Was ist eine dominante Strategie?

Richtige Antwort: Eine Strategie, die in jeder Situation die höchste Auszahlung gibt — egal was der andere macht. Dominante Strategie = beste Antwort egal was der Gegenspieler tut. Wenn ein Spieler eine dominante Strategie hat, muss er sie spielen. Beispiel: 'Gestehen' im Gefangenendilemma — egal ob der andere schweigt oder gesteht, gestehen liefert immer die höhere Auszahlung.

Im Gefangenendilemma gilt:

Richtige Antwort: Beide abweichen ist Nash-Gleichgewicht — und Pareto-suboptimal. Im Gefangenendilemma haben beide Spieler die dominante Strategie 'abweichen'. Ergebnis: (abweichen, abweichen) ist Nash-GG, aber Pareto-suboptimal — beide hätten bei (kooperieren, kooperieren) mehr. Klassisches Marktversagen ohne Vertrauen.

Bei welchem Spiel-Klassiker existieren zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien?

Richtige Antwort: Battle of the Sexes. Battle of the Sexes ist ein Koordinationsspiel mit zwei NGGs: (Oper, Oper) und (Fußball, Fußball). Beide bevorzugen Gemeinsamkeit über getrennt — aber unterschiedliche Aktivitäten. Klassische Lösung: Kommunikation oder Brennpunkt-Effekt.

Was ist das Nash-Gleichgewicht?

Richtige Antwort: Eine Strategie-Kombination, bei der kein Spieler einseitig besser fahren kann durch Abweichung. Nash-GG: jeder Spieler spielt seine beste Antwort auf die Strategien der anderen — niemand kann durch einseitige Abweichung mehr gewinnen. Nicht zwingend Pareto-effizient (siehe Gefangenendilemma) und nicht zwingend symmetrisch.

Spieler 1 hat folgende Auszahlungen: bei (O, L) = 3, bei (U, L) = 5, bei (O, R) = 2, bei (U, R) = 4. Welche Aussage ist korrekt?

Richtige Antwort: $U$ dominiert $O$ strikt. Bei L: U liefert 5 > 3 = O. Bei R: U liefert 4 > 2 = O. U ist in beiden Fällen besser → U dominiert O strikt. Spieler 1 wird also immer U spielen.

Bei Matching Pennies (Nullsummenspiel) gibt es...

Richtige Antwort: ...kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien — nur in gemischten Strategien (50/50). Matching Pennies hat kein NGG in reinen Strategien — egal welche Kombination, einer will immer abweichen. Gleichgewicht nur in gemischten Strategien: beide spielen Kopf/Zahl mit Wahrscheinlichkeit 50/50, sodass der Gegner indifferent ist. Reale Beispiele: Strafstoß, Auditing.

Spieler 1 wählt zwischen $O$ und $U$, Spieler 2 zwischen $L$ und $R$. Auszahlungen: $(O,L)=(3,3)$, $(O,R)=(0,4)$, $(U,L)=(4,0)$, $(U,R)=(1,1)$. Was ist das Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien?

Richtige Antwort: $(U, R)$. Markier-Methode: bei L wählt S1 max(3, 4)=4 → U; bei R wählt S1 max(0, 1)=1 → U. Bei O wählt S2 max(3, 4)=4 → R; bei U wählt S2 max(0, 1)=1 → R. Schnitt: (U, R). Trotz dass (O, L)=(3, 3) Pareto-besser wäre — klassisches Gefangenendilemma-Pattern.

Eine Strategie heißt strikt dominiert, wenn...

Richtige Antwort: ...sie in jeder Situation strikt schlechter ist als eine andere Strategie. Strikt dominiert: in JEDER Situation strikt schlechter (also strict <). Ein rationaler Spieler wird sie nie wählen, daher kann sie aus der Matrix gestrichen werden (iterative Eliminierung). Wichtig: nur 'schwach dominiert' (≤ in jeder, < in mind. einer) reicht nicht für Streichung.

