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Erklärung
Losgrößenplanung
Wie viele Stück bestellt oder produziert man auf einmal? Klausurpflicht in 5/5 Produktions-Modulen. Klassiker mit der berühmten Andler-Formel.
Die Idee in einem Satz
Die optimale Losgröße balanciert Bestell-/Rüstkosten (sinken mit Q) gegen Lagerkosten (steigen mit Q). Im Optimum (EOQ) sind beide gleich groß.
Trade-off
Große Lose:
- Wenige Bestellungen / Rüstvorgänge → niedrige Bestell-/Rüstkosten
- Aber: hohe Bestände → hohe Lagerkosten
Kleine Lose:
- Häufig bestellen / rüsten → hohe Bestell-/Rüstkosten
- Aber: niedrige Bestände → niedrige Lagerkosten
→ Mathematisches Minimum bei mittlerer Größe Q*.
Andler-Formel (EOQ, 1929)
Annahmen:
- Konstanter Bedarf D pro Periode
- Konstante Bestellkosten K_B pro Bestellung
- Konstante Lagerkosten k_L pro Stück pro Periode
- Keine Mengenrabatte
- Sofortige Lieferung (kein Lieferverzug)
- Keine Fehlmengen erlaubt
- Lager wird voll zurückgegeben (kein Schwund)
Gesamtkosten-Funktion:
K(Q) = underbraceD/Q · K_B_(Bestellkosten) + underbraceQ/2 · k_L_(Lagerkosten)
Erste Ableitung:
dK/dQ = -(D · K_B)/Q² + k_L/2 = 0
Optimale Bestellmenge (EOQ / Andler):
Q^* = √((2 · D · K_B)/k_L)
Optimale Kosten:
K^* = √(2 · D · K_B · k_L)
Schöne Eigenschaft im Optimum: Bestellkosten = Lagerkosten =
√(D · K_B · k_L / 2). Wenn man die beiden Kurven zeichnet, schneiden sie sich bei Q*.
Wichtige abgeleitete Größen
Anzahl Bestellungen pro Periode: N^* = D / Q^*
Zykluszeit: T^* = Q^* / D
Durchschnittlicher Lagerbestand: B̄ = Q^* / 2
Beispiel-Rechnung
Pro-Praxis-Aufgabe: D = 1.200 Stück/Jahr, K_B = 50 €/Bestellung, k_L = 2 €/Stück/Jahr.
Q^* = √((2 · 1200 · 50)/2) = √(60.000) ≈ 245 Stück
N^* = 1200 / 245 ≈ 4.9 Bestellungen/Jahr
K^* = √(2 · 1200 · 50 · 2) = √(240.000) ≈ 490 €/Jahr
Mengenrabatt-Modell (Erweiterung)
Wenn Lieferant Mengenrabatt anbietet (z.B. ab 500 Stück 5 % Rabatt):
Verfahren:
- Berechne EOQ ohne Rabatt
- Wenn EOQ < Rabatt-Schwelle: vergleiche K(EOQ) mit K(Rabatt-Schwelle, inkl. Rabatt)
- Wähle kleineren K-Wert
Häufig lohnt es sich, die Bestellmenge auf die Rabatt-Schwelle ANZUHEBEN (auch wenn größer als EOQ).
Dynamische Losgrößenplanung (schwankender Bedarf)
Wenn der Bedarf NICHT konstant ist, gilt Andler nicht direkt. Verfahren:
Wagner-Whitin (1958)
Dynamische Programmierung für optimale Lose bei T-Perioden-Horizont mit gegebenen Bedarfen d_1, ..., d_T.
Vorteil: OPTIMALE Lösung (NP-leicht trotz exponentieller Anzahl Möglichkeiten, DP reduziert auf O(T²)). Nachteil: Komplex, nur für überschaubaren Horizont praktisch.
Silver-Meal-Heuristik (1973)
Iteratives Verfahren: Solange durchschnittliche Periodenkosten sinken, weiteren Bedarf zum aktuellen Los hinzufügen. Sobald sie steigen → neues Los starten.
Vorteil: Schnell, gut für rollierende Planung. Nachteil: Heuristik, nicht garantiert optimal.
Least-Unit-Cost (LUC)
Wähle Losgröße mit niedrigsten Stückkosten (über alle möglichen Periodenkombinationen).
Part-Period-Balancing (PPB)
Wähle Losgröße so, dass aufsummierte Bedarfs-Lagerperioden den Rüst-/Lagerkosten-Quotienten ergeben.
