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  • Einführung
  • Die Idee in einem Satz
  • 4-Schritt-Methode
  • Theorem: Optimum in einer Ecke
  • Spezialfälle
  • Optimum: Ecken-Methode vs. Schieben
  • Zusammenhang mit Simplex
  • Beispiel: Produktion mit 2 Produkten
  • Klausur-Faustregeln
  • Häufige Stolpersteine
ThemenBusiness AnalyticsLP graphisch lösen (2D)
Business Analytics·4Lerneinheiten·22min·Stand17.07.2026

LP graphisch lösen (2D).

Für 2-Variablen-LPs geht's am Papier. Die graphische Methode visualisiert die LP-Theorie perfekt, Klausur-Klassiker.

Graphische LP-Lösung: Bei 2 Variablen kann das LP durch Zeichnen gelöst werden, Restriktionen als Geraden, zulässiger Bereich als Polygon, Optimum in einer Ecke.

Schritt 1, Koordinatensystem

Achsen x1x_1x1​ (horizontal) und x2x_2x2​ (vertikal). Nichtnegativitäts-Restriktion erlaubt nur 1. Quadrant.

Schritt 2, Restriktionen als Geraden

Jede Restriktion a1x1+a2x2≤ba_1 x_1 + a_2 x_2 \le ba1​x1​+a2​x2​≤b wird als Grenz-Gerade gezeichnet.

Konstruktion einer Geraden: 2 Punkte reichen.

  • Wenn x1=0x_1 = 0x1​=0: x2=b/a2x_2 = b / a_2x2​=b/a2​
  • Wenn x2=0x_2 = 0x2​=0: x1=b/a1x_1 = b / a_1x1​=b/a1​

Beispiel: 2x1+3x2≤122 x_1 + 3 x_2 \le 122x1​+3x2​≤12:

  • x1=0⇒x2=4x_1 = 0 \Rightarrow x_2 = 4x1​=0⇒x2​=4 → Punkt (0,4)(0, 4)(0,4)
  • x2=0⇒x1=6x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = 6x2​=0⇒x1​=6 → Punkt (6,0)(6, 0)(6,0)

Verbinde mit Gerade.

Schritt 3, Zulässigen Bereich schraffieren

Die zulässige Seite jeder Restriktion ist:

  • Bei ≤\le≤: Seite des Ursprungs (wenn RHS positiv), darunter
  • Bei ≥\ge≥: andere Seite, darüber
  • Bei ===: nur die Gerade selbst

Schnitt aller Halbebenen + x1≥0,x2≥0x_1 \ge 0, x_2 \ge 0x1​≥0,x2​≥0 = zulässiger Bereich.

Diese Region ist immer ein konvexes Polygon (Polytop).

Schritt 4, Zielfunktion verschieben

Zielfunktion c1x1+c2x2=zc_1 x_1 + c_2 x_2 = zc1​x1​+c2​x2​=z ist auch eine Gerade, für verschiedene zzz parallele Geraden.

Bei MAX: Verschiebe die Zielgerade in Richtung steigender zzz (in Gradient-Richtung), bis sie den zulässigen Bereich nur in einer Ecke berührt.

Bei MIN: Umgekehrt, in Richtung sinkender zzz.

Die berührende Ecke = Optimum.

Fundamentalsatz der linearen Optimierung: Wenn ein LP eine optimale Lösung hat, dann existiert (mindestens) eine optimale Ecke des zulässigen Polytops.

Konsequenz: Statt unendlich viele Punkte zu prüfen, reicht es, alle Ecken durchzugehen.

Anzahl Ecken eines m×nm \times nm×n-LP: Höchstens (m+nm)\binom{m+n}{m}(mm+n​), kann exponentiell viele werden, aber praktisch oft handhabbar.

1. Mehrere optimale Lösungen (Multipel-Optimum)

Wenn die Zielgerade PARALLEL zu einer aktiven Restriktion ist, dann liegt das Optimum auf einer ganzen KANTE des Polytops.