In einem Cournot-Duopol mit Mengenwettbewerb ist das Nash-Gleichgewicht charakterisiert durch:

Richtige Antwort: Beide Anbieter spielen ihre beste Antwort auf die erwartete Menge des anderen — Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen. Cournot-Nash-GG: beide setzen ihre beste Antwort auf die Mengen-Erwartung des anderen — Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen. Bei symmetrischen linearen Nachfragen mit P = a − bQ und MC = c: q_i* = (a − c)/(3b). Ergebnis liegt zwischen Monopol- und Konkurrenz-Menge.

Welcher Klausur-Klassiker passt am besten zu Klimaschutz?

Richtige Antwort: Gefangenendilemma — alle wollen, dass die anderen reduzieren, sich selbst aber nicht festlegen. Klimaschutz = Gefangenendilemma im globalen Maßstab. Reduktion ist kostspielig für jedes Land, der Nutzen verteilt sich global. Dominante Strategie: nicht reduzieren. Pareto-Optimum: alle reduzieren. Realität: Vertragswerke (Pariser Abkommen) versuchen das DGG zu durchbrechen über bindende Verpflichtungen + Sanktionen.

Das wiederholte Gefangenendilemma mit unbekanntem Ende ermöglicht oft Kooperation, weil...

Richtige Antwort: ...Spieler durch Reputation und Sanktionen (z.B. Tit-for-Tat) zur Kooperation gezwungen werden — Verrat heute = Verrat morgen. Folk-Theorem: in unendlich oft wiederholten Spielen mit ausreichend hohem Diskontfaktor sind viele Auszahlungen erreichbar — inkl. Kooperation. Tit-for-Tat: kooperiere zuerst, dann mache, was der Gegner zuletzt gemacht hat. Robert Axelrod hat das experimentell gezeigt — Reputation und Vergeltung lösen das einmalige Gefangenendilemma.

UniProMax/VWL/spieltheorie-grundlagen

VWL·16 Min Lesezeit·Fortgeschritten

Spieltheorie — Grundlagen

Strategische Interaktion: Auszahlungsmatrix, dominante Strategien, beste Antwort, Nash-Gleichgewicht. Mit interaktiver 2×2-Matrix und vier Klausur-Klassikern (Gefangenendilemma, Battle of the Sexes, Hirschjagd, Matching Pennies).

Voraussetzung:Marktformen: Konkurrenz, Monopol, Oligopol

Lerneinheit 1 von 4

Spieltheorie — Grundlagen

Wenn die optimale Entscheidung davon abhängt, was die anderen tun. Mathematische Sprache der strategischen Interaktion. Klausur-Pflicht in VWL und Mikro-Vertiefung, Dauerthema bei Oligopol, Politik, Wettrennen, Verhandlung.

Was du in der Klausur können musst:

Auszahlungsmatrix lesen und richtig zuordnen (Spieler 1 vs. Spieler 2, Strategien, Auszahlungen)
Dominante Strategie und dominierte Strategie identifizieren
Beste Antwort auf gegnerische Strategie finden
Nash-Gleichgewicht markieren (in reinen Strategien)
4 klassische Spiele kennen: Gefangenendilemma, Battle of the Sexes, Hirschjagd, Matching Pennies
Iterative Eliminierung dominierter Strategien anwenden

Klassische Klausurfrage: "Bestimme alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien" + "Existiert eine dominante Strategie?"

Die Auszahlungsmatrix zeigt für jede Strategie-Kombination den Gewinn beider Spieler. Spieler 1 wählt Zeile, Spieler 2 wählt Spalte.

Lese-Konvention: in jeder Zelle steht ein Paar $(\pi_1, \pi_2)$ — erste Zahl = Auszahlung Spieler 1, zweite Zahl = Auszahlung Spieler 2.

	Spieler 2: $L$	Spieler 2: $R$
Spieler 1: $O$	$(\pi_1^{OL}, \pi_2^{OL})$	$(\pi_1^{OR}, \pi_2^{OR})$
Spieler 1: $U$	$(\pi_1^{UL}, \pi_2^{UL})$	$(\pi_1^{UR}, \pi_2^{UR})$

Annahmen (für die Standardanalyse):

Beide Spieler maximieren ihre eigene Auszahlung (rational)
Beide kennen die Matrix (vollständige Information)
Beide wählen simultan und unabhängig (kein Verhandeln)

Dominante Strategie: liefert für Spieler $i$ in jeder Situation die höchste Auszahlung — egal was der Gegenspieler macht.

