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  • Einführung
  • Die Idee in einem Satz
  • Rendite und Risiko eines Portfolios
  • Diversifikations-Effekt
  • Effizienzlinie (Efficient Frontier)
  • Risikoarten
  • Kapitalmarktlinie (Capital Market Line, CML)
  • Vorbereitung CAPM
  • Klausur-Faustregeln
  • Häufige Stolpersteine
ThemenRechnungswesenPortfoliotheorie nach Markowitz
Rechnungswesen·4Lerneinheiten·20min·Stand17.07.2026

Portfoliotheorie nach Markowitz.

Du investierst 10.000€. Alle in Tesla, oder verteilt auf Tesla + Apple + Coca-Cola + Bonds? Harry Markowitz hat 1952 mathematisch gezeigt: Diversifikation reduziert Risiko, ohne Rendite zu opfern. Klausur-Pflicht in Investitions-Vorlesungen, Nobelpreis 1990.

Markowitz-Portfoliotheorie: Investoren maximieren Rendite bei gegebenem Risiko (oder minimieren Risiko bei gegebener Rendite) durch optimale Mischung von Wertpapieren. Diversifikation eliminiert unsystematisches Risiko.

Portfolio-Rendite (linear)

E(rP)=∑i=1nwi⋅E(ri)E(r_P) = \sum_{i=1}^n w_i \cdot E(r_i)E(rP​)=∑i=1n​wi​⋅E(ri​)

mit:

  • wiw_iwi​ = Gewicht des Wertpapiers iii im Portfolio
  • E(ri)E(r_i)E(ri​) = erwartete Rendite des Wertpapiers iii
  • ∑wi=1\sum w_i = 1∑wi​=1 (alle Gewichte summieren zu 100%)

Portfolio-Risiko (nicht-linear!)

Für 2 Wertpapiere:

σP2=w12σ12+w22σ22+2w1w2σ12\sigma_P^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2 w_1 w_2 \sigma_{12}σP2​=w12​σ12​+w22​σ22​+2w1​w2​σ12​

wobei σ12=ρ12σ1σ2\sigma_{12} = \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2σ12​=ρ12​σ1​σ2​ die Kovarianz ist.

Der entscheidende Term: 2w1w2σ122 w_1 w_2 \sigma_{12}2w1​w2​σ12​, bei niedrigem oder negativem ρ\rhoρ wird σP\sigma_PσP​ kleiner als der Durchschnitt der Einzelrisiken.

Korrelation ρ12\rho_{12}ρ12​Diversifikations-Effekt
ρ=+1\rho = +1ρ=+1KEIN Effekt (Risiko = Durchschnitt)
ρ=0\rho = 0ρ=0Diversifikations-Effekt vorhanden
ρ=−1\rho = -1ρ=−1Maximaler Effekt (Risiko kann auf 0!)

Klausur-Beispiel: Zwei Aktien mit jeweils σ=20%\sigma = 20\%σ=20% und ρ=0\rho = 0ρ=0. Bei 50/50-Aufteilung: σP=0.52⋅0.04+0.52⋅0.04+0=0.02≈14.1%\sigma_P = \sqrt{0.5^2 \cdot 0.04 + 0.5^2 \cdot 0.04 + 0} = \sqrt{0.02} \approx 14.1\%σP​=0.52⋅0.04+0.52⋅0.04+0​=0.02​≈14.1%

Aus 20% wurde 14%, pure Diversifikations-Magie.

Die Effizienzlinie ist die Menge aller Portfolios, die bei gegebenem Risiko die höchste Rendite (oder bei gegebener Rendite das niedrigste Risiko) liefern.

Erwartete Rendite E(r)
    ↑
    │           ●●●●●  ← Effizienzlinie (oberhalb)
    │          ●     ●
    │         ●       ●
    │        ●         ●
    │       ●●●●●●●●●●●● ← Suboptimale Portfolios
    │      Minimum-Varianz-Portfolio (MVP)
    └─────────────────────────→ Risiko σ

Schlüssel-Punkte:

  • MVP (Minimum-Varianz-Portfolio): linker Endpunkt, niedrigstes Risiko
  • Effiziente Portfolios: auf der oberen Hälfte der Kurve
  • Suboptimale Portfolios: unter der Effizienzlinie (gleiches Risiko, weniger Rendite)

Systematisches Risiko (Marktrisiko): Betrifft alle Wertpapiere (Konjunktur, Zinsen, geopolitische Krisen). NICHT diversifizierbar.

Unsystematisches Risiko (Einzelrisiko): Betrifft nur ein Unternehmen (Skandal, Management-Wechsel). Durch Diversifikation eliminierbar.

