-Restriktion. Bei max-Problem mit ≤-Restriktion: y_i ≥ 0. Bei ≥: y_i ≤ 0. Bei =: y_i frei.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

Primal-Dual Side-by-Side

Sieh wie sich Primal-LP und Dual-LP verhalten, RHS-Slider verändert die Ressourcen, beide Probleme aktualisieren sich live + Schattenpreise zeigen den Effekt.

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Klausur-Tipp: Bei "Berechnen Sie die Schattenpreise" IMMER das Dual aufstellen + an aktiven Restriktionen lösen (per Komplementärem Schlupf). Schattenpreis = Wert einer zusätzlichen Einheit der Ressource. Bei inaktiver Restriktion ist Schattenpreis automatisch 0.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Dualität, Praxis-Übung

6 Aufgaben zu Primal-Dual-Konstruktion, Schattenpreisen und Sensitivität.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Wenn das Primal max c^T x ist mit Ax ≤ b und x ≥ 0, wie sieht das Dual aus?

Antwort: min b^T y mit A^T y ≥ c und y ≥ 0

Erklärung: Standard-Konstruktion: max c^T x mit Ax ≤ b → min b^T y mit A^T y ≥ c. Beachte: max ↔ min, A ↔ A^T, c ↔ b, ≤ ↔ ≥. Alle Vorzeichen y ≥ 0 wenn x ≥ 0 im Primal.

F2.Was sagt das Theorem der starken Dualität aus?

Antwort: z*_Primal = w*_Dual im Optimum

Erklärung: Starke Dualität: Wenn beide Probleme zulässig und beschränkt sind, dann z*_Primal = w*_Dual im Optimum. Beide haben denselben Optimalwert. Schwache Dualität: c^T x ≤ b^T y für ALLE Paare (nicht nur Optimum). Bei max-min-Konstellation.

F3.Ordne Primal-Element der Dual-Entsprechung zu.

Zuordnungen:

  • Primal max-Zielfunktion c^T x → Dual min-RHS-Vektor b^T y
  • Primal RHS-Vektor b → Dual Zielfunktions-Koeffizienten
  • Primal Matrix A → Dual Matrix A^T (transponiert)
  • Primal ≤-Restriktion → Dual y_i ≥ 0

Erklärung: Primal-Dual-Mapping: c ↔ b (vertauschen), A ↔ A^T (transponieren), max ↔ min. Vorzeichen: bei max-LP mit ≤-Restriktion entspricht y_i ≥ 0 (positiver Schattenpreis). Anzahl Variablen Primal ↔ Anzahl Restriktionen Dual.

Typ: Zuordnung

F4.Im Optimum ist Restriktion 1 nicht aktiv (Ressource hat Überschuss). Was gilt für den entsprechenden Schattenpreis y_1?

Antwort: y_1 = 0 (Komplementärer Schlupf)

Erklärung: Komplementärer Schlupf: y_i · (b_i − a_i^T x*) = 0. Wenn Restriktion inaktiv (b_i − a_i^T x* > 0), muss y_i = 0 sein. Interpretation: Ressource im Überfluss hat Schattenpreis 0, eine zusätzliche Einheit bringt nichts. Klausur-Klassiker mit Aussage zu Engpass-Identifikation.

F5.Der Schattenpreis y_i einer Restriktion gibt an, um wieviel sich z* ändert, wenn man b_i um 1 erhöht (innerhalb des Sensitivitäts-Bereichs).

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Schattenpreis y_i = ∂z*/∂b_i. Δz* = y_i · Δb_i. Anwendung: Wieviel sind 1 h zusätzliche Maschinen-Kapazität wert? Antwort = Schattenpreis. Wichtig: Sensitivitäts-Bereich begrenzt, bei zu großer Änderung wechselt die optimale Basis, Schattenpreis ändert sich.

Typ: Wahr/Falsch

F6.Wenn man das Dual eines LP wieder dualisiert, was erhält man?

Antwort: Das ursprüngliche Primal-LP

Erklärung: Dualität ist symmetrisch: Dual(Dual(P)) = P. Daher kann man bei Bedarf zwischen Primal- und Dual-Sicht beliebig wechseln. Vorteil: manche Probleme sind im Dual einfacher zu lösen (z.B. weniger Variablen, einfachere Restriktionen).