Dominierte Strategie: wird in jeder Situation von einer anderen Strategie übertroffen — also nie sinnvoll zu wählen.

Klausur-Trick: wenn ein Spieler eine dominante Strategie hat, muss er sie spielen. Wenn ein Spieler eine dominierte Strategie hat, kann sie aus der Matrix gestrichen werden (iterative Eliminierung).

Beispiel — Gefangenendilemma:

	Spieler 2: schweigt	Spieler 2: gesteht
Spieler 1: schweigt	$(-1, -1)$	$(-10, 0)$
Spieler 1: gesteht	$(0, -10)$	$(-5, -5)$

Wenn Spieler 2 schweigt: Spieler 1 wählt zwischen $-1$ (schweigt) und $0$ (gesteht) → gestehen ist besser
Wenn Spieler 2 gesteht: Spieler 1 wählt zwischen $-10$ und $-5$ → gestehen ist besser
"Gestehen" ist also dominant für Spieler 1
Symmetrisch für Spieler 2: "gestehen" dominant

Folge: beide gestehen → $(-5, -5)$ . Beide hätten besser geschwiegen ( $-1, -1$ ), aber individueller Anreiz zwingt sie zur schlechteren Lösung. Klassisches Marktversagen ohne Vertrauen.

Beste Antwort $BR_i$ von Spieler $i$ auf eine gegnerische Strategie = die Strategie, die unter dieser Annahme die höchste Auszahlung gibt.

Nash-Gleichgewicht (NGG): Strategie-Profil, in dem kein Spieler einseitig besser fahren kann durch Abweichung. Beide spielen ihre beste Antwort gegenseitig.

So findest du Nash-GGs systematisch (Klausur-Methode):

Spieler 1 fixiert Spalte: für jede Strategie von Spieler 2 die beste Spieler-1-Antwort markieren (Unterstreichen oder Farbe in der Spieler-1-Zahl)
Spieler 2 fixiert Zeile: für jede Strategie von Spieler 1 die beste Spieler-2-Antwort markieren (Spieler-2-Zahl)
Zellen, in denen beide Markierungen zusammenfallen, sind Nash-Gleichgewichte

Anwendung — Gefangenendilemma:

	$L$	$R$
$O$	$(\underline{-1}, \underline{-1})$	$(-10, \underline{0})$
$U$	$(\underline{0}, -10)$	$(\underline{-5}, \underline{-5})$

Beide unterstrichene Zahlen in $(U, R) = (-5, -5)$ → NGG ist (Gestehen, Gestehen).

Hinweis: in $(O, L)$ ist Spieler 1 unterstrichen (beste Antwort auf $L$ wäre $-1 > 0$ ? Nein, $0 > -1$ , also $U$ wäre besser. Hier müsste markiert sein: bei $L$ wählt Spieler 1 $U$ mit $0$ , nicht $O$ mit $-1$ ). Korrektur:

	$L$	$R$
$O$	$(-1, -1)$	$(-10, 0)$
$U$	$(\underline{0}, -10)$	$(\underline{-5}, \underline{-5})$

Bei $R$ wählt Spieler 2: $0 > -5$ ? Nein, $-5 > -10$ , also bei $O$ wählt Spieler 2 $R$ mit $0$ , bei $U$ wählt $R$ mit $-5$ . Markiere die Spieler-2-Zahl: $(O, R)$ und $(U, R)$ . Schnitt mit Spieler-1: bei beiden Spalten ist $U$ Spieler 1's beste Antwort. → NGG = $(U, R)$ ✓.

1. Gefangenendilemma

Beide Spieler haben eine dominante Strategie, die zu einem Pareto-schlechteren Ergebnis führt als die kooperative Lösung.

	kooperieren	abweichen
kooperieren	$(R, R)$	$(S, T)$
abweichen	$(T, S)$	$(P, P)$

Mit $T > R > P > S$ (klassisch z.B. $T=4, R=3, P=2, S=1$ ).

NGG: (abweichen, abweichen) — Pareto-suboptimal.