Diagnose: ccc ist Vielfaches eines aia_iai​ (Restriktions-Normalen-Vektor).

2. Unbeschränktes Problem

Wenn der zulässige Bereich unbeschränkt ist UND die Zielgerade in unbeschränkter Richtung verschoben werden kann → z→∞z \to \inftyz→∞ (max) bzw. −∞-\infty−∞ (min).

Beispiel: max⁡  x1+x2\max\;x_1 + x_2maxx1​+x2​ mit nur x1,x2≥0x_1, x_2 \ge 0x1​,x2​≥0 → unbeschränkt.

3. Leeres LP (unzulässig)

Wenn keine Punkte alle Restriktionen erfüllen → keine Lösung.

Beispiel: x1≤1x_1 \le 1x1​≤1 und x1≥3x_1 \ge 3x1​≥3 → leer.

4. Entartete Ecke

Wenn mehr als 2 Restriktionen durch eine Ecke gehen → entartet. Kommt bei kleinen Problemen selten vor, kann bei Simplex Probleme verursachen.

Ecken-Methode (algorithmisch)

  1. Finde alle Eckpunkte des zulässigen Bereichs.
  2. Berechne z=c1x1+c2x2z = c_1 x_1 + c_2 x_2z=c1​x1​+c2​x2​ pro Ecke.
  3. Wähle die Ecke mit größtem zzz (bei max).

Schieben-Methode (visuell)

  1. Wähle einen zzz-Wert (z.B. z=0z = 0z=0) und zeichne Zielgerade.
  2. Verschiebe die Gerade parallel in Gradient-Richtung.
  3. Letzter Punkt des zulässigen Bereichs, der berührt wird = Optimum.

Klausur-Praxis: Schieben ist schneller bei einfachen Problemen, Ecken-Methode systematischer.

Simplex-Algorithmus ist im Kern die Ecken-Methode systematisiert für höhere Dimensionen:

  1. Starte in einer Ecke.
  2. Suche benachbarte Ecke mit besserem Zielfunktions-Wert.
  3. Wechsle zu dieser Ecke.
  4. Wiederhole bis kein besserer Nachbar.

2D ist Special-Case, bei 3+ Dimensionen ist Simplex die einzige praktikable Methode (oder Innere-Punkte-Methoden).

max⁡  z=3x1+5x2\max\;z = 3 x_1 + 5 x_2maxz=3x1​+5x2​

unter:

2x1+1x2≤81x1+3x2≤9x1,x2≥0\begin{aligned} 2 x_1 + 1 x_2 &\le 8 \\ 1 x_1 + 3 x_2 &\le 9 \\ x_1, x_2 &\ge 0 \end{aligned}2x1​+1x2​1x1​+3x2​x1​,x2​​≤8≤9≥0​

Schritt 1: Achsen + Nichtnegativität → 1. Quadrant.

Schritt 2: Restriktion 1: (0,8)(0, 8)(0,8) und (4,0)(4, 0)(4,0). Restriktion 2: (0,3)(0, 3)(0,3) und (9,0)(9, 0)(9,0).

Schritt 3: Schnitt der ≤-Halbebenen ist ein 5-Eck mit Ecken (0,0)(0, 0)(0,0), (4,0)(4, 0)(4,0), (3,2)(3, 2)(3,2), (0,3)(0, 3)(0,3).

Schritt 4: Werte berechnen:

  • (0,0):z=0(0, 0): z = 0(0,0):z=0
  • (4,0):z=12(4, 0): z = 12(4,0):z=12
  • (3,2):z=9+10=19(3, 2): z = 9 + 10 = 19(3,2):z=9+10=19
  • (0,3):z=15(0, 3): z = 15(0,3):z=15

→ Optimum bei (3,2)(3, 2)(3,2) mit z∗=19z^* = 19z∗=19.