Risiko
  ↑
  │\
  │ \___ unsystematisch
  │     \___
  │         \___
  │             \___
  │_________________ systematisch (nicht eliminierbar)
  └─────────────────→ Anzahl Wertpapiere

Faustregel: Mit 20-30 zufällig gewählten Aktien ist das unsystematische Risiko praktisch eliminiert.

Wenn ein risikoloser Zinssatz rfr_frf​ existiert, ergibt sich eine LINEARE Effizienzlinie:

E(rP)=rf+E(rM)−rfσM⋅σPE(r_P) = r_f + \frac{E(r_M) - r_f}{\sigma_M} \cdot \sigma_PE(rP​)=rf​+σM​E(rM​)−rf​​⋅σP​

mit:

  • Tangenten-Portfolio MMM (= Marktportfolio bei CAPM)
  • Steigung = Sharpe-Ratio des Marktportfolios

Aus Markowitz folgt direkt das CAPM (Capital Asset Pricing Model, Sharpe 1964):

E(ri)=rf+βi⋅(E(rM)−rf)E(r_i) = r_f + \beta_i \cdot (E(r_M) - r_f)E(ri​)=rf​+βi​⋅(E(rM​)−rf​)

mit βi=σiMσM2\beta_i = \frac{\sigma_{iM}}{\sigma_M^2}βi​=σM2​σiM​​ (Sensitivität gegenüber Marktrisiko).

1. Portfolio-Rendite = LINEAR (gewichtete Summe). Portfolio-Risiko = NICHT linear (Diversifikations-Effekt).

2. Diversifikation funktioniert bei ρ<1\rho < 1ρ<1. Bei ρ=−1\rho = -1ρ=−1 kann Risiko theoretisch auf 0 reduziert werden.

3. Systematisches Risiko = nicht diversifizierbar. Unsystematisches = eliminierbar durch Diversifikation.

4. Effizienzlinie = Pareto-effiziente Portfolios. MVP = Minimum-Varianz-Punkt.

5. Mit risikolosem Zins → Capital Market Line (linear), Tangenten-Portfolio = Marktportfolio.

1. Portfolio-Risiko als gewichteten Durchschnitt berechnen. FALSCH. Risiko ist NICHT-LINEAR, Kovarianz/Korrelation muss berücksichtigt werden.

2. Diversifikation eliminiert ALLES Risiko annehmen. Systematisches Risiko bleibt, Markt-Crashes treffen alle Aktien.

3. Korrelation ignorieren. Diversifikation wirkt nur bei ρ<1\rho < 1ρ<1. Bei zwei Tech-Aktien mit ρ=0.9\rho = 0.9ρ=0.9 ist der Effekt sehr begrenzt.

4. Unsystematisches Risiko unterschätzen bei wenigen Aktien. Erst ab 20-30 Aktien ist es praktisch eliminiert. Mit 3 Aktien noch erheblich da.

5. MVP mit dem "besten" Portfolio verwechseln. MVP ist nur das risikoärmste, NICHT das renditestärkste. Anleger wählt aufgrund seiner Risikobereitschaft auf der Effizienzlinie.

Schiebe die Korrelations-ρ\rhoρ und sieh, wie sich die Effizienzlinie ändert:

  • ρ=+1\rho = +1ρ=+1: Linie wird zur Gerade (kein Diversifikations-Effekt)
  • ρ=0\rho = 0ρ=0: Gekrümmte Linie (moderater Diversifikations-Effekt)
  • ρ=−1\rho = -1ρ=−1: Risiko theoretisch auf 0 reduzierbar

Plus: Identifiziere MVP, suboptimale Portfolios und effiziente Portfolios.

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Klausur-Tipp: Bei Portfolio-Aufgaben, die Korrelation ρ\rhoρ ist DER Schlüssel. ρ=+1\rho = +1ρ=+1 macht Diversifikation nutzlos, ρ=0\rho = 0ρ=0 ist der Standard-Fall, ρ<0\rho < 0ρ<0 ist der ideale Fall. In Praxis sind Korrelationen meist 0.3-0.7.

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Inhalt dieser Übersicht

  1. Erklärung(Erklärung)
  2. Interaktiv verstehen(Visualisierung / Interaktiv)
  3. Praxis-Übung(Quiz / Klausurfragen)
  4. Klausur-Quiz(Quiz / Klausurfragen)
Teil 1·Erklärung

Erklärung

Du investierst 10.000€. Alle in Tesla, oder verteilt auf Tesla + Apple + Coca-Cola + Bonds? Harry Markowitz hat 1952 mathematisch gezeigt: Diversifikation reduziert Risiko, ohne Rendite zu opfern. Klausur-Pflicht in Investitions-Vorlesungen, Nobelpreis 1990.