Reale Beispiele:

Klimaschutz: alle Länder wollen, dass die anderen reduzieren
Werbung-Wettrüsten: beide Konkurrenten zahlen viel Werbung
Atomwaffen-Wettrüsten (Kalter Krieg)
Steuer-Wettbewerb zwischen Staaten

2. Battle of the Sexes (Koordinationsspiel mit Konflikt)

Zwei Spieler wollen gemeinsam etwas tun, bevorzugen aber unterschiedliche Aktivitäten.

	Oper	Fußball
Oper	$(2, 1)$	$(0, 0)$
Fußball	$(0, 0)$	$(1, 2)$

Sie/Er bevorzugen Oper bzw. Fußball, aber gemeinsam ist beiden lieber als alleine.

NGGs in reinen Strategien: $(\text{Oper}, \text{Oper})$ und $(\text{Fußball}, \text{Fußball})$ — zwei Gleichgewichte, Koordinationsproblem.

Lösung in der Praxis: Kommunikation, Tradition, Brennpunkt-Effekt (Schelling).

3. Hirschjagd / Stag Hunt (Vertrauen vs. Sicherheit)

Kooperation bringt mehr, ist aber riskant. Sicheres niedrigeres Ergebnis ist immer verfügbar.

	Hirsch	Hase
Hirsch	$(4, 4)$	$(0, 3)$
Hase	$(3, 0)$	$(3, 3)$

Beide jagen Hirsch → bester Outcome. Aber wenn der andere Hase wählt, geht der Hirschjäger leer aus.

NGGs: (Hirsch, Hirsch) und (Hase, Hase) — eine Pareto-effizient, eine "sichere".

Klassisches Vertrauensproblem. Lösung: Verträge, Reputation, wiederholte Spiele.

4. Matching Pennies (Nullsummenspiel)

Spieler 1 will, dass die Münzen übereinstimmen; Spieler 2 will, dass sie sich unterscheiden.

	Kopf	Zahl
Kopf	$(1, -1)$	$(-1, 1)$
Zahl	$(-1, 1)$	$(1, -1)$

Kein NGG in reinen Strategien! Egal welche Strategie-Kombination — einer würde immer abweichen wollen.

NGG nur in gemischten Strategien: beide spielen Kopf/Zahl mit 50/50-Wahrscheinlichkeit.

Beispiele: Strafstoß im Fußball (Schütze vs. Torwart), Auditing (Steuerprüfer vs. Steuerzahler), Innovation (Marktführer vs. Herausforderer).

Wenn eine Strategie für einen Spieler strikt dominiert ist, würde er sie nie spielen — also kann sie aus der Matrix gestrichen werden. Nach Streichung kann eine vorher nicht dominierte Strategie für den anderen Spieler dominiert werden.

Beispiel:

	$L$	$M$	$R$
$O$	$(2, 4)$	$(1, 0)$	$(0, 1)$
$U$	$(0, 1)$	$(2, 0)$	$(2, 3)$

Spieler 2: $M$ wird durch $L$ dominiert in beiden Zeilen ( $4 > 0$ und $1 > 0$ — wait, $0 = 0$ . Genauer: bei $O$ ist $L$ mit $4 > 0 = M$ , bei $U$ ist $L$ mit $1 > 0 = M$ ). Also $M$ streichen.

Reduzierte Matrix:

	$L$	$R$
$O$	$(2, 4)$	$(0, 1)$
$U$	$(0, 1)$	$(2, 3)$

Jetzt für Spieler 1: $O$ vs. $U$ — keine Dominanz (kommt auf Spalte an). Suche NGG mit Markier-Methode.

Bei $L$ : Spieler 1's beste Antwort ist $O$ ( $2>0$ ). Bei $R$ : $U$ ( $2>0$ ). Bei $O$ : Spieler 2's beste Antwort ist $L$ ( $4>1$ ). Bei $U$ : $R$ ( $3>1$ ).

Schnittpunkte: $(O, L)$ und $(U, R)$ — zwei Nash-Gleichgewichte.

Trick 1 — Markier-Methode: für jede Strategie des Gegners die eigene beste Antwort unterstreichen. Zellen mit beiden Unterstreichungen = Nash-GGs. Funktioniert immer, ohne komplexes Denken.