1. Restriktionen Gerade durch 2 Punkte: (0,b/a2)(0, b/a_2)(0,b/a2​) und (b/a1,0)(b/a_1, 0)(b/a1​,0).

2. Zulässige Seite: Bei ≤ → Ursprung-Seite (für b > 0), bei ≥ → andere Seite.

3. Optimum immer in einer Ecke (Fundamentalsatz der LP).

4. Schieben in Gradient-Richtung: Zielgerade verschieben bis sie nur Ecke berührt.

5. Spezialfälle erkennen: Multipel-Optimum (Kante), Unbeschränkt, Leer, Entartet.

6. Graphisch nur 2D, sonst Simplex. 3D-LP visuell schwer, ≥4D unmöglich → Simplex.

1. Restriktion auf falscher Seite schraffiert. Bei ≤ mit b > 0: Ursprung-Seite. Bei ≥ mit b > 0: Gegen-Seite. Test: Setze (0,0)(0, 0)(0,0) ein → ist Restriktion erfüllt? Wenn ja → diese Seite ist zulässig.

2. Nichtnegativität vergessen einzuzeichnen. x1,x2≥0x_1, x_2 \ge 0x1​,x2​≥0 bedeutet: NUR 1. Quadrant. Wichtig bei Beispielen, wo Restriktionen-Geraden in andere Quadranten gehen.

3. Zielgerade nur einmal zeichnen. Falsch, Zielgerade muss VERSCHOBEN werden in Richtung steigender (max) / sinkender (min) zzz-Werte. Mehrere parallele Geraden zeichnen.

4. Optimum auf einer Kante. Wenn Zielgerade parallel zu einer Restriktion: GANZE Kante optimal. Antwort dann: 2 Ecken + alle Konvex-Kombinationen.

5. Schnittpunkt zweier Restriktionen falsch berechnen. a1x1+a2x2=b1a_1 x_1 + a_2 x_2 = b_1a1​x1​+a2​x2​=b1​ und a1′x1+a2′x2=b2a_1' x_1 + a_2' x_2 = b_2a1′​x1​+a2′​x2​=b2​ → Cramer-Regel oder Substitution.

6. Innere Punkte als Optimum vorschlagen. Falsch. Bei linearer Zielfunktion liegt Optimum IMMER auf dem Rand (Ecken oder Kanten). Innere Punkte sind nie optimal.

2-Variablen-LP visualisiert: Restriktionen, zulässiger Bereich, Eckpunkte + verschiebbare Zielgerade. Slider verändert z, du siehst wie das Optimum gesucht wird.

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Klausur-Tipp: Bei "Lösen Sie das LP graphisch" IMMER 4-Schritt-Methode anwenden: 1) Achsen + Nichtnegativität, 2) Restriktionen als Geraden mit 2 Punkten, 3) Zulässigen Bereich schraffieren (Test mit Ursprung), 4) Zielgerade verschieben + alle Ecken-Werte berechnen. Optimum in Ecke + Wert nennen.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Für 2-Variablen-LPs geht's am Papier. Die graphische Methode visualisiert die LP-Theorie perfekt, Klausur-Klassiker.

Die Idee in einem Satz

Graphische LP-Lösung: Bei 2 Variablen kann das LP durch Zeichnen gelöst werden, Restriktionen als Geraden, zulässiger Bereich als Polygon, Optimum in einer Ecke.

4-Schritt-Methode

Schritt 1, Koordinatensystem

Achsen x₁ (horizontal) und x₂ (vertikal). Nichtnegativitäts-Restriktion erlaubt nur 1. Quadrant.

Schritt 2, Restriktionen als Geraden

Jede Restriktion a₁ x₁ + a₂ x₂ ≤ b wird als Grenz-Gerade gezeichnet.

Konstruktion einer Geraden: 2 Punkte reichen.

  • Wenn x₁ = 0: x₂ = b / a₂
  • Wenn x₂ = 0: x₁ = b / a₁

Beispiel: 2 x₁ + 3 x₂ ≤ 12:

  • x₁ = 0 ⇒ x₂ = 4 → Punkt (0, 4)
  • x₂ = 0 ⇒ x₁ = 6 → Punkt (6, 0)

Verbinde mit Gerade.