Spezielle Erweiterungen
Mit Fehlmengen erlaubt
Wenn Fehlmengen erlaubt sind (Backorders), wird Q* GRÖSSER, weil man Lagerkosten gegen Fehlmengen-Kosten tauschen kann.
Mit Produktion (statt Bestellung), Endliche Produktionsrate
EOQ-Erweiterung für Produktion mit Rate p > Nachfrage d:
Q^*_(prod) = √((2 · D · K_R)/(k_L · (1 - d/p)))
K_R = Rüstkosten pro Produktionslos.
Mit mehreren Produkten
Joint Replenishment Problem (JRP): gemeinsam bestellen spart Fixkosten, kompliziert die Optimierung.
Klausur-Faustregeln
- Andler-Formel: Q* = √(2 D K_B / k_L)
- K-Formel:* K* = √(2 D K_B k_L) = 2 × Lagerkosten = 2 × Bestellkosten
- Bei Q gilt: Bestellkosten = Lagerkosten* (Schnittpunkt im Diagramm)
- Annahmen: konstanter Bedarf + konstante Kosten + sofortige Lieferung + keine Fehlmengen
- Bei Mengenrabatt: EOQ berechnen, dann mit Rabatt-Schwelle vergleichen
- Bei dynamischem Bedarf: Wagner-Whitin (optimal DP) oder Silver-Meal (Heuristik)
- Erweiterung Produktion: Q* erhöht um Faktor 1/(1−d/p)
- Stabilität: Q* ist robust, Abweichung um 50% führt nur zu ~5% höheren Kosten (sqrt-Kurve)
Stolpersteine
❌ *"Q gilt auch bei schwankendem Bedarf"**, FALSCH. Andler nimmt konstanten Bedarf an. Bei Schwankung: Wagner-Whitin oder Silver-Meal.
❌ "Mengenrabatt ändert EOQ nicht", FALSCH. Bei Mengenrabatt sollte man oft die Rabatt-Schwelle wählen, auch wenn größer als EOQ.
❌ "K_B und k_L sind fix", FALSCH. Sie können variieren (z.B. K_B höher bei seltenen Lieferanten). Sensitivitäts-Analyse wichtig.
❌ "Andler ist veraltet", FALSCH. Trotz 1929 immer noch Standard für stabile Bedarfe. Wagner-Whitin nur bei schwankendem Bedarf nötig.
❌ "K_lager = Q × k_L", FALSCH. K_lager = (Q/2) × k_L (durchschnittlicher Bestand ist HALBE Losgröße bei kontinuierlichem Abbau).
❌ "Q ist scharf"**, FALSCH. Q ist robust gegen Fehl-Schätzungen wegen sqrt-Form. ±50% Q* führt nur zu ~5% Kosten-Anstieg. Beruhigend in der Praxis.
Quellen
- Harris, F. W. "How Many Parts to Make at Once", Factory Magazine 1913. Erste EOQ-Formel.
- Andler, K. Rationalisierung der Fabrikation und optimale Losgröße, Verlag von R. Oldenbourg, München 1929. Deutsche Klassik.
- Wilson, R. H. "A Scientific Routine for Stock Control", Harvard Business Review 1934. EOQ-Popularisierung.
- Wagner, H. M.; Whitin, T. M. "Dynamic Version of the Economic Lot Size Model", Management Science 1958. Wagner-Whitin-Algorithmus.
- Silver, E.; Meal, H. "A Heuristic for Selecting Lot Size Requirements", Production and Inventory Management 1973.
- Günther, H.-O.; Tempelmeier, H. Produktion und Logistik, 9. Aufl., Springer 2012. Kap. 8 Losgrößenplanung.
- Tempelmeier, H. Bestandsmanagement in Supply Chains, 6. Aufl., Books On Demand 2018. Standardwerk DACH.
Interaktiv verstehen
Losgrößenplanung, EOQ-Visualizer
Interaktive Andler/EOQ-Berechnung mit 3 Slidern (Periodenbedarf D, Bestellkosten K_B, Lagerkostensatz k_L). Diagramm zeigt 3 Kurven: Bestellkosten (rot, fällt hyperbolisch), Lagerkosten (blau, linear steigend), Gesamtkosten (grün, U-förmig). Optimum Q* mit orange Markierung. Plus Ergebnis-Tabelle mit Bestellungen/Jahr und Kostenaufschlüsselung.
Interaktive Visualisierung
Interaktive Komponente: probiere sie im Topic-Player oben aus.