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Dualität, Klausur-Quiz

6 typische Klausurfragen zu Dualitätstheoremen, Schattenpreisen und Komplementärem Schlupf.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Wieviele Variablen hat das Dual eines Primal-LP mit m Restriktionen und n Variablen?

Antwort: m

Erklärung: Dual hat IMMER eine Variable pro Primal-Restriktion. Also m Dual-Variablen. Umgekehrt: m Dual-Restriktionen (eine pro Primal-Variable). Anzahl Variablen ↔ Anzahl Restriktionen ist eine Schlüssel-Eigenschaft der Dualität.

F2.Welche Aussage zur schwachen Dualität ist korrekt?

Antwort: c^T x ≤ b^T y für alle zulässigen x, y (bei max-min)

Erklärung: Schwache Dualität: c^T x ≤ b^T y für JEDES Paar zulässiger Lösungen (max-min-Setup). Damit ist Dual-Wert eine OBERE Schranke fürs Primal-Maximum. Starke Dualität (Antwort B) gilt nur IM OPTIMUM. Beide Theoreme zusammen: Primal-Maximum + Dual-Minimum sind gleich.

F3.Bei der Konstruktion des Duals: Matrix A wird {{1}}. Zielfunktions-Koeffizienten c und RHS b werden {{2}}. max wird zu {{3}}. Schattenpreise sind die {{4}} des Duals.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: transponiert
  • {{2}}: vertauscht / getauscht
  • {{3}}: min / Minimum / Minimierung
  • {{4}}: Variablen / Lösung / Lösungs-Variablen

Erklärung: Dual-Konstruktion: A → A^T (transponiert), c ↔ b (vertauscht), max ↔ min, ≤ ↔ ≥. Schattenpreise = Dual-Variablen y_i. Diese 4 Schritte musst du blind beherrschen, Klausur-Standard.

Typ: Lückentext

F4.Bringe die 3 Dualitäts-Theoreme in die Reihenfolge nach Stärke (von schwach zu stark).

Richtige Reihenfolge:

  1. Schwache Dualität: c^T x ≤ b^T y für alle Paare
  2. Starke Dualität: z*_Primal = w*_Dual im Optimum
  3. Komplementärer Schlupf: y_i · (b_i − a_i^T x*) = 0

Erklärung: Hierarchie: 1) Schwache Dualität, gilt für ALLE zulässigen Paare (Grundaussage). 2) Starke Dualität, Folgerung: im Optimum sind Werte gleich. 3) Komplementärer Schlupf, präzise Aussage zu aktiven Restriktionen ↔ positiven Schattenpreisen (folgt aus starker Dualität). Theoreme bauen aufeinander auf.

Typ: Reihenfolge

F5.Im Optimum gilt x* = (4, 2) und Restriktion 2x₁ + 3x₂ ≤ 14. Was sagt das über den Schattenpreis y₁?

Antwort: y₁ = 0 (Restriktion ist NICHT aktiv: 2·4 + 3·2 = 14)

Erklärung: Restriktion-Wert: 2·4 + 3·2 = 14 = RHS. Restriktion IST aktiv (mit Gleichheit). Bei aktiver Restriktion KANN y₁ > 0 sein (muss aber nicht). Falls Aufgabe sagt 2·4 + 3·2 = 14 < 18, dann inaktiv → y₁ = 0 zwingend. Im Beispiel hier: 14 = 14, also aktiv, also y₁ ≥ 0 (nicht eindeutig).

F6.Schattenpreise gelten linear nur in einem begrenzten Sensitivitäts-Bereich, bei großen Änderungen der RHS wechselt die optimale Basis und Schattenpreise ändern sich sprunghaft.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Δz* = y_i · Δb_i gilt nur, solange die optimale BASIS (welche Restriktionen aktiv sind) gleich bleibt. Bei großen Änderungen ändern sich aktive Restriktionen → Schattenpreis springt auf neuen Wert. Sensitivitäts-Analyse berechnet den Bereich [b_i^min, b_i^max], in dem y_i konstant bleibt. Klausur-Anwendung: 'Ist der Kauf von 100 zusätzlichen Stunden lohnend?' Nicht direkt y_i · 100, sondern erst prüfen ob 100 im Sensitivitäts-Bereich.

Typ: Wahr/Falsch

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