Schritt 3, Zulässigen Bereich schraffieren

Die zulässige Seite jeder Restriktion ist:

  • Bei ≤: Seite des Ursprungs (wenn RHS positiv), darunter
  • Bei ≥: andere Seite, darüber
  • Bei =: nur die Gerade selbst

Schnitt aller Halbebenen + x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 = zulässiger Bereich.

Diese Region ist immer ein konvexes Polygon (Polytop).

Schritt 4, Zielfunktion verschieben

Zielfunktion c₁ x₁ + c₂ x₂ = z ist auch eine Gerade, für verschiedene z parallele Geraden.

Bei MAX: Verschiebe die Zielgerade in Richtung steigender z (in Gradient-Richtung), bis sie den zulässigen Bereich nur in einer Ecke berührt.

Bei MIN: Umgekehrt, in Richtung sinkender z.

Die berührende Ecke = Optimum.

Theorem: Optimum in einer Ecke

Fundamentalsatz der linearen Optimierung: Wenn ein LP eine optimale Lösung hat, dann existiert (mindestens) eine optimale Ecke des zulässigen Polytops.

Konsequenz: Statt unendlich viele Punkte zu prüfen, reicht es, alle Ecken durchzugehen.

Anzahl Ecken eines m × n-LP: Höchstens C(m+n,m), kann exponentiell viele werden, aber praktisch oft handhabbar.

Spezialfälle

1. Mehrere optimale Lösungen (Multipel-Optimum)

Wenn die Zielgerade PARALLEL zu einer aktiven Restriktion ist, dann liegt das Optimum auf einer ganzen KANTE des Polytops.

Diagnose: c ist Vielfaches eines a_i (Restriktions-Normalen-Vektor).

2. Unbeschränktes Problem

Wenn der zulässige Bereich unbeschränkt ist UND die Zielgerade in unbeschränkter Richtung verschoben werden kann → z → ∞ (max) bzw. -∞ (min).

Beispiel: max x₁ + x₂ mit nur x₁, x₂ ≥ 0 → unbeschränkt.

3. Leeres LP (unzulässig)

Wenn keine Punkte alle Restriktionen erfüllen → keine Lösung.

Beispiel: x₁ ≤ 1 und x₁ ≥ 3 → leer.

4. Entartete Ecke

Wenn mehr als 2 Restriktionen durch eine Ecke gehen → entartet. Kommt bei kleinen Problemen selten vor, kann bei Simplex Probleme verursachen.

Optimum: Ecken-Methode vs. Schieben

Ecken-Methode (algorithmisch)
  1. Finde alle Eckpunkte des zulässigen Bereichs.
  2. Berechne z = c₁ x₁ + c₂ x₂ pro Ecke.
  3. Wähle die Ecke mit größtem z (bei max).
Schieben-Methode (visuell)
  1. Wähle einen z-Wert (z.B. z = 0) und zeichne Zielgerade.
  2. Verschiebe die Gerade parallel in Gradient-Richtung.
  3. Letzter Punkt des zulässigen Bereichs, der berührt wird = Optimum.

Klausur-Praxis: Schieben ist schneller bei einfachen Problemen, Ecken-Methode systematischer.

Zusammenhang mit Simplex

Simplex-Algorithmus ist im Kern die Ecken-Methode systematisiert für höhere Dimensionen:

  1. Starte in einer Ecke.
  2. Suche benachbarte Ecke mit besserem Zielfunktions-Wert.
  3. Wechsle zu dieser Ecke.
  4. Wiederhole bis kein besserer Nachbar.

2D ist Special-Case, bei 3+ Dimensionen ist Simplex die einzige praktikable Methode (oder Innere-Punkte-Methoden).

Beispiel: Produktion mit 2 Produkten

max z = 3 x₁ + 5 x₂

unter: 2 x₁ + 1 x₂ ≤ 8; 1 x₁ + 3 x₂ ≤ 9; x₁, x₂ ≥ 0

Schritt 1: Achsen + Nichtnegativität → 1. Quadrant.