Trick 2 — Dominante Strategie zuerst suchen: wenn ein Spieler eine dominante Strategie hat, ist die Matrix viel kleiner. Iterative Eliminierung sparert Zeit.

Trick 3 — Mehrere NGGs: in Koordinationsspielen (Battle of the Sexes, Hirschjagd) gibt es 2 NGGs in reinen Strategien. Zusätzlich existiert immer noch ein NGG in gemischten Strategien (zwischen 0 und 1).

Trick 4 — Kein NGG in reinen Strategien: klassisches Indiz für ein Nullsummen-/Konfliktspiel (Matching Pennies). Dann immer in gemischten Strategien suchen.

Trick 5 — Pareto-Effizienz vs. Nash: Gefangenendilemma zeigt: Nash $\neq$ Pareto-effizient. NGG ist individuell stabil, nicht gesellschaftlich optimal.

Trick 6 — Symmetrie nutzen: wenn das Spiel symmetrisch ist (gleiche Auszahlungen für beide Spieler bei spiegelbildlichen Strategien), reicht oft die Analyse einer Seite — die andere folgt symmetrisch.

Trick 7 — Wiederholte Spiele lösen Gefangenendilemma: in einmal-gespielten Spielen ist Verrat dominant. In wiederholten Spielen mit unbekanntem Ende wird Kooperation rational (Tit-for-Tat-Strategie).

Oligopol-Theorie — Cournot, Bertrand, Stackelberg sind alles Spiele
Wettbewerbsrecht — Kartellanalyse, Preisabsprachen
Verhandlungen — Lohnverhandlungen, Lieferanten-Verträge
Politik — Koalitionsbildung, Wahlkampfstrategie, internationale Verhandlungen
Auktionen — eBay, Google Ads, Spektrum-Auktionen
Evolutionsbiologie — ESS (Evolutionarily Stable Strategies)
Kryptographie — Adversarial Models bei Sicherheitsprotokollen
AI / Machine Learning — Multi-Agent-Systeme, Reinforcement Learning, GANs

Faustregel zum Mitnehmen: Spieltheorie = die Mathematik, wenn meine Entscheidung davon abhängt, was du tust. Nash-GG ist der Punkt, wo niemand mehr abweichen will. Markier-Methode immer verfügbar, dominante Strategien sparen Zeit.

Klausur-ÜbersichtKomplette Übersicht: alle Tabs als linearer Text zum Lernen

Alle Tabs der Lerneinheit (Erklärung · Interaktiv verstehen · Praxis-Übung · Klausur-Quiz) als durchgehender Text. Ideal zum Wiederholen vor der Klausur — und für Suchmaschinen wie Google, Bing und KI-Suche (ChatGPT, Perplexity).

Teil 1·Erklärung

Erklärung

Spieltheorie — Grundlagen

Mathematische Sprache der strategischen Interaktion. Klausur-Pflicht in VWL und Mikro-Vertiefung, Dauerthema bei Oligopol, Politik, Wettrennen, Verhandlung.

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VWL

	Spieler 2: `L`	Spieler 2: `R`
Spieler 1: `O`	`(π₁^(OL), π₂^(OL))`	`(π₁^(OR), π₂^(OR))`
Spieler 1: `U`	`(π₁^(UL), π₂^(UL))`	`(π₁^(UR), π₂^(UR))`

	`L`	`R`
`O`	`(underline-1, underline-1)`	`(-10, underline0)`
`U`	`(underline0, -10)`	`(underline-5, underline-5)`

	`L`	`R`
`O`	`(-1, -1)`	`(-10, 0)`
`U`	`(underline0, -10)`	`(underline-5, underline-5)`

	`L`	`M`	`R`
`O`	`(2, 4)`	`(1, 0)`	`(0, 1)`
`U`	`(0, 1)`	`(2, 0)`	`(2, 3)`

	`L`	`R`
`O`	`(2, 4)`	`(0, 1)`
`U`	`(0, 1)`	`(2, 3)`

	kooperieren	abweichen
kooperieren	`(R, R)`	`(S, T)`
abweichen	`(T, S)`	`(P, P)`

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