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Teil 1·Erklärung
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Du investierst 10.000€. Alle in Tesla — oder verteilt auf Tesla + Apple + Coca-Cola + Bonds? Harry Markowitz hat 1952 mathematisch gezeigt: Diversifikation reduziert Risiko, ohne Rendite zu opfern. Klausur-Pflicht in Investitions-Vorlesungen, Nobelpreis 1990.
Klausur-Tipp: Bei Portfolio-Aufgaben — die Korrelation ist DER Schlüssel. macht Diversifikation nutzlos, ist der Standard-Fall, ist der ideale Fall. In Praxis sind Korrelationen meist 0.3-0.7.
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Du investierst 10.000€. Alle in Tesla — oder verteilt auf Tesla + Apple + Coca-Cola + Bonds? Harry Markowitz hat 1952 mathematisch gezeigt: Diversifikation reduziert Risiko, ohne Rendite zu opfern. Klausur-Pflicht in Investitions-Vorlesungen, Nobelpreis 1990.
Markowitz-Portfoliotheorie: Investoren maximieren Rendite bei gegebenem Risiko (oder minimieren Risiko bei gegebener Rendite) durch optimale Mischung von Wertpapieren. Diversifikation eliminiert unsystematisches Risiko.
E(r_P) = Σ_(i=1)ⁿ w_i · E(r_i)
mit:
w_i = Gewicht des Wertpapiers i im PortfolioE(r_i) = erwartete Rendite des Wertpapiers iΣ w_i = 1 (alle Gewichte summieren zu 100%)Für 2 Wertpapiere:
σ_P² = w₁² σ₁² + w₂² σ₂² + 2 w₁ w₂ σ_(12)
wobei σ_(12) = ρ_(12) σ₁ σ₂ die Kovarianz ist.
Der entscheidende Term: 2 w₁ w₂ σ_(12) — bei niedrigem oder negativem ρ wird σ_P kleiner als der Durchschnitt der Einzelrisiken.
Korrelation ρ_(12) | Diversifikations-Effekt |
|---|---|
ρ = +1 | KEIN Effekt (Risiko = Durchschnitt) |
ρ = 0 | Diversifikations-Effekt vorhanden |
ρ = -1 | Maximaler Effekt (Risiko kann auf 0!) |
Klausur-Beispiel: Zwei Aktien mit jeweils σ = 20\% und ρ = 0. Bei 50/50-Aufteilung:
σ_P = √(0.5² · 0.04 + 0.5² · 0.04 + 0) = √(0.02) ≈ 14.1\%
Aus 20% wurde 14% — pure Diversifikations-Magie.
Die Effizienzlinie ist die Menge aller Portfolios, die bei gegebenem Risiko die höchste Rendite (oder bei gegebener Rendite das niedrigste Risiko) liefern.
Erwartete Rendite E(r)
↑
│ ●●●●● ← Effizienzlinie (oberhalb)
│ ● ●
│ ● ●
│ ● ●
│ ●●●●●●●●●●●● ← Suboptimale Portfolios
│ Minimum-Varianz-Portfolio (MVP)
└─────────────────────────→ Risiko σ
Schlüssel-Punkte:
Systematisches Risiko (Marktrisiko): Betrifft alle Wertpapiere (Konjunktur, Zinsen, geopolitische Krisen). NICHT diversifizierbar.
Unsystematisches Risiko (Einzelrisiko): Betrifft nur ein Unternehmen (Skandal, Management-Wechsel). Durch Diversifikation eliminierbar.
Risiko
↑
│\
│ \___ unsystematisch
│ \___
│ \___
│ \___
│_________________ systematisch (nicht eliminierbar)
└─────────────────→ Anzahl Wertpapiere
Faustregel: Mit 20-30 zufällig gewählten Aktien ist das unsystematische Risiko praktisch eliminiert.
Wenn ein risikoloser Zinssatz r_f existiert, ergibt sich eine LINEARE Effizienzlinie:
E(r_P) = r_f + (E(r_M) - r_f)/(σ_M) · σ_P
mit:
M (= Marktportfolio bei CAPM)Aus Markowitz folgt direkt das CAPM (Capital Asset Pricing Model, Sharpe 1964):
E(r_i) = r_f + β_i · (E(r_M) - r_f)
mit β_i = (σ_(iM))/(σ_M²) (Sensitivität gegenüber Marktrisiko).
1. Portfolio-Rendite = LINEAR (gewichtete Summe). Portfolio-Risiko = NICHT linear (Diversifikations-Effekt).
2. Diversifikation funktioniert bei ρ < 1. Bei ρ = -1 kann Risiko theoretisch auf 0 reduziert werden.
3. Systematisches Risiko = nicht diversifizierbar. Unsystematisches = eliminierbar durch Diversifikation.
4. Effizienzlinie = Pareto-effiziente Portfolios. MVP = Minimum-Varianz-Punkt.
5. Mit risikolosem Zins → Capital Market Line (linear), Tangenten-Portfolio = Marktportfolio.
1. Portfolio-Risiko als gewichteten Durchschnitt berechnen. FALSCH. Risiko ist NICHT-LINEAR — Kovarianz/Korrelation muss berücksichtigt werden.
2. Diversifikation eliminiert ALLES Risiko annehmen. Systematisches Risiko bleibt — Markt-Crashes treffen alle Aktien.
3. Korrelation ignorieren. Diversifikation wirkt nur bei ρ < 1. Bei zwei Tech-Aktien mit ρ = 0.9 ist der Effekt sehr begrenzt.