Schritt 2: Restriktion 1: (0, 8) und (4, 0). Restriktion 2: (0, 3) und (9, 0).

Schritt 3: Schnitt der ≤-Halbebenen ist ein 5-Eck mit Ecken (0, 0), (4, 0), (3, 2), (0, 3).

Schritt 4: Werte berechnen:

  • (0, 0): z = 0
  • (4, 0): z = 12
  • (3, 2): z = 9 + 10 = 19
  • (0, 3): z = 15

→ Optimum bei (3, 2) mit z^* = 19.

Klausur-Faustregeln

1. Restriktionen Gerade durch 2 Punkte: (0, b/a₂) und (b/a₁, 0).

2. Zulässige Seite: Bei ≤ → Ursprung-Seite (für b > 0), bei ≥ → andere Seite.

3. Optimum immer in einer Ecke (Fundamentalsatz der LP).

4. Schieben in Gradient-Richtung: Zielgerade verschieben bis sie nur Ecke berührt.

5. Spezialfälle erkennen: Multipel-Optimum (Kante), Unbeschränkt, Leer, Entartet.

6. Graphisch nur 2D, sonst Simplex. 3D-LP visuell schwer, ≥4D unmöglich → Simplex.

Häufige Stolpersteine

1. Restriktion auf falscher Seite schraffiert. Bei ≤ mit b > 0: Ursprung-Seite. Bei ≥ mit b > 0: Gegen-Seite. Test: Setze (0, 0) ein → ist Restriktion erfüllt? Wenn ja → diese Seite ist zulässig.

2. Nichtnegativität vergessen einzuzeichnen. x₁, x₂ ≥ 0 bedeutet: NUR 1. Quadrant. Wichtig bei Beispielen, wo Restriktionen-Geraden in andere Quadranten gehen.

3. Zielgerade nur einmal zeichnen. Falsch, Zielgerade muss VERSCHOBEN werden in Richtung steigender (max) / sinkender (min) z-Werte. Mehrere parallele Geraden zeichnen.

4. Optimum auf einer Kante. Wenn Zielgerade parallel zu einer Restriktion: GANZE Kante optimal. Antwort dann: 2 Ecken + alle Konvex-Kombinationen.

5. Schnittpunkt zweier Restriktionen falsch berechnen. a₁ x₁ + a₂ x₂ = b₁ und a₁' x₁ + a₂' x₂ = b₂ → Cramer-Regel oder Substitution.

6. Innere Punkte als Optimum vorschlagen. Falsch. Bei linearer Zielfunktion liegt Optimum IMMER auf dem Rand (Ecken oder Kanten). Innere Punkte sind nie optimal.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

Graphische LP-Lösung interaktiv

2-Variablen-LP visualisiert: Restriktionen, zulässiger Bereich, Eckpunkte + verschiebbare Zielgerade. Slider verändert z, du siehst wie das Optimum gesucht wird.

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Klausur-Tipp: Bei "Lösen Sie das LP graphisch" IMMER 4-Schritt-Methode anwenden: 1) Achsen + Nichtnegativität, 2) Restriktionen als Geraden mit 2 Punkten, 3) Zulässigen Bereich schraffieren (Test mit Ursprung), 4) Zielgerade verschieben + alle Ecken-Werte berechnen. Optimum in Ecke + Wert nennen.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

LP graphisch lösen, Praxis-Übung

6 Aufgaben zur Methodik, Spezialfällen und Eckpunkt-Berechnung.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Wie zeichnet man die Restriktion 3 x₁ + 2 x₂ ≤ 12 graphisch?

Antwort: Gerade durch (0, 4) und (6, 0), schraffiere darunter (Ursprung-Seite)

Erklärung: Standard-Methode: 2 Punkte über Achsen-Schnittpunkte. Bei x₁ = 0: x₂ = 12/2 = 6. Bei x₂ = 0: x₁ = 12/3 = 4. Also Gerade durch (0, 6) und (4, 0). Bei ≤ schraffiere Ursprung-Seite (Test: Setze (0,0) ein → 0 ≤ 12 ✓). Antwort A hat die Punkte vertauscht.