Die Idee in einem Satz

Markowitz-Portfoliotheorie: Investoren maximieren Rendite bei gegebenem Risiko (oder minimieren Risiko bei gegebener Rendite) durch optimale Mischung von Wertpapieren. Diversifikation eliminiert unsystematisches Risiko.

Rendite und Risiko eines Portfolios

Portfolio-Rendite (linear)

E(r_P) = Σ_(i=1)ⁿ w_i · E(r_i)

mit:

  • w_i = Gewicht des Wertpapiers i im Portfolio
  • E(r_i) = erwartete Rendite des Wertpapiers i
  • Σ w_i = 1 (alle Gewichte summieren zu 100%)
Portfolio-Risiko (nicht-linear!)

Für 2 Wertpapiere:

σ_P² = w₁² σ₁² + w₂² σ₂² + 2 w₁ w₂ σ_(12)

wobei σ_(12) = ρ_(12) σ₁ σ₂ die Kovarianz ist.

Der entscheidende Term: 2 w₁ w₂ σ_(12), bei niedrigem oder negativem ρ wird σ_P kleiner als der Durchschnitt der Einzelrisiken.

Diversifikations-Effekt

Korrelation ρ_(12)Diversifikations-Effekt
ρ = +1KEIN Effekt (Risiko = Durchschnitt)
ρ = 0Diversifikations-Effekt vorhanden
ρ = -1Maximaler Effekt (Risiko kann auf 0!)

Klausur-Beispiel: Zwei Aktien mit jeweils σ = 20\% und ρ = 0. Bei 50/50-Aufteilung: σ_P = √(0.5² · 0.04 + 0.5² · 0.04 + 0) = √(0.02) ≈ 14.1\%

Aus 20% wurde 14%, pure Diversifikations-Magie.

Effizienzlinie (Efficient Frontier)

Die Effizienzlinie ist die Menge aller Portfolios, die bei gegebenem Risiko die höchste Rendite (oder bei gegebener Rendite das niedrigste Risiko) liefern.

Erwartete Rendite E(r)
    ↑
    │           ●●●●●  ← Effizienzlinie (oberhalb)
    │          ●     ●
    │         ●       ●
    │        ●         ●
    │       ●●●●●●●●●●●● ← Suboptimale Portfolios
    │      Minimum-Varianz-Portfolio (MVP)
    └─────────────────────────→ Risiko σ

Schlüssel-Punkte:

  • MVP (Minimum-Varianz-Portfolio): linker Endpunkt, niedrigstes Risiko
  • Effiziente Portfolios: auf der oberen Hälfte der Kurve
  • Suboptimale Portfolios: unter der Effizienzlinie (gleiches Risiko, weniger Rendite)

Risikoarten

Systematisches Risiko (Marktrisiko): Betrifft alle Wertpapiere (Konjunktur, Zinsen, geopolitische Krisen). NICHT diversifizierbar.

Unsystematisches Risiko (Einzelrisiko): Betrifft nur ein Unternehmen (Skandal, Management-Wechsel). Durch Diversifikation eliminierbar.

Risiko
  ↑
  │\
  │ \___ unsystematisch
  │     \___
  │         \___
  │             \___
  │_________________ systematisch (nicht eliminierbar)
  └─────────────────→ Anzahl Wertpapiere

Faustregel: Mit 20-30 zufällig gewählten Aktien ist das unsystematische Risiko praktisch eliminiert.

Kapitalmarktlinie (Capital Market Line, CML)

Wenn ein risikoloser Zinssatz r_f existiert, ergibt sich eine LINEARE Effizienzlinie:

E(r_P) = r_f + (E(r_M) - r_f)/(σ_M) · σ_P

mit:

  • Tangenten-Portfolio M (= Marktportfolio bei CAPM)
  • Steigung = Sharpe-Ratio des Marktportfolios

Vorbereitung CAPM

Aus Markowitz folgt direkt das CAPM (Capital Asset Pricing Model, Sharpe 1964):

E(r_i) = r_f + β_i · (E(r_M) - r_f)

mit β_i = (σ_(iM))/(σ_M²) (Sensitivität gegenüber Marktrisiko).