4. Unsystematisches Risiko unterschätzen bei wenigen Aktien. Erst ab 20-30 Aktien ist es praktisch eliminiert. Mit 3 Aktien noch erheblich da.
5. MVP mit dem "besten" Portfolio verwechseln. MVP ist nur das risikoärmste, NICHT das renditestärkste. Anleger wählt aufgrund seiner Risikobereitschaft auf der Effizienzlinie.
Schiebe die Korrelations-ρ und sieh, wie sich die Effizienzlinie ändert:
ρ = +1: Linie wird zur Gerade (kein Diversifikations-Effekt)ρ = 0: Gekrümmte Linie (moderater Diversifikations-Effekt)ρ = -1: Risiko theoretisch auf 0 reduzierbarPlus: Identifiziere MVP, suboptimale Portfolios und effiziente Portfolios.
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Klausur-Tipp: Bei Portfolio-Aufgaben — die Korrelation ρ ist DER Schlüssel. ρ = +1 macht Diversifikation nutzlos, ρ = 0 ist der Standard-Fall, ρ < 0 ist der ideale Fall. In Praxis sind Korrelationen meist 0.3-0.7.
6 Aufgaben zu Diversifikation, Effizienzlinie, Risiko.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: Diversifikation reduziert Risiko ohne Rendite zu opfern
Erklärung: Markowitz: durch Diversifikation (Mischung verschiedener Wertpapiere) kann das unsystematische Risiko eliminiert werden, OHNE die erwartete Rendite zu opfern. Nobelpreis 1990 für diese Erkenntnis.
Antwort: `ρ = -1`
Erklärung: `ρ = -1` (perfekt negative Korrelation): Eine Aktie steigt, wenn die andere fällt → Risiko kann theoretisch auf 0 reduziert werden. Bei `ρ = +1` kein Effekt, bei `ρ = 0` moderater Effekt.
Antwort: Falsch
Erklärung: FALSCH. Systematisches Risiko betrifft ALLE Wertpapiere (Konjunktur, Zinsen, geopolitische Krisen) — durch Diversifikation NICHT eliminierbar. Nur das unsystematische (Einzelrisiko) ist diversifizierbar.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: Die Menge aller Portfolios mit höchster Rendite bei gegebenem Risiko
Erklärung: Effizienzlinie = Pareto-optimale Portfolios. Bei gegebenem Risiko die höchste Rendite (oder bei gegebener Rendite das niedrigste Risiko). Unterhalb der Linie = suboptimal. MVP ist linker Endpunkt.
Richtige Antworten: Portfolio-Rendite = gewichtete Summe der Einzel-Renditen; Korrelation zwischen Wertpapieren bestimmt den Diversifikations-Effekt; Mit 20-30 Aktien ist unsystematisches Risiko praktisch eliminiert; MVP = Minimum-Varianz-Portfolio
Erklärung: Richtig: Rendite linear, Korrelation bestimmt Effekt, 20-30 Aktien Diversifikation, MVP. Falsch: Risiko ist NICHT linear (Kovarianz zählt); Sharpe = (Rendite − rf) / Risiko (Überrendite pro Risiko-Einheit).
Typ: Multi-Select
Zuordnungen:
Erklärung: Risiko-Kategorisierung. Klausur-Pflicht: Trennung systematisch vs. unsystematisch.
Typ: Zuordnung
Klausurfragen mit Lösungen (6)
Antwort: 14.1 (Toleranz ±0.2)
Erklärung: `σ_P² = 0.5² · 0.04 + 0.5² · 0.04 + 2 · 0.5 · 0.5 · 0 = 0.01 + 0.01 = 0.02`. `σ_P = √(0.02) ≈ 0.1414 = 14.1\%`. Diversifikation reduziert 20% auf 14.1% — Magic.
Typ: Zahlen-Eingabe
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. Sharpe (1964) baute CAPM auf Markowitz auf. Wenn alle Investoren effiziente Portfolios halten und ein risikofreier Zins existiert, ist das Marktportfolio das einzige effiziente Tangenten-Portfolio → CAPM-Gleichung.
Typ: Wahr/Falsch
Antwort: Sehr wenig — fast kein Diversifikations-Effekt
Erklärung: Bei hoher Korrelation (`ρ > 0.8`) ist Diversifikations-Effekt sehr begrenzt. Beide Aktien bewegen sich ähnlich → Mischung reduziert kaum das Risiko. Daher: für echte Diversifikation verschiedene Branchen + Anlageklassen mischen.
Antwort: Überrendite (über `r_f`) pro Einheit Risiko: `(r - r_f) / σ`
Erklärung: Sharpe-Ratio = `(r_P - r_f) / σ_P`. Misst Rendite-Risiko-Effizienz. Höher = besser. Sharpe-Ratio des Marktportfolios entspricht der Steigung der Capital Market Line.
Lösungen pro Lücke:
Erklärung: Markowitz-Vokabular. Rendite linear, Risiko nicht-linear, Effizienzlinie, MVP.
Typ: Lückentext
Richtige Reihenfolge:
Erklärung: Standard-Markowitz-Workflow. Daten → Berechnungen → Effizienzlinie → CML → Investitionsentscheidung.
Typ: Reihenfolge