F2.Wo liegt das Optimum eines LP IMMER (falls existent)?

Antwort: In einer Ecke (oder auf einer Kante bei Multipel-Optimum)

Erklärung: Fundamentalsatz der linearen Optimierung: bei linearer Zielfunktion + linearen Restriktionen liegt das Optimum IMMER in einer Ecke des zulässigen Polytops. Spezialfall: wenn Zielgerade parallel zu einer Restriktion ist, kann das Optimum auf einer ganzen Kante liegen (Multipel-Optimum). Innere Punkte sind nie optimal.

F3.Ordne Spezialfall der Diagnose zu.

Zuordnungen:

  • Multipel-Optimum → Zielgerade parallel zu aktiver Restriktion
  • Unbeschränktes LP → Zielgerade in unbeschränkte Richtung verschiebbar
  • Leeres LP (unzulässig) → Restriktionen widersprüchlich, kein Punkt zulässig
  • Entartete Ecke → Mehr als n Restriktionen gehen durch eine Ecke

Erklärung: 4 Spezialfälle der LP-Theorie: Multipel-Optimum (Optimum auf Kante), Unbeschränkt (z → ∞), Leer (keine zulässige Lösung), Entartung (Simplex kann zykeln). Klausur-Klassiker: Diagnose anhand graphischer Lösung beschreiben.

Typ: Zuordnung

F4.Bei der Restriktion x₁ + x₂ ≥ 4: welche Seite ist zulässig?

Antwort: Gegen-Seite des Ursprungs

Erklärung: Test: Setze (0, 0) ein → 0 ≥ 4 ist FALSCH → Ursprung erfüllt Restriktion NICHT → andere Seite ist zulässig. Bei ≤ mit positiver RHS ist Ursprung typisch zulässig (Ursprung-Seite), bei ≥ umgekehrt. Klausur-Tipp: IMMER mit (0,0) testen, schnellster Check.

F5.Die graphische LP-Methode funktioniert nur für 2 Variablen, bei 3+ Variablen muss man auf algebraische Verfahren wie Simplex zurückgreifen.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Graphisch geht nur 2D (Papier-Ebene), bei 3D-LP visuell schwer (mit Müh möglich), ≥4D unmöglich für Menschen. Daher: Simplex-Algorithmus als algorithmische Version der Ecken-Methode für n Dimensionen. Wichtig: graphische Methode lehrt aber die LP-INTUITION (zulässiger Bereich, Eckpunkte, Verschieben der Zielgerade), Grundlage für Simplex-Verständnis.

Typ: Wahr/Falsch

F6.Ein LP hat den zulässigen Bereich {(x₁, x₂): x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₁ + x₂ ≤ 4} und Zielfunktion max z = 2 x₁ + 2 x₂. Was ist das Optimum?

Antwort: Auf der Kante zwischen (4, 0) und (0, 4), z* = 8, Multipel-Optimum

Erklärung: Zielgerade 2x₁ + 2x₂ = z ist PARALLEL zur Restriktion x₁ + x₂ = 4 (gleicher Normalen-Vektor (1, 1)). Daher liegt das Optimum auf der ganzen Kante zwischen (4, 0) und (0, 4), Multipel-Optimum. z* = 8 auf der ganzen Kante. Beispiele: (4, 0), (0, 4), (2, 2), (3, 1), alle mit z = 8. Klausur-Klassiker.

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

LP graphisch lösen, Klausur-Quiz

6 typische Klausurfragen zur Methodik und Theorie.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Welche Form hat der zulässige Bereich eines LP IMMER?