Klausur-Faustregeln

1. Portfolio-Rendite = LINEAR (gewichtete Summe). Portfolio-Risiko = NICHT linear (Diversifikations-Effekt).

2. Diversifikation funktioniert bei ρ < 1. Bei ρ = -1 kann Risiko theoretisch auf 0 reduziert werden.

3. Systematisches Risiko = nicht diversifizierbar. Unsystematisches = eliminierbar durch Diversifikation.

4. Effizienzlinie = Pareto-effiziente Portfolios. MVP = Minimum-Varianz-Punkt.

5. Mit risikolosem Zins → Capital Market Line (linear), Tangenten-Portfolio = Marktportfolio.

Häufige Stolpersteine

1. Portfolio-Risiko als gewichteten Durchschnitt berechnen. FALSCH. Risiko ist NICHT-LINEAR, Kovarianz/Korrelation muss berücksichtigt werden.

2. Diversifikation eliminiert ALLES Risiko annehmen. Systematisches Risiko bleibt, Markt-Crashes treffen alle Aktien.

3. Korrelation ignorieren. Diversifikation wirkt nur bei ρ < 1. Bei zwei Tech-Aktien mit ρ = 0.9 ist der Effekt sehr begrenzt.

4. Unsystematisches Risiko unterschätzen bei wenigen Aktien. Erst ab 20-30 Aktien ist es praktisch eliminiert. Mit 3 Aktien noch erheblich da.

5. MVP mit dem "besten" Portfolio verwechseln. MVP ist nur das risikoärmste, NICHT das renditestärkste. Anleger wählt aufgrund seiner Risikobereitschaft auf der Effizienzlinie.

Teil 2·Visualisierung / Interaktiv

Interaktiv verstehen

Efficient-Frontier-Visualizer

Schiebe die Korrelations-ρ und sieh, wie sich die Effizienzlinie ändert:

  • ρ = +1: Linie wird zur Gerade (kein Diversifikations-Effekt)
  • ρ = 0: Gekrümmte Linie (moderater Diversifikations-Effekt)
  • ρ = -1: Risiko theoretisch auf 0 reduzierbar

Plus: Identifiziere MVP, suboptimale Portfolios und effiziente Portfolios.

Interaktive Visualisierung

Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.

Klausur-Tipp: Bei Portfolio-Aufgaben, die Korrelation ρ ist DER Schlüssel. ρ = +1 macht Diversifikation nutzlos, ρ = 0 ist der Standard-Fall, ρ < 0 ist der ideale Fall. In Praxis sind Korrelationen meist 0.3-0.7.

Teil 3·Quiz / Klausurfragen

Praxis-Übung

Portfoliotheorie, Praxis-Übung

6 Aufgaben zu Diversifikation, Effizienzlinie, Risiko.

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Was sagt die Markowitz-Portfoliotheorie?

Antwort: Diversifikation reduziert Risiko ohne Rendite zu opfern

Erklärung: Markowitz: durch Diversifikation (Mischung verschiedener Wertpapiere) kann das unsystematische Risiko eliminiert werden, OHNE die erwartete Rendite zu opfern. Nobelpreis 1990 für diese Erkenntnis.

F2.Bei welcher Korrelation gibt es den MAXIMALEN Diversifikations-Effekt?

Antwort: `ρ = -1`

Erklärung: `ρ = -1` (perfekt negative Korrelation): Eine Aktie steigt, wenn die andere fällt → Risiko kann theoretisch auf 0 reduziert werden. Bei `ρ = +1` kein Effekt, bei `ρ = 0` moderater Effekt.

F3.Das systematische Risiko (Marktrisiko) kann durch Diversifikation eliminiert werden.

Antwort: Falsch

Erklärung: FALSCH. Systematisches Risiko betrifft ALLE Wertpapiere (Konjunktur, Zinsen, geopolitische Krisen), durch Diversifikation NICHT eliminierbar. Nur das unsystematische (Einzelrisiko) ist diversifizierbar.

Typ: Wahr/Falsch

F4.Was ist die Effizienzlinie?

Antwort: Die Menge aller Portfolios mit höchster Rendite bei gegebenem Risiko

Erklärung: Effizienzlinie = Pareto-optimale Portfolios. Bei gegebenem Risiko die höchste Rendite (oder bei gegebener Rendite das niedrigste Risiko). Unterhalb der Linie = suboptimal. MVP ist linker Endpunkt.

F5.Welche Aussagen über Portfolio-Risiko sind RICHTIG?