Klausur-Tipp: Andler-Formel Q* = √(2·D·K_B/k_L) auswendig können. Bei Q* gilt: Bestellkosten = Lagerkosten (Schnittpunkt im Diagramm). Bei schwankendem Bedarf → Wagner-Whitin (DP) oder Silver-Meal (Heuristik).
Praxis-Übung
Losgrößenplanung, Praxis-Übung
6 Aufgaben zur Andler-Formel + Wagner-Whitin + Mengenrabatt.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
- F1.Wie lautet die Andler-Formel (EOQ) für die optimale Losgröße Q*?
Antwort: Q* = √(2 × D × K_B / k_L)
Erklärung: Andler-Formel (Harris 1913, Andler 1929, Wilson 1934): Q* = √(2·D·K_B/k_L). D = Periodenbedarf, K_B = Bestellkosten pro Bestellung, k_L = Lagerkostensatz pro Stück und Periode. Klausur-Pflicht-Formel, auswendig wissen.
- F2.Was gilt für die Bestell- und Lagerkosten BEI der optimalen Losgröße Q*?
Antwort: Bestellkosten = Lagerkosten (sie schneiden sich im Diagramm bei Q*)
Erklärung: Bei Q* sind Bestellkosten = Lagerkosten = √(D·K_B·k_L/2). Die beiden Kurven schneiden sich genau bei Q*. Gesamtkosten K* = 2 × Bestellkosten = 2 × Lagerkosten = √(2·D·K_B·k_L). Diese Symmetrie ist KLAUSUR-PFLICHT-Wissen und oft Bestandteil der grafischen Aufgaben.
- F3.Ordne Losgrößen-Verfahren der Eigenschaft zu.
Zuordnungen:
- Andler / EOQ (Harris 1913) → Konstanter Bedarf, statische Formel, Klassiker
- Wagner-Whitin (1958) → Dynamische Programmierung, optimale Lösung bei schwankendem Bedarf
- Silver-Meal (1973) → Heuristik: füge Bedarf hinzu solange Periodenkosten sinken
- Lot-for-Lot (L4L) → Genau Nettobedarf bestellen, kein Lager, MRP-Standard
Erklärung: Verfahrens-Übersicht. Andler: statisch + konstanter Bedarf. Wagner-Whitin: dynamisch + optimal aber komplex. Silver-Meal: dynamisch + schnell aber heuristisch. L4L: einfachstes Verfahren. Klausur-Klassiker.
Typ: Zuordnung
- F4.Bei D = 800 Stück/Jahr, K_B = 100 €/Bestellung, k_L = 4 €/Stück/Jahr: Wie groß ist Q*?
Antwort: Q* = 200 Stück
Erklärung: Q* = √(2 × 800 × 100 / 4) = √(40.000) = 200 Stück. Klausur-Standard-Rechentyp: Werte einsetzen + Wurzel ziehen. Plus-Frage: N* = 800/200 = 4 Bestellungen/Jahr. K* = √(2×800×100×4) = √640.000 = 800 € (= 400 Bestell + 400 Lager).
- F5.Die Andler-Formel nimmt KONSTANTEN Bedarf an. Bei schwankendem Bedarf liefert sie keine optimale Lösung.
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. 7 Annahmen Andler: 1) konstanter Bedarf, 2) konstante Kosten, 3) keine Rabatte, 4) sofortige Lieferung, 5) keine Fehlmengen, 6) kein Schwund, 7) infinite Horizont. Bei schwankendem Bedarf brauche man Wagner-Whitin (optimal DP) oder Silver-Meal/Part-Period-Balancing/Least-Unit-Cost (Heuristiken). Klausur-Pflicht-Annahmen.
Typ: Wahr/Falsch
- F6.Was passiert mit der optimalen Bestellmenge Q*, wenn die Bestellkosten K_B sich VERDOPPELN (bei sonst gleichen Parametern)?
Antwort: Q* steigt um Faktor √2 ≈ 1.414
Erklärung: Q* = √(2·D·K_B/k_L). Wenn K_B verdoppelt → Q* steigt um Faktor √2. Wurzel-Eigenschaft: relative Änderungen sind quadratisch gedämpft. Vorteil: Q* ist ROBUST gegen Fehl-Schätzungen, selbst bei ±50% Fehler in K_B oder k_L steigen die Kosten nur um ~5%. Klausur-Sensitivitäts-Frage.