Antwort: Konvexes Polygon (Polytop)

Erklärung: Der zulässige Bereich eines LP ist IMMER ein konvexes Polygon (in 2D) bzw. Polytop (in höheren Dimensionen). Konvexität folgt aus dem Schnitt von Halbebenen (jede ist konvex). Daher: Eckpunkte sind endlich viele. Klausur-Theorie: Lineare Optimierung über konvexen Polytopen.

F2.Wann liegt ein 'unbeschränktes LP' vor?

Antwort: Wenn die Zielfunktion in unbeschränkte Richtung verschiebbar ist und der zulässige Bereich unbeschränkt ist

Erklärung: Unbeschränktes LP: zulässiger Bereich ist unbeschränkt UND Zielgerade kann in dieser Richtung verschoben werden, ohne den zulässigen Bereich zu verlassen. Beispiel: max x₁ + x₂ s.t. x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 (kein Limit oben). z → ∞. In Praxis: Modellierungsfehler, fehlende Restriktion.

F3.Bei einer Restriktion a₁ x₁ + a₂ x₂ ≤ b zeichnet man die Grenz-Gerade durch 2 Punkte: ({{1}}, b/a₂) und (b/a₁, {{2}}). Die zulässige Seite findet man durch Einsetzen von ({{3}}, {{4}}), wenn ≤ erfüllt, ist diese Seite zulässig. Das Optimum eines LP liegt in einer {{5}} des Polytops.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: 0 / Null
  • {{2}}: 0 / Null
  • {{3}}: 0 / Null
  • {{4}}: 0 / Null
  • {{5}}: Ecke / Eckpunkt

Erklärung: Standard-Konstruktion: Restriktions-Gerade über 2 Achsen-Schnittpunkte (x₁ = 0 → x₂ = b/a₂; x₂ = 0 → x₁ = b/a₁). Zulässige Seite: Test mit Ursprung (0, 0). Fundamentalsatz: Optimum in Ecke des Polytops. Diese 4 Fakten sind LP-Klausur-Standard.

Typ: Lückentext

F4.Bringe die Schritte der graphischen LP-Methode in die richtige Reihenfolge.

Richtige Reihenfolge:

  1. Koordinatensystem + Nichtnegativität (1. Quadrant)
  2. Restriktionen als Geraden zeichnen
  3. Zulässigen Bereich schraffieren
  4. Zielfunktions-Gerade verschieben + Optimum bestimmen

Erklärung: 4-Schritt-Methode: 1) Koordinatensystem (Achsen) + Nichtnegativität durch 1. Quadrant. 2) Restriktionen als Geraden über Achsen-Schnittpunkte. 3) Zulässigen Bereich = Schnitt aller Halbebenen markieren. 4) Zielfunktions-Gerade verschieben, Optimum in letzter Ecke, die berührt wird. Werte berechnen.

Typ: Reihenfolge

F5.Was bedeutet 'Multipel-Optimum' bei einem LP?

Antwort: Optimum ist mehrdeutig (mehrere optimale Lösungen)

Erklärung: Multipel-Optimum: das LP hat mehrere optimale Lösungen mit gleichem z*-Wert. Tritt auf, wenn Zielfunktions-Gerade parallel zu einer aktiven Restriktion ist. Lösung: das Optimum liegt auf einer ganzen KANTE, alle Punkte auf der Kante sind optimal (Konvex-Kombination zweier Ecken). Klausur-Klassiker: 'Zeichnen Sie alle optimalen Lösungen ein'.

F6.Im Inneren des zulässigen Polytops kann das Optimum eines LP nie liegen, es muss immer auf dem Rand (Ecke oder Kante) sein.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Bei linearer Zielfunktion (Gradient zeigt in feste Richtung) liegt das Optimum immer auf dem RAND des zulässigen Bereichs. Konvexitäts-Argument: wenn ein innerer Punkt optimal wäre, könnte man in Gradient-Richtung weitergehen und höheren z-Wert erreichen, also war es nicht optimal. Daher: Optimum auf Rand, und auf Rand wieder in Ecken (es sei denn parallele Zielgerade → Kanten).

Typ: Wahr/Falsch

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