Richtige Antworten: Portfolio-Rendite = gewichtete Summe der Einzel-Renditen; Korrelation zwischen Wertpapieren bestimmt den Diversifikations-Effekt; Mit 20-30 Aktien ist unsystematisches Risiko praktisch eliminiert; MVP = Minimum-Varianz-Portfolio

Erklärung: Richtig: Rendite linear, Korrelation bestimmt Effekt, 20-30 Aktien Diversifikation, MVP. Falsch: Risiko ist NICHT linear (Kovarianz zählt); Sharpe = (Rendite − rf) / Risiko (Überrendite pro Risiko-Einheit).

Typ: Multi-Select

F6.Ordne Risiko-Typ der Eigenschaft zu:

Zuordnungen:

  • Systematisches Risiko → Marktrisiko, NICHT diversifizierbar
  • Unsystematisches Risiko → Einzelrisiko, durch Diversifikation eliminierbar
  • Beta (β) → Sensitivität gegenüber systematischem Risiko
  • Kovarianz → Mass für Co-Bewegung zweier Aktien

Erklärung: Risiko-Kategorisierung. Klausur-Pflicht: Trennung systematisch vs. unsystematisch.

Typ: Zuordnung

Teil 4·Quiz / Klausurfragen

Klausur-Quiz

Klausurfragen mit Lösungen (6)

F1.Zwei Aktien mit je σ = 20%, Korrelation ρ = 0, 50/50-Portfolio. Was ist σ_P in % (auf 1 Dezimale)?

Antwort: 14.1 (Toleranz ±0.2)

Erklärung: `σ_P² = 0.5² · 0.04 + 0.5² · 0.04 + 2 · 0.5 · 0.5 · 0 = 0.01 + 0.01 = 0.02`. `σ_P = √(0.02) ≈ 0.1414 = 14.1\%`. Diversifikation reduziert 20% auf 14.1%, Magic.

Typ: Zahlen-Eingabe

F2.Das CAPM (r_E = r_f + β · (r_M - r_f)) folgt direkt aus der Markowitz-Portfoliotheorie.

Antwort: Wahr

Erklärung: RICHTIG. Sharpe (1964) baute CAPM auf Markowitz auf. Wenn alle Investoren effiziente Portfolios halten und ein risikofreier Zins existiert, ist das Marktportfolio das einzige effiziente Tangenten-Portfolio → CAPM-Gleichung.

Typ: Wahr/Falsch

F3.Sie haben 2 Tech-Aktien mit hoher Korrelation (ρ = 0.9). Was bringt Diversifikation?

Antwort: Sehr wenig, fast kein Diversifikations-Effekt

Erklärung: Bei hoher Korrelation (`ρ > 0.8`) ist Diversifikations-Effekt sehr begrenzt. Beide Aktien bewegen sich ähnlich → Mischung reduziert kaum das Risiko. Daher: für echte Diversifikation verschiedene Branchen + Anlageklassen mischen.

F4.Was ist die Sharpe-Ratio?

Antwort: Überrendite (über `r_f`) pro Einheit Risiko: `(r - r_f) / σ`

Erklärung: Sharpe-Ratio = `(r_P - r_f) / σ_P`. Misst Rendite-Risiko-Effizienz. Höher = besser. Sharpe-Ratio des Marktportfolios entspricht der Steigung der Capital Market Line.

F5.Portfolio-Rendite = {{1}} der Einzel-Renditen. Portfolio-Risiko ist {{2}}-linear wegen {{3}}. {{4}}-Linie = Pareto-optimale Portfolios. {{5}}-Portfolio = niedrigstes Risiko.

Lösungen pro Lücke:

  • {{1}}: gewichtete Summe / Summe
  • {{2}}: nicht
  • {{3}}: Korrelation / Kovarianz
  • {{4}}: Effizienz / Efficient Frontier
  • {{5}}: MVP / Minimum-Varianz

Erklärung: Markowitz-Vokabular. Rendite linear, Risiko nicht-linear, Effizienzlinie, MVP.

Typ: Lückentext

F6.Sortiere: Markowitz-Portfolio-Konstruktion.

Richtige Reihenfolge:

  1. Erwartete Renditen + Risiken + Korrelationen aller Wertpapiere sammeln
  2. Portfolio-Rendite + Risiko für alle möglichen Gewichtungen berechnen
  3. Effizienzlinie identifizieren (Pareto-optimale Portfolios)
  4. Risikolosen Zins $r_f$ einbeziehen → Capital Market Line
  5. Tangenten-Portfolio (= Marktportfolio) identifizieren
  6. Anleger wählt Punkt auf CML je nach Risikobereitschaft

Erklärung: Standard-Markowitz-Workflow. Daten → Berechnungen → Effizienzlinie → CML → Investitionsentscheidung.

Typ: Reihenfolge

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