Klausur-Quiz
Losgrößenplanung, Klausur-Quiz
6 Klausur-Fragen mit Andler-Berechnung + Mengenrabatt + dynamischen Verfahren.
Klausurfragen mit Lösungen (6)
- F1.Was beschreibt der durchschnittliche Lagerbestand bei der Andler-Lösung?
Antwort: Q/2 (halbe Losgröße, weil kontinuierlich abgebaut)
Erklärung: Bei kontinuierlichem Abbau des Lagers (von Q auf 0) liegt der durchschnittliche Bestand bei Q/2. Daher: K_lager = (Q/2) × k_L. Klausur-Standard-Fehler: K_lager = Q × k_L vergessen, dass es ein Durchschnitt ist. Bei Sägezahn-Diagramm sieht man das geometrisch.
- F2.Welcher Algorithmus löst das DYNAMISCHE Losgrößen-Problem mit schwankendem Bedarf OPTIMAL?
Antwort: Wagner-Whitin (Dynamische Programmierung)
Erklärung: Wagner-Whitin (1958, Management Science): Dynamische Programmierung mit O(T²) Komplexität. Garantiert OPTIMALE Lösung bei T-Perioden-Horizont und beliebigen Periodenbedarfen. Andler ist nur für konstanten Bedarf. Silver-Meal + andere Heuristiken sind schnell aber nicht garantiert optimal. Klausur-Pflicht-Unterscheidung.
- F3.Vervollständige die Andler-Eigenschaften: Q* = √(2 × D × {{1}} / {{2}}). Bei Q* gilt Bestellkosten = {{3}}.
Lösungen pro Lücke:
- {{1}}: K_B / KB / Bestellkosten
- {{2}}: k_L / kL / Lagerkostensatz / Lagerkosten pro Stück
- {{3}}: Lagerkosten / K_L / KL / Lager
Erklärung: Andler: Q* = √(2·D·K_B/k_L). Bei Q* schneiden sich Bestell- und Lagerkosten-Kurve → beide gleich groß = √(D·K_B·k_L/2). Folge: K* = 2 × Bestellkosten = 2 × Lagerkosten = √(2·D·K_B·k_L). Klausur-Pflicht-Symmetrie.
Typ: Lückentext
- F4.Ein Lieferant bietet ab 500 Stück 5 % Rabatt. EOQ-Berechnung ergibt Q* = 300 Stück. Was sollte das Unternehmen tun?
Antwort: Beide Optionen vergleichen: K(Q*=300, ohne Rabatt) vs. K(Q=500, mit 5 % Rabatt). Niedrigere Kosten wählen.
Erklärung: Mengenrabatt-Modell: 1) EOQ ohne Rabatt berechnen, 2) wenn EOQ < Rabatt-Schwelle, beide K-Werte vergleichen, 3) Niedrigere wählen. Oft lohnt es sich, die Bestellmenge auf Rabatt-Schwelle ANZUHEBEN (auch wenn größer als EOQ), weil der Material-Preis-Rabatt die zusätzlichen Lagerkosten überkompensiert. Klausur-Pflicht-Vorgehen.
- F5.Die Andler-Formel ist sehr robust: Eine Fehl-Schätzung der Parameter um ±50 % führt nur zu etwa 5 % höheren Gesamtkosten.
Antwort: Wahr
Erklärung: RICHTIG. Andler-Robustheit dank Wurzel-Eigenschaft: K(Q) ist in Q* sehr flach. ±50 % Fehler in K_B oder k_L führt nur zu ~5 % Kosten-Anstieg. Beruhigend in der Praxis, weil exakte Kosten-Schätzungen oft schwer sind. Klausur-Sensitivitäts-Klassiker. Daher: Andler bleibt trotz vereinfachter Annahmen relevant.
Typ: Wahr/Falsch
- F6.Was beschreibt die SILVER-MEAL-Heuristik (1973) für dynamische Losgrößen?
Antwort: Iteratives Verfahren: füge weiteren Periodenbedarf zum aktuellen Los hinzu, solange die durchschnittlichen Periodenkosten sinken. Sobald sie steigen → neues Los starten.
Erklärung: Silver-Meal-Heuristik (Production and Inventory Management 1973): heuristisches Verfahren für dynamisches Losgrößen-Problem. Funktioniert iterativ: solange (Bestellkosten + Lagerkosten) / Anzahl Perioden weiter sinkt → mehr Bedarf zum Los hinzufügen. Sobald sie steigen → neues Los. Vorteil: SCHNELL + intuitiv. Nachteil: nicht garantiert optimal (Wagner-Whitin wäre optimal). Klausur-Heuristik-Standard.
